سه گانه ریاضی مسئله نظریه اعداد قرن ها را پیش می برد

در اوایل سال جاری، سه نفر از ریاضیدانان تصمیم گرفتند لیمو را به لیموناد تبدیل کنند - و در نهایت ساختند. پیشرفت عمده در مورد مسئله ای که ریاضیدانان قرن ها به آن فکر می کردند.

این سه نفر تازه پروژه‌ای را تمام می‌کردند و به مراحل بعدی فکر می‌کردند که در اواخر ماه مارس، دو نفر از آنها - لونت آلپوگه از دانشگاه هاروارد و آری شنیدمان از دانشگاه عبری اورشلیم - به طور جداگانه اما تقریباً همزمان به کووید-19 مبتلا شد. بسیاری از افراد در چنین شرایطی استراحت می کنند، اما عضو تیم سوم، منجول بهارگاوا دانشگاه پرینستون، برعکس را پیشنهاد کرد. به گفته او، افزایش جلسات هفتگی زوم به سه یا چهار بار در هفته، ممکن است حواس همکاران بیمار را از علائم آنها منحرف کند. این سه تصمیم گرفتند که قرنطینه فرصتی باشد برای فکر کردن بدون مزاحمت.

در طول این جلسات، آنها یکی از قدیمی ترین سؤالات نظریه اعداد را در نظر گرفتند: چند عدد صحیح را می توان به عنوان مجموع دو کسر مکعبی، یا به قول ریاضیدانان، اعداد گویا نوشت؟ برای مثال عدد 6 را می توان به صورت (17/21) نوشت.³ + (37/21)³، در حالی که 13 = (7/3)³+(2/3)³.

ریاضیدانان برای دهه ها مشکوک بودند که نیمی از اعداد صحیح را می توان به این شکل نوشت. درست مانند اعداد زوج و فرد، این ویژگی به نظر می رسد که اعداد صحیح را به دو کمپ مساوی تقسیم می کند: آنهایی که مجموع دو مکعب هستند و آنهایی که نیستند.

اما هیچ کس نتوانست این را ثابت کند، یا حتی محدودیتی برای نسبت اعداد صحیحی که در هر اردوگاه قرار می گیرند، قائل نشد. تا آنجا که ریاضیدانان می‌دانستند، اردوگاهی که از مجموع مکعب‌های گویا تشکیل شده است ممکن است به‌طور محو شدنی کوچک باشد - یا ممکن است تقریباً هر عدد کامل را در خود جای دهد. ریاضیدانان محاسبه کرده اند اگر چیزی به نام حدس توس و سوینرتون-دایر درست باشد (همانطور که عموماً تصور می شود)، حدود 59 درصد از اعداد تا 10 میلیون مجموع دو مکعب گویا هستند. اما چنین داده‌هایی در بهترین حالت می‌توانند نکاتی را در مورد نحوه رفتار بقیه خط اعداد ارائه دهند.

بر خلاف اعداد فرد و زوج، گفت: "این دو اردوگاه ظریف هستند." بری مازور دانشگاه هاروارد هیچ آزمایشی برای تعیین اینکه کدام اعداد متعلق به کدام اردوگاه هستند وجود ندارد که برای همه اعداد کار می کند. ریاضیدانان تست هایی ارائه کرده اند که کاندیدای قوی هستند، اما در حال حاضر هر کدام دارای اشکالاتی هستند - یا ریاضیدانان نمی توانند ثابت کنند که آزمون همیشه به نتیجه می رسد، یا نمی توانند ثابت کنند که نتیجه گیری درست است.

بهارگاوا گفت که دشواری درک مجموع مکعب ها، و به طور کلی معادلات مکعبی، برای نظریه پردازان اعداد مایه شرمساری مکرر بوده است. او برنده مدال فیلدز شد در سال 2014 تا حدی برای کار او در مورد راه حل های منطقی به معادلات مکعبی معروف به منحنی های بیضوی که مجموع دو مکعب یک مورد خاص است.

در حال حاضر، یک کاغذ آلپوگه، بهارگاوا و شنیدمن که در اواخر اکتبر به صورت آنلاین ارسال شدند، نشان دادند که حداقل 2/21 (حدود 9.5٪) و حداکثر 5/6 (حدود 83٪) از اعداد کامل را می توان به صورت مجموع دو کسر مکعبی نوشت.

سؤال از مجموع مکعب ها فقط یک کنجکاوی نیست. منحنی‌های بیضوی ساختار بسیار پیچیده‌ای دارند که آنها را به مرکز بسیاری از حوزه‌های ریاضیات خالص و کاربردی سوق داده است، به‌ویژه که رمزنگاران را قادر می‌سازد تا رمزهای قدرتمندی بسازند. حدس توس و سویننرتون-دایر، سوال اصلی در این زمینه، جایزه یک میلیون دلاری را به عنوان یکی از مسائل جایزه هزاره موسسه ریاضیات Clay دارد.

کار جدید مبتنی بر مجموعه ای از ابزارهایی است که بهارگاوا در طول 20 سال گذشته به همراه همکارانش ایجاد کرده است. خانواده کامل را کشف کنید منحنی های بیضوی درک مجموع دو مکعب به معنای تجزیه و تحلیل یک خانواده بسیار کوچکتر است و "هرچه خانواده کوچکتر باشد، مشکل سخت تر است." پیتر سارناک موسسه مطالعات پیشرفته در پرینستون.

سرناک افزود که این خانواده خاص "خیلی دور از دسترس به نظر می رسید". من می‌گفتم، این خیلی سخت به نظر می‌رسد، خیلی سخت است.»

انتقال فاز

برخلاف مجموع کسرهای مکعبی، که به نظر فراوان می‌رسد، به سختی هیچ عدد صحیحی مجموع دو کسر مجذور است. در اوایل دهه 1600، ریاضیدانان آلبر ژیرار و پیر دو فرما، یک آزمون ساده برای تعیین اینکه کدام اعداد کامل مجموع دو مربع هستند را کشف کرده بودند: عدد خود را به صورت اعداد اول درآورید، سپس توان هر عدد اول را که باقیمانده آن 3 است را بررسی کنید. وقتی آن را بر 4 تقسیم می کنید. اگر این توان ها همه زوج باشند، عدد شما مجموع دو کسر مربع است. در غیر این صورت، این نیست. به عنوان مثال، 490 عامل به 2¹ × 5¹ × 7². تنها یکی از این عوامل که با تقسیم بر 3 باقیمانده 4 دارد 7 است و 7 دارای توان زوج است. بنابراین، 490 مجموع دو مربع است (برای کنجکاو، برابر با 7 است² + 21²).

اکثریت قریب به اتفاق اعداد در آزمون نمایی زوج مردود می شوند. اگر یک عدد کامل را به طور تصادفی انتخاب کنید، احتمال اینکه آن مجموع دو کسر مجذور باشد، اساساً صفر است. ریاضیدانان بر این باورند که همین امر در مورد مجموع دو کسر افزایش یافته به توان چهارم یا پنجم یا هر توان بالاتر از سه صادق است. تنها با مجموع مکعب ها است که ناگهان فراوانی به وجود می آید.

ریاضیدانان به معادلات مکعبی عادت دارند که رفتار متفاوتی با معادلات سایر قدرت ها داشته باشند. در میان معادلات ساخته شده از دو متغیر (مانند معادلات مجموع دو مکعب)، معادلاتی که بالاترین توان آنها 1 یا 2 است به خوبی درک می شوند - معمولاً آنها یا هیچ راه حل منطقی ندارند یا بی نهایت زیاد هستند، و به طور کلی ساده است که بگو کدوم در همین حال، معادلاتی که بالاترین توان آنها 4 یا بیشتر است، عموماً دارند فقط یک پاشیدن محدود از راه حل های منطقی

در مقابل، معادلات مکعبی می توانند راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشند، بی نهایت زیاد یا اصلاً هیچ کدام. این معادلات نوعی انتقال فاز بین نماهای زیر 3 و نماهای بالا را نشان می دهد و پدیده هایی را نشان می دهد که هرگز در این تنظیمات دیگر دیده نمی شوند. مازور گفت: "مکعب ها از هر نظر متفاوت هستند."

بر خلاف معادلات با توان های پایین تر، درک مکعب ها به طرز شگفت انگیزی دشوار است. هیچ روش جامعی برای یافتن یا حتی شمارش راه‌حل‌های منطقی مکعب‌ها وجود ندارد که ثابت شده باشد همیشه کار می‌کند.

گفت: «حتی با تمام قدرت محاسباتی که داریم، اگر یک منحنی بیضوی با ضرایب بسیار بزرگ به من بدهید، من لزوماً نمی دانم چند راه حل منطقی دارد.» وی هو، شاگرد سابق بهارگاوا که است در حال حاضر استاد مدعو در موسسه مطالعات پیشرفته

در مسئله مجموع دو مکعب، کسرهای درگیر می توانند بسیار زیاد باشند: برای مثال، عدد 2,803، مجموع دو کسر مکعبی است که مخرج هر کدام دارای 40 رقم است. بهارگاوا گفت، هنگامی که ما به اعداد میلیونی نگاه می کنیم، بسیاری از کسری ها «شامل ارقام بیشتری از آن چیزی هستند که در تمام کاغذهای این دنیا جای می گیرند.»

ماتریس های نقشه برداری

از آنجایی که منحنی های بیضوی بسیار غیرقابل کنترل هستند، نظریه پردازان اعداد به دنبال راه هایی برای پیوند آنها با اشیاء قابل حمل تر هستند. آوریل امسال، در حالی که آلپوگه و شنیدمن در حال مبارزه با کووید بودند، آنها و بهارگاوا بر اساس کاری که دومی قبلاً با هو انجام داده بود، ساختند و متوجه شدند که هر زمان معادله مجموع مکعب ها دارای راه حل های منطقی باشد، راهی برای ساختن حداقل یک 2 ویژه وجود دارد. ماتریس × 2 × 2 × 2 - یک آنالوگ چهار بعدی از ماتریس دو بعدی آشناتر. این سه نفر نوشتند: «ما شروع کردیم به طرحی برای شمارش این ماتریس‌های 2×2×2×2».

برای انجام این کار، تیم از دو موضوع کلاسیک استفاده کردند که هر کدام بیش از یک قرن مورد مطالعه قرار گرفته اند. یکی "هندسه اعداد" است که شامل نحوه شمارش نقاط شبکه در اشکال هندسی مختلف است. این موضوع در 20 سال گذشته در زمینه منحنی‌های بیضوی از نوزایی برخوردار بوده است که تا حد زیادی به دلیل کار Bhargava و همکارانش بوده است.

تکنیک دیگر، که به عنوان روش دایره ای شناخته می شود، در کار ریاضی دان افسانه ای هندی سرینیواسا رامانوجان و همکار قدیمی او جی اچ هاردی در اوایل قرن بیستم سرچشمه گرفت. هو گفت: «این اولین کاربرد عمده از ترکیب روش دایره با این تکنیک‌های هندسه اعداد است. "این قسمت خیلی باحاله."

با استفاده از این روش ها، سه نفر توانستند نشان دهند که برای حداقل 1/6 از تمام اعداد کامل، ماتریس 2 × 2 × 2 × 2 وجود ندارد. این بدان معناست که برای آن اعداد، معادله مجموع مکعب ها هیچ راه حل منطقی ندارد. بنابراین بیش از 5/6 اعداد صحیح یا حدود 83 درصد نمی تواند مجموع مکعب های دو کسر باشد.

در جهت معکوس، آنها دریافتند که حداقل 5/12 از تمام اعداد صحیح دقیقاً یک ماتریس منطبق دارند. وسوسه انگیز است که نتیجه بگیریم که این اعداد مجموع دو مکعب هستند، اما این به طور خودکار دنبال نمی شود. هر عددی که مجموع دو مکعب است، یک ماتریس دارد، اما این لزوماً به این معنا نیست که برعکس آن درست است: اینکه هر عددی که ماتریس دارد، مجموع دو مکعب است.

آلپوگ، بهارگاوا و شنیدمن به چیزی نیاز داشتند که محققان منحنی بیضوی آن را قضیه معکوس می‌نامند - چیزی که اطلاعات یک معادله مکعبی را می‌گیرد و از آن برای ساختن راه‌حل‌های منطقی استفاده می‌کند. قضایای معکوس یک زیرشاخه در حال شکوفایی نظریه منحنی‌های بیضوی را تشکیل می‌دهند، بنابراین این سه نفر به دو تن از متخصصان زیر زمینه روی آوردند - آشای بورونگل از دانشگاه تگزاس، آستین و پرینستون. بورونگل و اسکینر توانستند نشان دهند که حداقل در برخی مواقع، اگر یک عدد کامل دارای یک ماتریس منفرد مرتبط باشد، آن عدد باید مجموع دو مکعب گویا باشد. قضیه آنها، که اساساً تکه‌ای از حدس‌های توس و سوینرتون-دایر را ثابت می‌کند، در مقاله به‌عنوان یک پیوست سه صفحه‌ای ظاهر می‌شود که سارناک آن را به خودی خود شگفت‌انگیز توصیف می‌کند.

Burungale و Skinner قضیه خود را برای هر عدد صحیح دقیقاً با یک ماتریس اثبات نکردند - آنها مجبور بودند یک شرط فنی را تحمیل کنند که زیر مجموعه 5/12 را به 2/21 یا حدود 9.5٪ از همه اعداد صحیح کاهش دهد. اما Bhargava خوشبین است که Burungale و Skinner، یا سایر محققان در منطقه خود، به بقیه 5/12 (در کل حدود 41٪) زودتر از زمان زیادی دست خواهند یافت. بهارگاوا گفت: "تکنیک های آنها به طور پیوسته قوی تر می شود."

اثبات حدس کامل - که دقیقاً نیمی از همه اعداد صحیح مجموع دو مکعب هستند - در نهایت نیاز به مقابله با مجموعه اعدادی دارد که بیش از یک ماتریس مرتبط دارند. این مجموعه که بهارگاوا آن را «بسیار مه‌آلود» می‌نامد، هم شامل اعدادی است که مجموع دو مکعب هستند و هم اعدادی که نیستند. او گفت که رسیدگی به چنین اعدادی نیاز به ایده های کاملاً جدیدی دارد.

در حال حاضر، محققان خوشحال هستند که در نهایت این سوال را برای نسبت قابل توجهی از اعداد کامل حل کرده‌اند و مشتاق هستند تکنیک‌های موجود در اثبات را بیشتر بررسی کنند. سرناک گفت: «این یکی از آن چیزهای زیباست: شما می توانید نتیجه را خیلی راحت توضیح دهید، اما ابزارها بسیار بسیار در لبه برش نظریه اعداد هستند.