Michel Talagrand voitti Abel-palkinnon työstään kiistelystä sattumanvaraisuudesta | Quanta-lehti

Satunnaisia ​​prosesseja tapahtuu kaikkialla ympärillämme. Yhtenä päivänä sataa, mutta ei seuraavana; osakkeet ja joukkovelkakirjat nousevat ja menettävät arvoa; liikenneruuhkat sulautuvat yhteen ja katoavat. Koska niitä hallitsevat monet tekijät, jotka ovat vuorovaikutuksessa keskenään monimutkaisilla tavoilla, on mahdotonta ennustaa tällaisten järjestelmien tarkkaa käyttäytymistä. Sen sijaan ajattelemme niitä todennäköisyyksien perusteella luonnehtien tuloksia todennäköisiksi tai harvinaisiksi.

Nykyään ranskalainen todennäköisyysteoreetikko Michel Talagrand hänelle myönnettiin Abel-palkinto, yksi matematiikan korkeimmista kunnianosoituksista, tällaisten prosessien syvän ja hienostuneen ymmärryksen kehittämisestä. Norjan kuninkaan jakama palkinto on tehty Nobelin mallista, ja sen arvo on 7.5 miljoonaa Norjan kruunua (noin 700,000 XNUMX dollaria). Kun hänelle kerrottiin voittaneen, "mieli meni tyhjäksi", Talagrand sanoi. ”Se matematiikka, jota harrastan, ei ollut ollenkaan muodissa, kun aloitin. Sitä pidettiin huonona matematiikana. Se, että minulle myönnettiin tämä palkinto, on ehdoton todiste siitä, ettei näin ole."

Muut matemaatikot ovat samaa mieltä. Talagrandin työ "muutti tapaani nähdä maailmaa", sanoi Assaf Naor Princetonin yliopistosta. Tänään, lisätty Helge Holden, Abel-palkintokomitean puheenjohtaja, "on tulossa erittäin suosituksi kuvata ja mallintaa todellisia tapahtumia satunnaisten prosessien avulla. Talagrandin työkalupakki tulee heti esille.”

Talagrand näkee oman elämänsä epätodennäköisten tapahtumien ketjuna. Hän tuskin läpäisi peruskoulun Lyonissa: Vaikka hän oli kiinnostunut tieteestä, hän ei halunnut opiskella. Kun hän oli 5-vuotias, hän menetti näön oikeasta silmästään verkkokalvon irtoamisen jälkeen; 15-vuotiaana hän kärsi kolmesta verkkokalvon irtoamisesta toisessa silmässään, minkä vuoksi hän joutui viettämään kuukauden sairaalassa silmät sidottuina peläten sokeutuvansa. Hänen isänsä, matematiikan professori, vieraili hänen luonaan joka päivä ja piti hänen mielensä kiireisenä opettamalla hänelle matematiikkaa. "Näin opin abstraktion voiman", Talagrand kirjoitti 2019issa voitettuaan Shaw-palkinnon, toisen suuren matemaattisen palkinnon, joka sisältää 1.2 miljoonan dollarin palkkion. (Talagrand käyttää osan näistä rahoista Abel-voittojensa ohella oman palkinnon perustamiseen, "tunnustaakseen nuorten tutkijoiden saavutuksia aloilla, joille olen omistanut elämäni".)

Häneltä jäi puoli vuotta koulusta väliin toipuessaan, mutta hän innostui keskittymään opiskeluun. Hän menestyi erinomaisesti matematiikassa, ja valmistuttuaan korkeakoulusta vuonna 1974 hänet palkattiin Ranskan kansalliseen tieteelliseen tutkimuskeskukseen, Euroopan suurimpaan tutkimuslaitokseen, jossa hän työskenteli eläkkeelle jäämiseensä vuonna 2017. Tänä aikana hän suoritti tohtorin tutkinnon; rakastui ensisilmäyksellä tulevaan vaimoonsa, tilastotieteilijään (hän ​​kosi tätä kolme päivää tapaamisen jälkeen); ja vähitellen kiinnostus todennäköisyyksistä julkaisi satoja artikkeleita aiheesta.

Se ei ollut ennalta määrätty. Talagrand aloitti uransa tutkimalla korkean ulottuvuuden geometrisia tiloja. "En ollut 10 vuoteen löytänyt, missä olin hyvä", hän sanoi. Mutta hän ei katu tätä kiertokulkua. Lopulta se johti hänet todennäköisyysteoriaan, jossa "minulla oli toinen näkökulma... joka antoi minulle tavan tarkastella asioita eri tavalla", hän sanoi. Sen avulla hän pystyi tutkimaan satunnaisia ​​prosesseja korkeaulotteisen geometrian linssin läpi.

"Hän tuo geometrisen intuitionsa ratkaisemaan puhtaasti todennäköisyyskysymyksiä", Naor sanoi.

Satunnainen prosessi on kokoelma tapahtumia, joiden tulokset vaihtelevat sattuman mukaan mallinnettavalla tavalla – kuten kolikonheittojen sarja, kaasussa olevien atomien liikeradat tai päivittäiset sademäärät. Matemaatikot haluavat ymmärtää yksittäisten tulosten ja kokonaiskäyttäytymisen välistä suhdetta. Kuinka monta kertaa sinun täytyy heittää kolikkoa saadaksesi selville, onko se reilua? Ylittääkö joki rantansa?

Talagrand keskittyi prosesseihin, joiden tulokset jakautuvat kellonmuotoisen Gaussin käyrän mukaan. Tällaiset jakaumat ovat luonteeltaan yleisiä ja niillä on useita toivottavia matemaattisia ominaisuuksia. Hän halusi tietää, mitä voidaan varmuudella sanoa äärimmäisistä tuloksista näissä tilanteissa. Joten hän osoitti joukon epätasa-arvoa, joka asetti tiukat ylä- ja alarajat mahdollisille tuloksille. "Hyvän epätasa-arvon saavuttaminen on taideteos", Holden sanoi. Tämä taide on hyödyllinen: Talagrandin menetelmät voivat antaa optimaalisen arvion esimerkiksi korkeimmasta tasosta, jolle joki voi nousta seuraavan 10 vuoden aikana, tai voimakkaimman mahdollisen maanjäristyksen voimakkuudesta.

Kun käsittelemme monimutkaisia, suuriulotteisia tietoja, tällaisten enimmäisarvojen löytäminen voi olla vaikeaa.

Oletetaan, että haluat arvioida joen tulvan riskiä – mikä riippuu tekijöistä, kuten sateesta, tuulesta ja lämpötilasta. Voit mallintaa joen korkeuden satunnaisena prosessina. Talagrand vietti 15 vuotta kehittääkseen geneeriseksi ketjutukseksi kutsuttua tekniikkaa, jonka avulla hän pystyi luomaan korkeaulotteisen geometrisen avaruuden, joka liittyy tällaiseen satunnaiseen prosessiin. Hänen menetelmänsä "antaa sinulle tavan lukea maksimi geometriasta", Naor sanoi.

Tekniikka on hyvin yleinen ja siksi laajasti sovellettavissa. Oletetaan, että haluat analysoida massiivisen, moniulotteisen tietojoukon, joka riippuu tuhansista parametreista. Järkevän johtopäätöksen tekemiseksi haluat säilyttää tietojoukon tärkeimmät ominaisuudet ja luonnehtia sitä vain muutamilla parametreilla. (Tämä on esimerkiksi yksi tapa analysoida ja verrata eri proteiinien monimutkaisia ​​rakenteita.) Monet huipputekniikan mukaiset menetelmät saavuttavat tämän yksinkertaistamisen käyttämällä satunnaista operaatiota, joka kartoittaa korkeaulotteisen datan alemman ulottuvuuden tilaan. . Matemaatikot voivat käyttää Talagrandin yleistä ketjutusmenetelmää määrittääkseen tämän prosessin aiheuttaman virheen maksimimäärän – jolloin he voivat määrittää todennäköisyyden, että jokin tärkeä ominaisuus ei säily yksinkertaistetussa tietojoukossa.

Talagrandin työ ei rajoittunut vain satunnaisen prosessin parhaiden ja huonoimpien mahdollisten tulosten analysointiin. Hän myös tutki, mitä tapahtuu keskimääräisessä tapauksessa.

Monissa prosesseissa satunnaiset yksittäiset tapahtumat voivat yhdessä johtaa erittäin deterministisiin tuloksiin. Jos mittaukset ovat riippumattomia, kokonaismäärästä tulee hyvin ennustettavissa, vaikka jokaista yksittäistä tapahtumaa on mahdotonta ennustaa. Heitä esimerkiksi reilu kolikko. Et voi sanoa mitään etukäteen siitä, mitä tapahtuu. Käännä sitä 10 kertaa, niin saat neljä, viisi tai kuusi päätä – lähellä viiden pään odotettua arvoa – noin 66 % ajasta. Mutta käännä kolikkoa 1,000 kertaa, niin saat 450–550 päätä 99.7 % ajasta, mikä on vieläkin keskittyneempi 500:n odotusarvon ympärille. "Se on poikkeuksellisen terävä keskiarvon ympärillä", Holden sanoi.

"Vaikka jossain on niin paljon satunnaisuutta, satunnaisuus kumoaa itsensä", Naor sanoi. "Se mikä aluksi tuntui kauhealta sotkulta, on itse asiassa järjestetty."

Tämä ilmiö, joka tunnetaan nimellä mittauskonsentraatio, esiintyy myös paljon monimutkaisemmissa satunnaisprosesseissa. Talagrand keksi kokoelman epätasa-arvoja, jotka mahdollistavat tämän keskittymisen kvantifioinnin, ja osoitti, että se syntyy monissa eri yhteyksissä. Hänen tekniikkansa merkitsi poikkeamaa aikaisemmasta työstä alueella. Todisti ensimmäisen tällaisen epätasa-arvon, hän kirjoitti vuoden 2019 esseessään, että se oli "maaginen kokemus". Hän oli "jatkuvassa innostuneessa tilassa".

Hän on erityisen ylpeä yhdestä myöhemmistä keskittymiseroistaan. "Ei ole helppoa saada tulosta, joka yrittää ajatella maailmankaikkeutta ja jolla on samalla yksisivuinen todiste, joka on helppo selittää", hän sanoi. (Hän muistelee ilolla käyttäneensä kerran taksipalvelua, jonka omistaja tunnisti hänen nimensä, kun hän oli oppinut epätasa-arvon todennäköisyysluokissa kauppakorkeakoulussa. "Se oli poikkeuksellista", hän sanoi.)

Kuten hänen yleinen ketjutusmenetelmänsä, Talagrandin pitoisuusepätasa-arvot näkyvät kaikkialla matematiikassa. "On hämmästyttävää, kuinka pitkälle se menee", Naor sanoi. "Talagrandin epätasa-arvo on ruuveja, jotka pitävät asiat yhdessä."

Harkitse optimointiongelmaa, jossa sinun on lajiteltava erikokoiset kohteet lokeroihin – resurssien allokoinnin malli. Kun tavaroita on paljon, on erittäin vaikeaa saada selville pienin tarvittava määrä roskakoria. Mutta Talagrandin epätasa-arvot voivat kertoa, kuinka monta roskakoria todennäköisesti tarvitset, jos esineiden koot ovat satunnaisia.

Samanlaisia ​​menetelmiä on käytetty keskittymisilmiöiden osoittamiseen kombinatoriikassa, fysiikassa, tietojenkäsittelytieteessä, tilastoissa ja muissa ympäristöissä.

Äskettäin Talagrand sovelsi ymmärrystään satunnaisista prosesseista todistaakseen tärkeän olettamuksen spin-laseista, satunnaisten, usein ristiriitaisten vuorovaikutusten aiheuttamista epäjärjestyneistä magneettisista materiaaleista. Talagrand oli turhautunut siitä, että vaikka spin-lasit ovat matemaattisesti hyvin määriteltyjä, fyysikot ymmärsivät ne paremmin kuin matemaatikot. "Se oli piikki jalassamme", hän sanoi. Hän osoitti tuloksen - noin ns. spin-lasien vapaasta energiasta - joka loi perustan matemaattisemmalle teorialle.

Koko uransa ajan Talagrandin tutkimusta on leimannut "tämä kyky vain astua taaksepäin ja löytää yleiset periaatteet, joita voidaan käyttää uudelleen kaikkialla", Naor sanoi. ”Hän vierailee ja vierailee uudelleen ja pohtii jotain kaikenlaisista näkökulmista. Ja lopulta hän tuo esiin oivalluksen, josta tulee työhevonen, jota kaikki käyttävät."

"Tykkään ymmärtää yksinkertaisia ​​asioita erittäin hyvin, koska aivoni ovat hyvin hitaita", Talagrand sanoi. "Joten ajattelen heitä hyvin, hyvin pitkään." Hän sanoi, että häntä ohjaa halu "ymmärtää jotain syvästi, puhtaalla tavalla, mikä tekee teoriasta paljon helpompaa. Sitten seuraava sukupolvi voi aloittaa sieltä ja edistyä omilla ehdoillaan."

Viimeisen vuosikymmenen aikana hän on saavuttanut tämän kirjoittamalla oppikirjoja - ei vain satunnaisista prosesseista ja pyörimislaseista, vaan myös alueesta, jolla hän ei työskentele ollenkaan, kvanttikenttäteoriasta. Hän oli halunnut oppia siitä, mutta tajusi, että kaikki hänen löytämänsä oppikirjat olivat fyysikkojen, ei matemaatikoiden, kirjoittamia. Joten hän kirjoitti sellaisen itse. "Kun et voi enää keksiä asioita, voit selittää ne", hän sanoi.