ریاضیدانان یک کلاس ساده اما سرسخت از معادلات را شکستند

در قرن سوم پیش از میلاد، ارشمیدس مطرح معمایی در مورد گله داری گاو که به ادعای او فقط یک شخص عاقل می تواند آن را حل کند. مشکل او در نهایت به معادله ای خلاصه شد که شامل تفاوت بین دو عبارت مربعی است که می تواند به صورت زیر نوشته شود x² - dy² = 1. اینجا، d یک عدد صحیح است - یک عدد شمارش مثبت یا منفی - و ارشمیدس به دنبال راه‌حل‌هایی بود که در آن هر دو مورد استفاده قرار می‌گرفت x و y اعداد صحیح نیز هستند.

این دسته از معادلات که معادلات پل نامیده می شوند، ریاضیدانان را در طول هزاران سال مجذوب خود کرده اند.

چند قرن پس از ارشمیدس، برهماگوپتا، ریاضیدان هندی، و بعدها ریاضیدان بهاسکارای دوم، الگوریتم هایی برای یافتن جواب های اعداد صحیح برای این معادلات ارائه کردند. در اواسط دهه 1600، ریاضیدان فرانسوی پیر دو فرما (که از آن کار بی اطلاع بود) دوباره کشف کرد که در برخی موارد، حتی زمانی که d یک مقدار نسبتا کوچک، کوچکترین راه حل های اعداد صحیح ممکن برای x و y می تواند عظیم باشد هنگامی که او یک سری مسائل چالشی را برای ریاضیدانان رقیب ارسال کرد، آنها معادله را در نظر گرفتند x² - 61y² = 1 که کوچکترین جواب های آن 10 یا XNUMX رقم دارد. (در مورد ارشمیدس، معمای او اساساً جواب های اعداد صحیح برای معادله را می خواست x² - 4,729,494y² = 1. "برای چاپ کوچکترین راه حل، 50 صفحه طول می کشد." پیتر کویمانز، ریاضیدان دانشگاه میشیگان. "به نوعی، این یک ترول غول پیکر از ارشمیدس است.")

اما راه حل های معادلات پل می توانند کارهای بسیار بیشتری انجام دهند. برای مثال، فرض کنید که می‌خواهید $latex sqrt{2}$، یک عدد غیرمنطقی، را به عنوان نسبتی از اعداد صحیح تقریبی کنید. به نظر می رسد که حل معادله پل x² - 2y² = 1 می تواند به شما در انجام این کار کمک کند: $latex sqrt{2}$ (یا به طور کلی، $latex sqrt{d}$) را می توان با بازنویسی راه حل به عنوان کسری از فرم به خوبی تقریب زد. x/y.

شاید جالب‌تر این باشد که این راه‌حل‌ها در مورد سیستم‌های عددی خاصی که ریاضی‌دانان آن را حلقه می‌نامند، چیزی به شما می‌گویند. در چنین سیستم عددی، ریاضیدانان ممکن است $latex sqrt{2}$ را به اعداد صحیح الحاق کنند. حلقه ها ویژگی های خاصی دارند و ریاضیدانان می خواهند این ویژگی ها را درک کنند. به نظر می رسد که معادله پل می تواند به آنها در انجام این کار کمک کند.

و بنابراین "بسیاری از ریاضیدانان بسیار معروف - تقریباً هر ریاضیدان در یک دوره زمانی - در واقع این معادله را به دلیل ساده بودن آن مطالعه کردند." مارک شوسترمن، ریاضیدان دانشگاه هاروارد. این ریاضیدانان شامل فرما، اویلر، لاگرانژ و دیریکله بودند. (جان پل، نه چندان؛ معادله به اشتباه به نام او نامگذاری شده است.)

حالا کویمانز و کارلو پاگانو، ریاضیدان دانشگاه کنکوردیا در مونترال است حدس چند دهه ای را ثابت کرد مربوط به معادله پل، معادله ای که کمیت می کند که یک شکل معین از معادله چند وقت یکبار دارای جواب های اعداد صحیح است. برای انجام این کار، آنها ایده هایی را از یک حوزه دیگر - نظریه گروه - وارد کردند، در حالی که به طور همزمان درک بهتری از یک موضوع کلیدی اما مرموز مطالعه در آن زمینه به دست آوردند. گفت: "آنها از ایده های واقعا عمیق و زیبایی استفاده کردند." اندرو گرانویل، ریاضیدان دانشگاه مونترال. "آنها واقعاً آن را میخکوب کردند."

حسابی شکسته

در اوایل 1990s پیتر استیونهاگنریاضیدان دانشگاه لیدن در هلند، از برخی از ارتباطاتی که بین معادلات پل و نظریه گروه مشاهده کرد الهام گرفت تا حدس بزند که این معادلات چند وقت یکبار دارای جواب اعداد صحیح هستند. اما او گفت: "انتظار نداشتم به این زودی ها ثابت شود" - یا حتی در زمان حیاتش. تکنیک های موجود برای حمله به مشکل به اندازه کافی قوی به نظر نمی رسید.

حدس او به ویژگی خاصی از حلقه ها بستگی دارد. در حلقه اعدادی که برای مثال $latex sqrt{-5}$ به اعداد صحیح اضافه شده است (ریاضیدانان اغلب با اعداد "خیالی" مانند $latex sqrt{-5}$ کار می کنند)، دو روش متمایز وجود دارد. یک عدد را به عوامل اول آن تقسیم کنید. به عنوان مثال، عدد 6 را می توان نه فقط به صورت 2 × 3، بلکه به صورت (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$) نوشت. در نتیجه، در این حلقه، فاکتورسازی اول منحصر به فرد - یک اصل اصلی حسابی که عملاً در اعداد صحیح عادی بدیهی گرفته می شود - از بین می رود. میزان وقوع این اتفاق در یک شی مرتبط با آن حلقه، به نام گروه کلاس، کدگذاری می شود.

یکی از راه‌هایی که ریاضی‌دانان سعی می‌کنند بینش عمیق‌تری در مورد سیستم عددی مورد علاقه خود به دست آورند - مثلاً $latex sqrt{2}$ که به اعداد صحیح متصل است - محاسبه و مطالعه گروه کلاسی آن است. با این حال، تعیین قوانین کلی برای نحوه رفتار گروه‌های کلاس در تمام این سیستم‌های اعداد مختلف تقریباً بسیار دشوار است.

در دهه 1980، ریاضیدانان هانری کوهن و هندریک لنسترا مجموعه گسترده ای از حدس ها را در مورد اینکه آن قوانین چگونه باید باشند را مطرح کنید. این «ابتکارات کوهن-لنسترا» می‌تواند چیزهای زیادی درباره گروه‌های کلاس به شما بگوید، که به نوبه خود باید ویژگی‌های سیستم‌های اعداد زیربنایی آنها را نشان دهد.

فقط یک مشکل وجود داشت. در حالی که به نظر می رسد بسیاری از محاسبات از اکتشافی کوهن-لنسترا پشتیبانی می کنند، آنها هنوز حدس و گمان هستند، نه اثبات. گفت: «تا آنجایی که قضایا پیش می‌روند، تا همین اواخر تقریباً هیچ چیز نمی‌دانستیم». الکس بارتل، ریاضیدان دانشگاه گلاسکو.

به طرز جالبی، رفتار معمولی یک گروه کلاس به طور جدایی ناپذیری با رفتار معادلات پل در هم تنیده است. پاگانو گفت، درک یک مشکل به درک مشکل دیگر کمک می کند - تا آنجا که حدس استیونهاگن "همچنین یک مشکل آزمایشی برای هر پیشرفتی در اکتشافی کوهن-لنسترا بوده است."

کار جدید شامل معادله منفی پل است که در آن x² - dy² بر خلاف معادله پل اصلی، که همیشه تعداد بی نهایت جواب اعداد صحیح برای هر کدام دارد. d، نه همه مقادیر d در معادله پل منفی معادله ای به دست می آید که قابل حل است. بگیر x² - 3y² = −1: مهم نیست چقدر در طول خط اعداد نگاه می کنید، با وجود اینکه هرگز راه حلی پیدا نمی کنید x² - 3y² = 1 بی نهایت راه حل دارد.

در واقع، ارزش های زیادی وجود دارد d که معادله منفی پل را نمی توان حل کرد: بر اساس قوانین شناخته شده در مورد چگونگی ارتباط اعداد خاص با یکدیگر، d نمی تواند مضرب 3، 7، 11، 15 و غیره باشد.

اما حتی زمانی که شما از آن ارزش ها اجتناب می کنید d و فقط معادلات منفی پل باقی مانده را در نظر بگیرید، هنوز هم همیشه نمی توان راه حل هایی را یافت. در آن مجموعه کوچکتر از مقادیر ممکن از d، چه نسبتی در واقع کار می کند؟

در سال 1993، استیونهاگن فرمولی را پیشنهاد کرد که پاسخ دقیقی به این سوال داد. از مقادیر برای d که ممکن است کار کند (یعنی مقادیری که مضرب 3، 7 و غیره نیستند)، او پیش بینی کرد که تقریباً 58٪ معادلات پل منفی با جواب های اعداد صحیح را ایجاد می کند.

حدس استیونهاگن به‌ویژه از پیوند بین معادله منفی پل و اکتشافات کوهن-لنسترا در گروه‌های طبقاتی ناشی می‌شد - پیوندی که کویمانز و پاگانو 30 سال بعد، سرانجام درستی او را ثابت کردند.

یک توپ بهتر

در سال 2010، کویمانز و پاگانو هنوز دانشجوی کارشناسی بودند – که هنوز با حدس استیونهاگن آشنا نبودند – زمانی که مقاله ای منتشر شد که برخی از اولین پیشرفت ها را در مورد این مشکل در سال های اخیر انجام داد.

در آن کار که بود منتشر شده در سالنامه ریاضیات، ریاضیدانان اتین فووری و یورگن کلونرز نشان داد که نسبت مقادیر d که برای معادله منفی پل کار می کند، در محدوده خاصی قرار می گیرد. برای انجام این کار، آنها رفتار برخی از عناصر گروه های طبقاتی مربوطه را کنترل کردند. اما آنها به درک عناصر بیشتری نیاز دارند تا برآورد بسیار دقیق 58% استیونهاگن را به کار گیرند. متأسفانه، آن عناصر غیرقابل وصف باقی ماندند: روش‌های جدید هنوز برای درک ساختار آنها مورد نیاز بود. پیشرفت بیشتر غیرممکن به نظر می رسید.

سپس، در سال 2017، زمانی که کویمانز و پاگانو هر دو با هم در مقطع کارشناسی ارشد در دانشگاه لیدن بودند، یک کاغذ ظاهر شد که همه چیز را تغییر داد کویمانز گفت: "وقتی این را دیدم، بلافاصله متوجه شدم که این یک نتیجه بسیار بسیار چشمگیر بود." مثل این بود، خوب، حالا من یک توپ دارم که می‌توانم به این مشکل شلیک کنم و امیدوارم بتوانم پیشرفت کنم.» (در آن زمان، استیونهاگن و لنسترا نیز استادان لیدن بودند که به جلب توجه کویمان و پاگانو به این مشکل کمک کرد.)

این مقاله توسط یک دانشجوی کارشناسی ارشد در هاروارد بود، الکساندر اسمیت (که در حال حاضر یکی از اعضای کلی در استنفورد است). کویمانز و پاگانو در ستایش این کار به عنوان یک پیشرفت تنها نبودند. گرانویل گفت: «ایده ها شگفت انگیز بودند. "انقلابی."

اسمیت در تلاش برای درک ویژگی های حل معادلات به نام منحنی های بیضوی بود. در انجام این کار، او بخش خاصی از اکتشافی کوهن-لنسترا را بررسی کرد. این نه تنها اولین گام مهم در تثبیت حدسیات گسترده تر به عنوان واقعیت ریاضی بود، بلکه دقیقاً شامل قطعه گروه کلاسی بود که کویمانز و پاگانو در کار خود در مورد حدس استیونهاگن باید درک کنند. (این قطعه شامل عناصری بود که فووری و کلونرز در نتیجه جزئی خود مطالعه کرده بودند، اما بسیار فراتر از آنها بود.)

با این حال، کویمانز و پاگانو نمی‌توانستند بلافاصله از روش‌های اسمیت استفاده کنند. (اگر این امکان وجود داشت، احتمالاً خود اسمیت این کار را انجام می داد.) اثبات اسمیت در مورد گروه های کلاس مرتبط با حلقه های عددی مناسب بود (حلقه هایی که $latex sqrt{d}$ به اعداد صحیح متصل می شوند) - اما او همه را در نظر گرفت. مقادیر صحیح از d. کویمانز و پاگانو، از سوی دیگر، تنها به یک زیرمجموعه کوچک از این ارزش‌ها فکر می‌کردند. d. در نتیجه، آنها باید میانگین رفتار را در میان کسری بسیار کوچکتر از گروه های طبقاتی ارزیابی کنند.

این گروه‌های طبقاتی اساساً 0٪ از گروه‌های کلاس اسمیت را تشکیل می‌دادند - به این معنی که اسمیت می‌توانست آنها را هنگام نوشتن اثبات خود دور بیندازد. آنها اصلاً به رفتار متوسطی که او مطالعه می کرد کمک نمی کردند.

و زمانی که کویمانز و پاگانو سعی کردند تکنیک‌های او را فقط برای گروه‌های کلاسی که به آن‌ها اهمیت می‌دادند اعمال کنند، روش‌ها بلافاصله شکست خوردند. این جفت باید تغییرات قابل توجهی ایجاد کند تا بتواند کار کند. علاوه بر این، آنها فقط یک گروه طبقاتی را مشخص نمی کردند، بلکه اختلافی را که ممکن است بین دو گروه طبقاتی متفاوت وجود داشته باشد (انجام این کار بخش عمده ای از اثبات حدس استیونهاگن خواهد بود) - که به ابزارهای متفاوتی نیز نیاز دارد.

بنابراین کویمانز و پاگانو با دقت بیشتری کاغذ اسمیت را بررسی کردند، به این امید که دقیقاً مشخص کنند که اوضاع از چه نقطه‌ای خارج می‌شود. این کار دشوار و پر زحمت بود، نه فقط به این دلیل که مطالب بسیار پیچیده بود، بلکه به این دلیل که اسمیت در آن زمان هنوز در حال اصلاح پیش چاپ خود بود و اصلاحات و شفاف سازی های لازم را انجام می داد. (او پست کرد نسخه جدید مقاله او آنلاین ماه گذشته.)

برای یک سال تمام، کویمانز و پاگانو با هم، خط به خط، اثبات را یاد گرفتند. آن‌ها هر روز ملاقات می‌کردند، و قبل از اینکه چند ساعتی را پشت تخته سیاه بگذرانند، در مورد یک بخش در هنگام ناهار بحث می‌کردند و به یکدیگر کمک می‌کردند تا ایده‌های مربوطه را انجام دهند. اگر یکی از آنها به تنهایی پیشرفت می کرد، به دیگری پیام می داد تا او را به روز کند. شوسترمن به یاد می‌آورد که گاهی اوقات آنها را در طول شب کار می‌کردند. کویمانز گفت، علیرغم (یا شاید به دلیل) چالش‌هایی که به همراه داشت، "این کار با هم بسیار سرگرم کننده بود."

آنها در نهایت مشخص کردند که کجا باید یک رویکرد جدید را امتحان کنند. در ابتدا، آنها فقط می توانستند پیشرفت های کمی داشته باشند. همراه با ریاضیدانان استفانی چان و جورجو میلوویچ، آنها متوجه شدند که چگونه می توانند برخی از عناصر اضافی را در گروه کلاس کنترل کنند، که به آنها اجازه داد تا محدوده های بهتری نسبت به فووری و کلونرز بدست آورند. اما قطعات قابل توجهی از ساختار گروه کلاسی هنوز از آنها طفره رفته است.

یکی از مشکلات عمده ای که آنها باید با آن مقابله می کردند - چیزی که روش اسمیت دیگر در این زمینه جدید برای آن کار نمی کرد - اطمینان از این بود که آنها واقعاً رفتار "متوسط" را برای گروه های طبقاتی به عنوان ارزش های d بزرگتر و بزرگتر شد کویمانز و پاگانو برای تعیین درجه تصادفی مناسب، مجموعه‌ای از قوانین پیچیده به نام قوانین متقابل را اثبات کردند. در پایان، این به آنها اجازه داد تا کنترل مورد نیاز خود را بر تفاوت بین دو گروه کلاس به دست آورند.

این پیشرفت، همراه با دیگران، به آنها اجازه داد تا در نهایت اثبات حدس استیونهاگن را در اوایل سال جاری تکمیل کنند. چان گفت: "این شگفت انگیز است که آنها توانستند آن را به طور کامل حل کنند." قبلاً همه این مسائل را داشتیم.»

اسمیت گفت: کاری که آنها انجام دادند "من را شگفت زده کرد". کویمانز و پاگانو به نوعی زبان قدیمی من را حفظ کرده‌اند و فقط از آن برای پیش بردن بیشتر و بیشتر به سمتی استفاده می‌کنند که من دیگر به سختی می‌فهمم.

تیزترین ابزار

از زمانی که او آن را پنج سال پیش معرفی کرد، اثبات بخشی از اکتشافی کوهن-لنسترا توسط اسمیت به عنوان راهی برای گشودن درها به روی انبوهی از مشکلات دیگر، از جمله پرسش‌هایی در مورد منحنی‌های بیضوی و دیگر ساختارهای مورد علاقه در نظر گرفته شد. (کویمانز و پاگانو در مقاله خود حدود دوازده حدس را فهرست می کنند که امیدوارند از روش های خود استفاده کنند. بسیاری از آنها هیچ ارتباطی با معادله منفی پل یا حتی گروه های طبقاتی ندارند.)

گرانویل گفت: «بسیاری از اشیاء ساختارهایی دارند که بی شباهت به این دسته از گروه های جبری نیستند. اما بسیاری از همان موانعی که کویمانز و پاگانو مجبور به مقابله با آن بودند در این زمینه های دیگر نیز وجود دارد. کار جدید بر روی معادله منفی پل به از بین بردن این موانع کمک کرده است. بارتل گفت: "الکساندر اسمیت به ما گفته است که چگونه این اره ها و چکش ها را بسازیم، اما اکنون ما باید آنها را تا حد امکان تیز و تا حد ممکن محکم کنیم و تا حد ممکن با موقعیت های مختلف سازگار شوند." "یکی از کارهایی که این مقاله انجام می دهد این است که به شدت در این جهت است."

در عین حال، تمام این کارها، درک ریاضیدانان را از تنها یک جنبه از گروه‌های کلاس بهبود بخشیده است. بقیه حدس‌های کوهن-لنسترا حداقل در حال حاضر دور از دسترس هستند. اسمیت گفت، اما مقاله کویمانز و پاگانو «نشان‌دهنده این است که تکنیک‌هایی که ما برای حمله به مشکلات در کوهن-لنسترا داریم، در حال رشد هستند».

خود لنسترا نیز به همین ترتیب خوشبین بود. او در ایمیلی نوشت: «کاملاً تماشایی است». "این واقعاً فصل جدیدی را در شاخه ای از نظریه اعداد باز می کند که به قدمت خود نظریه اعداد است."