Matemaatikot tunnistavat ikonisten muotojen parhaat versiot | Quanta-lehti

Kahden viime vuoden aikana matemaatikot ovat löytäneet parhaat versiot lasten leikkihuoneen muodoista. Nämä tulokset muodostavat omituisen matematiikan kulman, ja ne on sopivasti tuotettu epätodennäköisen yhteistyön avulla, jossa on ollut matemaatikko, joka harjoittelee origamia vaimonsa kanssa, ja professori, joka opettaa tämän opiskelijaa leikkiä paperilla.

Työ tapahtuu "optimaalisten" muotojen tutkimuksen puitteissa, mikä edellyttää ymmärtämistä, mikä muodon versio saavuttaa parhaiten tavoitteen tietyin rajoituksin. Mehiläiset ymmärtävät tämän epäsuorasti: He rakentavat hunajakennoja, joissa on kuusikulmainen kenno, koska kuusikulmiot tarjoavat suurimman tallennuskapasiteetin vähiten resurssien avulla.

Ainakin historiassa ensimmäinen henkilö, joka etsi tällaista muotoa, oli Dido, Karthagon perustajakuningatar. Kun hän laskeutui nykyiselle Tunisian rannikolle, hän teki sopimuksen berberikuninkaan Iarbasin kanssa. Hän suostui antamaan hänelle kaiken maan, jonka hän voisi sulkea yhteen härännahkaan. Sen sijaan, että makasi niukan nahan tasaiseksi, kuten Iarbas oli odottanut, Dido leikkasi sen ohuiksi suikaleiksi, joita hän käytti ympäröimään ja vaatimaan koko kukkulan. Nousevan kuningattaren näkemys oli, että kun otetaan huomioon kiinteä määrä materiaalia, optimaalinen aluetta sulkeva muoto, joka määritti Karthagon kaupungin rajat, on ympyrä.

"Heillä on yleensä tämä maku. On olemassa esineperhe, ja haluat tietää, mikä maksimoi tämän tai minimoi sen", sanoi Richard Schwartz Brownin yliopistosta, joka julkaisi kolme tulosta optimaalisista muodoista nopeasti peräkkäin viime elokuusta alkaen, mukaan lukien yhden vaimonsa kanssa, Brienne Elisabeth Brown.

Kaikki viimeaikaiset tulokset koskevat tietyn muodon tekemiseen käytettävän paperin, köyden tai narun määrän minimoimista. Schwartzin äskettäinen juoksu alkoi Möbius-nauhalla, joka muodostetaan ottamalla paperiliuska, antamalla sille kierre ja yhdistämällä päät. Sen outo ominaisuus on pinta, jolla on vain yksi puoli, mikä tarkoittaa, että voit jäljittää sen koko pinnan nostamatta koskaan sormeasi.

Jo 1930-luvulla matemaatikot ovat yrittäneet löytää tyhmimmän mahdollisen suorakulmion, joka voidaan kiertää Möbius-nauhaksi. Vaikuttaa intuitiivisesti selvältä, että pitkä, laiha suorakulmio on helppo kiertää yksipuoliseksi nauhaksi, mutta neliön kanssa se on mahdotonta. Mutta missä se raja tarkalleen menee?

Optimaaliset muodot syntyvät, kun yritämme minimoida tai maksimoida jotain arvoa, kuten tässä tapauksessa nauhan leveyden suhdetta sen pituuteen. Ratkaisevilla matemaattisilla tavoilla ne ovat muodon äärimmäisin versio. Optimaalisten muotojen tutkimus on silta geometrian, jossa pituus on tärkeä, ja topologian, matematiikan haaran, joka käsittelee idealisoituja objekteja, jotka ovat loputtomasti venyviä ja puristuvia, välillä. Topologiassa erikokoiset Möbius-nauhat ovat keskenään vaihtokelpoisia, koska pieni kaistale voidaan venyttää suureksi, leveä puristaa laihaksi ja niin edelleen. Samoin minkä tahansa kokoiset suorakaiteen muotoiset nauhat ovat topologisesti samoja.

Kuitenkin nauhan kiertäminen ja päiden yhdistäminen muuttaa asioita. Optimaalisten muotojen huomioon ottaminen on topologian rajojen huomioon ottamista. Kyllä, voit puristaa yhden Möbius-nauhan toiseen. Mutta kuinka paljon voit puristaa, ennen kuin on mahdotonta mennä pidemmälle?

"Yksi kysymys on, mikä on pienin pituus ja toinen on, onko tapa saavuttaa pienin pituus ja miltä se näyttää", sanoi Elizabeth Denne Washingtonista ja Leen yliopistosta.

Kaiken kaikkiaan viime vuosina on saatu ainakin viisi tulosta, jotka ovat löytäneet uusia parhaita arvoja eri muodoille, mukaan lukien Möbius-nauha (yhdellä kierteellä), kolmikierros Möbius-nauha ja yksinkertainen solmu. Jotkut näistä tuloksista tunnistavat muodon tunnetuimman arvon; toiset menevät askeleen pidemmälle ja osoittavat, ettei parempaa arvoa ole mahdollista saada.

Optimaalinen Möbius Strip

Virallistaakseen, kuinka lähellä neliötä suorakulmio on, matemaatikot käyttävät lukua, jota kutsutaan kuvasuhteeksi. Se on yksinkertaisesti pituus jaettuna leveydellä. Neliön kuvasuhde on 1, kun taas pitkän, ohuen, nauhamaisen suorakulmion kuvasuhde on paljon suurempi. Nauhassa on runsaasti löysää, jolloin suorakulmion päät voidaan kiertää ja kiinnittää toisiinsa. Mutta kun nauha lyhenee ja kuvasuhde lähestyy yhtä eli neliötä, se kovenee. Tietyssä vaiheessa se ei ole enää mahdollista.

Vuonna 1977 kaksi matemaatikkoa arveli, että Möbius-nauhaan kierrettävän suorakulmion, jonka leveys on 1, on oltava pidempi kuin $latex sqrt{3}$, kuten oikeassa alakulmassa olevassa nauhassa. Elokuussa 2023 Schwartz osoitti, että he olivat oikeassa: mikä tahansa lähempänä neliötä kuin se, eikä suorakulmiota voi mitenkään kiertää Möbius-nauhaksi.

Saatat tuntea houkutusta löytää fiksu ratkaisu. Jos taitat neliön ylös kuin haitari ja luot ohuen paperinauhan, voit kiertää sen Möbius-nauhaksi. Mutta sillä ei ole merkitystä, koska taitokset ovat teräviä, eivät sileitä. (Silevyydellä on erityinen matemaattinen merkitys, joka on linjassa tavallisen englanninkielisen merkityksen kanssa.)

Yhtä keskeistä työkalua optimaalisten muotojen määrittämisessä kutsutaan "rajoittavaksi muodoksi". Rajoittavat muodot eroavat ratkaisevista suhteista optimoitavista muodoista, mutta niillä on myös joitain niiden ominaisuuksia. Ajattele karkean analogian perusteella, kuinka jos venytät suorakulmion pitemmäksi ja ohuemmaksi, se alkaa näyttää viivalta tai kuinka monikulmiot, joissa on yhä enemmän sivuja, alkavat muistuttaa ympyrää.

Tässä tapauksessa Schwartz luo Möbius-nauhalle rajoittavan muodon. Aloita litteästä paperista, joka on yhden yksikön leveä ja $latex sqrt{3}$ yksikköä pitkä. Aloita taittamalla se alla olevien ohjeiden mukaisesti. Tämä luo teräviä ryppyjä, kuten haitari, mutta hetkessä teemme ryppyistä tasoittamalla paperia hieman.

Taita alas vasemmasta yläkulmasta ja ylös oikeasta alakulmasta, jolloin syntyy timantti. Taita sitten ylös timantin keskiviivan yli ja teippaa yhteen kaksi reunaa, jotka näkyvät sinisillä ja keltaisilla katkoviivoilla, jotka kohtaavat timantin sisällä. Lisää nyt vain pienintä löysyyttä tekemällä nauhasta hieman pidempi tai hieman kapeampi, jotta voit vetää kolmiot erilleen. Tämä on sinun Möbius-nauhasi. Äärettömän pieni muurahainen, joka kulki kolmion pinnalla taitoksia seuraten, kulkisi koko matkan ympäri – sillä on vain yksi puoli.

Matemaatikot ovat pitkään tienneet, että tällainen kolmio on Möbius-liuskojen rajoittava muoto. Schwartz osoitti, että muita rajoittavia muotoja, jotka mahdollistaisivat tylsemmän nauhan, ei ole olemassa. Tätä varten hän käytti kolmion taitteiden muodostamaa T-kirjainta, kuten yllä olevasta oikeasta kolmiosta näkyy.

Schwartz yhdistetyt argumentit topologiasta ja geometriasta. Hän käytti topologiaa osoittaakseen, että jokaiselle paperille Möbius-nauhalle on mahdollista piirtää risteäviä viivoja, jotka muodostavat T:n tietyllä tavalla. Sitten hän osoitti jotain perusgeometriaa - Pythagoran lausetta ja kolmio-epäyhtälöä - käyttäen, että jos sellainen T on olemassa (jonka sen täytyy olla), nauhan kuvasuhteen on oltava suurempi kuin $latex sqrt {3}$.

Optimaalinen kierretty paperisylinteri

Kun Schwartz löysi optimaalisen Möbius-nauhan, ihmiset kysyivät häneltä: Mitä tapahtuisi, jos käänteitä olisi enemmän? Mikä tahansa pariton määrä kierroksia tuottaa Möbius-nauhan, koska tuloksena olevalla muodolla on edelleen vain yksi puoli. Toisaalta parillinen määrä kierteitä tuottaa kaksipuolisen rakenteen, jota kutsutaan kierretyksi sylinteriksi (näkyy alla vasemmalla). Toisin kuin tavallisella sylinterillä, sillä ei ole selkeästi määriteltyä sisä- ja ulkopuolta.

Möbius-nauhaa käsittelevän paperinsa jälkeen Schwartz osoittautui syyskuun lopulla, että kierretyn sylinterin rajoittava muoto voidaan tehdä taittamalla 1 x 2 suorakulmio, joka on muodostettu neljästä päällekkäisestä suorakulmaisesta kolmiosta (kuten yllä oikealla näkyy). Aluksi taita kolmio B kolmion A taakse ja kolmio D kolmion C yläpuolelle. (Katkoviivanuolet osoittavat taitoksia taaksepäin, ja kiinteät nuolet osoittavat taitoksia eteenpäin.) Taita sitten syntynyt kolmio kahtia asettamalla alapuolikas. yläosan takana. Teippaa sitten yhteen katkoviivat siniset ja keltaiset viivat (jotka olivat alun perin suorakulmion ylä- ja alaosa). Pidennä lopuksi aloitussuorakulmiota hieman pidemmäksi, jotta sinulla on tarpeeksi löysyyttä vetääksesi litteän muodon ylös puristetuksi kierretyksi sylinteriksi. "Perusideana on rakentaa ensin rajoittava muoto ja sitten löysätä muotoa hieman ja pyöristää taitoksia", kirjoitti Schwartz. "Minusta tämä on vähän kuin sen tekeminen ja sitten liottaminen vedessä yön yli." Kuten kuvasta (oikealla ylhäällä) näkyy, pinottu kolmion muoto on kaksi kertaa niin pitkä kuin se on leveä, joten kierretyn sylinterin optimaalinen kuvasuhde on 2.

Optimaalinen kolmen kierteen Möbius Strip

Sitten Schwartz kiinnitti huomionsa kolmikierroksiseen Möbius-nauhaan. Kuten yksikäänteinen nauha, tämä on yksipuolinen hahmo, mutta kahden ylimääräisen kierteen vuoksi sen raja on monimutkaisempi. Schwartz ajatteli, että sen rajoittava muoto tulee olemaan kuusikulmio, hämmentävä muoto, jonka Martin Gardner teki suosituksi. 1956 sarake in Scientific American. Heksaflexagonit valmistetaan taittamalla tasasivuisten kolmioiden nauha ja liimaamalla päät yhteen. Litistetty kuusikulmio näyttää kuusikulmiolta, joka on jaettu kuuteen kolmioon. Mutta sitä voidaan "taukistaa" puristamalla vierekkäiset sivut yhteen, kuten kohdassa lasten peli MASH. Kun se avataan uudelleen, erilainen kolmioryhmä on ulospäin. "Tämä on kuin jos ennustaja ja Möbius-yhtye saisivat lapsen", Schwartz sanoi.

Mutta Schwartzin vaimo Brienne Elisabeth Brown alkoi leikkiä paperilla ja paljasti kuusikulmaisen olevan "hieman punaista silakkaa", Schwartz sanoi. Brown löysi rakenteen, jota hän kutsuu "ristikkäiseksi" (näkyy alla), joka on kolminkertaisen Möbius-nauhan rajoittava muoto ja on kolme kertaa leveämpi. Ensin taitat nauhan keskellä olevaa diagonaalista linjaa ja otat alaosan yläosan eteen. Sitten taitat oikean ylemmän kolmion alla olevan kolmion eteen ja sen vasemmalle puolelle. Sinulla on nyt vaiheessa 2 esitetty muoto: vino suunnikas, jonka neliö ulkonee oikealle. Tuo neliö suunnikkaan taakse ja yläreunassa oleva kolmio sen alapuolella olevan neliön eteen. Tämä tekee uuden neliön, joka näkyy vaiheessa 3.

Alun perin ylä- ja alareunat (näkyy katkovilla sinisillä ja keltaisilla viivoilla) ovat nyt molemmat neliön vasemmassa reunassa; teippaa ne yhteen ja olet luonut rajoittavan muodon kolmekierteiselle Möbius-nauhalle. Kuten yksikierteisen nauhan tapauksessa, tämä litteä muoto ei ole sinänsä Möbius-nauha, mutta jos sille annetaan vain vähän lisäpituutta, jotta se voi rentoutua kolmiulotteiseksi ilman jyrkkiä mutkia, se muodostaa kolmen kierteen nauhan.

Brown ja Schwartz löysivät myös täysin erilaisen rajoittavan muodon kolmikierteiselle sylinterille, jota he kutsuvat kupiksi. Toisin kuin ristiin, kuppia ei voida asettaa litteäksi. Ristiristikon tavoin se on kuitenkin kolme kertaa niin pitkä kuin se on leveä. Lehdessä posted 16. lokakuuta Brown ja Schwartz selittävät, miksi he ajattelevat, että optimaalisen kolmen kierteen nauhan kuvasuhde on 3. Mutta he eivät ole vielä pystyneet todistamaan sitä, osittain koska kupin olemassaolo, joka ei voi olla litistetty, tarkoittaa, että Schwartzin yhden ja kahden kierteen tapauksissa esittämiä argumentteja ei voida laajentaa kolmen kierteen tapaukseen.

Optimaaliset Trefoil-solmut

Kaikki optimaaliset muodot eivät ole Möbius-nauhan variantteja. Matemaatikot pohtivat myös, kuinka paljon materiaalia tarvitset erilaisten solmujen tekemiseen. Vuonna 2020, tämä ja kaksi hänen perustutkinto-opiskelijaansa - John Carr Haden ja Troy Larsen - tutkivat solmuja, jotka voidaan piirtää toruksen tai donitsin pinnalle.

Yksinkertaisinta torussolmua – itse asiassa yksinkertaisinta ei-triviaalista solmua, piste – kutsutaan apilaksi. Se on sama kuin se, jota monet ihmiset käyttävät ensimmäisessä vaiheessa, kun he sitovat kengännauhojaan tekemällä silmukan köyteen ja vetämällä sen toisen pään läpi, jos rusetin sitomisen sijaan he vain liimasivat kengännauhojen kärjet yhteen muodostamaan solmu, jonka kaksi löysää päätä on yhdistetty.

Tavallinen tapa sitoa apila vastaa narun käärimistä toruksen ympärille, kuten tässä on esitetty: