ریاضی اسرارآمیز میزهای بیلیارد | مجله کوانتا

در فیلم دیزنی محصول 1959 دونالد در سرزمین ریاضی، دونالد داک، با الهام از توصیفات راوی از هندسه بیلیارد، با انرژی به توپ نشانه می زند، قبل از اینکه در نهایت به توپ های مورد نظر برخورد کند، آن را به دور میز می فرستد. دونالد می پرسد: "چگونه آن را برای ریاضیات دوست داری؟"

از آنجایی که میزهای بیلیارد مستطیلی دارای چهار دیوار هستند که در زوایای قائم به هم می رسند، مسیرهای بیلیارد مانند دونالد قابل پیش بینی و به خوبی قابل درک هستند - حتی اگر انجام آنها در عمل دشوار باشد. با این حال، ریاضیدانان محقق هنوز نمی توانند به سؤالات اساسی در مورد مسیرهای احتمالی توپ های بیلیارد روی میزهایی به شکل چند ضلعی های دیگر (شکل هایی با اضلاع صاف) پاسخ دهند. حتی مثلث ها، ساده ترین چند ضلعی ها، هنوز رمز و راز دارند.

آیا همیشه می توان به توپ ضربه زد تا به نقطه شروع خود بازگردد و در همان جهت حرکت کند و به اصطلاح یک مدار دوره ای ایجاد کند؟ هیچکس نمیداند. برای سایر اشکال پیچیده تر، مشخص نیست که آیا می توان توپ را از هر نقطه روی میز به هر نقطه دیگر روی میز زد.

اگرچه به نظر می‌رسد که این سؤالات به خوبی در محدوده هندسه که در دبیرستان تدریس می‌شود، جا می‌شوند، تلاش‌ها برای حل آن‌ها مستلزم ارائه ایده‌هایی از زمینه‌های متفاوت از جمله سیستم‌های دینامیکی، توپولوژی و هندسه دیفرانسیل بوده است. مانند هر مسئله بزرگ ریاضیات، کار روی این مسائل ریاضیات جدیدی را ایجاد کرده است و به دانش و دانش پیشرفته در آن زمینه های دیگر بازخورد داده است. با این حال، با وجود این همه تلاش، و بینشی که کامپیوترهای مدرن به ارمغان آورده اند، این مشکلات به ظاهر ساده سرسختانه در برابر حل مقاومت می کنند.

در اینجا چیزی است که ریاضیدانان پس از شلیک حماسی دانلد داک در مورد بیلیارد آموخته اند.

آنها معمولاً فرض می‌کنند که توپ بیلیارد آنها یک نقطه بی‌بعد کوچک و بی‌بعد است و با تقارن کامل از دیوارها می‌پرد و در همان زاویه‌ای که به آن می‌رسد حرکت می‌کند.

بدون اصطکاک، توپ به طور نامحدود حرکت می کند، مگر اینکه به گوشه ای برسد، که توپ را مانند یک جیب متوقف می کند. دلیل اینکه تجزیه و تحلیل ریاضی بیلیارد بسیار دشوار است این است که دو شلیک تقریباً یکسان که در دو طرف یک گوشه فرود می آیند می توانند مسیرهای بسیار متفاوتی داشته باشند.

یک روش کلیدی برای تجزیه و تحلیل بیلیارد چند ضلعی این است که توپ را به عنوان پرش از لبه میز تصور نکنید، بلکه تصور کنید که هر بار که توپ به دیوار برخورد می کند، به یک نسخه جدید از میز که روی آن واژگون می شود ادامه می دهد. لبه، یک تصویر آینه ای ایجاد می کند. این فرآیند (که در زیر مشاهده می‌شود)، به نام باز شدن مسیر بیلیارد، به توپ اجازه می‌دهد تا در یک مسیر مستقیم ادامه دهد. با تا کردن میزهای تصور شده روی همسایه‌هایشان، می‌توانید مسیر واقعی توپ را بازیابی کنید. این ترفند ریاضی امکان اثبات چیزهایی را در مورد مسیری که در غیر این صورت دیدن آنها چالش برانگیز بود را ممکن می سازد.

به عنوان مثال، می توان از آن برای نشان دادن اینکه چرا جداول مستطیلی ساده دارای مسیرهای تناوبی بی نهایت زیادی در هر نقطه هستند استفاده کرد. استدلال مشابهی برای هر مستطیلی وجود دارد، اما برای مشخص بودن، جدولی را تصور کنید که عرض آن دو برابر طول آن است.

فرض کنید می خواهید یک مدار تناوبی که از جدول عبور می کند پیدا کنید n بار در جهت طولانی و m بار در جهت کوتاه از آنجایی که هر تصویر آینه ای از مستطیل مربوط به پرتاب توپ از دیوار است، برای اینکه توپ به نقطه شروع خود بازگردد که در همان جهت حرکت می کند، مسیر آن باید چندین بار در هر دو جهت از جدول عبور کند. بنابراین m و n باید یکنواخت باشد شبکه‌ای از مستطیل‌های یکسان را بچینید، که هر کدام به‌عنوان تصویر آینه‌ای از همسایگان خود دیده می‌شوند. یک پاره خط از یک نقطه در جدول اصلی به نقطه یکسان روی یک کپی رسم کنید n جداول دور در جهت طولانی و m جداول دور در جهت کوتاه. اگر مسیر از گوشه ای می گذرد، نقطه اصلی را کمی تنظیم کنید. در اینجا یک مثال است که در آن n = 2 و m = 6. وقتی مسیر به سمت بالا جمع می شود، یک مسیر دوره ای ایجاد می کند، همانطور که در مستطیل سبز نشان داده شده است.

یک نابرابری مثلثی

بیلیارد در مثلث ها که هندسه قائم الزاویه خوبی از مستطیل ها ندارند، پیچیده تر است. همانطور که ممکن است از هندسه دبیرستان به یاد داشته باشید، چندین نوع مثلث وجود دارد: مثلث های حاد، که در آن هر سه زاویه داخلی کمتر از 90 درجه هستند. مثلث های قائم الزاویه که دارای زاویه 90 درجه هستند. و مثلث های منفرد که یک زاویه بیش از 90 درجه دارند.

میزهای بیلیارد به شکل مثلث های حاد و قائم الزاویه دارای مسیرهای تناوبی هستند. اما هیچ کس نمی داند که آیا این موضوع برای مثلث های کج نیز صادق است یا خیر.

برای پیدا کردن یک مسیر تناوبی در یک مثلث حاد، یک خط عمود از هر رأس به طرف مقابل بکشید، همانطور که در سمت چپ، در زیر مشاهده می کنید. همانطور که در سمت راست مشاهده می شود، نقاطی را که زوایای قائم به وجود می آیند به هم بپیوندید تا یک مثلث تشکیل دهید.

این مثلث محاطی یک مسیر بیلیارد تناوبی به نام مدار فاگنانو است که به نام جووانی فاگنانو نامگذاری شده است، که در سال 1775 نشان داد که این مثلث کوچکترین محیط را در بین تمام مثلث های محاطی دارد.

در اوایل دهه 1990، فرد هولت در دانشگاه واشنگتن و گریگوری گالپرین و همکارانش در دانشگاه دولتی مسکو به طور مستقل نشان داد که هر مثلث قائم الزاویه دارای مدارهای تناوبی است. یک راه ساده برای نشان دادن این موضوع این است که مثلث را در مورد یک پا و سپس طرف دیگر منعکس کنید، همانطور که در زیر نشان داده شده است.

با مسیری شروع کنید که در زاویه قائمه با هیپوتنوس (ضلع بلند مثلث) قرار دارد. هیپوتنوز و بازتاب دوم آن موازی هستند، بنابراین یک پاره خط عمودی که به آنها می پیوندد مطابق با خط سیری است که برای همیشه به جلو و عقب می پرد: توپ با زاویه قائم از هیپوتنوز خارج می شود، از هر دو پا می پرد، در سمت راست به هیپوتنوس باز می گردد. زاویه، و سپس مسیر خود را دوباره طی می کند.

اما مثلث های مبهم همچنان یک راز باقی می مانند. گالپرین و همکارانش در مقاله خود در سال 1992 روش‌های مختلفی برای انعکاس مثلث‌های مبهم ارائه کردند، به گونه‌ای که به شما امکان می‌دهد مدارهای تناوبی ایجاد کنید، اما این روش‌ها فقط برای برخی موارد خاص کار می‌کردند. سپس در سال 2008، ریچارد شوارتز در دانشگاه براون نشان داد که تمام مثلث های منفرد با زوایای 100 درجه یا کمتر شامل یک مسیر دوره ای است. رویکرد او شامل تقسیم مسئله به چند مورد و تأیید هر مورد با استفاده از ریاضیات سنتی و کمک رایانه بود. در سال 2018، ژاکوب گاربر، بویان مارینوف، کنت مور و جورج توکارسکی در دانشگاه آلبرتا این آستانه را افزایش داد تا 112.3 درجه (توکارسکی و مارینوف بیش از یک دهه را سپری کرده بود تعقیب این هدف.)

چرخش توپولوژیکی

روش دیگری برای نشان دادن اینکه اگر همه زوایا منطقی هستند - یعنی می توان آنها را به صورت کسری بیان کرد - استفاده شده است - مثلث های مبهم با زوایای حتی بزرگتر باید مسیرهای تناوبی داشته باشند. این رویکرد به جای کپی کردن یک چند ضلعی در یک صفحه مسطح، کپی هایی از چند ضلعی ها را بر روی سطوح توپولوژیکی، دونات هایی با یک یا چند سوراخ در آنها نگاشت می کند.

اگر یک مستطیل را روی ضلع کوتاه آن منعکس کنید، و سپس هر دو مستطیل را روی طولانی ترین ضلعشان منعکس کنید، چهار نسخه از مستطیل اصلی درست کنید، و سپس بالا و پایین و سمت چپ و راست را به هم بچسبانید، یک دونات درست کرده اید. یا چنبره، همانطور که در زیر نشان داده شده است. مسیرهای بیلیارد روی میز با مسیرهای روی چنبره مطابقت دارد و بالعکس.

در مقاله ای برجسته در سال 1986، هوارد ماسور از این روش برای نشان دادن اینکه تمام جداول چند ضلعی با زوایای گویا دارای مدارهای تناوبی هستند استفاده کرد. رویکرد او نه تنها برای مثلث‌های مبهم، بلکه برای اشکال بسیار پیچیده‌تر نیز کارآمد بود: مثلاً میزهای ۱۰۰ ضلعی نامنظم یا چندضلعی‌هایی که دیوارهای آن‌ها زیگ و زاگ ایجاد می‌کنند، مدارهای تناوبی دارند، تا زمانی که زاویه‌ها منطقی باشند.

تا حدودی قابل توجه است که وجود یک مدار تناوبی در یک چند ضلعی دلالت بر وجود بی نهایت زیاد دارد. تغییر مسیر فقط اندکی باعث ایجاد خانواده ای از مسیرهای دوره ای مرتبط می شود.

مشکل روشنایی

اشکال با گوشه و شکاف باعث ایجاد یک سوال مرتبط می شود. این مشکل به جای پرسیدن در مورد مسیرهایی که به نقطه شروع خود باز می گردند، این سوال را مطرح می کند که آیا مسیرها می توانند از هر نقطه در جدول مشخص بازدید کنند یا خیر. این مشکل روشنایی نامیده می‌شود، زیرا می‌توانیم با تصور کردن پرتو لیزری که از دیوارهای آینه‌ای که میز بیلیارد را احاطه کرده است، به آن فکر کنیم. ما می‌پرسیم که آیا با توجه به دو نقطه روی یک جدول خاص، می‌توانید همیشه یک لیزر (به عنوان یک پرتو بی‌نهایت نازک نور) از یک نقطه به نقطه دیگر بتابانید. به بیان دیگر، اگر یک لامپ را که به یکباره در همه جهات می تابد، در نقطه ای روی میز قرار دهیم، آیا کل اتاق را روشن می کند؟

دو خط اصلی تحقیق در مورد این مشکل وجود دارد: پیدا کردن اشکالی که نمی‌توان آنها را روشن کرد و اثبات اینکه کلاس‌های بزرگی از اشکال می‌توانند باشند. در حالی که یافتن اشکال عجیب و غریبی که نمی توانند روشن شوند را می توان از طریق کاربرد هوشمندانه ریاضیات ساده انجام داد، اثبات اینکه بسیاری از اشکال را می توان روشن کرد تنها با استفاده از ماشین های سنگین ریاضی امکان پذیر بوده است.

در 1958، راجر پنروز، ریاضیدانی که برنده شد 2020 جایزه نوبل فیزیک، یک جدول منحنی پیدا کرد که در آن هر نقطه در یک منطقه نمی تواند نقطه ای در منطقه دیگر را روشن کند. برای چندین دهه، هیچ کس نتوانست چند ضلعی را که دارای همان ویژگی باشد، بیابد. اما در سال 1995، توکارسکی از یک واقعیت ساده در مورد مثلث ها برای ایجاد یک چند ضلعی 26 وجهی بلوکی با دو نقطه غیرقابل دسترس استفاده کرد که در زیر نشان داده شده است. یعنی پرتو لیزری که از یک نقطه شلیک می شود، صرف نظر از جهت آن، نمی تواند به نقطه دیگر برخورد کند.

ایده کلیدی که توکارسکی هنگام ساخت میز مخصوص خود استفاده کرد این بود که اگر پرتو لیزر در یکی از زوایای حاد در مثلث 45-45-90 درجه شروع شود، هرگز نمی تواند به آن گوشه بازگردد.

میز دندانه دار او از 29 مثلث ساخته شده است که برای استفاده هوشمندانه از این واقعیت چیده شده اند. در سال 2019 آمیت وولکیکه در آن زمان دانشجوی کارشناسی ارشد در دانشگاه تل آویو بود، همین تکنیک را در مورد آن به کار برد یک شکل تولید کند با 22 ضلع (در زیر نشان داده شده است)، که او ثابت کرد که کمترین تعداد اضلاع ممکن برای شکلی است که دارای دو نقطه داخلی است که یکدیگر را روشن نمی کنند.

اثبات نتایج در جهت دیگر بسیار دشوارتر بوده است. در سال 2014، مریم میرزاخانی، ریاضیدان دانشگاه استنفورد، اولین زنی بود که برنده مدال فیلدزمعتبرترین جایزه ریاضی، برای کارش بر روی فضاهای مدول سطوح ریمان - نوعی تعمیم دونات هایی که ماسور برای نشان دادن اینکه همه جداول چند ضلعی با زوایای منطقی دارای مدارهای تناوبی هستند، استفاده کرد. در سال 2016، ساموئل للیور دانشگاه پاریس ساکلی، تیری مونتیل مرکز ملی تحقیقات علمی فرانسه و باراک ویس دانشگاه تل آویو تعدادی از نتایج میرزاخانی را به کار برد نمایش دادن که هر نقطه در یک چند ضلعی گویا همه نقاط را به جز تعداد محدودی روشن می کند. ممکن است نقاط تاریک جدا شده ای وجود داشته باشد (مانند نمونه های توکارسکی و وولکی) اما هیچ منطقه تاریکی مانند نمونه پنروز وجود نداشته باشد، که دیوارهای منحنی به جای دیوارهای مستقیم دارد. که در مقاله Wolecki در سال 2019، او این نتیجه را با اثبات اینکه فقط تعداد محدودی از نقاط غیر قابل روشن وجود دارد، تقویت کرد.

با ناراحتی، میرزاخانی درگذشت در سال 2017 در سن 40 سالگی، پس از مبارزه با سرطان. به نظر می‌رسید کار او با عکس‌های ترفندی در سالن‌های استخر فاصله زیادی داشته باشد. و با این حال، تجزیه و تحلیل مسیرهای بیلیارد نشان می دهد که چگونه حتی انتزاعی ترین ریاضیات می توانند به دنیایی که در آن زندگی می کنیم متصل شوند.