esittely
Matematiikassa, kuten elämässä, pienillä valinnoilla voi olla suuria seurauksia. Tämä pätee erityisesti graafiteoriassa, joka tutkii objektien verkostoja ja niiden välisiä yhteyksiä. Tässä on pieni palapeli, joka auttaa sinua ymmärtämään miksi.
Kun on annettu kuusi pistettä, tavoitteesi on yhdistää ne toisiinsa viivasegmenteillä niin, että minkä tahansa pisteparin välillä on aina polku, eikä mikään polku ylitä kahta viivasegmenttiä. Lopeta vierittäminen hetkeksi ja yritä löytää ratkaisu.
Jos ratkaisit sen, veikkaan että sinulla on jotain, joka näyttää tältä:
(klikkaa tästä nähdäksesi vastauksen)
Huomaa, että tämä todellakin täyttää palapelin vaatimukset. Minkä tahansa kahden pisteen välillä on polku - mitä graafiteoreetikot kutsuvat pisteiksi - eikä mikään polku ole pidempi kuin kaksi viivasegmenttiä tai reunaa. (Huomaa: Pulmapelissä ja koko sarakkeessa polut eivät saa käyttää samaa reunaa useammin kuin kerran.) Ratkaisusi saattaa näyttää hieman erilaiselta, mutta päädyt samaan olennaiseen rakenteeseen, joka on helpompi nähdä, jos liikutat kärkipisteitä hieman.
Tällä graafiteorian "tähti"rakenteella on yksi keskuspiste, joka liittyy kuhunkin muiden kärkien ryhmään yhdellä reunalla, eikä muiden kärkien välillä ole kulmia. Tämä tähti ei ole vain ratkaisu palapeliimme; se on ainoa ratkaisu. (Saat mahdollisuuden todistaa tämän sarakkeen lopussa olevissa harjoituksissa.)
Tämä palapeli havainnollistaa, kuinka paikalliset rajoitukset, kuten vähintään 3 pituisten polkujen kieltäminen, voivat joskus pakottaa globaaleja rakenteita, kuten tähtiä, syntymään seurauksena. Tällaisten suhteiden hyödyntäminen voi olla tehokas työkalu kaavioiden ja verkkojen ymmärtämiseen, varsinkin kun etsit tiettyjä tärkeitä rakenteita.
Yksi tällainen rakenne on "klikki" - kärkijoukko, jossa jokainen kärkipiste on suoraan yhteydessä jokaiseen toiseen kärkeen reunalla. Klikit ovat tärkeitä, koska ne tunnistavat alueita, joilla on maksimaalinen yhteys ja riippuvuus. Esimerkiksi lentoyhtiöiden reittiverkostossa klikki edustaa joukkoa kaupunkeja, jotka kaikki ovat yhteydessä toisiinsa suorilla lennoilla molempiin suuntiin. Tämä on verkon voimanlähde, sillä pääset mihin tahansa kaupunkiin yhdellä lennolla, ja jos reitti peruuntuu, voit silti muodostaa yhteyden mihin tahansa kohteeseen suhteellisen helposti.
Sitä vastoin "anti-klikki" on joukko pisteitä, joista yksikään ei ole suoraan yhteydessä muihin. Lentokartalla tämä edustaa kaupunkiryhmää, jonka välillä ei ole suoria lentoja. Saatat silti pystyä pääsemään pisteestä A pisteeseen B antiklikissä, mutta et suoraan. Sinun on ensin matkustattava ryhmän ulkopuolelle, joten sinne pääseminen maksaa sinulle: aikaa, rahaa tai yleisemmin tehokkuutta. Tavallaan antiklikit tunnistavat suurimman riippumattomuuden alueita verkossa, ja tästä syystä niitä kutsutaan myös itsenäisiksi joukoiksi. (Saatat nähdä näitä sarjoja kutsutaan myös "koklikeiksi" tai "vakaaiksi joukoiksi" muualla.)
Suurten klikkien tai suurten itsenäisten joukkojen löytäminen tai jopa vain niiden olemassaolon takaaminen osoittautuu tärkeäksi osaksi kaavioiden ja verkkojen analysointia. Ja tässä tulee esiin Erdős-Hajnal-oletus. Tämä sanoo, että jos tietyt paikalliset rakenteet graafissa kielletään, niin tietyt globaalit rakenteet - erityisesti suhteellisen suuret klikkit tai suhteellisen suuret itsenäiset joukot - ovat väistämättömiä. Se on yksi monista avoimista kysymyksistä johtuu Paul Erdősistä, kuuluisa matemaattinen nomadi, joka matkusti ympäri maailmaa jakaen kahvia ja olettamuksia tuhansien yhteistyökumppaneiden kanssa. Kun Erdős-Hajnalin olettamus pitää paikkansa, se tarjoaa tietoa, jota biologian, logistiikan ja tietojenkäsittelytieteen kaltaisten alojen tutkijat voivat tehdä entistä vahvempia johtopäätöksiä verkostojensa globaaleista rakenteista.
Olemme itse asiassa nähneet Erdős-Hajnalin oletuksen jo toiminnassa. Alkuperäisessä pulmapelissämme tähden muoto oli väistämätön, ja kuten käy ilmi, se muoto takaa suuren itsenäisen sarjan. Viidellä tähden keskustaan liitetyllä kärjellä ei ole muita yhteyksiä toisiinsa. Voit nähdä tämän itsenäisen joukon jättämällä huomioimatta keskipisteen ja siihen liittyvät reunat.
Huomaa, että tämän itsenäisen joukon olemassaolo varoittaa meitä verkkomme haavoittuvuudesta. Jos tämä olisi lentokartta ja tuosta keskustasta ei päästäisi, kukaan ei voisi lentää minnekään.
Palapelissämme 3:n tai sitä pidemmän polkujen paikallisen rakenteen kieltäminen takaa itsenäisen joukon kokoa 5. Tämä pulma kuitenkin nojaa johonkin, mitä Erdős-Hajnalin oletus ei, nimittäin siihen, että minkä tahansa kahden kärjen välillä on polku. Tämä tarkoittaa, että graafin on oltava "yhdistetty", eikä tämä ole osa Erdős-Hajnalin oletusta. Onko suuri riippumaton joukko väistämätön, jos tällainen graafi ei välttämättä ole kytketty?
Jotta nähdään, voimmeko välttää suuren riippumattoman joukon kaaviossamme, ajatellaan kuin matemaatikko ja aloitetaan harkitsemalla ääritapauksia. Jos meidän ei tarvitse yhdistää kaikkea, entä jos emme yhdistä mitään?
Jos reunoja ei lisätä lainkaan, saamme itse asiassa suurimman mahdollisen riippumattoman joukon, kaikki kuusi kärkeä. Itse asiassa mikä tahansa kärki, joka ei liity reunaan, voidaan lisätä mihin tahansa olemassa olevaan riippumattomaan joukkoon suuremmaksi, joten pienempien itsenäisten joukkojen saamiseksi haluamme luultavasti jokaisessa kärjessä olevan vähintään yksi reuna. Entä jotain tämän kaltaista?
Tämä kaavio on kaksiosainen, ja voit saada itsenäisen joukon kokoa 4 valitsemalla kunkin palan päistä kaksi kärkeä. Huomaa, että mikään neljästä valitusta kärjestä ei ole yhdistetty reunalla mihinkään muihin muodostaen siten itsenäisen joukon.
Entä tällainen kaavio?
Tämä kuvaaja on kolmessa irrotetussa osassa, ja voit saada itsenäisen joukon kokoa 3 valitsemalla jokaisesta palasta yhden kärjen.
Tämä on pienin riippumaton joukko, jonka voimme saavuttaa tietyissä olosuhteissa. Toisin sanoen kuuden kärjen graafissa 3:n pituisten polkujen kieltäminen takaa itsenäisen joukon, joka on vähintään puolet alkuperäisestä graafista, joka on aika iso graafien suhteen.
Itse asiassa jotain yleisempää on meneillään. Kaikilla tutkimillamme kaavioilla on yksi tärkeä yhteinen piirre: ne ovat kaikki tähtien kokoelmia!
Vasemmalla olevassa kaaviossa on kaksi tähteä, joissa kussakin on kolme kärkeä, ja oikealla on kolme tähteä, joissa kussakin on kaksi kärkeä. Jopa graafia, jossa ei ole reunoja, voidaan pitää kuudena tähtenä, joissa kussakin on yksi kärki. Sääntö, joka kieltää polut, joiden pituus on 3, pakottaa graafin olemaan tähtien kokoelma, ja tämä pätee riippumatta siitä, aloitatko kuudesta kärjestä vai 600:sta. Riippumattomien joukkojen löytämisessä on siis kysymys vain siitä, kuinka monta erillistä tähteä päätyy.
Yleensä, jos sinulla on paljon tähtiä, on helppo saada suuri itsenäinen sarja. Koska tähdet eivät ole yhteydessä toisiinsa, voit valita vain yhden kärjen jokaisesta tähdestä, joten tämä takaa riippumattoman sarjan, joka on vähintään yhtä suuri kuin tähtien lukumäärä. Yllä olevassa esimerkissä oikealla voit ottaa yhden kärjen jokaisesta kolmesta koon 2 tähdestä ja tuottaa itsenäisen joukon kokoa 3.
Toisaalta, jos päädyt vain muutamaan tähteen, itse tähtien on oltava riittävän suuria ottamaan huomioon kaikki alkuperäisen kaavion kärjet, ja olemme jo nähneet, kuinka tähdestä saadaan suhteellisen suuri itsenäinen joukko - ota vain kaikki paitsi keskipiste. Esimerkiksi jos graafi koostuu vain kahdesta tähdestä, niin toinen tähdistä sisältää taatusti vähintään puolet alkuperäisen graafin huipuista, ja tämä takaa riippumattoman joukon, joka on suunnilleen puolet alkuperäisen graafin koosta. Voimme tehdä esimerkissämme vielä suuremman itsenäisen joukon yhdistämällä riippumattomat joukot irrotetuista tähdistä. (Kuinka pieni suurin mahdollinen itsenäinen joukko voisi olla? Katso tästä lisää harjoituksista.)
Yleisesti ottaen kaaviossa, joka on vain kokoelma erillisiä tähtiä, suuri riippumaton joukko on väistämätön. Suuret tähdet tuottavat suuria itsenäisiä sarjoja, mutta pienet tähdet tarkoittavat paljon tähtiä, jotka tuottavat myös suuria itsenäisiä sarjoja. Tämä lähestymistapa ei toimi vain meidän yksinkertaisessa esimerkissämme. Se myös ehdottaa, kuinka käsitellä monimutkaisempaa ongelmaa.
Oletetaan, että sinulla on kaavio n pisteitä, ja asetat seuraavan paikallisen rajoituksen: Kolmea kärkeä ei voi yhdistää toisiinsa. Tämä olisi kuin lentokartan suunnittelua, jonka tavoitteena on minimoida paikallisesti tarpeettomat reitit. Jos pääset A:n ja B:n sekä B:n ja C:n väliin, et saa luoda erillistä suoraa reittiä A:n ja C:n välille.
Toisin sanoen ei voi olla kooltaan 3 olevia klikkejä. Geometrian kannalta kuvaaja on "kolmioton".
Pitääkö kolmiottomalla graafilla olla suhteellisen suuri itsenäinen joukko? Vastaus on kyllä, ja kuten ennenkin, salaisuus piilee tähdissä. Voimme osoittaa, että kolmioton kuvaaja n pisteillä on oltava itsenäinen joukko, jonka koko on vähintään noin $latex sqrt{n}$, mikä on suhteellisen suuri graafiteorian standardeilla. Käydään läpi argumentti käyttämällä esimerkkinä seuraavaa kolmiotonta kuvaajaa.
Aloita valitsemalla mikä tahansa graafista piste ja huomioimalla kaikki sen naapurit - kärjet, jotka on liitetty siihen reunalla.
Mikään näistä valitsemasi kärjen naapureista ei ole yhteydessä toisiinsa - koska se tekisi kolmion ja tämä on kolmioton graafi - joten jokainen kärki ja sen naapurijoukko muodostavat olennaisesti tähden.
Vaikka tämä tähti on yhteydessä muihin graafin pisteisiin, voimme silti käyttää sen ominaisuuksia suuren riippumattoman joukon takaamiseen. Tärkeintä on muodostaa tähti ja poistaa se ja kaikki siihen liittyvät reunat.
Etsi nyt tähti jäljellä olevasta kaaviosta ja poista myös se.
Tässä esimerkissä meillä on nyt kaksi yksittäistä kärkeä - yksikärkiset tähdet itse - ja muodostamme itsenäisen joukon kokoa 4 lisäämällä keskipisteet kahdesta muusta löytämämme tähdestä. Koska alkuperäisessä kaaviossamme on yhdeksän kärkeä ja $latex sqrt{9}=3$, riippumaton joukkomme koon 4 sopii olettamuksemme.
Tämä argumentti toimii yleisesti kaikissa kolmiottomissa kaavioissa. Tärkeintä on vain etsiä ja poistaa tähtiä ja niihin liittyviä reunoja, kunnes olet laskenut kaikki kärjet. Kun olet tehnyt sen, laske vain tähtien määrä.
Oletetaan, että päädyt siihen k tähdet. Jos $lateksi k > sqrt{n}$, voit muodostaa itsenäisen kokojoukon k ottamalla keskipiste jokaisesta tähdestä. Tämä toimii, koska kahdesta tähdestä ei voitu yhdistää kahta keskipistettä toisiinsa, koska se olisi tehnyt niistä naapureita alkuperäisessä kaaviossa.
Jos $lateksi k < sqrt{n}$, niin tämä pienempi määrä tähtiä takaa, että ainakin yhden tähdistä on oltava suhteellisen suuri. Itse asiassa siinä on oltava vähintään $latex sqrt{n}$ kärkipistettä. Miksi? Koska kaikki n graafin kärjet on löydettävä joukosta k tähdet. Jos kaikki k tähdissä kussakin oli vähemmän kuin $latex sqrt{n}$ pistettä, silloin kaavion kärkien kokonaismäärä olisi pienempi kuin $latex k kertaa sqrt{n}$. Mutta koska $lateksi k < sqrt{n}$, tämä tarkoittaa, että graafin kärkien kokonaismäärän tulee olla pienempi kuin $lateksi sqrt{n} kertaa sqrt{n} = n$. Koska tiedämme, että kaavio on n huipuissa oletus, että tähdet ovat pieniä, jättää joitakin pisteitä huomioimatta, mikä tarkoittaa, että ainakin yhdellä tähdistä on oltava vähintään $latex sqrt{n}$ huippuja. Ja tähti, jonka koko on $latex sqrt{n}$, takaa itsenäisen sarjan, jonka koko on vähintään $latex sqrt{n} -1$, mikä on suunnilleen $lateksi neliömetriä{n}$. (Graafiteoreetikot ovat yleensä kiinnostuneita siitä, kuinka suuri aligraafi on suhteessa alkuperäiseen kuvaajakokoon, joten $latex sqrt{n}$ on paljon tärkeämpi kuin $lateksi – 1 $.)
Kuten alkuperäisessä esimerkissämme, tämä kolmiottomien graafien tulos liittyy Erdős-Hajnalin oletukseen. Jos kuvaaja on kolmioton, sen klikki ei voi olla suurempi kuin koko 2, koska koko 3 tai sitä suurempi klikki vaatisi kolmion. Kolmioiden kieltäminen tarkoittaa suurten klikkien kieltämistä, ja tämä pakottaa muodostumaan suuria itsenäisiä joukkoja, kuten Erdős-Hajnal-oletus ennustaa.
Matemaatikko osoitti äskettäin paljon enemmän. Erdős-Hajnal-oletus on todistettu kaikissa tapauksissa, joissa kielletty osagraafi koostuu neljästä tai vähemmän pisteestä (kuten neliö tai polku, jonka pituus on 4). Ja vuonna 2021 ryhmä matemaatikoita osoittautui että jos graafissa ei ole viisikulmiota – eli viittä kärkeä yhdistävää silmukkaa – niin epätavallisen suuren klikkin tai epätavallisen suuren riippumattoman joukon täytyy olla olemassa. Tämä yllätti jotkin sen todenneet matemaatikot, koska he odottivat Erdős-Hajnal-oletuksen olevan väärä viisikulmioiden osalta. Se oli toinen yllättävän voimakas matemaattinen tulos, joka tuli ajattelusta paikallisesti toimiakseen globaalisti.
esittely
esittely
1. Oletetaan, että suurimman riippumattoman joukon, jonka voit löytää kaaviosta, koko on 1. Mitä voit sanoa kaaviosta?
Napsauta saadaksesi vastauksen 1:
Tämä tarkoittaa, että graafissa on kaikki mahdolliset reunat. Tässä tapauksessa itse graafi on klikki. Kutsumme tällaisia kaavioita "täydellisiksi kaavioiksi".
esittely
2. Selitä, miksi on mahdotonta saada mitään muuta kuin tähti yhdistettyyn kuvaajaan, jossa ei ole polkuja, joiden pituus on 3 tai pidempää.
Napsauta saadaksesi vastauksen 2:
Jos on vain yksi kärki, se on tähti ja se on valmis. Jos pisteitä on kaksi, ne on yhdistettävä, jolloin muodostuu kaksipisteinen tähti. Jos kärkipisteitä on kolme, niiden välillä voi olla kolme mahdollista reunaa. Edellytykset huomioon ottaen näiden kolmen kärjen on muodostettava polku, jonka pituus on 2, seuraavasti:
Tämä johtuu siitä, että jos jompikumpi näistä reunoista puuttuisi, kuvaaja ei olisi yhdistetty, mutta jos lisäät siihen kolmannen reunan, tekisit kolmion, joka antaisi sinulle polun, jonka pituus on 3.
Jos on muita pisteitä, mihin ne voisivat liittyä? Sen pitäisi olla vain keskipiste ja vain keskipiste. Yhdistäminen molemmissa päissä olevaan kärkeen loisi välittömästi polun, jonka pituus on 3. Tuloksena on siis ryhmä pisteitä, jotka kaikki on yhdistetty yhdellä reunalla keskipisteeseen. Toisin sanoen tähti.
esittely
3. Oletetaan kaavio, jossa on n pisteillä ei ole polkuja, joiden pituus on 3. Kuinka suuri riippumaton joukko on taattu tällaisessa graafissa?
Napsauta saadaksesi vastauksen 3:
If n on parillinen, $lateksi frac{n}{2}$; jos n on pariton, $lateksi frac{n+1}{2}$. Toisin sanoen $latex frac{n}{2}$ "katto", kirjoitettu $latex lceil{frac{n}{2}}rceil$.
Tiedämme jo, että tällaisen kaavion on oltava kokoelma irrotettuja tähtiä, ja koska tähdet ovat irti, voimme aina muodostaa itsenäisen joukon yhdistämällä kunkin yksittäisen tähden itsenäiset joukot. Tiedämme myös, että jokainen tähti voi antaa kaikki huippunsa yhtä lukuun ottamatta itsenäiseen joukkoon pudottamalla vain keskustan. Etenkin, jos tähdellä on kokoa m > 1, se voi vaikuttaa m − 1 sen pisteistä riippumattomaan joukkoon. Strategia on tehdä m − 1 mahdollisimman pieni jokaiselle tähdelle, ja sitä varten teet niin monta kahden kärjen tähtiä kuin pystyt.
If n on tasainen, saat seuraavan joukon pareja:
Ja muodostat itsenäisen joukon ottamalla kustakin yhden kärjen, jolloin saadaan riippumaton joukko, joka on kooltaan yhtä suuri kuin tähtien lukumäärä: $lateksifrak{n}{2}$.
If n on pariton, sinulla on yksi kärki jäljellä, kun yhdistät kärjet pariksi.
Tässä riippumaton joukko on yksi huippupiste kustakin $lateksi frac{n-1}{2}$ parista plus jäljellä oleva kärkipiste riippumattomalle joukolle, jonka koko on $lateksi frac{n-1}{2} + 1 = frac{n+1}{2}$.
- SEO-pohjainen sisällön ja PR-jakelu. Vahvista jo tänään.
- PlatoData.Network Vertical Generatiivinen Ai. Vahvista itseäsi. Pääsy tästä.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Tietoa laajennettu. Pääsy tästä.
- PlatoESG. Autot / sähköautot, hiili, CleanTech, energia, ympäristö, Aurinko, Jätehuolto. Pääsy tästä.
- BlockOffsets. Ympäristövastuun omistuksen nykyaikaistaminen. Pääsy tästä.
- Lähde: https://www.quantamagazine.org/math-that-lets-you-think-locally-but-act-globally-20230721/
- :on
- :On
- :ei
- :missä
- ][s
- $ YLÖS
- 1
- 2021
- a
- pystyy
- Meistä
- edellä
- Tili
- Saavuttaa
- Toimia
- Toiminta
- todella
- lisä-
- lisää
- lentoyhtiö
- Hälytykset
- Kaikki
- sallittu
- jo
- Myös
- aina
- keskuudessa
- an
- analysointi
- ja
- Toinen
- vastaus
- Kaikki
- mitään
- kaikkialla
- lähestymistapa
- OVAT
- alueet
- perustelu
- noin
- AS
- olettamus
- At
- välttää
- BE
- tuli
- koska
- ollut
- ennen
- Veto
- välillä
- Iso
- suurempi
- Suurimmat
- biologia
- Bitti
- sekä
- Nippu
- mutta
- by
- soittaa
- tuli
- CAN
- Voi saada
- tapaus
- tapauksissa
- keskus
- keskeinen
- tietty
- mahdollisuus
- valintoja
- Valita
- valittu
- Kaupungit
- Kaupunki
- napsauttaa
- klikki
- kahvi
- kokoelma
- kokoelmat
- Sarake
- yhdistely
- tulee
- Yhteinen
- monimutkainen
- tietokone
- Tietojenkäsittelyoppi
- olosuhteet
- otaksuma
- kytkeä
- kytketty
- Kytkeminen
- Liitännät
- Liitännät
- Yhdistää
- Seuraukset
- ottaen huomioon
- muodostuu
- sisältää
- sisältää
- kontrasti
- edistävät
- Hinta
- voisi
- luoda
- riippuvuus
- suunnittelu
- määränpää
- eri
- ohjata
- suoraan
- irrotettu
- useat
- do
- ei
- ei
- tehty
- Dont
- piirtää
- pudottamalla
- kukin
- helpottaa
- helpompaa
- helppo
- reuna
- tehokkuus
- myöskään
- muualla
- ilmaantua
- loppu
- päättyy
- tarpeeksi
- yhtäläinen
- erityisesti
- olennainen
- olennaisesti
- Jopa
- Joka
- kaikki
- esimerkki
- ylittävät
- olla
- olemassaolo
- olemassa
- olemassa
- odotettu
- Selittää
- tutkitaan
- äärimmäinen
- tosiasia
- väärä
- kuuluisa
- harvat
- vähemmän
- ala
- Fields
- Löytää
- löytäminen
- Etunimi
- lento
- Lennot
- jälkeen
- varten
- voima
- Joukot
- muoto
- lomakkeet
- löytyi
- neljä
- alkaen
- general
- yleensä
- saada
- saada
- Antaa
- tietty
- antaa
- Global
- Maailmanlaajuisesti
- tavoite
- menee
- kaavio
- kaaviot
- Ryhmä
- taata
- taattu
- takeita
- HAD
- Puoli
- käsi
- kahva
- Olla
- auttaa
- tätä
- pitää
- Miten
- Miten
- Kuitenkin
- HTTPS
- i
- tunnistaa
- if
- havainnollistaa
- heti
- tärkeä
- määrätä
- mahdoton
- in
- Muilla
- luoksepääsemätön
- todellakin
- itsenäisyys
- itsenäinen
- henkilökohtainen
- tiedot
- kiinnostunut
- IT
- SEN
- itse
- vain
- Pitää
- avain
- Tietää
- tunnettu
- suuri
- suurempi
- suurin
- vähiten
- vasemmalle
- Jäänne
- Pituus
- vähemmän
- Lets
- vipuvaikutuksen
- piilee
- elämä
- pitää
- linja
- vähän
- paikallinen
- paikallisesti
- logistiikka
- kauemmin
- katso
- näköinen
- ulkonäkö
- Erä
- tehty
- aikakauslehti
- tehdä
- Tekeminen
- monet
- kartta
- matematiikka
- matemaattinen
- maksimi
- Saattaa..
- tarkoittaa
- välineet
- Keskimmäinen
- ehkä
- minimointia
- puuttuva
- hetki
- raha
- lisää
- liikkua
- paljon
- täytyy
- nimittäin
- välttämättä
- naapurit
- verkko
- verkot
- Nro
- NOMAD
- Ilmoitus..
- nyt
- numero
- esineet
- of
- on
- kerran
- ONE
- vain
- avata
- or
- alkuperäinen
- Muut
- Muuta
- meidän
- ulos
- ulkopuolella
- yli
- pari
- paria
- osa
- erityinen
- polku
- Paavali
- kappale
- kappaletta
- Platon
- Platonin tietotieto
- PlatonData
- plus
- Kohta
- mahdollinen
- voimakas
- ennustaa
- aika
- todennäköisesti
- Ongelma
- tuottaa
- ominaisuudet
- todistaa
- osoittautui
- tarjoaa
- palapeli
- Kvantamagatsiini
- kysymys
- kysymykset
- tavoittaa
- reason
- äskettäin
- tarkoitettuja
- liittyvä
- Ihmissuhteet
- suhteellinen
- suhteellisesti
- jäljellä oleva
- poistaa
- poistamalla
- edustaa
- edellyttää
- tarvitaan
- vaatimukset
- rajoitus
- rajoitukset
- johtua
- paljastaa
- oikein
- karkeasti
- Reitti
- reitit
- Sääntö
- sama
- sanoa
- sanoo
- tiede
- tutkijat
- vieritys
- salaisuus
- nähdä
- nähneet
- segmentit
- valitsemalla
- erillinen
- setti
- Setit
- Muoto
- jakaminen
- näyttää
- Yksinkertainen
- koska
- single
- SIX
- Koko
- hieman eri
- pieni
- pienempiä
- So
- ratkaisu
- jonkin verran
- jotain
- lähde
- neliö
- standardit
- Tähti
- Tähteä
- Alkaa
- Yhä
- stop
- Strategia
- vahvuus
- vahvempi
- rakenne
- opinnot
- aligraafia
- niin
- Ehdottaa
- yllättynyt
- ottaa
- ottaen
- ehdot
- kuin
- että
- -
- Kaavio
- maailma
- heidän
- Niitä
- itse
- sitten
- teoria
- Siellä.
- Nämä
- ne
- asia
- ajatella
- Ajattelu
- kolmas
- tätä
- vaikka?
- ajatus
- tuhansia
- kolmella
- Kautta
- kauttaaltaan
- Näin
- aika
- kertaa
- että
- liian
- työkalu
- Yhteensä
- matkustaa
- matkusti
- totta
- yrittää
- kääntyy
- kaksi
- varten
- ymmärtäminen
- asti
- us
- käyttää
- käytetty
- käyttämällä
- alttius
- haluta
- oli
- Tapa..
- we
- WebP
- olivat
- Mitä
- kun
- onko
- joka
- KUKA
- miksi
- tulee
- with
- sanoja
- Referenssit
- treenata
- toimii
- maailman-
- olisi
- antaisi
- kirjallinen
- Joo
- tuottaen
- Voit
- Sinun
- zephyrnet