زمانی که دانیل لارسن در مدرسه راهنمایی بود، شروع به طراحی جدول کلمات متقاطع کرد. او مجبور بود این سرگرمی را در کنار دیگر علایقش قرار دهد: شطرنج، برنامه نویسی، پیانو، ویولن. او پس از برنده شدن در رقابت منطقه ای خود، دو بار برای شرکت در زنبور املای ملی اسکریپس در نزدیکی واشنگتن دی سی واجد شرایط شد. آیلت لیندن اشتراوس، مادر لارسن، می گوید: «او روی چیزی متمرکز می شود، و این فقط بنگ، بنگ، بنگ است، تا زمانی که موفق شود. اولین جدول کلمات متقاطع او توسط روزنامه های بزرگ رد شد، اما او به آن ادامه داد و در نهایت شکست. تا به امروز، او رکورد را در اختیار دارد برای جوانترین فردی که جدول کلمات متقاطع را در آن منتشر می کند نیویورک تایمزلیندن اشتراوس گفت: «او بسیار پیگیر است.
او گفت که با این حال، وسواس اخیر لارسن متفاوت بود، "طولانی تر و شدیدتر از بسیاری از پروژه های دیگر او". برای بیش از یک سال و نیم، لارسن نمی توانست از فکر کردن به یک مسئله ریاضی دست بکشد.
این موضوع ریشه در یک سؤال گسترده‌تر داشت، سؤالی که کارل فردریش گاوس، ریاضیدان آن را یکی از مهم‌ترین سؤالات ریاضیات می‌دانست: چگونه یک عدد اول (عددی که فقط بر 1 و خودش بخش‌پذیر است) از یک عدد مرکب تشخیص دهیم. صدها سال است که ریاضیدانان به دنبال راهی کارآمد برای این کار بوده اند. این مشکل در زمینه رمزنگاری مدرن نیز مطرح شده است، زیرا برخی از پرکاربردترین سیستم‌های رمزنگاری امروزی شامل انجام محاسبات با اعداد اول بسیار زیاد است.
بیش از یک قرن پیش، ریاضیدانان در آن تلاش برای یک تست اولیه سریع و قدرتمند، به طور تصادفی با گروهی از دردسرسازان برخورد کردند - اعدادی که آزمایش‌ها را فریب می‌دهند و فکر می‌کنند که اول هستند، اگرچه اینطور نیستند. درک این شبه نخست ها، که به اعداد کارمایکل معروف هستند، به ویژه دشوار بوده است. به عنوان مثال، تنها در اواسط دهه 1990 بود که ریاضیدانان ثابت کردند که تعداد بی نهایت آنها وجود دارد. توانایی بیان چیزهای بیشتر در مورد نحوه توزیع آنها در امتداد خط اعداد چالش بزرگتری را ایجاد کرده است.
سپس همراه با لارسن آمد یک مدرک جدید در مورد آن، یکی الهام گرفته از کار دوران اخیر در حوزه متفاوتی از نظریه اعداد. در آن زمان او فقط 17 سال داشت.
جرقه
لارسن که در بلومینگتون، ایندیانا بزرگ شد، همیشه به سمت ریاضیات کشیده شد. پدر و مادرش که هر دو ریاضیدان بودند، در جوانی او و خواهر بزرگترش را با این موضوع آشنا کردند. لیندن اشتراوس به یاد می آورد که وقتی لارسن 3 ساله بود، شروع به پرسیدن سوالات فلسفی از او درباره ماهیت بی نهایت کرد. گفت: "فکر کردم، این بچه ذهن ریاضی دارد." لیندن اشتراوس، استاد دانشگاه ایندیانا.
سپس چند سال پیش - در زمانی که او در پروژه های املایی و جدول کلمات متقاطع غوطه ور بود - با یک مستند در باره یتانگ ژانگ، یک ریاضیدان ناشناس که در سال 2013 پس از آن از گمنامی برخاست اثبات یک نتیجه برجسته که یک کران بالایی بر روی شکاف بین اعداد اول متوالی قرار می دهد. چیزی در لارسن کلیک کرد. او نمی توانست از فکر کردن در مورد نظریه اعداد، و در مورد مسئله مرتبطی که ژانگ و دیگر ریاضیدانان هنوز امیدوار به حل آن بودند، دست بکشد: حدس اعداد اول دوقلو، که بیان می کند که بی نهایت جفت اعداد اول وجود دارند که تنها 2 با هم تفاوت دارند.
بعد از کار ژانگ که نشان داد بی نهایت جفت اعداد اول وجود دارند که کمتر از 70 میلیون تفاوت دارند، دیگران پریدند داخل تا این حد حتی بیشتر کاهش یابد. در عرض چند ماه، ریاضیدانان جیمز مینارد و ترنس تائو به طور مستقل بیانیه قوی تری را در مورد شکاف بین اعداد اول ثابت کرد. این شکاف از آن زمان به 246 کاهش یافته است.
لارسن می‌خواست برخی از ریاضیات زیربنای کار مینارد و تائو را بفهمد، "اما برای من تقریبا غیرممکن بود." مقالات آنها بسیار پیچیده بود. لارسن سعی کرد آثار مرتبط را بخواند، اما آن را نیز غیرقابل نفوذ یافت. او به آن ادامه داد و از نتیجه ای به نتیجه دیگر می پرید، تا اینکه سرانجام در فوریه 2021 به مقاله ای رسید که او هم زیبا و هم قابل درک می دانست. موضوع آن: اعداد کارمایکل، آن اعداد مرکب عجیبی که گاهی اوقات می توانند خود را به عنوان اول بگذرانند.
همه به جز پرایم
در اواسط قرن هفدهم، ریاضیدان فرانسوی، پیر دو فرما، نامه‌ای به دوست و معتمد خود فرنیکل دو بسی نوشت و در آن نامه‌ای را بیان کرد که بعداً به عنوان «قضیه کوچک» او شناخته شد. اگر N یک عدد اول است، پس bN - b همیشه مضرب است N، مهم نیست b است. به عنوان مثال، 7 یک عدد اول است، و در نتیجه، 27 – 2 (که برابر با 126 است) مضرب 7 است. به همین ترتیب، 37 – 3 مضرب 7 است و به همین ترتیب.
ریاضیدانان این پتانسیل را برای یک آزمایش کامل از اول یا مرکب بودن یک عدد مشاهده کردند. آنها می دانستند که اگر N اول است، bN - b همیشه مضرب است N. اگر عکس آن هم درست بود چه؟ یعنی اگر bN - b مضرب است N برای تمام ارزش های b، باید N نخست باشد؟
افسوس، معلوم شد که در موارد بسیار نادر، N می تواند این شرط را برآورده کند و همچنان کامپوزیت باشد. کوچکترین چنین عددی 561 است: برای هر عدد صحیح b, b561 - b همیشه مضربی از 561 است، حتی اگر 561 اول نباشد. اعدادی مانند اینها به نام ریاضیدان رابرت کارمایکل، که اغلب به انتشار اولین نمونه در سال 1910 نسبت داده می شود، نامگذاری شد (اگرچه ریاضیدان چک واسلاو شیمرکا به طور مستقل نمونه هایی را در سال 1885 کشف کرد).
ریاضیدانان می خواستند این اعداد را که بسیار شبیه اساسی ترین اجسام در نظریه اعداد، اعداد اول هستند، بهتر درک کنند. معلوم شد که در سال 1899 - یک دهه قبل از نتیجه کارمایکل - ریاضیدان دیگری به نام آلوین کورسلت تعریفی معادل ارائه کرده بود. او به سادگی نمی دانست که آیا اعدادی وجود دارد که مناسب این صورت حساب باشد یا خیر.
با توجه به معیار کورسلت، یک عدد N یک عدد کارمایکل است اگر و فقط اگر سه ویژگی را برآورده کند. اول اینکه باید بیش از یک عامل اصلی داشته باشد. دوم، هیچ عامل اصلی نمی تواند تکرار شود. و سوم، برای هر درجه اول p که تقسیم می کند N, p – 1 نیز تقسیم می کند N – 1. دوباره عدد 561 را در نظر بگیرید. برابر است با 3 × 11 × 17، بنابراین به وضوح دو ویژگی اول لیست Korselt را برآورده می کند. برای نشان دادن آخرین ویژگی، 1 را از هر عامل اول کم کنید تا 2، 10 و 16 به دست آورید. علاوه بر این، 1 را از 561 کم کنید. هر سه عدد کوچکتر مقسوم علیه 560 هستند. بنابراین عدد 561 یک عدد کارمایکل است.
اگرچه ریاضیدانان مشکوک بودند که تعداد بی نهایت اعداد کارمایکل وجود دارد، در مقایسه با اعداد اول نسبتاً کمی وجود دارد، که تعیین آنها را دشوار می کرد. سپس در سال 1994، رد آلفورد، اندرو گرانویل و کارل پومرانس پیشرفتی را منتشر کرد مقاله که در نهایت آنها ثابت کردند که در واقع بی نهایت از این شبه نخست وجود دارد.
متأسفانه، تکنیک هایی که آنها توسعه دادند به آنها اجازه نمی داد که چیزی در مورد ظاهر آن اعداد کارمایکل بگویند. آیا آنها به صورت خوشه هایی در امتداد خط اعداد با شکاف های بزرگ در بین آنها ظاهر شدند؟ یا همیشه می توانید شماره کارمایکل را در یک بازه زمانی کوتاه پیدا کنید؟ گرانویل گفت: «شما فکر می‌کنید اگر بتوانید ثابت کنید تعداد بی‌نهایتی از آنها وجود دارد، مطمئناً باید بتوانید ثابت کنید که هیچ شکاف بزرگی بین آنها وجود ندارد، که باید به خوبی از هم فاصله بگیرند.»
به ویژه، او و همکارانش امیدوار بودند که بیانیه‌ای را ثابت کنند که این ایده را منعکس می‌کند - که با توجه به تعداد کافی X، همیشه یک عدد کارمایکل بین آنها وجود خواهد داشت X و 2X. جان گرانتهام، ریاضیدان مؤسسه تحلیل‌های دفاعی که کارهای مرتبطی را انجام داده است، می‌گوید: «این روش دیگری برای بیان اینکه چقدر همه جا حاضر هستند، است.
اما برای چندین دهه، هیچ کس نتوانست آن را ثابت کند. پومرنس گفت: تکنیک‌های توسعه‌یافته توسط آلفورد، گرانویل و پومرنس «به ما این امکان را می‌دهد که نشان دهیم تعداد زیادی از اعداد کارمایکل وجود خواهد داشت، اما واقعاً به ما اجازه نمی‌داد که کنترل زیادی در مورد جایی که قرار است داشته باشیم. ”
سپس، در نوامبر 2021، گرانویل ایمیلی از لارسن که در آن زمان 17 سال داشت و در سال آخر دبیرستان بود، باز کرد. آ مقاله ضمیمه شده بود - و در کمال تعجب گرانویل، درست به نظر می رسید. او گفت: «این ساده ترین خواندنی نبود که تا به حال خوانده شد. «اما وقتی آن را خواندم، کاملاً مشخص بود که او در حال خرابکاری نیست. او ایده های درخشانی داشت.»
پومرانس که نسخه بعدی این اثر را خواند، موافقت کرد. او گفت: «اثبات او واقعاً بسیار پیشرفته است. این مقاله ای است که هر ریاضیدانی واقعاً به نوشتن آن افتخار می کند. و اینجا یک بچه دبیرستانی آن را می نویسد.»
کلید اثبات لارسن، کاری بود که او را در وهله اول به سمت اعداد کارمایکل کشاند: نتایج مینارد و تائو در مورد شکاف های اول.
بعید - غیرممکن نیست
هنگامی که لارسن برای اولین بار تصمیم گرفت نشان دهد که همیشه می توانید یک عدد کارمایکل را در یک بازه زمانی کوتاه بیابید، "به نظر می رسید که این به وضوح درست است، چقدر می توان آن را اثبات کرد؟" او گفت. او به سرعت متوجه شد که واقعاً می تواند بسیار سخت باشد. او گفت: "این مشکلی است که فناوری زمان ما را آزمایش می کند."
آلفورد، گرانویل و پومرنس در مقاله خود در سال 1994 نشان داده بودند که چگونه بی نهایت تعداد کارمایکل ایجاد کنند. اما آنها قادر به کنترل اندازه اعداد اولی که برای ساختن آنها استفاده می کردند، نبودند. این کاری است که لارسن باید انجام دهد تا اعداد کارمایکل را بسازد که اندازه آنها نسبتاً نزدیک باشد. سختی مشکل پدرش مایکل لارسن را نگران کرد. او گفت: "فکر نمی‌کردم غیرممکن باشد، اما فکر می‌کردم بعید است که او موفق شود." "من دیدم که او چقدر برای آن وقت صرف می کند ... و احساس کردم برای او بسیار ویرانگر است که این همه از خودش را به این کار بدهد و آن را بدست نیاورد."
با این حال، او بهتر از تلاش برای منصرف کردن پسرش می دانست. او گفت: «وقتی دانیل به چیزی که واقعاً علاقه‌اش دارد متعهد می‌شود، تا حد زیادی به آن پایبند می‌ماند.»
بنابراین لارسن به مقالات مینارد بازگشت - به‌ویژه، به کار نشان داد که اگر دنباله‌های خاصی از اعداد کافی بگیرید، زیر مجموعه‌ای از آن اعداد باید اول باشند. لارسن تکنیک های مینارد را اصلاح کرد تا آنها را با روش های مورد استفاده آلفورد، گرانویل و پومرانس ترکیب کند. این به او اجازه داد تا اطمینان حاصل کند که اعداد اولی که در نهایت به آنها رسید، از نظر اندازه متفاوت هستند - به اندازه ای که اعداد کارمایکل را تولید کند که در بازه های مورد نظر او قرار می گیرند.
گرانویل گفت: «او بیش از آنچه ما تا به حال داشته‌ایم کنترل دارد. و او این را از طریق استفاده هوشمندانه از آثار مینارد به دست آورد. استفاده از این پیشرفت در شکاف های کوتاه بین اعداد اول کار آسانی نیست کائیسا ماتوماکی، ریاضیدان دانشگاه تورکو فنلاند. "خیلی خوب است که او می تواند آن را با این سوال در مورد اعداد کارمایکل ترکیب کند."
در واقع، استدلال لارسن فقط به او اجازه نداد نشان دهد که یک عدد کارمایکل همیشه باید بین X و 2X. اثبات او برای فواصل بسیار کوچکتر نیز کار می کند. اکنون ریاضیدانان امیدوارند که به آشکار شدن جنبه های دیگر رفتار این اعداد عجیب نیز کمک کند. گفت: "این یک ایده متفاوت است." توماس رایت، یک ریاضیدان در کالج ووفورد در کارولینای جنوبی است که روی شبه نخست کار می کند. این موضوع چیزهای زیادی را در مورد اینکه چگونه می‌توانیم چیزهایی را در مورد اعداد کارمایکل ثابت کنیم، تغییر می‌دهد.»
گرانتام موافقت کرد. او گفت: "اکنون می توانید کارهایی را انجام دهید که هرگز فکرش را نمی کردید."
در همین حال، لارسن سال اول تحصیلی خود را در موسسه فناوری ماساچوست آغاز کرده است. او مطمئن نیست که بعداً روی چه مشکلی ممکن است کار کند، اما مشتاق است آنچه را که در بیرون وجود دارد یاد بگیرد. او گفت: «من فقط در دوره‌های آموزشی شرکت می‌کنم... و سعی می‌کنم ذهنی باز داشته باشم.
گرانتام گفت: «او همه این کارها را بدون تحصیلات لیسانس انجام داد. "من فقط می توانم تصور کنم که او در مقطع کارشناسی ارشد چه چیزی را به دست خواهد آورد."
