Vanha arvaus putoaa, mikä tekee palloista paljon monimutkaisempia | Quanta-lehti

Kesäkuun alussa matemaatikoiden rakentama surina laskeutui Lontoon Heathrow'n lentokentälle. Heidän määränpäänsä oli Oxfordin yliopisto ja a konferenssi 65-vuotispäivän kunniaksi Michael Hopkins, matemaatikko Harvardin yliopistossa, joka oli toiminut mentorina monille osallistujille.

Hopkins teki itselleen mainetta 1980-luvun lopulla työskennellessään seitsemän olettamuksen parissa Doug Ravenel Rochesterin yliopistosta oli muotoiltu vuosikymmen aiemmin. Ne liittyivät tekniikoihin sen määrittämiseksi, milloin kaksi muotoa tai tilaa, jotka saattavat näyttää erilaisilta, ovat todella samoja. Hopkins ja hänen työtoverinsa osoittivat kaikki Ravenelin olettamukset yhtä lukuun ottamatta, ongelman vihjailevalla mutta salaperäisellä nimellä, jota kutsutaan teleskooppioletukseksi.

Tuolloin Hopkins lopetti työnsä Ravenelin olettamuksista. Vuosikymmeniä myöhemmin kaukoputken arvelu näytti mahdottomalta ratkaista.

"Et voinut koskea sellaiseen lauseeseen", Hopkins sanoi.

Mutta kun matemaatikot laskeutuivat Lontooseen, huhuttiin, että sen oli tehnyt neljän matemaatikon ryhmä, jolla oli siteitä Massachusettsin teknilliseen korkeakouluun ja joista kolmea oli neuvonut Hopkins tutkijakoulussa. Nuorin neljästä, jatko-opiskelija nimeltä Ishan Levy, piti pitää puheen tiistaina, konferenssin toisena päivänä, jolloin näytti olevan silloin, kun todiste saatetaan ilmoittaa.

"Olin kuullut huhuja, että tämä oli tulossa, enkä tiennyt tarkalleen mitä odottaa", sanoi Vesna Stojanoska, matemaatikko Illinoisin yliopistosta Urbana-Champaignista, joka osallistui konferenssiin.

Pian kävi selväksi, että huhut olivat totta. Tiistaista alkaen ja seuraavan kolmen päivän aikana Levy ja hänen kirjoittajansa - Robert Burklund, Jeremy Hahn ja Tomer Schlank - selitti noin 200 matemaatikolle, kuinka he olivat osoittaneet, että kaukoputken arvelu oli väärä, tehden siitä ainoan Ravenelin alkuperäisistä arveluista, joka ei ollut totta.

Teleskoopin arvelun kiistämisellä on laaja ulottuvuus, mutta yksi yksinkertaisimmista ja syvällisimmistä on tämä: Se tarkoittaa, että hyvin suurissa ulottuvuuksissa (ajattele 100-ulotteista palloa) erimuotoinen maailmankaikkeus on paljon monimutkaisempi kuin matemaatikot odottivat.

Karttojen kartoitus

Luokitellakseen muotoja tai topologisia avaruuksia matemaatikot erottavat erot, joilla on merkitystä, ja ne, joilla ei ole merkitystä. Homotopyteoria on näkökulma näiden erojen tekemiseen. Se pitää palloa ja munaa pohjimmiltaan samana topologisena avaruutena, koska voit taivuttaa ja venyttää toisiaan repeämättä kumpaakaan. Samalla tavalla homotopian teoria pitää pallon ja sisäputken olennaisesti erilaisina, koska palloon täytyy repiä reikä, jotta se muotoutuu sisäputkeen.

Homotopia on hyödyllinen topologisten avaruuksien luokittelussa — kaavion luomisessa kaikista mahdollisista muodoista. Se on myös tärkeää ymmärtääkseen jotain muuta, josta matemaatikot välittävät: karttoja välien välillä. Jos sinulla on kaksi topologista avaruutta, yksi tapa tutkia niiden ominaisuuksia on etsiä funktioita, jotka muuntavat tai yhdistävät pisteet toisessa pisteessä — syötä piste avaruudessa A, saat pisteen avaruudessa B lähtöksesi, ja tee se kaikille A:n kohdille.

Jos haluat nähdä, miten nämä kartat toimivat ja miksi ne valaisevat kyseessä olevien tilojen ominaisuuksia, aloita ympyrällä. Kartoita se nyt kaksiulotteiseen palloon, joka on pallon pinta. On äärettömän monia tapoja tehdä tämä. Jos kuvittelet pallon Maan pinnaksi, voit asettaa ympyräsi esimerkiksi mille tahansa leveysasteelle. Homotoopiateorian näkökulmasta ne ovat kaikki samanarvoisia tai homotooppisia, koska ne kaikki voivat kutistua pohjois- tai etelänavalle olevaan pisteeseen.

Kartoita seuraavaksi ympyrä sisäputken (yksireikäisen toruksen) kaksiulotteiseen pintaan. Jälleen kerran, on olemassa äärettömän monia tapoja tehdä tämä, ja useimmat ovat homotooppisia. Mutta eivät kaikki. Voit asettaa ympyrän vaakasuoraan tai pystysuoraan toruksen ympärille, eikä kumpikaan voi muuttua tasaisesti toiseksi. Nämä ovat kaksi (monista) tapaa kartoittaa ympyrä torukseen, kun taas on vain yksi tapa kartoittaa se palloon, mikä kuvastaa perustavanlaatuista eroa näiden kahden tilan välillä: Toruksessa on yksi reikä, kun taas pallossa ei ole yhtään.

On helppo laskea tapoja, joilla voimme kartoittaa ympyrän kaksiulotteiseen palloon tai torukseen. Ne ovat tuttuja tiloja, jotka on helppo visualisoida. Mutta karttojen laskeminen on paljon vaikeampaa, kun kyseessä ovat korkeamman ulottuvuuden tilat.

Mittasuhteet

Jos kahdella pallolla on sama ulottuvuus, niiden välillä on aina äärettömän monta karttaa. Ja jos avaruus, josta kartoitetaan, on matalampiulotteinen kuin avaruus, johon kartoitetaan (kuten esimerkissämme yksiulotteisesta ympyrästä, joka on kartoitettu kaksiulotteiseen palloon), karttaa on aina vain yksi.

Osittain tästä syystä karttojen laskeminen on mielenkiintoisinta silloin, kun avaruudella, josta kartoitetaan, on suurempi ulottuvuus kuin avaruudella, johon kartoitetaan, kuten silloin, kun kartoitat seitsemänulotteisen pallon kolmiulotteiseksi palloksi. Tällaisissa tapauksissa karttojen määrä on aina rajallinen.

"Sfäärien väliset kartat ovat yleensä mielenkiintoisempia, kun lähteellä on suurempi ulottuvuus", Hahn sanoi.

Lisäksi karttojen määrä riippuu vain mittojen lukumäärän erosta (kun mitat ovat riittävän suuria eroon verrattuna). Toisin sanoen karttojen määrä 73-ulotteisesta pallosta 53-ulotteiseen palloon on sama kuin karttojen määrä 225-ulotteisesta pallosta 205-ulotteiseen palloon, koska molemmissa tapauksissa mittaero on 20.

Matemaatikot haluaisivat tietää karttojen lukumäärän minkä tahansa ulottuvuuden omaavien tilojen välillä. He ovat onnistuneet laskemaan karttojen määrän lähes kaikille ulottuvuuksien eroille 100 asti: Pallojen välillä on 24 karttaa, kun ero on 20, ja 3,144,960 23 XNUMX karttaa, kun ero on XNUMX.

Mutta karttojen määrän laskeminen yli 100 erolle kuluttaa nykyaikaisen laskentatehon. Ja samaan aikaan matemaatikot eivät ole havainneet tarpeeksi malleja karttojen lukumäärästä, jotta ne voisivat ekstrapoloida lisää. Heidän tavoitteenaan on täyttää taulukko, joka määrittää karttojen lukumäärän mahdollisille ulottuvuuksille, mutta tämä tavoite tuntuu hyvin kaukaiselta.

"Tämä ei ole kysymys, johon odotan täydellisen ratkaisun lastenlasteni elinaikana", sanoi 76-vuotias Ravenel.

Teleskooppiarvaus tekee ennusteen siitä, kuinka karttojen määrä kasvaa mittojen erojen kasvaessa. Itse asiassa se ennustaa, että määrä kasvaa hitaasti. Jos se olisi ollut totta, se olisi helpottanut taulukon täyttämistä hieman.

Epäily epäuskoon

Teleskooppiarvaus sai nimensä epätodennäköisellä tavalla.

Se lähti siitä, että erittäin korkeissa ulottuvuuksissa alemmissa ulottuvuuksissa muodostunut geometrinen intuitio usein hajoaa, ja karttoja on vaikea laskea pallojen välillä. Mutta olettamuksiaan muotoillessaan Ravenel ymmärsi, ettei sinun tarvitse. Sen sijaan, että lasket karttoja pallojen välillä, voit tehdä helpomman välityspalvelimen laskennan pallojen ja kaukoputkiksi kutsuttujen kohteiden välillä.

Teleskoopit sisältävät sarjan kopioita suljetusta korkeamman ulottuvuuden käyrästä, joista jokainen on pienennetty versio sitä edeltäneestä käyrästä. Käyräsarja muistuttaa todellisen kokoontaitettavan teleskoopin toisiinsa lukittavia putkia. "Niin oudolta kuin tämä kaukoputki kuulostaakin, kun sitä kuvataan, se on itse asiassa helpompi kohde käsitellä kuin itse pallo", Ravenel sanoi.

Silti pallot voivat kartoittaa kaukoputkia monin eri tavoin, ja haasteena on tietää, milloin nämä kartat ovat aidosti erilaisia.

Sen määrittämiseksi, ovatko kaksi avaruutta homotooppisia, tarvitaan matemaattinen testi, joka tunnetaan nimellä invariantti, joka on välien ominaisuuksiin perustuva laskenta. Jos laskelma antaa eri arvon jokaiselle tilalle, tiedät, että ne ovat ainutlaatuisia homotopian näkökulmasta.

Invariantteja on monenlaisia, ja jotkut voivat havaita eroja, joille muut invariantit ovat sokeita. Teleskooppiarvaus ennustaa, että invariantti nimeltä Morava E-teoria (ja sen symmetriat) voi erottaa täydellisesti kaikki kartat pallojen ja teleskooppien välillä aina homotopiaan asti – eli jos Morava E-teoria sanoo, että kartat ovat erilaisia, ne ovat erilaisia, ja jos se sanoo, että ne ovat samoja, ne ovat samoja.

Mutta vuoteen 1989 mennessä Ravenel oli alkanut epäillä sen totta. Hänen skeptisyytensä syntyi hänen suorittamistaan ​​laskelmista, jotka eivät näyttäneet olevan sopusoinnussa oletuksen kanssa. Mutta vasta saman vuoden lokakuussa, kun valtava maanjäristys iski Bay Area -alueelle hänen ollessaan Berkeleyssä, nuo epäilykset koodautuivat täysimittaiseksi epäuskoksi.

"Tein tämän johtopäätöksen päivän tai kahden sisällä maanjäristyksestä, joten pidän siitä, että jotain tapahtui, mikä sai minut ajattelemaan, että se ei ollut totta", Ravenel sanoi.

Teleskooppioletuksen kumoaminen vaatisi tehokkaamman invariantin löytämistä, joka voisi nähdä Moravan asiat E-teoria ei voi. Tällaista invarianttia ei näyttänyt olevan saatavilla vuosikymmeniin, mikä asetti olettamuksen tiukasti ulottumattomiin. Mutta viime vuosien edistyminen muutti sen - ja Burklund, Hahn, Levy ja Schlank hyödynsivät sitä.

Räjähtävä eksoottinen

Niiden todistus perustuu joukkoon työkaluja, joita kutsutaan algebrallisiksi K-teoria, jonka Alexander Grothendieck perusti 1950-luvulla ja joka on kehittynyt nopeasti viimeisen vuosikymmenen aikana. Sillä on sovelluksia kaikkialla matematiikassa, myös geometriassa, jossa sillä on kyky ylilataa invarianttia.

Neljä kirjoittajaa käyttävät algebraa K-teoria gadgetina: He syöttävät Moravan E-teoria, ja niiden tulos on uusi invariantti, jota he kutsuvat algebralliseksi K-teoria Moravan kiintopisteistä E-teoria. Sitten he soveltavat tätä uutta invarianttia karttoihin palloista kaukoputkiin ja osoittavat, että se voi nähdä karttoja, jotka Morava E-teoria ei voi.

Eikä kyse ole vain siitä, että tämä uusi invariantti näkee muutaman kartan lisää. Se näkee paljon enemmän, jopa äärettömästi enemmän. Niin paljon muuta, että on reilua sanoa, että Morava E-teoria oli hädin tuskin raapumassa pintaa, kun tuli tunnistaa karttoja palloista kaukoputkiin.

Äärettömän enemmän karttoja palloista teleskoopeihin tarkoittaa äärettömästi enemmän karttoja itse pallojen välillä. Tällaisten karttojen määrä on rajallinen mille tahansa ulottuvuuserolle, mutta uusi todiste osoittaa, että määrä kasvaa nopeasti ja vääjäämättömästi.

Se, että karttoja on niin paljon, viittaa hämmentävään geometriseen todellisuuteen: palloja on niin monia.

Vuonna 1956 John Milnor tunnisti ensimmäiset esimerkit niin sanotuista "eksoottisista" sfääreistä. Nämä ovat tiloja, jotka voidaan muuttaa homotopian näkökulmasta varsinaiseksi sfääriksi, mutta jotka eroavat sfääristä tietyssä tarkassa mielessä. Eksoottisia sfäärejä ei ole ollenkaan ulottuvuudessa yksi, kaksi tai kolme, eikä kukaan ole löytänyt niistä esimerkkejä ulottuvuuden seitsemän alapuolelta – ulottuvuudesta, josta Milnor ne alun perin löysi. Mutta kun ulottuvuus kasvaa, eksoottisten pallojen määrä räjähtää. Dimensiossa 16,256 on 15 523,264 ja ulottuvuudessa 19 XNUMX XNUMX.

Ja silti, niin suuria kuin nämä luvut ovatkin, kaukoputken arvelujen kiistäminen tarkoittaa, että niitä on monia, monia muita. Disproof tarkoittaa, että pallojen välillä on enemmän karttoja kuin odotettiin, kun Ravenel esitti olettamuksen, ja ainoa tapa saada lisää karttoja on ottaa enemmän erilaisia ​​sfäärejä kartoitettaviksi.

Matematiikassa ja luonnontieteissä on erilaisia ​​edistysaskeleita. Yksi laji tuo järjestyksen kaaokseen. Mutta toinen lisää kaaosta kumoamalla toiveikkaat oletukset, jotka eivät olleet totta. Teleskoopin arvelun kiistäminen on sellainen. Se syventää geometrian monimutkaisuutta ja lisää todennäköisyyttä, että monta sukupolvea lastenlapsia tulee ja menee ennen kuin kukaan ymmärtää täysin sfäärien välisiä karttoja.

"Jokainen suuri edistysaskel tällä alalla näyttää kertovan meille, että vastaus on paljon monimutkaisempi kuin luulimme aiemmin", Ravenel sanoi.