Kun Daniel Larsen oli yläasteella, hän alkoi suunnitella ristisanatehtäviä. Hänen oli kerrottava harrastus muiden kiinnostuksen kohteidensa päälle: shakki, ohjelmointi, piano, viulu. Hän pääsi kahdesti Scripps National Spelling Bee -kilpailuun lähellä Washington DC:tä voitettuaan alueellisen kilpailunsa. "Hän keskittyy johonkin, ja se on vain pama, pama, bang, kunnes hän onnistuu", sanoi Larsenin äiti Ayelet Lindenstrauss. Suuret sanomalehdet hylkäsivät hänen ensimmäiset ristisanatehtävänsä, mutta hän pysyi siinä ja lopulta murtautui sisään. Tähän mennessä hän pitää hallussaan ennätystä nuorimmalle henkilölle, joka on julkaissut ristisanatehtävän New York Times, 13-vuotiaana. "Hän on erittäin sinnikäs", Lindenstrauss sanoi.
Silti Larsenin viimeisin pakkomielle tuntui erilaiselta, "pidemmältä ja voimakkaammalta kuin useimmat hänen muut projektinsa", hän sanoi. Yli puolentoista vuoden ajan Larsen ei voinut lakata ajattelemasta tiettyä matematiikkatehtävää.
Sen juuret olivat laajempi kysymys, jota matemaatikko Carl Friedrich Gauss piti matematiikan tärkeimpien joukossa: kuinka erottaa alkuluku (luku, joka on jaollinen vain 1:llä ja itsellään) yhdistelmäluvusta. Satojen vuosien ajan matemaatikot ovat etsineet tehokasta tapaa tehdä niin. Ongelmasta on tullut ajankohtainen myös nykyaikaisen kryptografian kontekstissa, koska jotkin nykypäivän laajimmin käytetyistä salausjärjestelmistä sisältävät aritmeettisen laskennan valtavilla alkuluvuilla.
Yli sata vuotta sitten matemaatikot törmäsivät nopeaan, tehokkaaseen primaalisuustestiin pyrkiessään ryhmään häiriötekijöitä – lukuja, jotka huijaavat ajattelemaan olevansa ensiluokkaisia, vaikka eivät sitä olekaan. Näitä pseudoalkulukuja, jotka tunnetaan nimellä Carmichael-luvut, on ollut erityisen vaikea ymmärtää. Vasta 1990-luvun puolivälissä esimerkiksi matemaatikot osoittivat, että niitä on äärettömän paljon. Mahdollisuus sanoa jotain enemmän siitä, kuinka ne jakautuvat numerolinjalle, on ollut vieläkin suurempi haaste.
Sitten mukana tuli Larsen uusi todiste juuri siitä, joka on saanut inspiraationsa viimeaikaisesta aikakausityöstä lukuteorian eri alueella. Hän oli tuolloin vain 17-vuotias.
Kipinä
Varttuessaan Bloomingtonissa, Indianassa, Larsen oli aina kiinnostunut matematiikasta. Hänen vanhempansa, molemmat matemaatikot, esittelivät hänet ja hänen vanhemman sisarensa aiheeseen ollessaan nuoria. (Hän jatkaa nyt tohtorin tutkintoa matematiikassa.) Kun Larsen oli 3-vuotias, Lindenstrauss muistelee, hän alkoi kysyä häneltä filosofisia kysymyksiä äärettömyyden luonteesta. "Ajattelin, että tällä lapsella on matemaattinen mieli", sanoi Lindenstrauss, Indianan yliopiston professori.
Sitten muutama vuosi sitten – noin aikoihin, jolloin hän oli uppoutunut oikeinkirjoitus- ja ristisanaprojekteihinsa – hän törmäsi dokumenttielokuva noin Yitang Zhang, tuntematon matemaatikko, joka nousi epäselvyydestä vuonna 2013 sen jälkeen todistaa merkittävän tuloksen joka asettaa ylärajan peräkkäisten alkulukujen välisille rakoille. Jokin napsahti Larsenissa. Hän ei voinut lakata ajattelemasta lukuteoriaa ja siihen liittyvää ongelmaa, jonka Zhang ja muut matemaatikot vielä toivoivat ratkaisevansa: kaksoisalkulukuoletus, joka väittää, että on äärettömän monta alkulukuparia, jotka eroavat vain kahdella.
Zhangin työn jälkeen, joka osoitti, että on äärettömän monta alkulukuparia, jotka eroavat alle 70 miljoonalla, muut hyppäsivät sisään alentaa tätä rajaa entisestään. Kuukausien sisällä matemaatikot James Maynard ja Terence tao osoitti itsenäisesti vielä vahvemman väitteen alkulukujen välisistä aukoista. Ero on sittemmin kutistunut 246:een.
Larsen halusi ymmärtää joitain Maynardin ja Taon työn taustalla olevaa matematiikkaa, "mutta se oli minulle melko mahdotonta", hän sanoi. Heidän paperinsa olivat aivan liian monimutkaisia. Larsen yritti lukea aiheeseen liittyvää työtä, mutta huomasi, että sekin oli läpitunkematon. Hän jatkoi sitä hyppäämällä tuloksesta toiseen, kunnes lopulta helmikuussa 2021 hän löysi paperin, jota hän piti sekä kauniina että ymmärrettävänä. Sen aihe: Carmichael-luvut, ne omituiset yhdistelmäluvut, jotka voivat toisinaan pitää itseään alkulukuina.
Kaikki paitsi Prime
Ranskalainen matemaatikko Pierre de Fermat kirjoitti 17-luvun puolivälissä ystävälleen ja uskotulleen Frénicle de Bessylle kirjeen, jossa hän totesi sen, mitä myöhemmin kutsutaan hänen "pieneksi lauseeksi". Jos N on siis alkuluku bN - b on aina moninkertainen N, ei väliä mitä b On. Esimerkiksi 7 on alkuluku, ja sen seurauksena 27 – 2 (joka on 126) on 7:n kerrannainen. Vastaavasti 37 – 3 on 7:n kerrannainen ja niin edelleen.
Matemaatikot näkivät mahdollisuuden täydelliseen testiin siitä, onko tietty luku alkuluku vai yhdistelmäluku. He tiesivät, että jos N on ensiluokkainen, bN - b on aina moninkertainen N. Mitä jos päinvastoin olisi myös totta? Eli jos bN - b on moninkertainen N kaikille arvoille b, on pakko N olla ensisijainen?
Valitettavasti kävi ilmi, että hyvin harvoissa tapauksissa N voi täyttää tämän ehdon ja silti olla yhdistelmä. Pienin tällainen luku on 561: Mikä tahansa kokonaisluku b, b561 - b on aina luvun 561 kerrannainen, vaikka 561 ei ole alkuluku. Tämänkaltaiset luvut on nimetty matemaatikko Robert Carmichaelin mukaan, jota usein sanotaan ensimmäisen esimerkin julkaisemisesta vuonna 1910 (vaikka tšekkiläinen matemaatikko Václav Šimerka löysi esimerkit itsenäisesti vuonna 1885).
Matemaatikot halusivat ymmärtää paremmin näitä lukuja, jotka muistuttavat niin läheisesti lukuteorian tärkeimpiä kohteita, alkulukuja. Kävi ilmi, että vuonna 1899 - vuosikymmen ennen Carmichaelin tulosta - toinen matemaatikko Alwin Korselt oli keksinyt vastaavan määritelmän. Hän ei yksinkertaisesti ollut tiennyt, oliko numeroita, jotka sopisivat laskuun.
Korseltin kriteerin mukaan luku N on Carmichael-luku, jos ja vain jos se täyttää kolme ominaisuutta. Ensinnäkin sillä on oltava useampi kuin yksi päätekijä. Toiseksi mikään alkutekijä ei voi toistaa. Ja kolmanneksi jokaiselle ensiluokkaiselle p joka jakaa N, p – 1 myös jakaa N – 1. Tarkastellaan uudelleen lukua 561. Se on yhtä suuri kuin 3 × 11 × 17, joten se täyttää selvästi Korseltin listan kaksi ensimmäistä ominaisuutta. Viimeisen ominaisuuden näyttämiseksi vähennä kustakin alkutekijästä 1, jolloin saadaan 2, 10 ja 16. Lisäksi vähennä 1 luvusta 561. Kaikki kolme pienempää lukua ovat luvun 560 jakajia. Luku 561 on siis Carmichael-luku.
Vaikka matemaatikot epäilivät, että Carmichael-lukuja on äärettömän monta, niitä on suhteellisen vähän alkulukuihin verrattuna, mikä teki niiden tunnistamisen vaikeaksi. Sitten vuonna 1994 Red Alford, Andrew Granville ja Carl Pomerance julkaisi läpimurron paperi jossa he lopulta osoittivat, että näitä pseudoalkumerkkejä on todellakin äärettömästi.
Valitettavasti heidän kehittämänsä tekniikat eivät antaneet heidän sanoa mitään siitä, miltä nuo Carmichaelin numerot näyttivät. Ilmestyivätkö ne ryhmissä numeroviivalla, ja niiden välissä oli suuria rakoja? Vai voisitko aina löytää Carmichael-numeron lyhyellä aikavälillä? "Luulisi, että jos pystyt todistamaan, että niitä on äärettömän monta", Granville sanoi, "teidän pitäisi varmasti pystyä todistamaan, että niiden välillä ei ole suuria kuiluja ja että niiden pitäisi olla suhteellisen hyvin erillään."
Erityisesti hän ja hänen kirjoittajansa toivoivat voivansa todistaa väitteen, joka heijasti tätä ajatusta - että riittävän suuri määrä X, välissä on aina Carmichael-numero X ja 2X. "Se on toinen tapa ilmaista, kuinka kaikkialla ne ovat", sanoi Jon Grantham, matemaatikko Institute for Defense Analyzesista, joka on tehnyt asiaan liittyvää työtä.
Mutta vuosikymmeniin kukaan ei pystynyt todistamaan sitä. Alfordin, Granvillen ja Pomerancen kehittämät tekniikat "soittivat, että Carmichael-numeroita tulee olemaan monia", Pomerance sanoi, "mutta eivät todellakaan antaneet meille mahdollisuuden hallita paljon niiden sijaintia. ”
Sitten marraskuussa 2021 Granville avasi sähköpostin Larsenilta, joka oli silloin 17-vuotias ja lukion viimeinen vuosi. A paperi oli kiinnitetty - ja Granvillen yllätykseksi se näytti oikealta. "Se ei ollut helpoin luettavaa koskaan", hän sanoi. "Mutta kun luin sen, oli aivan selvää, että hän ei sekaisin. Hänellä oli loistavia ideoita."
Pomerance, joka luki teoksen myöhemmän version, suostui. "Hänen todisteensa on todella pitkälle edennyt", hän sanoi. ”Se olisi paperi, jonka jokainen matemaatikko olisi todella ylpeä kirjoittaessaan. Ja tässä lukiolainen kirjoittaa sitä."
Avain Larsenin todistukseen oli työ, joka oli vetänyt hänet ensiksikin Carmichael-lukuihin: Maynardin ja Taon tulokset prime-aukkojen osalta.
Epätodennäköistä - Ei mahdotonta
Kun Larsen aloitti ensimmäisen kerran osoittamaan, että Carmichael-luvun voi aina löytää lyhyellä aikavälillä, "näytti siltä, että se oli niin ilmeisen totta, kuinka vaikeaa se voi olla todistaa?" hän sanoi. Hän tajusi nopeasti, että se voi olla todella vaikeaa. "Tämä on ongelma, joka testaa aikamme tekniikkaa", hän sanoi.
Vuoden 1994 artikkelissaan Alford, Granville ja Pomerance olivat osoittaneet kuinka luoda äärettömän monta Carmichael-lukua. Mutta he eivät olleet voineet hallita alkulukujen kokoa, joita he käyttivät niiden rakentamiseen. Tämä on se, mitä Larsenin olisi tehtävä rakentaakseen Carmichael-numeroita, jotka olivat kooltaan suhteellisen lähellä. Ongelman vaikeus huolestutti hänen isänsä Michael Larsenia. "En uskonut sen olevan mahdotonta, mutta ajattelin, että oli epätodennäköistä, että hän onnistuisi", hän sanoi. "Näin, kuinka paljon aikaa hän käytti siihen… ja minusta tuntui, että olisi tuhoisaa, että hän antaisi niin paljon itsestään tähän saamatta sitä."
Silti hän tiesi paremmin kuin yrittää saada poikansa luopumaan. "Kun Daniel sitoutuu johonkin, joka todella kiinnostaa häntä, hän pitää siitä kiinni, hän sanoi.
Joten Larsen palasi Maynardin papereihin - erityisesti työhön, joka osoittaa, että jos otat tietyt riittävän määrän lukuja, joidenkin näiden lukujen osajoukon on oltava alkuluku. Larsen muokkasi Maynardin tekniikoita yhdistääkseen ne Alfordin, Granvillen ja Pomerancen käyttämiin menetelmiin. Tämä antoi hänelle mahdollisuuden varmistaa, että alkuluvut, joihin hän päätyi, vaihtelevat kooltaan - tarpeeksi tuottamaan Carmichael-lukuja, jotka osuisivat hänen haluamiinsa väleihin.
"Hänellä on enemmän hallintaa asioihin kuin meillä koskaan", Granville sanoi. Ja hän saavutti tämän käyttämällä Maynardin työtä erityisen taitavasti. "Ei ole helppoa… käyttää tätä edistystä lyhyisiin alkulukujen väliin", sanoi Kaisa Matomäki, matemaatikko Turun yliopistosta. "On hienoa, että hän pystyy yhdistämään sen tähän kysymykseen Carmichaelin numeroista."
Itse asiassa Larsenin argumentti ei vain sallinut hänen osoittaa, että Carmichael-luvun täytyy aina esiintyä välissä X ja 2X. Hänen todisteensa toimii myös paljon pienemmillä aikaväleillä. Matemaatikot toivovat nyt, että se auttaa paljastamaan myös muita näkökohtia näiden outojen lukujen käyttäytymisestä. "Se on erilainen ajatus", sanoi Thomas Wright, matemaatikko Wofford Collegessa Etelä-Carolinassa ja työskentelee pseudoalkuluvuilla. "Se muuttaa monia asioita siinä, kuinka voimme todistaa asioita Carmichaelin numeroista."
Grantham suostui. "Nyt voit tehdä asioita, joita et koskaan ajatellut", hän sanoi.
Larsen aloitti juuri fuksivuoden Massachusetts Institute of Technologyssa. Hän ei ole varma, minkä ongelman parissa hän voisi työskennellä seuraavaksi, mutta hän on innokas oppimaan, mitä siellä on. "Otan vain kursseja... ja yritän olla ennakkoluuloton", hän sanoi.
"Hän teki kaiken tämän ilman perustutkintoa", Grantham sanoi. "Voin vain kuvitella, mitä hän keksii tutkijakoulussa."
