Numeroiden väritys paljastaa aritmeettiset kuviot murtolukuina

Vuosi sen jälkeen, kun hän aloitti tohtorintutkinnon. matematiikassa McGill yliopistossa Matt Bowenilla oli ongelma. "Otin pätevyyskokeet ja suoriuduin niistä aivan kauheasti", hän sanoi. Bowen oli varma, että hänen pisteet eivät heijastaneet hänen matemaattisia taitojaan, ja hän päätti todistaa sen. Viime syksynä hän teki, kun hän ja hänen neuvonantajansa Marcin Sabok, teki suuren edistyksen nimellä tunnetulla alalla Ramseyn teoria.

Lähes vuosisadan Ramsey-teoreetikot ovat keränneet todisteita siitä, että matemaattinen rakenne säilyy vihamielisissä olosuhteissa. Ne voivat hajottaa suuria lukujoukkoja, kuten kokonaislukuja tai murtolukuja, tai pilkkoa verkon pisteiden välisiä yhteyksiä. Sitten he löytävät tapoja osoittaa, että tietyt rakenteet ovat väistämättömiä, vaikka yrität välttää niiden luomista rikkomalla tai viipaloimalla nerokkaalla tavalla.

Kun Ramsey-teoreetikot puhuvat lukujoukon jakamisesta, he käyttävät usein värityskieltä. Valitse useita värejä: esimerkiksi punainen, sininen ja keltainen. Määritä nyt väri jokaiselle kokoelman numerolle. Vaikka tekisit tämän satunnaisella tai kaoottisella tavalla, tiettyjä kuvioita tulee väistämättä esiin niin kauan kuin käytät vain rajallista määrää eri värejä, vaikka se määrä olisi hyvin suuri. Ramsey-teoreetikot yrittävät löytää näitä kuvioita etsimällä strukturoituja lukujoukkoja, jotka ovat "monokromaattisia", mikä tarkoittaa, että niiden elementeille on annettu sama väri.

Ensimmäiset väritystulokset juontavat juurensa 19-luvun lopulle. Vuoteen 1916 mennessä Issai Schur oli osoittanut, että vaikka värität positiiviset kokonaisluvut (tunnetaan myös luonnollisina luvuina), niissä on aina lukupari x ja y niin että x, y, ja niiden summa x+y ovat kaikki samanvärisiä. Koko 20-luvun ajan matemaatikot jatkoivat työskentelyä väritysongelmien parissa. Vuonna 1974 Neil Hindman laajensi Schurin tulosta sisällyttääksesi äärettömän kokonaislukujen osajoukon. Kuten Schurin lause, Hindmanin lause pätee riippumatta siitä, kuinka luonnolliset luvut väritetään (äärellisellä määrällä värikyniä). Nämä Hindmanin joukon kokonaisluvut eivät ole vain samanvärisiä, mutta jos lasket yhteen niiden kokoelman, tulos on myös tämä väri. Tällaiset joukot muistuttavat parillisia lukuja siinä mielessä, että aivan kuten mikä tahansa parillisten lukujen summa on aina parillinen, niin myös minkä tahansa Hindmanin joukon lukujen summa sisältyisi tähän joukkoon.

"Hindmanin lause on hämmästyttävä pala matematiikkaa", Sabok sanoi. "Se on tarina, josta voimme tehdä elokuvan."

Mutta Hindman ajatteli, että enemmän oli mahdollista. Hän uskoi, että voit löytää mielivaltaisen suuren (mutta rajallisen) yksivärisen joukon, joka sisälsi paitsi jäsentensä summat myös tuotteet. "Olen väittänyt vuosikymmeniä, että se on tosiasia", hän sanoi ja lisäsi: "En väitä pystyväni todistamaan sitä."

Hindmanin arvelu

Jos luovut summasta ja haluat vain varmistaa, että tuotteet ovat samanvärisiä, Hindmanin lausetta on helppo mukauttaa käyttämällä eksponentiota summien muuntamiseksi tuloiksi (kuten diasääntö tekee).

Summien ja tuotteiden samanaikainen painiminen on kuitenkin paljon kovempaa. "On erittäin vaikeaa saada nämä kaksi puhumaan toisilleen", sanoi Joel Moreira, matemaatikko Warwickin yliopistosta. "Ymmärtäminen, kuinka yhteen- ja kertolasku liittyvät toisiinsa - tämä on tavallaan koko lukuteorian perusta, melkein."

Jopa yksinkertaisempi versio, jota Hindman ehdotti ensimmäisen kerran 1970-luvulla, osoittautui haastavaksi. Hän arveli, että minkä tahansa luonnollisten lukujen värityksen täytyy sisältää monokromaattinen joukko muotoa {x, y, xy, x+y} — kaksi numeroa x ja y, sekä niiden summa ja tulo. "Ihmiset eivät todellakaan edistyneet tässä ongelmassa vuosikymmeniin", Bowen sanoi. "Ja sitten yhtäkkiä, noin 2010, ihmiset alkoivat todistaa siitä enemmän ja enemmän."

Bowen sai tietää {x, y, xy, x+y} ongelma vuonna 2016, hänen toisella lukukaudellaan yliopistossa, kun yksi hänen professoreistaan ​​Carnegie Mellonin yliopistossa kuvaili ongelmaa luokassa. Bowen hämmästyi sen yksinkertaisuudesta. "Se on yksi näistä hienoista asioista, jossa se on, että no, en tiedä paljoa matematiikkaa, mutta voin tavallaan ymmärtää tämän", hän sanoi.

Vuonna 2017 Moreira osoittautui että te voida aina etsi monokromaattinen joukko, joka sisältää kolme neljästä halutusta elementistä: x, xyja x + y. Sillä välin Bowen alkoi pohtia kysymystä rennosti lukiovuotensa aikana. "En pystynyt ratkaisemaan ongelmaa", hän sanoi. "Mutta palaisin siihen noin kuuden kuukauden välein." Sen jälkeen, kun hänen huono esitys hänen Ph.D. karsintakokeissa vuonna 2020, hän kaksinkertaisti ponnistelunsa. Muutamaa päivää myöhemmin hän oli osoittanut {x, y, xy, x+y} olettamus kahden värin tapaukselle, jonka Ron Graham oli todistanut jo 1970-luvulla tietokoneen avulla.

Tällä menestyksellä Bowen työskenteli Sabokin kanssa laajentaakseen tuloksen mihin tahansa määrään värejä. Mutta he sotkeutuivat nopeasti teknisiin yksityiskohtiin. "Ongelman monimutkaisuus kasvaa täysin hallitsemattomasti, kun värien määrä on suuri", Sabok sanoi. 18 kuukauden ajan he yrittivät päästä eroon itsestään huonolla onnella. "Tämän puolentoista vuoden aikana meillä oli noin miljoona väärää näyttöä", Sabok sanoi.

Erityisesti yksi vaikeus esti kahta matemaatikoa edistymästä. Jos valitset kaksi kokonaislukua satunnaisesti, et todennäköisesti pysty jakamaan niitä. Jako toimii vain niissä harvoissa tapauksissa, joissa ensimmäinen luku on toisen kerrannainen. Tämä osoittautui erittäin rajoittavaksi. Tämän ymmärryksen myötä Bowen ja Sabok kääntyivät todistamaan {x, y, xy, x+y} oletus rationaalisissa luvuissa (kuten matemaatikot kutsuvat murtolukuja). Siellä numerot voidaan jakaa hylkäämisellä.

Bowenin ja Sabokin todistus on tyylikkäimmillään, kun kaikki värit esiintyvät usein rationaalisissa luvuissa. Värit voivat esiintyä "usein" useilla eri tavoilla. Ne voivat kukin kattaa suuria paloja numerorivasta. Tai se voi tarkoittaa, että et voi matkustaa liian pitkälle numeroviivaa pitkin näkemättä jokaista väriä. Yleensä värit eivät kuitenkaan noudata näitä sääntöjä. Näissä tapauksissa voit keskittyä pieniin alueisiin rationaalisten lukujen sisällä, joissa värit näkyvät useammin, Sabok selitti. "Tänne tuli suurin osa työstä", hän sanoi.

Lokakuussa 2022 Bowen ja Sabok julkaisivat todisteen siitä, että jos värität rationaaliset luvut äärettömän monella värillä, syntyy joukko muotoa {x, y, xy, x+y} jonka kaikilla elementeillä on sama väri. "Se on uskomattoman näppärä todiste", sanoi Johtaja Imre Cambridgen yliopistosta. "Se käyttää tunnettuja tuloksia. Mutta se yhdistää ne aivan loistavalla, erittäin omaperäisellä ja erittäin innovatiivisella tavalla."

Paljon kysymyksiä jää. Voiko kolmas numero z lisätään kokoelmaan sekä siihen liittyvät summat ja tuotteet? Hindmanin rohkeimpien ennusteiden täyttäminen merkitsisi neljännen, viidennen ja lopulta mielivaltaisen määrän lisäämistä sarjaan. Se vaatisi myös siirtymistä rationaaleista luonnollisiin lukuihin ja tien löytämistä Bowenin ja Sabokin ponnisteluja häiritsevän jakoongelman ympärille.

Leader uskoo, että kun Moreira, Bowen ja Sabok työskentelevät ongelman parissa, todisteet eivät välttämättä ole kaukana. "Nämä kaverit vaikuttavat erityisen loistavilta löytämään uusia tapoja tehdä asioita", hän sanoi. "Olen siis optimistinen, että he tai jotkut heidän kollegoistaan ​​voivat löytää sen."

Sabok on varovaisempi ennusteissaan. Mutta hän ei sulje pois mitään. "Yksi matematiikan viehätyksistä on, että ennen kuin saat todisteen, kaikki on mahdollista", hän sanoi.