Ensimmäisen vuoden ylioppilas löytää paradoksaalisen numerojoukon | Quanta-lehti

Matemaatikot iloitsevat, kun he todistavat, että näennäisesti mahdottomia asioita on olemassa. Näin on asian kanssa a uusi todiste julkaisi verkossa maaliskuussa Cédric Pilatte, ensimmäisen vuoden jatko-opiskelija Oxfordin yliopistossa.

Pilatte osoitti, että on mahdollista luoda joukko - numerokokoelma -, joka täyttää kaksi näennäisesti yhteensopimatonta ominaisuutta. Ensimmäinen on, että joukossa ei ole kahta numeroparia, joka muodostaa samaa summaa. Jos esimerkiksi lasket yhteen mitkä tahansa kaksi numeroa joukossa {1, 3, 5, 11}, saat aina yksilöllisen numeron. Tämän kaltaisia ​​pieniä "Sidon"-sarjoja on helppo rakentaa, mutta kun elementtien lukumäärä kasvaa, myös todennäköisyys, että summat osuvat yhteen, tuhoaa joukon sidonisuuden.

Toinen vaatimus on, että sarjan on oltava erittäin suuri. Sen on oltava ääretön, ja sinun pitäisi pystyä generoimaan mikä tahansa riittävän suuri luku lisäämällä yhteen enintään kolme joukon numeroa. Tämä ominaisuus, joka tekee joukosta "asymptoottisen kertaluvun 3 perustan", vaatii suuren, tiheän numerojoukon. "He vetävät vastakkaisiin suuntiin", Pilatte sanoi. "Sidon-joukot pakotetaan olemaan pieniä, ja asymptoottinen kanta on pakotettu olemaan suuri. Ei ollut selvää, että se voisi toimia."

Kysymys siitä, onko tällainen joukko olemassa, on viipynyt vuosikymmeniä siitä lähtien poseerattiin tuottelias unkarilainen matemaatikko Paul Erdős ja kaksi yhteistyökumppania vuonna 1993. Erdősin kiinnostus Sidon-sarjoista johtuu keskustelusta, jonka hän kävi vuonna 1932 niiden keksijän Simon Sidonin kanssa, joka oli tuolloin kiinnostunut ymmärtämään näiden joukkojen kasvunopeutta. (Erdős kuvaili myöhemmin Sidonia "keskimääräistä matemaatikkoa hullummaksi", mitä hän melkein varmasti tarkoitti kohteliaisuutena.)

Sidon-joukot syntyvät monissa matemaattisissa yhteyksissä, kuten lukuteoriassa, kombinatoriikassa, harmonisessa analyysissä ja kryptografiassa, mutta yksinkertainen kysymys siitä, kuinka suuria ne voivat kasvaa, on ollut pysyvä mysteeri, jota Erdős pohti suuren osan urastaan. Erdős tajusi varhain, että Sidon-sarjat ovat erittäin vaikeita skaalata. Vuonna 1941 hän ja toinen matemaatikko osoittautui että suurin mahdollinen Sidon-joukko, jonka kaikki jäsenet ovat pienempiä kuin jokin kokonaisluku N on oltava pienempi kuin neliöjuuri N plus termi, joka kasvaa suhteessa neljännen juureen N. (Vuoteen 1969 mennessä Bernt Lindström osoitti, että se on pienempi kuin $lateksi sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1 $, ja vuonna 2021 toinen ryhmä matemaatikoita kiristi sidontaa $lateksiin sqrt{N}+0.998 kertaa sqrt[4]{N}$.) Sidon-joukkojen, toisin sanoen, on oltava harvat.

On jo pitkään tiedetty, että Sidon-joukko ei voi olla asymptoottinen kertaluvun 2 kanta, jossa mikä tahansa kokonaisluku voidaan ilmaista enintään kahden luvun summana. (Esimerkiksi parittomat luvut muodostavat järjestyksen 2 perustan.) Kuten Pilatte selitti, tämä on niin yksinkertaista osoittaa, että matemaatikot eivät vaivautuneet kirjoittamaan sitä muistiin: "Se, että järjestys 2 on mahdotonta, tiedettiin luultavasti paljon aikaisemmin kuin se oli nimenomaisesti kirjoitettu kirjallisuudessa." Hän selitti, että tämä johtuu siitä, että "Sidon-sekvenssit eivät voi ylittää tiettyä tiheyttä, kun taas asymptoottiset emäkset luokkaa 2 ovat aina tiheämpiä kuin tämä kynnys, joten nämä kaksi ominaisuutta eivät voi pysyä yhtä aikaa."

Yleisesti uskottiin, että Sidon-joukosta voitiin rakentaa asymptoottinen 3-kertainen kanta, mutta tämän todistaminen oli toinen asia. "Ihmiset uskoivat, että tämän pitäisi olla totta", sanoi Pilatten neuvonantaja James Maynard. "Mutta käyttämissämme tekniikoissa oli vaikeuksia."

Edistystä oli tapahtunut ennen kuin Pilatte otti haasteen vastaan. Vuonna 2010 unkarilainen matemaatikko Sándor Kiss osoittivat että Sidon-joukko voi olla asymptoottinen kanta järjestyksessä 5 – mikä tarkoittaa, että mikä tahansa riittävän suuri kokonaisluku voidaan kirjoittaa enintään viiden joukon alkion summaksi – ja vuonna 2013 Kiss ja kaksi hänen kollegansa osoittautui olettamus asymptoottisesta järjestysperustasta 4. Kaksi vuotta myöhemmin espanjalainen matemaatikko Javier Cilleruelo otti nämä tulokset askel pidemmälle osoittamalla, että on mahdollista rakentaa Sidon-joukko, joka on asymptoottinen kanta järjestyksessä 3 + e, mikä tarkoittaa, että mikä tahansa riittävän suuri kokonaisluku N voidaan kirjoittaa Sidon-joukon neljän jäsenen summana, joista yksi on pienempi kuin N^e mielivaltaisen pienelle positiiviselle e.

Nämä havainnot saatiin käyttämällä muunnelmia Erdősin pioneerista todennäköisyyspohjaisesta menetelmästä, joka sisältää satunnaisen kokonaislukujoukon luomisen ja sitä hieman säätämällä, jotta saadaan aikaan joukko, joka täyttää molemmat ominaisuudet.

Pilatte tajusi, että probabilistista menetelmää oli työnnetty niin pitkälle kuin se voi mennä. "Voit saada järjestyksen 4 perusteen todennäköisyysmenetelmillä, mutta et voi saada järjestyksen 3 perustaa", hän sanoi. "Se vain epäonnistuu."

Joten Pilatte valitsi toisenlaisen otteen ja siirtyi sen sijaan menettelyyn, joka käyttää alkulukujen logaritmeja Sidon-joukkojen rakennuspalikoina. Unkarilaisen lukuteoreetikon kehittämä Imre Ruzsa ja CillerueloTämä lähestymistapa tuottaa suurempia, tiheämpiä Sidon-joukkoja kuin probabilistinen menetelmä, jota Pilatte tarvitsi luodakseen matalan järjestyksen perustan, joka myös totteli Sidonin ominaisuutta. Mutta menetelmä vaati alkulukujen laitoksen, joka puuttui jopa maailman johtavilta asiantuntijoilta. "Sinun olisi ymmärrettävä alkuluvut, jotka ylittävät kaiken, mitä meillä on", Pilatte sanoi. "Se ei siis ollut hyvä."

Ratkaisun etsintä vei Pilatten odottamattomaan suuntaan, pois additiivisesta lukuteoriasta algebrallisen geometrian maailmaan, matematiikan alaan, joka tutkii geometristen muotojen, kuten käyrien ja pintojen, ja niitä määrittävien yhtälöiden välisiä suhteita. Cilleruelon ideaa hyödyntäen Pilatte aloitti korvaamalla luvut polynomeilla, mikä teki ongelmasta välittömästi helpommin selvitettävän.

Polynomi on algebrallinen lauseke, joka koostuu termien summasta, joista jokainen on vakiokertoimen ja yhden tai useamman muuttujan tulo, joka on korotettu ei-negatiivisiin kokonaislukupotenssiin. Termejä voidaan yhdistää yhteen-, vähennys- ja kertolaskulla. Esimerkiksi 3x² + 22x + 35 on polynomi, jossa on kolme termiä. Polynomin kertoimella tarkoitetaan sen hajottamista muiden, yksinkertaisempien polynomien tuloksi. Tässä esimerkissä 3x² + 22x + 35 = (x + 5)(3x + 7). Pelkistymätön polynomi, jota ei voida ottaa huomioon, on alkuluvun analogi.

Kokonaislukujen vaihtaminen muuttujiin ja kertoimiin saattaa kuulostaa oudolta, mutta niillä on enemmän yhteistä kuin uskotkaan. "On käynyt ilmi, että polynomit käyttäytyvät hyvin samalla tavalla kuin kokonaisluvut", sanoi Pilatten Oxford-kollega. Thomas Bloom. "Voin lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa." Ja joissakin suhteissa matemaatikot ymmärtävät polynomit paljon paremmin kuin numerot. "Kaikki nämä asiat, jotka alkulukujen kanssa kuulostavat tieteiskirjallisuudesta, tunnetaan polynomimaailmassa", Maynard sanoi.

Käyttäen viimeaikainen tulos Columbian yliopiston matemaatikko Will Sawin redusoitumattomien polynomien jakaumasta aritmeettisissa progressioissa Pilatte pystyi rakentamaan joukon, jolla oli juuri oikea määrä satunnaisuutta ja juuri oikea lukutiheys Erdősin rajoitusten täyttämiseksi.

"Olin erittäin onnellinen", Pilatte sanoi. "Liityn tähän joukkoon ihmisiä, jotka ovat ratkaisseet Erdősin ongelman, ja se on hauskaa."

Mutta eniten häntä ilahduttaa yllättävä tapa, jolla hän päätyi ratkaisuun. "On hienoa, että näitä hyvin syviä algebrallisen geometrian tekniikoita voidaan käyttää myös tähän yksinkertaiseen ja konkreettiseen numerojoukkoja koskevaan kysymykseen", hän sanoi.

Erdősin ongelmilla on käsittämätön taito löytää yhteyksiä oletettavasti toisiinsa liittymättömien matematiikan alojen välillä, ja matemaatikoiden löytämät havainnot yrittäessään vastata niihin ovat usein merkityksellisempiä kuin vastaukset itse. "Ne ovat petollisia sen suhteen, kuinka syvät ne ovat, ja Cédricin ratkaisu on hyvä esimerkki tästä", Bloom sanoi. "Olen varma, että Erdős olisi ollut innoissaan."

korjaus: Kesäkuu 5, 2023
Tässä artikkelissa annettiin alun perin esimerkki Sidon-sarjasta, joka ei itse asiassa ole Sidon-sarja. Tuo esimerkki on poistettu.