بزرگترین کوچکترین مثلث کوچکتر شده | مجله کوانتا

مربعی را در نظر بگیرید که در داخل آن تعداد زیادی نقطه وجود دارد. سه تا از این نقاط را بگیرید و می توانید یک مثلث بسازید. چهار نقطه چهار مثلث مختلف را تعریف می کنند. ده نقطه 120 مثلث را تعریف می کند. اعداد از آنجا به سرعت رشد می کنند - 100 نقطه 161,700 مثلث مختلف را تعریف می کند. البته هر یک از آن مثلث ها دارای ناحیه خاصی هستند.

هانس هایلبرون، ریاضیدان آلمانی که قبل از جنگ جهانی دوم از کشورش گریخت و در انگلستان اقامت گزید، در اواخر دهه 1940 وقتی گروهی از سربازان را بیرون پنجره خود دید، به این مثلث ها فکر کرد. ظاهراً سربازان در ترکیب نبودند، که او را به این فکر انداخت: اگر وجود داشته باشد n سربازان داخل یک مربع، اندازه بزرگترین کوچکترین مثلث ممکن که توسط سه تای آنها تعریف شده است چقدر است؟ هایلبرون متعجب بود که چگونه می‌توان سربازان (یا برای سادگی ریاضی، نقاط) را ترتیب داد تا اندازه کوچک‌ترین مثلث را به حداکثر برسانند.

بیان مسئله ساده است، اما پیشرفت در مسئله مثلث هایلبرون، همانطور که قبلاً نامیده شد، متوقف شده است و نتایج به طور کامل در دهه 1980 خشک شد. سپس در ماه مه گذشته، سه ریاضیدان - الکس کوهن, کاسمین پوهواتا و دیمیتری زاخاروف - اعلام کرد الف کلاه جدید به اندازه کوچکترین مثلث آنتونی کاربری، ریاضیدان دانشگاه ادینبورگ، گفت: "من فکر می کنم این یک نتیجه خیره کننده است."

محققان با وجود انتظار طولانی برای پیشرفت، با انگیزه درهم‌تنیدگی پیوندهای آن با سایر حوزه‌های ریاضی، در طول سال‌ها به کار روی مسئله مثلث هایلبرون ادامه دادند. پوهواتا، استاد دانشگاه اموری در آتلانتا، گفت: «چیزهایی که به آن متصل است تا آن را زنده کند. ارتباط نزدیکی با مسائل مربوط به اشکال متقاطع دارد که به نوبه خود به نظریه اعداد و تحلیل فوریه - مطالعه توابع پیچیده ساخته شده از امواج ساده - متصل می شود.

کوهن، دانشجوی کارشناسی ارشد در موسسه فناوری ماساچوست، سال گذشته به طور تصادفی با این شبکه از اتصالات برخورد کرد. او در حال بررسی یک بررسی قدیمی از مشکل مثلث هایلبرون توسط کلاوس راث، پناهنده دیگری از نازی ها بود که در کودکی به بریتانیا گریخت. (راث که در سال 2015 درگذشت، اولین ریاضیدان بریتانیایی بود که مدال فیلدز را به دست آورد.)

کوهن ایده های بررسی راث را با یک تصویر ساده تجسم کرد: مربعی که توسط دو نوار ضخیم متقاطع شده است، با یک خط نازک در وسط هر کدام. کوهن همانطور که نمودار خود را مطالعه می کرد، متوجه شد که ممکن است به ایده هایی مرتبط باشد که مشاورش، لری گوث، در جلسه اخیر گروه خواندن مطرح کرده بود. اما گوث اصلاً در مورد مثلث صحبت نکرده بود.

کوهن گفت: «خیلی سریع متوجه شدم که این دو روش اساساً معادل هستند. من واقعاً در مورد مشکل مثلث هیجان زده شدم.

یک روز در اتاق مشترک دپارتمان ریاضی MIT، کوهن به طور غیرمنتظره متوجه شد که پوهواتا، که برای سخنرانی آمده بود، و زاخاروف، یکی از دانشجویان فارغ التحصیل دانشگاه MIT، نیز روی مسئله مثلث هایلبرون کار می کردند. علاوه بر این، آنها همان لینک را پیدا کرده بودند. این سه شروع به همکاری کردند. هفت ماه بعد، آنها به پیشرفت خود دست یافتند. مقاله آنها حتی زمینه های جدیدی از ریاضیات را به ارمغان می آورد. توماس بلوم از دانشگاه آکسفورد گفت: «آنها از حجم عظیمی از ماشین آلات و بینش های متفاوت استفاده می کنند.

یک فرضیه حذف شد

با قرار دادن سه نقطه بسیار نزدیک به هم، می توانید به راحتی کوچکترین مثلث را در یک چیدمان به طور دلخواه کوچک کنید. (در شدیدترین حالت، سه نقطه در راستای یکدیگر مثلثی با مساحت صفر را تشکیل می دهند.) اما تلاش برای بزرگ نگه داشتن کوچکترین مثلث دشوارتر است. همانطور که به اضافه کردن نقاط بیشتر ادامه می دهید، کوچکترین مثلث مجبور می شود بسیار کوچک باشد - نقاط جدید فقط می توانند تا حدی با نقاط موجود فاصله داشته باشند. نشان دادن اینکه کوچکترین مثلث نمی تواند مساحتی بزرگتر از 1/( داشته باشد نسبتاً آسان است.n − 2) با تقسیم مربع به مثلث های غیر همپوشانی.

اما هایلبرون فکر می‌کرد که این محدودیت حتی کوچک‌تر از آن است. او حدس زد که مهم نیست که نقاط چگونه در مربع چیده شده اند، نمی تواند کوچکترین مثلثی با مساحت بزرگتر از حدود 1/ وجود داشته باشد.n²، عددی که خیلی سریعتر کوچک می شود n رشد می کند

او اشتباه می کرد.

در سال 1980، ریاضیدانان مجارستانی، یانوس کوملو، یانوس پینتز و اندره سمردی الگویی پیدا کرد از نقاطی که کوچکترین مثلث آنها دارای مساحت کمی بزرگتر از 1/n². در مقاله جداگانه ای که در همان زمان منتشر شد، آنها همچنین نشان دادند که تنظیم آن غیرممکن است n نقطه برای ایجاد کوچکترین مثلث بزرگتر از حدود 1/n^8/7است. وقتی که n بزرگ است، این بسیار کوچکتر از 1/n، اما بسیار بزرگتر از 1/n².

این نتایج برای بیش از 40 سال باقی ماند. بلوم گفت: «بهبود [محدوده] در هر جهت بسیار سخت بود و نیاز به تحلیل فنی و نبوغ زیادی داشت.

کاربری افزود: "شما خیلی سریع در باتلاق کاملی از چیزها گرفتار می شوید."

در حالی که سازه ای که در سال 1980 کشف شد، با بزرگترین مثلث شناخته شده باقی مانده است، کوهن، پوهواتا و زاخاروف برای اولین بار در چهار دهه گذشته موفق به پایین آوردن حد بالایی شدند.

تکامل همگرا

پوهواتا تا زمانی که کوهن را ملاقات کرد، دو سال بود که روی مسئله مثلث هایلبرون کار می کرد. در تابستان 2020، او دانشجویان پژوهش تابستانی در دانشگاه ییل را به کار بر روی نسخه‌های با ابعاد بالاتر از این مسئله داد - برای مثال، کوچک‌ترین شکل‌های کوچک‌ترین حجمی که در میان نقاط پراکنده در یک مکعب سه‌بعدی ظاهر می‌شوند.

به عنوان بخشی از آن پروژه، پوهواتا تمام کارهای قبلی را در مورد این مشکل بازبینی کرد. برگشت در 1951راث جستجوی مثلث های کوچک را به دو قسمت تقسیم کرده بود: ابتدا یک جفت نقطه برای تشکیل قاعده مثلث پیدا کنید و سپس نقطه سوم را برای تکمیل مثلث پیدا کنید. این استراتژی اساساً جستجو برای کوچکترین مثلث را به عنوان مطالعه نقاط و مستطیل های متقاطع چارچوب بندی می کند - رویکردی که در سال 1972 توسط ولفگانگ اشمیت اصلاح شد.

با خواندن مقاله اشمیت، پوهواتا ارتباطی با روش بالا-کم شناسایی کرد - تکنیکی که گوث و همکارانش در سال 2017 برای تخمین همپوشانی بین مجموعه ای از نوارهای مستطیلی و مجموعه ای از دیسک ها توسعه دادند. او گفت: «این یک لحظه روانی مهم برای من بود.

در سال 2021، پوهواتا ایده های خود را با زاخاروف مطرح کرد. این دو زمانی که زاخاروف هنوز در مسکو در مقطع لیسانس بود، انتشار را با هم شروع کرده بودند. جیکوب فاکس، ریاضیدان دانشگاه استنفورد، می گوید: «[زاخاروف] به گونه ای که در سنین جوانی یک محقق ارشد بود کارهای قابل توجهی انجام می داد.

زاخاروف در ابتدا نسبت به مسئله مثلث هایلبرون بدبین بود. "من فکر کردم که خوب، این 8/7 40 سال آنجا ماند، پس من کی هستم که آن را بشکنم؟" او گفت. "من بیشتر می خواستم بفهمم که چگونه کار می کند."

پس از برخورد با یکدیگر در اکتبر 2022، کوهن، پوهواتا و زاخاروف به زودی مانعی را که کوملو، پینتز و سمردی ناآگاهانه با آن روبرو شده بودند، مشخص کردند. کوهن گفت: «ترتیب بسیار خاصی از نقاط وجود دارد که منجر به این بدترین سناریو می شود، جایی که آنها نمی توانند بهتر از 8/7 انجام دهند. "نقاط را می توان متمرکز یا پخش کرد. بدترین حالت زمانی است که ترکیبی باشد.» این چیدمان دارای نقاطی بود که در مقیاس بزرگ پخش شده بودند، اما اگر روی مربع های فرعی کوچک در مربع واحد بزرگنمایی کنید، الگوهای منظمی را مشاهده خواهید کرد.

کوهن، پوهواتا و زاخاروف متوجه شدند که می توانند با مطالعه ابعاد خوشه های کوچک نقاط پیشرفت کنند. برای غیر ریاضیدانان، ابعاد همیشه اعداد کامل هستند: یک ورق کاغذ دو بعدی است. یک آجر سفالی سه بعد دارد.

وقتی ابعاد مجموعه ای از نقاط را در نظر بگیرید، ممکن است چیزها عجیب و غریب شوند. یک نقطه به طور معمول صفر بعدی در نظر گرفته می شود. اما دو مجموعه متناهی از نقاط می توانند ساختارهای کاملاً متفاوتی داشته باشند. یکی ممکن است 10 نقطه داشته باشد که مطیعانه در یک خط مستقیم رامرود حرکت می کند، در حالی که دیگری 10 نقطه در کل مربع واحد پاشیده است.

فلیکس هاسدورف، ریاضیدان اوایل قرن بیستم، برای به تصویر کشیدن ساختار حتی عجیب‌ترین مجموعه‌ای از نقاط، مفهوم جدیدی از بعد را ارائه کرد. طبق این تعریف، 20 نقطه در یک خط یک بعدی هستند، در حالی که 10 نقطه به طور مساوی روی یک مربع پخش می شوند، دو بعدی هستند. اما در این دنیا، ابعاد لازم نیست اعداد صحیح باشند، و یک مجموعه تک بعدی می‌تواند خطی نباشد، بلکه فراکتال باشد و لایه‌های نامتناهی از الگوهای پیچیده را در خود جای دهد. بسته به جزئیات این الگوها، مجموعه نقاط حتی می توانند ابعادی بزرگتر از 10 اما کمتر از 0 داشته باشند.

کوهن، پوهواتا و زاخاروف یک قضیه 1953 توسط جان مارستراند که تخمین کوملو، پینتز و سمردی را بر حسب بعد هاسدورف بازنویسی کرد - اما فقط برای ابعاد بزرگتر از 1. برای بهبود تخمین، کوهن، پوهواتا و زاخاروف باید راهی برای تعمیم نتیجه ماستراند به مجموعه‌ها بیابند. که ابعاد آن کوچکتر از 1 بود.

ایجاد ارتباطات

کوهن، پوهواتا و زاخاروف نیازی به فکر کردن طولانی نداشتند. همانطور که اتفاق افتاد، یک مقاله توسط توماس اورپونن, پابلو شمرکین و هونگ وانگ که به تازگی بوده است ارسال شده بصورت آنلاین قضیه 70 ساله ماستراند را به مجموعه هایی که بعد آنها کمتر از 1 بود بسط داد.

کوهن تا فوریه در مورد این مقاله چیزی یاد نگرفت. هنگامی که این کار را کرد، به سرعت آن را به پوهواتا و زاخاروف منتقل کرد. در اواخر ماه مه، آنها مقاله خود را به صورت آنلاین پست کردند و ثابت کردند که کوچکترین مثلث در میان است n نقاط یک مربع واحد هرگز نمی توانند بزرگتر از 1/n^{8 / 7 + 1 / 2000}.

شمرکین پس از دیدن اعلام شده در توییتر، کاغذ مثلث را به هوس خواند. او حتی قبل از آن از مسئله مثلث هایلبرون آگاه نبود، بنابراین وقتی اشاره به اثبات خود را دید، شگفت زده شد. «این کاربرد مستقیم کاری نیست که ما انجام می دهیم. کارهای بینش‌گرانه، خلاقانه و فنی زیادی در آن وجود دارد.» "برای من، این یک احساس عالی بود."

بلوم نیز تحت تأثیر قرار گرفت. می‌توانستم برای مدت طولانی به آن مقاله نگاه کنم و هرگز فکر نکنم، اوه، این برای مسئله مثلث صدق می‌کند.

در حالی که نتیجه جدید توان کوملو، پینتز و سمردی را تنها به اندازه یک کسری کوچک بهبود می بخشد، مشکل مثلث هیلبرون درازمدت را احیا کرده است. کاربری گفت: «شما ممکن است نگاهی به آن بیندازید و بگویید، خمیازه، خمیازه، خمیازه، به نظر تفاوت چندانی با آنچه در سال 1982 بود، ندارد. اما زمان بسیار زیادی از سال 1982 گذشته است.

کوهن، پوهواتا و زاخاروف با استفاده از روش بالا-کم و کارهای اورپونن، شمرکین و وانگ، مجموعه جدیدی از پیوندهای بین مسئله مثلث هایلبرون و بقیه ریاضیات را آشکار کردند. همانطور که بلوم می‌گوید، مسئله مثلث به عنوان «مسئله‌ای واقعاً خوب، واقعاً سخت است که نمی‌دانیم چه کنیم. اما آنها گفته اند که این به مقدار زیادی چیزهای دیگر مرتبط است."

برخی معتقدند که پاسخ واقعی به مسئله مثلث هایلبرون خیلی بزرگتر از حدس اولیه او از 1/ نخواهد بود.n². «اگر امتیازها را به روشی ساختاریافته قرار دهم، شکست می خورم. اگر امتیازها را به صورت تصادفی قرار دهم، شکست می خورم. بلوم گفت: این نمی تواند خیلی ساختارمند باشد، نمی تواند خیلی تصادفی باشد، بنابراین احتمالا وجود ندارد. اما زاخاروف به پاسخ متفاوتی امیدوار است. شهودهایی که از پاسخ 1/ حمایت می کنندn² او گفت که "نوعی خسته کننده هستند". "من خیلی ترجیح می دهم اگر اینطور باشد n^3/2"