Miksi matemaatikot todistavat uudelleen sen, mitä he jo tietävät

Ensimmäinen todiste, jonka monet ihmiset koskaan oppivat lukion varhaisessa vaiheessa, on antiikin kreikkalaisen matemaatikon Euclidin todiste siitä, että alkulukuja on äärettömän monta. Se vie vain muutaman rivin, eikä siinä käytetä monimutkaisempia käsitteitä kuin kokonaisluvut ja kertolasku.

Hänen todisteensa perustuu siihen tosiasiaan, että jos alkulukuja olisi äärellinen määrä, niiden kaikkien kertominen ja 1:n lisääminen merkitsisi toisen alkuluvun olemassaoloa. Tämä ristiriita tarkoittaa, että alkulukujen on oltava äärettömiä.

Matemaatikoilla on omituisen suosittu harrastus: sen todistaminen yhä uudelleen ja uudelleen.

Miksi vaivautua tekemään tätä? Ensinnäkin se on hauskaa. Vielä tärkeämpää on, "Mielestäni raja virkistysmatematiikan ja vakavan matematiikan välillä on hyvin ohut", sanoi William Gasarch, tietojenkäsittelytieteen professori Marylandin yliopistossa ja kirjoittaja uusi todiste julkaistu verkossa aiemmin tänä vuonna.

Gasarchin todiste on vain viimeisin pitkästä peräkkäisestä uusista todisteista. Vuonna 2018 Romeo Meštrović Montenegron yliopiston tutkija kokosi lähes 200 todistetta Eukleideen lauseesta kattava historiallinen katsaus. Itse asiassa koko analyyttisen lukuteorian ala, joka käyttää jatkuvasti vaihtelevia suureita kokonaislukujen tutkimiseen, luultavasti peräisin vuonna 1737, kun matemaattinen jättiläinen Leonhard Euler käytti sitä tosiasiaa, että ääretön sarja 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … hajoaa (eli se ei summaa äärellistä lukua), todistaa jälleen, että alkulukuja on ääretön määrä.

Christian Elsholtz, matemaatikko Grazin teknillisessä yliopistossa Itävallassa ja kirjoittaja toinen tuore todiste, sanoi, että sen sijaan, että olisi osoittanut kovia tuloksia monista pienemmistä tuloksista – mitä matemaatikot tekevät, kun he kokoavat systemaattisesti lemmoja lauseiksi – hän teki päinvastoin. ”Käytän Fermatin viimeistä lausetta, joka on todella epätriviaali tulos. Ja sitten päätän hyvin yksinkertaisen tuloksen." Tällä tavalla taaksepäin työskentely voi paljastaa piilotettuja yhteyksiä matematiikan eri alueiden välillä, hän sanoi.

"Siellä on vähän kilpailua siitä, että ihmiset saavat naurettavan vaikeimman todisteen", sanoi Andrew Granville, matemaatikko Montrealin yliopistosta ja kirjailija kahdesta muita todisteita. "Sen täytyy olla hauskaa. Ei ole tarkoitus tehdä jotain teknisesti kauheaa. Ainoa tapa, jolla haluat tehdä jotain vaikeaa, on se, että se on huvittavaa.”

Granville sanoi, että tässä ystävällisessä yhdentekemisessä on vakava pointti. Tutkijoille ei syötetä vain kysymyksiä, joita he yrittävät ratkaista. ”Matematiikan luontiprosessissa ei ole kyse, asetat vain tehtävän koneelle ja kone ratkaisee sen. Kyse on siitä, että joku ottaa sen, mitä hän on tehnyt aiemmin, ja käyttää sitä tekniikan luomiseen ja tavan kehittää ideoita."

Kuten Gasarch sanoo: "Kaikki paperit ovat peräisin suloisesta uudesta todisteesta siitä, että alkuluvut ovat äärettömiä vakavassa matematiikassa. Yhtenä päivänä katsot vain alkulukuja ja seuraavana neliöiden tiheyksiä."

Gasarchin todistus alkaa siitä tosiasiasta, että jos värjäät kokonaisluvut äärellisellä määrällä värejä, tulee aina olemaan samanvärinen lukupari, jonka summa on myös se väri, joka oli todistettu vuonna 1916 Kirjailija: Isai Schur Gasarch käytti Schurin lausetta osoittaakseen, että jos alkulukuja olisi äärellinen määrä, olisi olemassa täydellinen kuutio (kokonaisluku, kuten 125, joka on yhtä suuri kuin jokin muu kokonaisluku kerrottuna itsellään kolme kertaa), joka on kahden summa. muut täydelliset kuutiot. Mutta jo vuonna 1770 Euler oli osoittanut, ettei tällaista kuutiota ole olemassa n = 3 tapaus Fermatin viimeisestä lauseesta, joka olettaa, että ei ole kokonaislukuratkaisuja aⁿ + bⁿ = cⁿ varten n suurempi kuin 2. Tämän ristiriidan perusteella Gasarch päätteli, että alkulukuja täytyy olla ääretön määrä.

Yhdessä Granvillen vuoden 2017 todistuksessa käytettiin Fermatin eri lausetta. Granville luotti pääasiassa a 1927 lause Bartel Leendert van der Waerden, joka osoitti, että jos värjäät kokonaisluvut äärellisellä määrällä värejä, on aina olemassa mielivaltaisen pitkiä ketjuja tasaisin välimatkoin samanvärisiä kokonaislukuja. Kuten Gasarch, Granville aloitti olettamuksella, että alkuluvut ovat äärellisiä. Sitten hän käytti van der Waerdenin lausetta löytääkseen neljän tasaisin välein identtisesti väritetyn täydellisen neliön sekvenssin. Mutta Fermat oli osoittanut, ettei tällaista sekvenssiä voi olla olemassa. Ristiriita! Koska tällainen jono voisi olla olemassa, jos alkulukuja olisi äärellinen, mutta se ei voi olla olemassa, alkulukuja täytyy olla ääretön määrä. Granvillen todistus oli toinen viimeaikainen päätodiste van der Waerdenin lauseeseen perustuvasta - Levent Alpöge, nyt Harvardin yliopiston postdoc, oli myös käyttänyt tulosta a 2015 paperi, julkaistiin hänen ollessaan vielä yliopistossa.

Granville on erityinen Elsholtzin paperin fani, joka soveltaa myös Fermatin viimeistä lausetta ja kontrafaktuaalista oletusta, että alkulukuja on vain äärettömän monta. Kuten Gasarch, Elsholtz sisällytti Schurin lauseen, vaikkakin hieman eri tavalla. Elsholtz antoi myös toisen todisteen käyttämällä a Klaus Rothin 1953 lause, joka sanoo, että tietyn koon ylittävien kokonaislukujen joukossa on oltava kolmen tasaisin välein olevan luvun ryhmiä.

Joitakin syvempiä – ja jopa käytännöllisiä – matemaattisia kysymyksiä voidaan vastata tämän työn pohjalta. Esimerkiksi julkisen avaimen salaus, joka perustuu suurten lukujen laskemisen vaikeuteen, olisi erittäin helppo murtaa, jos eläisimme maailmassa, jossa on äärettömän monta alkulukua. Elsholtz pohtii, voisiko näin ollen olla jokin yhteys äärettömän monen alkuluvun todisteiden ja sen välillä, kuinka vaikeaa on murtaa tällaisia ​​salausjärjestelmiä. On olemassa "jokin heikko yhteys Eukleideen lauseeseen", Elsholtz sanoi. "Olisi mielenkiintoista nähdä syvempiä yhteyksiä."

Granville sanoi, että paras matematiikka voi kasvaa eri alojen ja aiheiden oudoista yhdistelmistä, ja se syntyy usein sen jälkeen, kun matemaatikot ovat viettäneet vuosia alemman tason mutta hauskoja ongelmia pohtien. Häntä kiehtoo se, että näennäisesti etäisiä aiheita voitaisiin soveltaa lukuteoriaan. Äskettäisessä tutkimuksessa Granville ylisti "harvaa eleganssia" a Vuoden 1955 todiste Hillel Furstenberg, joka käytti pistejoukkotopologiaa. Kuten Alpöge, Furstenberg oli vielä yliopistossa, kun hänen todisteensa julkaistiin. Hän jatkaisi an maineikkaan uran vuonna erilaisia ​​matemaattisia tieteenaloja.

Granville kysyi retorisesti, ovatko uudet todisteet Eukleideen vanhasta tuloksesta "vain uteliaisuutta vai jotain, jolla on pitkän aikavälin merkitystä". Hän vastasi omaan kysymykseensä: "En voi kertoa sinulle."