Lähikuva paljastaa äärettömän kaavion sulamispisteen | Quanta-lehti

Vuonna 2008 matemaatikko Oded Schramm kuoli vaellusonnettomuudessa Cascaden vuoristossa noin 50 mailia Seattlesta itään. Vaikka hän oli vain 46-vuotias, hän oli rakentanut täysin uusia matematiikan alueita.

"Hän oli loistava matemaatikko", sanoi Itai Benjamini, matemaatikko Weizmann Institute of Sciencessa ja Schrammin ystävä ja yhteistyökumppani. "Erittäin luova, erittäin tyylikäs, erittäin omaperäinen."

Hänen esittämät kysymykset työntäävät edelleen todennäköisyysteorian ja tilastollisen fysiikan rajoja. Monet näistä kysymyksistä koskevat matemaattisia rakenteita, joissa on faasimuutos – äkillinen makroskooppinen muutos, kuten jään sulaminen vedeksi. Aivan kuten eri materiaaleilla on erilaiset sulamispisteet, myös matemaattisten rakenteiden faasisiirtymät vaihtelevat.

Schramm arveli, että vaihesiirtymä perkolaatioksi kutsutussa prosessissa voidaan arvioida käyttämällä vain lähikuvaa järjestelmästä - jota kutsutaan paikalliseksi perspektiiviksi - monille tärkeille matemaattisille rakenteille. Koko matkan loitontaminen ja koko asian katsominen ei muuta laskelmaa merkittävästi. Viimeisten 15 vuoden aikana matemaatikot ovat pilkkoneet pieniä osia arveluista, mutta tähän mennessä he eivät ole kyenneet ratkaisemaan sitä täysin.

Jonkin sisällä esipainettu lokakuussa, Tom Hutchcroft California Institute of Technologyn ja hänen tohtoriopiskelijansa Philip Easo osoitti Schrammin paikallisoletuksen. Heidän todisteensa perustuu tärkeimpiin ideoihin todennäköisyysteorialta ja muilta matematiikan aloilta, joita he yhdistivät taitavasti.

"Se on merkittävä lehti. Se on pitkän työn kertymä", Benjamini sanoi.

Äärettömät klusterit

Sana "perkolaatio" viittasi alun perin nesteen liikkumiseen huokoisen väliaineen, kuten kahvinporojen läpi virtaavan veden tai kiven halkeamien läpi tihkuvan öljyn läpi.

Vuonna 1957 matemaatikot Simon Ralph Broadbent ja John Michael Hammersley kehittivät tämän fysikaalisen prosessin matemaattisen mallin. Tästä mallista on vuosikymmenten aikana tullut oma tutkimuskohde. Matemaatikot tutkivat perkolaatiota, koska se saavuttaa tärkeän tasapainon: Asennus on yksinkertainen, mutta siinä on monimutkaisia ​​ja hämmentäviä ominaisuuksia.

"Se on eräänlainen kanoninen malli matemaatikoille", Hutchcroft sanoi. ”Asioita voi ajatella visuaalisesti. Se tekee siitä todella mukavaa työskennellä."

Perkolaatio alkaa graafilla, joka on kokoelma kärkipisteitä (pisteitä), jotka voidaan yhdistää reunoilla (viivoilla). Yksi yksinkertaisimmista esimerkeistä on neliöruudukko, jonka kärjet ovat rivissä muodostamaan neliöiden kulmat ja reunat, jotka yhdistävät joitain niistä.

Vähän ennen kuolemaansa Schramm arveli, että Grimmettin ja Marstrandin lause voitaisiin yleistää. Hän ajatteli, että perkolaatiokynnys määräytyy kokonaan lähikuvan eli "mikroskooppisen" perspektiivin perusteella suurelle kaavioluokalle, joka tunnetaan transitiivisina kaavioina.

Vuonna 2009 Benjamini, Asaf Nachmias ja Yuval Peres osoittautui Schrammin paikallisoletus, kuten se nykyään tunnetaan, tietyntyyppisestä transitiivisesta graafista, joka muistuttaa puuta. Schramm oli kuitenkin olettanut, että se pätee kaikkiin transitiivisiin kaavioihin (poikkeuksena yksiulotteiset graafit).

Transitiivisessa graafissa kaikki kärjet näyttävät samanlaisilta. Kaksiulotteinen ruudukko on yksi esimerkki. Jos valitset kaksi kärkeä, voit aina löytää symmetrian, joka siirtää yhden kärjen toiseen.

Tämä suhde pätee kaikkiin transitiivisiin kaavioihin. Näiden symmetrioiden vuoksi, jos lähennät ja katsot mitä tahansa kahta samankokoista transitiivisen kaavion aluetta, ne näyttävät samalta. Tästä syystä Schramm uskoi, että lähikuvan perspektiivi oli riittävä, jotta matemaatikot pystyivät laskemaan perkolaatiokynnyksen kaikille transitiivisille kaavioille.

Transitiivisilla kaavioilla voi olla monia muotoja ja muotoja. Ne voivat olla yksinkertainen ruudukko, joka koostuu neliöistä, kolmioista, kuusikulmioista tai jostain muusta muodosta. Tai ne voivat muodostaa monimutkaisemman objektin, kuten "3-säännöllisen puun", jossa yksi keskipiste yhdistyy kolmeen kärkeen ja jokainen kärki haarautuu sitten luoden kaksi uutta loputtomiin, joiden ensimmäiset vaiheet näkyvät tässä:

Transitiivisten graafien moninaisuus vaikeutti Schrammin paikkakuntaarvauksen todistamista. Schrammin arvelun ja Eason ja Hutchcroftin todisteiden välisen 15 vuoden aikana useat matemaatikot osoittivat olettamuksen tietyntyyppisille kaavioille, mutta heidän ajatuksensa eivät koskaan ulottuneet yleiseen tapaukseen.

"Kaikkien mahdollisten geometrioiden avaruus on vain niin laaja, ja aina piilee outoja asioita", Hutchcroft sanoi.

Linssin leventäminen

Easo ja Hutchcroft eivät alun perin etsineet ratkaisua Schrammin paikallisuusoletuksiin, jotka koskevat äärettömiä graafia. Sen sijaan he tutkivat perkolaatiota äärellisillä kaavioilla. Mutta heillä oli idea, joka yhtäkkiä siirsi heidän huomionsa olettamukseen.

"Kehitimme tämän uuden työkalun ja ajattelimme, että oi, tämä näyttää sellaiselta asialta, joka voisi olla hyödyllinen paikkakunnan hyökkäämiseen", Easo sanoi.

Oletuksen todistamiseksi heidän oli osoitettava, että mikroskooppinen perspektiivi antaa tarkan kuvan perkolaatiokynnyksestä. Kun tarkastelet vain osaa kaaviosta ja tarkkailet suurta yhdistettyä klusteria, voit olettaa, että kaaviossa on ääretön klusteri ja se on siksi perkolaatiokynnyksen yläpuolella. Easo ja Hutchcroft pyrkivät todistamaan sen.

He luottivat tekniikkaan, jota voidaan pitää "linssin laajentamisena". Aloita yhdestä kärjestä. Loitonna sitten nähdäksesi kaikki kärjet, jotka ovat vain yhden reunan päässä alkuperäisestä kuvaajasta. Neliöruudukossa näet nyt viisi huippupistettä. Laajenna linssi uudelleen nähdäksesi kaikki kärjet kahden reunan etäisyydellä ja sitten kolmen reunan, neljän reunan etäisyydellä ja niin edelleen.

Easo ja Hutchcroft asettivat valitsin, joka määrittää, kuinka monta linkkiä on lähellä paikkaa, jossa he näkivät suuren klusterin. Sitten he laajensivat linssiä ja katsoivat, että yhä useammat reunat kerääntyivät suureen joukkoonsa. Kun he tekivät niin, heidän oli lisättävä todennäköisyyttä, että linkit olisivat läsnä, mikä helpottaa sen osoittamista, että kaaviossa on suuri yhdistetty komponentti. Tämä on herkkä tasapainotus. Heidän täytyi laajentaa näkökenttää tarpeeksi nopeasti ja lisätä linkkejä tarpeeksi hitaasti paljastaakseen koko äärettömän kaavion muuttamatta dramaattisesti valitsin asentoa.

He pystyivät osoittamaan, että suuret klusterit kasvavat nopeammin kuin pienet, joten, kuten Easo sanoi, "klusterisi kasvaa nopeammin ja nopeammin, kun se kasvaa ja kasvaa, aivan kuten kun pyörität lumipalloa."

Neliöruudukon kärkipisteiden määrä kasvaa suhteellisen hitaasti. Se on suunnilleen linssi leveys neliöitynä. 10 askeleen jälkeen löydät noin 100 kärkeä. Mutta 3-säännöllinen puu kasvaa eksponentiaalisesti nopeammin – noin 2 nostetaan linssin leveyden verran. 10 askeleen jälkeen näet noin 1,024 3 kärkeä. Alla olevassa kuvassa näkyy, kuinka XNUMX-säännöllinen puu on paljon suurempi jo seitsemän askeleen jälkeen, vaikka neliöruudukossa on aluksi enemmän pisteitä. Yleensä kaavioilla voi olla erilainen kasvunopeus eri mittakaavassa – ne voivat alkaa nopeasti ja sitten hidastua.

Vuonna 2018, Hutchcroft käytti samanlaista ideaa Todistaakseen paikkausoletuksen nopeasti kasvaville kaavioille, kuten 3-säännöllisen puulle. Mutta se ei toiminut hitaasti kasvaville kaavioille, kuten neliöruudukolle, tai kaavioille, jotka kasvavat keskinopeudella, eivätkä täytä nopean tai hitaan kasvun matemaattisia kriteerejä.

"Tässä asiat ovat todella turhauttavia kolmen vuoden ajan", Hutchcroft sanoi.

Rakenne vs. laajennus

Kaavioissa, jotka sekoittavat kasvunopeudet eri mittakaavassa, sinun on käytettävä useita tekniikoita.

Eräs erittäin hyödyllinen tosiasia on, että kuten Easo selitti, "jos kaavio näyttää jossain mittakaavassa hitaasti kasvavalta, se juuttuu." Se kasvaa edelleen hitaasti suuressa mittakaavassa. Koska hitaasti kasvavilla kaavioilla on matematiikan ryhmäteoria-nimisen haaran määrittämä lisärakenne, tiedettiin myös, että jos loitonnat tarpeeksi kauas, hitaasti kasvavat kaaviot näyttävät geometrian, joka on matemaattisesti kesy.

Vuonna 2021 Sébastien Martineau Pariisin Sorbonnen yliopistosta työskennellyt Daniel Contrerasin ja Vincent Tassion ETH Zurich, pystyi käyttämään tätä ominaisuutta todistaa Schrammin paikkakuntaarvauksen kaavioille, jotka lopulta kasvavat hitaasti.

Tässä vaiheessa kaksi matemaatikoiden ryhmää olivat onnistuneesti käsitelleet olettamusta eri suunnista: nopeasta ja hitaasta kasvusta. Mutta tämä jätti suuria aukkoja. Ensinnäkin on olemassa välikasvuluokka, jota Eason ja Hutchcroftin tekniikka tai Contrerasin, Martineaun ja Tassionin todisteet eivät kattaneet. Toinen ongelma oli, että argumentit eivät edelleenkään soveltuneet kaavioihin, joiden kasvuvauhti muuttui – vain sellaisiin, jotka pysyivät nopeasti tai hitaina. Contrerasin, Martineaun ja Tassionin argumentin soveltamiseksi mielivaltaisiin kaavioihin ei riittänyt, että geometria näyttää lopulta kesyltä, kun loitonnat, Easo selitti: "Meidän täytyy näyttää kesältä nyt, lähellä nykyistä mittakaavaa."

The Middle of Nowhere

Transitiiviset kaaviot välikasvusta ovat hyvin salaperäisiä. Matemaatikko ei ole koskaan löytänyt esimerkkiä transitiivisesta graafista, jonka kasvu jää tälle alueelle. On mahdollista, että niitä ei edes ole olemassa. Mutta matemaatikot eivät ole osoittaneet, että niitä ei ole olemassa, joten kaikki täydelliset todisteet Schrammin paikkakuntaarvauksesta on osoitettava heille. Haasteen lisäyksenä Eason ja Hutchcroftin täytyi käsitellä kaavioita, jotka saattavat kasvaa vain hetkellisesti tietyllä pituusasteikolla, vaikka ne kasvaisivat nopeammin tai hitaammin, kun lähennät tai loitonnat.

Easo ja Hutchcroft työskentelivät suuren osan kuluneesta vuodesta laajentaakseen tuloksiaan koskemaan kaavioita, joita mikään aikaisempi menetelmä ei kattanut.

Ensinnäkin he muuttivat vuoden 2018 tekniikkaa, jota Hutchcroft oli soveltanut nopeasti kasvaviin kaavioihin, jotta ne voisivat työstää kaavioita, jotka muuttavat kasvutasoja eri mittakaavassa. Sitten he käsittelivät hitaan kasvun tapausta 27-sivuinen paperi he jakoivat elokuussa, joka laajensi Contrerasin, Martineaun ja Tassionin työtä. Lopuksi he keksivät lokakuun esipainoksessaan toisen argumentin, joka käytti satunnaisten kävelyjen teoriaa – viivoja, jotka heiluvat satunnaisesti avaruudessa – käsitelläkseen välikasvun tapausta. Kun trikotomia oli valmis, he olivat todistaneet Schrammin paikallisoletuksen.

"Meidän täytyi heittää kaikki tietävämme ongelmaan", Hutchcroft sanoi.

Ratkaisu antaa matemaatikoille paremman käsityksen siitä, mitä tapahtuu perkolaatiokynnyksen yläpuolella, jossa äärettömän klusterin mahdollisuus on 100%, ja sen alapuolella, missä todennäköisyys on 0%. Mutta matemaatikot ovat edelleen hämmästyneitä siitä, mitä tapahtuu tarkalleen useimpien kaavioiden kynnyksellä, mukaan lukien kolmiulotteinen ruudukko. "Se on luultavasti tunnetuin, yksinkertaisin avoin kysymys perkolaatioteoriassa", sanoi Russell Lyons Indianan yliopistosta.

Kaksiulotteinen ruudukko on yksi harvoista tapauksista, joissa matemaatikot ovat osoittaneet, mitä tapahtuu juuri kynnyksellä: äärettömiä klustereita ei muodostu. Ja sen jälkeen, kun Grimmett ja Marstrand osoittivat version paikkakuntaoletuksesta suurille laatoille, Grimmett ja yhteistyökumppanit osoittivat, että jos halkaiset 3D-ruudukon vaakasuunnassa, luot lattian ja säädät valitsin tarkasti perkolaatiokynnyksen mukaan, äärettömiä klustereita ei tule näkyviin. Niiden tulos vihjaa, että täydellä kolmiulotteisella ruudukolla, kuten sen kaksiulotteisella vastineella, ei ehkä ole ääretöntä klusteria perkolaatiokynnyksellä.

Vuonna 1996 Benjamini ja Schramm arveltu että mahdollisuus löytää ääretön klusteri aivan kynnyksellä on nolla kaikissa transitiivisissa kaavioissa – aivan kuten 2D-ruudukossa tai puoliksi leikatussa 3D-ruudukossa. Nyt kun paikkakuntaarvaus on ratkaistu, ymmärrys siitä, mitä tapahtuu juuri siirtymähetkellä, saattaa olla hieman lähempänä.

korjaus: Joulukuu 18, 2023
Solmujen määrä aloitussolmun n linkissä 3-säännöllisen kaavion mukaan kasvaa noin 2ⁿ, ei 3ⁿ kuten tässä artikkelissa alun perin todettiin. Artikkeli on korjattu.

Quanta tekee sarjan kyselyjä palvellakseen paremmin yleisöämme. Ota meidän matematiikan lukijakysely ja pääset mukaan voittamaan ilmaiseksi Quanta kauppatavaraa.