Pisteitä erottavien etäisyyksien määrällä on uusi raja | Quanta-lehti

Sirota kolme pistettä tasoon ja mittaa sitten niiden jokaisen parin väliset etäisyydet. Todennäköisesti löydät kolme eri etäisyyttä. Mutta jos järjestät pisteet tasasivuiseen kolmioon, jokainen etäisyys on sama. Tasossa tämä on mahdotonta tehdä neljällä pisteellä. Pienin määrä etäisyyksiä, joita voit suunnitella, on 2 — neliön reunat ja diagonaalit.

Mutta jos nostat yhden pisteistä ylös tasosta luodaksesi pyramidin, jonka jokainen sivu on tasasivuinen kolmio, sinulla on neljä pistettä, joita erottaa yksi ainutlaatuinen etäisyys – pyramidin yhden sivun pituus. kolmio.

Jos sinulla on paljon pisteitä, nämä kuviot tulevat entistä selvemmiksi. Sata satunnaisesti hajallaan olevaa pistettä tasossa määrittelee todennäköisesti 4,950 100 erillistä parittaista etäisyyttä. Mutta jos järjestät 50 pistettä tasaiseen nelikulmaiseen ruudukkoon, minkä tahansa pisteparin erottaa yksi vain XNUMX mahdollisesta etäisyydestä. Nosta pisteet kolmiulotteiseksi ruudukoksi ja voit pienentää sitä entisestään.

Pisteiden välisiä etäisyyksiä koskeviin kysymyksiin vastaaminen saattaa kuulostaa esoteeriselta harjoitukselta. Mutta vuosikymmeniä kestäneessä tällaisten ongelmien ratkaisemisessa matemaatikot ovat kehittäneet työkaluja, joilla on laaja valikoima muita sovelluksia lukuteoriasta fysiikkaan.

"Kun ihmiset yrittivät ratkaista ongelman", sanoi Pablo Shmerkin British Columbian yliopistosta "he alkoivat löytää yhteyksiä, jotka olivat yllättäviä ja odottamattomia."

Viimeisin kehitys tuli viime vuoden lopulla, kun neljä matemaatikot tekivät yhteistyötä osoitti uuden suhteen pistejoukkojen geometrian ja niiden välisten etäisyyksien välillä.

Pistejoukon määrittelemää eri etäisyyksien luetteloa kutsutaan sen etäisyysjoukoksi; laske kuinka monta numeroa on luettelossa, ja saat etäisyysjoukon koon. Vuonna 1946 tuottelias matemaatikko Paul Erdős arveli, että suurelle pistemäärälle asetettu etäisyys ei voi olla pienempi kuin se, jonka saat, kun järjestät pisteet ruudukoksi. Ongelma, vaikkakin yksinkertainen, osoittautui erittäin syväksi ja vaikeaksi. Edes kahdessa ulottuvuudessa sitä ei ole vieläkään täysin todistettu, vaikka vuonna 2010 kaksi matemaatikkoa tuli niin lähelle että se katsotaan nyt tosiasiallisesti ratkaistuksi; se pysyy avoimena korkeammissa ulottuvuuksissa.

Sillä välin matemaatikot muotoilivat myös uusia versioita olettamuksesta. Yksi tärkeimmistä näistä syntyi a 1985 paperi by Kenneth Falconer, matemaatikko St. Andrewsin yliopistossa Skotlannissa. Falconer ihmetteli, mitä voidaan sanoa eri etäisyyksistä äärettömän määrän pisteitä välillä.

Jos sinulla on äärettömän monta pistettä, pelkkä laskeminen ei ole enää kovin hyödyllistä. Mutta matemaatikoilla on muita tapoja määrittää koko. Falconerin olettamus asettaa suhteen pistejoukon geometrian - jota kuvaa fraktaalimittaksi kutsuttu luku - ja etäisyysjoukon koon välillä, jolle on tunnusomaista numero, jota kutsutaan mittaksi.

Fraktaaliulottuvuus on linjassa tavallisen intuition kanssa ulottuvuuksista. Aivan kuten tutumman ulottuvuuden käsitteen kanssa, viivan janan fraktaalimitta on 1, kun taas neliön (sen sisäpuoli täytettynä) fraktaaliulottuvuus on 2. Mutta jos pistekokoelma muodostaa monimutkaisemman fraktaalikuvion - kuin käyrä, jossa mikroskooppisia käänteitä näkyy jatkuvasti riippumatta siitä, kuinka pitkälle zoomaat - sen fraktaalimitta ei ehkä ole kokonaisluku. Esimerkiksi alla esitetyn Kochin lumihiutalekäyrän, jossa on loputon sarja yhä pienempiä kolmion muotoisia kohoumia, mitat ovat noin 1.26.

Yleensä äärettömällä pistejoukolla on fraktaaliulottuvuus, joka riippuu karkeasti siitä, kuinka hajallaan se on. Jos se on hajallaan tason ympäri, sen fraktaalimitta on lähellä 2:ta. Jos se näyttää enemmän suoralta, sen fraktaalimitta on lähellä yhtä. Samanlaisia ​​rakenteita voidaan määritellä pistejoukoille kolmiulotteisessa avaruudessa , tai jopa korkeammissa mitoissa.

Falconerin oletuksen toisella puolella on asetetun etäisyyden mitta. Mitta on eräänlainen matemaattinen yleistys pituuden käsitteelle. Yksittäisellä luvulla, joka voidaan esittää pisteenä lukuviivalla, on nollamitta. Mutta jopa äärettömillä joukoilla voi olla nollamitta. Esimerkiksi kokonaisluvut ovat niin ohuesti hajallaan reaalilukujen joukossa, ettei niillä ole kollektiivista "pituutta", joten ne muodostavat joukon nollaa. Toisaalta reaaliluvuilla esimerkiksi 3/4:n ja 1:n välillä on mitta 1/4, koska väli on sen verran pitkä.

Mitta antaa tavan karakterisoida erillisten etäisyyksien joukon kokoa äärettömän monen pisteen välillä. Jos etäisyyksien määrä on "pieni", se tarkoittaa, että asetetun etäisyyden mitta on nolla: On paljon päällekkäisiä etäisyyksiä. Jos toisaalta asetetun etäisyyden mitta on suurempi kuin nolla, se tarkoittaa, että etäisyyksiä on monia.

Kahdessa ulottuvuudessa Falconer osoitti, että minkä tahansa pistejoukon, jonka fraktaalimitta on suurempi kuin 1.5, etäisyys on asetettu nollasta poikkeavalla mittauksella. Mutta matemaatikot uskoivat nopeasti, että tämä pätee kaikkiin joukkoihin, joiden fraktaalimitta on suurempi kuin 1. "Yritämme ratkaista tämän 1/2-aukon", sanoi Yumeng Ou Pennsylvanian yliopistosta, joka on yksi uuden paperin kirjoittajista. Lisäksi Falconerin olettamus ulottuu kolmeen tai useampaan ulottuvuuteen: pisteille, jotka ovat hajallaan d-ulotteinen avaruus, se ilmoittaa, että jos pisteiden fraktaalimitta on suurempi kuin d/2, silloin asetetun etäisyyden on oltava suurempi kuin 0.

Vuonna 2018 Ou yhdessä kollegoiden kanssa osoitti, että olettamus pitää sisällään kaksi ulottuvuutta kaikille sarjoille, joiden fraktaalimitta on suurempi kuin 5/4. Nyt Ou - yhdessä Xiumin Du Northwestern Universitystä, Ruixiang Zhang Kalifornian yliopistosta Berkeleyssä ja Kevin Ren Princetonin yliopistosta - ovat osoittaneet, että korkeammissa mitoissa kynnys nollasta poikkeavalla etäisyydellä on hieman pienempi kuin d/2 + 1/4. "Korkeampien ulottuvuuksien rajat ovat tässä paperissa ensimmäistä kertaa parempia kuin ulottuvuudessa 2", Shmerkin sanoi. (Kahdessa ulottuvuudessa kynnys on tarkka d/2 + 1/4.)

Tämä uusin tulos on vain yksi Aalto viimeaikaisista edistysaskeleista on Falconerin olettamus. Todistus jalosti harmonisen analyysin tekniikoita - näennäisesti kaukainen matematiikan alue, joka käsittelee mielivaltaisen monimutkaisten funktioiden esittämistä yksinkertaisten aaltojen avulla - vahvistaakseen rajaa. Mutta jotkut näistä tekniikoista kehitettiin ensin tämän saman ongelman ratkaisemiseksi.

Tämä kysymys pisteiden välisistä etäisyyksistä "on toiminut leikkipaikkana joillekin suurimmista harmonisten analyysien ideoista", sanoi Aleksi Iosevitš Rochesterin yliopistosta.

Vaikka Falconerin vuoden 1985 kirjoituksessaan jättämästä aukosta on umpeutunut vain puolet, matemaatikot näkevät viimeaikaisen työn osoituksena siitä, että koko olettamus voi vihdoin olla käden ulottuvilla. Sillä välin he jatkavat ongelman käyttöä testausalustana kehittyneimmille työkaluilleen.