Matematiikka, joka jatkuu ikuisesti, mutta ei koskaan toista | Quanta-lehti

Oletko koskaan ihaillut kuinka kovapuulattian säleet sopivat yhteen niin siististi tai kuinka kylpyhuoneen maton alla olevat kuusikulmiot kohtaavat täydellisesti? Nämä ovat esimerkkejä geometrisista laatoituksista, muotojen järjestelyistä, jotka sopivat tiukasti yhteen ja täyttävät tilaa. Kaksiulotteisia laattoja ihaillaan kaikkialla maailmassa, sekä niiden kauneuden vuoksi – kuten mosaiikkitaiteellisuudesta katedraaleissa ja moskeijoissa eri puolilla maailmaa – että niiden käyttökelpoisuuden vuoksi seinissä ja lattioissa kaikkialla.

Matematiikassa laatoitusta arvostetaan usein niiden säännöllisten kuvioiden vuoksi. Mutta matemaatikot pitävät kauneutta myös epäsäännöllisyydessä. Juuri tällaista kauneutta eläkkeellä oleva painoteknikko etsi kun hän Äskettäin löydetty ensimmäinen "ajoittainen monotiili" - yksi laatta, joka täyttää tason ei-toistuvalla kuviolla. Saadaksesi otteen tästä suuresta löydöstä, aloitetaan pohtimalla yksinkertaisempaa ongelmaa: kuinka laatoittaa viiva.

Kuvitellaan, että rivintäyttöruudumme ovat kirjaimia, jotka tarttuvat yhteen muodostaen sarjoja. Jos laatat ja niiden sijoittamista koskevat säännöt antavat meille mahdollisuuden luoda kirjainjonon, joka jatkuu loputtomasti molempiin suuntiin, voimme "laatoittaa rivin". Oletetaan esimerkiksi, että meillä on kaksi ruutua, A ja B, ja kaksi sääntöä niiden yhdistämiseen:

1. A:n viereen molemmille puolille voit sijoittaa vain B:n.
2. B:n viereen molemmille puolille voit sijoittaa vain A:n.

Voimmeko laatoittaa linjan näillä laatoilla ja näillä säännöillä? Ehdottomasti. Oletetaan, että laitamme ensin A:n alas.

A

Sääntöjen mukaan meidän on asetettava B:t kummallekin puolelle.

BAB

Nyt näiden B:n molemmille puolille meidän täytyy laittaa A:t ja niin edelleen.

…ABABABABABABA…

Näillä laatoilla ja säännöillä voimme jatkaa ikuisesti molempiin suuntiin, joten voimme laatoittaa linjan. Itse asiassa voimme tehdä vahvemman johtopäätöksen: tämä on pohjimmiltaan ainoa tapa, jolla voimme täyttää nämä säännöt. Katsotaanpa mitä se tarkoittaa.

Oletetaan, että aloitamme sen sijaan B:stä.

B

Säännöt edellyttävät, että laitamme A:t kummallekin puolelle.

ABA

Ja sitten B:t A:n molemmin puolin ja niin edelleen.

…BABABABABABAB…

Tämä näyttää linjan toiselta kelvolliselta laatoitukselta. Mutta verrataanpa sitä vierekkäin ensimmäiseen.

…BABABABABABAB…

…ABABABABABABA…

Jos liu'utamme jommankumman laatan yli yhden laatan, ne kaksi sopivat täydellisesti yhteen - ikuisesti.

  …BABABABABABAB…

…ABABABABABABA…

Toisin sanoen käännöksen jälkeen laatoitukset ovat vastaavia. Tämä osoittaa, että kaksi laatoitusta noudattavat samaa kaavaa.

Tarkempi tarkastelu paljastaa jotain vielä mielenkiintoisempaa. Aloita kahdella alkuperäisen laatoituksen kopiolla:

…ABABABABABABA…

…ABABABABABABA…

Katso nyt, mitä tapahtuu, kun liu'utat ylimmän kahden ruudun yli:

     …ABABABABABABA…

…ABABABABABABA…

Alkuperäinen laatoitus sopii yhteen itsensä kanssa. Kun laatoitus vastaa itseään käännöksen jälkeen, sillä on "käännössymmetria". (Tämä on kuin esineellä, jolla on "heijastava symmetria", jos sen kaksi peilikuvapuoliskoa voidaan heijastua toisiinsa.)

Käännössymmetria osoittaa, kuinka laatoitus on todella vain yksi kuvio, joka toistetaan yhä uudelleen. Tässä tapauksessa rivin …ABABABABABABA… laatoitus voidaan ajatella äärettömän monina käännetyinä kopioina kahden laatan mallista AB.

AB

ABAB

ABABAB

Tämä on yksi yksinkertainen esimerkki viivan laatoituksesta, jolla on translaatiosymmetria. Kahdessa ulottuvuudessa on monia tuttuja esimerkkejä tason laatoituksista, joilla on myös tämä ominaisuus.

Kussakin yllä olevassa tapauksessa on mahdollista kääntää koko laatoitus jonkin verran, jotta se vastaa täsmälleen alkuperäistä.

Kuten viivan laatoitus, nämä kaksiulotteiset laatoitukset, joissa on translaatiosymmetria, voidaan ajatella yhtenä kuviona, joka toistuu yhä uudelleen. Esimerkiksi yksittäinen kuusikulmio ulottuu joka suuntaan.

Nähdäksesi tämän tasasivuisen kolmion laatoituksessa kuvittele, että kolmiot yhdistyvät muodostaen kuusikulmioita, ja nämä kuusikulmiot toistuvat yhä uudelleen ja uudelleen kääntämällä.

Tason kolmio-, kuusikulmio- ja neliölaatat ovat kaikki "yksiedrisiä", koska ne kaikki koostuvat yhden laatan äärettömän monesta kopiosta. On myös monia tapoja laatoittaa taso käyttämällä useita laattoja alla olevan kuvan mukaisesti (ja monissa kylpyhuoneen lattioissa).

Mutta palataanpa linjan laatoittamiseen. Meidän on tehtävä tärkeä ero.

Harkitse seuraavia uusia sääntöjä laatoillemme A ja B.

1. A:n viereen, molemmille puolille voit sijoittaa A:n tai B:n.
2. B:n viereen molemmille puolille voit sijoittaa vain A:n.

Pystymmekö silti noudattamaan näitä sääntöjä? Helppo tapa nähdä, että vastaus on kyllä, on huomata, että edellinen laatoitus täyttää myös uuden sääntöjoukon.

…ABABABABABABA…

Mutta uudet säännöt sallivat enemmän joustavuutta, ja tämä johtaa useampaan linjaan.

Esimerkiksi nämä molemmat ovat kelvollisia määrityksiä uusien sääntöjen mukaan:

AAABABA

ABABAAABAAB

Ja niitä voidaan laajentaa äärettömästi kumpaankin suuntaan äärettömän monella tavalla.

Sen lisäksi, että uudet säännöt antavat meille paljon uusia laattoja, uudet säännöt antavat meille mahdollisuuden luoda laatoitusta, jotka eivät toistu, toisin kuin ensimmäisessä esimerkissämme. Harkitse esimerkiksi seuraavaa laatoitusta:

…ABAABAAABAAAAB…

Mikä malli tässä on? Aloita A:lla, aseta B oikealle, sitten kaksi A:ta oikealle, sitten B, sitten kolme A:ta, sitten B, sitten neljä A:ta ja niin edelleen. Lisää vasemmalle vain A:t:

…AAAAAABAABAAABAAAABAAAAAB…

Tee näin, ja päädyt laatoitukseen, jota ei voida kääntää itsestään, jotta kaikki täsmäävät.

Yksinkertainen tapa nähdä tämä on havaita, että tässä laatoituksessa on ainutlaatuinen vasemmanpuoleinen B, joten mihin se menee käännöksen jälkeen? Jos käännät vasemmalle, siinä ei ole B-kirjainta, jonka kanssa se sopisi yhteen. Mutta jos käännät oikealle, vasemmalla ei ole B:tä, joka vastaa sitä.

Siksi uudet säännöt sallivat sekä laatoitukset, joilla on translaatiosymmetriaa, että laatoitukset, joilla ei ole. On olemassa myös koneen laattoja, jotka toimivat näin.

Olemme esimerkiksi jo nähneet laatoituksen neliöillä, joilla on translaatiosymmetriaa, mutta voimme käyttää neliötä myös laatoitusten rakentamiseen, joilla ei ole tätä ominaisuutta.

Tämä on hyvin erilainen tilanne kuin monohedraaliset laatoitukset, joissa käytetään tavallisia kuusikulmioita. Näissä laatoissa toistuva rakenne on väistämätön. Laattojen geometria itse pakottaa laatoitukseen translaatiosymmetrian. Kutsumme tällaisia ​​laatoitusta "jaksollisiksi".

Sitä vastoin neliö sallii kuviot, jotka toistuvat, ja kuviot, jotka eivät toistu. Tämä johtaa luonnolliseen, vastustamattomaan kysymykseen matemaatikoille: Jos on tason laattoja, jotka pakotetaan muodostamaan tämä toistuva rakenne, onko olemassa laattoja, jotka pakotetaan välttämään sitä? Tällä 1960-luvulla muotoillulla kysymyksellä "ajoittaisten laatoitusten" metsästys oli käynnissä.

Hakuamme varten teemme vielä yhden matkan takaisin linjaan. Yksiulotteisen tilan lopullisessa laatoittamisessamme käytetään epätavallisen näköistä laattasarjaa:

A-laatat: A, AA, AAA, AAAA,…

B-laatat: B, BB, BBB, BBBB, …

Huomaa, että tämä laattasarja on ääretön. Jos tämä näyttää huijaukselta, ajattelet kuin matemaatikko. Palaamme asiaan myöhemmin, mutta toistaiseksi tässä on kaksi sääntöä äärettömän monien laattojen yhdistämiseksi:

1. Pituus A-laatan vieressä n, voit laittaa vain pituisen B-laatan n kummallakin puolella.
2. Pituus B-laatan vieressä n, voit laittaa vain pituisen A-ruudun n +1 molemmilla puolilla.

Kuten aina, kysymyksemme on: Voimmeko laatoittaa rivin näillä laatoilla ja säännöillä? Oletetaan, että aloitamme A-ruudulla, jonka pituus on 1.

A

Säännöt määräävät, että kummallekin puolelle saamme laittaa vain B-laattoja, joiden pituus on 1.

BAB

Nyt jokaisen B:n viereen on asetettava A-laatat, joiden pituus on 2.

AABABAA

Sitten lisätään B-laatat, joiden pituus on 2.

BBAABABAABB

Ja niin edelleen. On helppo nähdä, että voimme jatkaa ikuisesti kumpaankin suuntaan, mikä tarkoittaa, että voimme todellakin laatoittaa rivin näillä uusilla laatoilla ja säännöillä. Ja hakumme kannalta olennainen, tällä laatoituksella ei ole translaatiosymmetriaa. Huomaa, että alkuun sijoittamamme single A joutuu välittömästi B:n ympäröimänä molemmilta puolilta, ja tuloksena oleva kuvio - BAB - ei tule enää koskaan näkyviin. Laatoitustamme edustavassa äärettömän pitkässä merkkijonossa jokainen toinen esiintyvä A on vähintään yhden muun A:n vieressä. Tämä tarkoittaa, että BAB-merkkijonolla ei ole minnekään mennä, joten tätä laatoitusta ei voi kääntää itselleen.

Tämä on totta riippumatta siitä, millä laatalla aloitamme. Jos se on B, säännöt johtavat välittömästi merkkijonoon

…BBAABAABB…

Ja kuten ennenkin, malli ABA ei koskaan toistu. Vaikka aloittaisit AAA:n kaltaisella, sama asia tapahtuu.

…AAAABBBAAABBBAAAAA…

Mitä tahansa aloitatkin, alkuperäinen ruutu on aina ainoa kyseisen pituinen A- tai B-ruutu, mikä estää translaatiosymmetrian syntymisen. Tämä sattuu olemaan juuri sitä, mitä etsimme: joukko laattoja ja sääntöjä, joiden avulla voimme laatoittaa viivan, mutta jotka eivät koskaan salli translaatiosymmetriaa.

Saatat olla tyytymätön jaksoittaiseen laatoitukseen, joka vaatii äärettömän paljon laattoja, etkä olisi yksin. Kun matemaatikot alkoivat vakavasti etsiä tason ajoittainen laatoitusta, he halusivat löytää rajallisen joukon laattoja, jotka voisivat laatoittaa tason, mutta joilla ei olisi translaatiosymmetriaa. Varhaisessa ratkaisussa käytettiin 20,426 XNUMX laattaa, mutta muutamassa vuodessa matemaatikot olivat laskeneet sen kuuteen.

Läpimurto tapahtui 1970-luvulla, kun brittiläinen matemaatikko ja fyysikko Roger Penrose löysi kuuluisan kahden laatan sarjan, joka nyt kantaa hänen nimeään. Penrose-laatat ovat yksinkertaisia ​​nelikulmioita, jotka huolellisilla säännöillä laatoittavat tason sallimatta translaatiosymmetriaa.

On vain yksi tapa parantaa kahden laatan jaksottaista laatoitusta, joten matemaatikot, harrastajat ja taiteilijat alkoivat etsiä jaksollista "monotiilia", joka tekisi työn täysin itsestään.

Viime marraskuussa David Smith löysi sen. Tämä on "hattu", ensimmäinen tunnettu jaksollinen monotiili.

Smith, vapaa-ajan matemaatikko, taiteilija ja laatoitusharrastaja, löysi hatun samalla tavalla kuin monet matematiikka löydetään: leikkimällä ja katsomalla, mitä tapahtui. Smith otti myöhemmin yhteyden tutkijoihin Craig Kaplaniin, Chaim Goodman-Straussiin ja Joseph Samuel Myersiin, jotka yhdessä vahvistivat, että tämä todellakin oli kauan etsitty aperiodinen monotiili.

Jokin todistaminen voi laatoittaa tason, mutta sillä ei voi olla translaatiosymmetriaa, ei ole helppo tehtävä, mutta joitain niiden käyttämiä tekniikoita vihjataan yksinkertaisissa esimerkeissämme. Esimerkiksi yksi tapa osoittaa, että tasasivuiset kolmiot voivat laatoittaa tason, on huomata, että ne yhdistyvät muodostaen suurempia rakenteita, tässä tapauksessa kuusikulmioita, joiden tiedetään laatoittavan tason. Hattulaatta muodostaa myös suurempia, säännöllisiä rakenteita, joiden avulla voidaan ymmärtää, kuinka se laatoittaa tason.

Vaikka viivan jaksollisessa laatoittamisessamme ei välttämättä ole toistuvaa kuviota, on kuvio, joka laajenee, kun siirryt oikealle. Ensin näet AB, sitten AABB, sitten AAABBB, sitten AAAABBBB ja niin edelleen. Tämä on eräänlainen itsensä samankaltaisuus - kuvio, joka toistuu asteikkojen muuttuessa - jota voidaan joskus käyttää osoittamaan, että tietty laatoitus ei voi muuttua itsestään, koska sen tekeminen vääristäisi pituutta.

Yhdessä työskennellen ryhmä osoitti, että käyttämällä vain hattulaatta ja sen peilikuva, voit laatoittaa tason, mutta ei translaatiosymmetrialla. Ja toisin kuin muut yritykset erilaisilla laattasarjoilla, tämä ei vaatinut erityisiä sääntöjä. Laatta itsessään pakotti jaksollisuuden. Kun he pääsivät syvemmälle geometriaan, he löysivät entistä enemmän ratkaisuja. Hattu on itse asiassa yksi loputtomasta jaksollisten laattojen perheestä!

Ajoittainen monotiilin etsintä näyttää tulleen päätökseen. Vai onko se? Laatoitaessa tasoa ajoittain hatulla, tarvitset myös sen heijastuksen (mitä saat, jos laatta käännät ympäri). Ehkä siellä on vielä tuntematon aperiodinen monotiili, joka ei vaadi peilikuvaansa. Löydä se ja sinusta tulee kuuluisa. Inspiraatio voi olla aivan jalkojen alla.

Korjaus: 23

Tämä sarake on tarkistettu kuvastamaan sitä tosiasiaa, että toistuva rakenne on vältettävissä tasasivuisten kolmioiden yksitahoisissa laatoissa.