Piilotettu yhteys, joka muutti numeroteorian | Quanta-lehti

Alkulukuja on kolmenlaisia. Ensimmäinen on yksittäinen poikkeava arvo: 2, ainoa parillinen alkuluku. Sen jälkeen puolet alkuluvuista jättää jäännöksen 1:stä jaettuna 4:llä. Toinen puolikas jättää jäännöksen luvusta 3. (5 ja 13 putoavat ensimmäisessä leirissä, 7 ja 11 toisessa.) Ei ole selvää syytä, että jäännös Alkuluvun -1 ja jäännösluvun-3 pitäisi käyttäytyä olennaisesti eri tavalla. Mutta he tekevät.

Yksi keskeinen ero johtuu ominaisuudesta nimeltä neliöllinen vastavuoroisuus, jonka ensimmäisenä todisti Carl Gauss, luultavasti 19-luvun vaikutusvaltaisin matemaatikko. "Se on melko yksinkertainen lausunto, jolla on sovelluksia kaikkialla, kaikenlaisessa matematiikassa, ei vain numeroteoriassa", sanoi James Rickards, matemaatikko Coloradon yliopistosta, Boulderista. "Mutta se ei ole myöskään tarpeeksi ilmeinen ollakseen todella mielenkiintoinen."

Lukuteoria on matematiikan haara, joka käsittelee kokonaislukuja (toisin kuin esimerkiksi muotoja tai jatkuvia suureita). Alkuluvut - ne, jotka ovat jaollisia vain 1:llä ja itsellään - ovat sen ytimessä, aivan kuten DNA on biologian ydin. Neliöllinen vastavuoroisuus on muuttanut matemaatikoiden käsitystä siitä, kuinka paljon niistä on mahdollista todistaa. Jos ajattelet alkulukuja vuorijonona, vastavuoroisuus on kuin kapea polku, jonka avulla matemaatikot voivat kiivetä aiemmin saavuttamattomille huipuille ja nähdä noilta huipuilta piilossa olleita totuuksia.

Vaikka se on vanha teoreema, sillä on edelleen uusia sovelluksia. Tänä kesänä Rickards ja hänen kollegansa Katherine Stangeyhdessä kahden opiskelijan kanssa, kumosi laajalti hyväksytyn oletuksen siitä, kuinka pienet ympyrät voidaan pakata isomman sisään. Tulos järkytti matemaatikot. Peter Sarnak, lukuteoreetikko Institute for Advanced Studyssa ja Princetonin yliopistossa, puhui Stangen kanssa konferenssissa pian hänen tiiminsä jälkeen. posted heidän paperiaan. "Hän kertoi minulle, että hänellä on vastaesimerkki", Sarnak muisteli. "Kysyin häneltä heti: 'Käytätkö vastavuoroisuutta jossain?' Ja sitä hän todellakin käytti."

Kuviot alkulukupareina

Vastavuoroisuuden ymmärtämiseksi sinun on ensin ymmärrettävä modulaarinen aritmetiikka. Modulaariset operaatiot perustuvat jäännösten laskemiseen, kun jaat moduuliksi kutsutulla luvulla. Esimerkiksi 9 modulo 7 on 2, koska jos jaat 9:llä 7, jää jäljelle 2. Modulo 7 -lukujärjestelmässä on 7 numeroa: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Voit lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa näitä lukuja.

Aivan kuten kokonaisluvuilla, näissä lukujärjestelmissä voi olla täydellisiä neliöitä – lukuja, jotka ovat toisen luvun tulo ja itsensä. Esimerkiksi 0, 1, 2 ja 4 ovat täydellisiä neliöitä modulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 ja 3 × 3 = 2 mod 7). Jokainen tavallinen neliö on joko 0, 1, 2 tai 4 modulo 7. (Esimerkiksi 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Koska modulaariset lukujärjestelmät ovat äärellisiä, täydelliset neliöt ovat yleisempiä.

Neliöllinen vastavuoroisuus johtuu suhteellisen yksinkertaisesta kysymyksestä. Annettu kaksi alkulukua p ja q, jos tiedät sen p on täydellinen neliön muotoinen modulo q, voitko sanoa onko vai ei q on täydellinen neliön muotoinen modulo p?

Osoittautuu, että niin kauan kuin jompikumpi p or q jättää jäännöksen 1:llä jaettuna 4:llä, jos p on täydellinen neliön muotoinen modulo q, sitten q on myös täydellinen neliömäinen modulo p. Kahden alkuluvun sanotaan vastavuoroisen.

Toisaalta, jos molemmat jättävät 3:n jäännöksen (kuten esimerkiksi 7 ja 11), he eivät vastaa: Jos p on neliön muotoinen modulo q, se tarkoittaa sitä q ei ole neliön muotoinen modulo p. Tässä esimerkissä 11 on neliö modulo 7, koska 11 = 4 mod 7 ja tiedämme jo, että 4 on yksi täydellisistä neliöistä modulo 7. Tästä seuraa, että 7 ei ole neliö modulo 11. Jos otat luettelon tavallisista neliöistä neliöt (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) ja katso niiden jäännökset modulo 11, niin 7 ei koskaan tule näkyviin.

Tämä on teknisellä termillä käytettynä todella outoa!

Yleistyksen voima

Kuten monet matemaattiset ideat, myös vastavuoroisuus on vaikuttanut, koska se voidaan yleistää.

Pian sen jälkeen, kun Gauss julkaisi ensimmäisen todisteen neliöllisestä vastavuoroisuudesta vuonna 1801, matemaatikot yrittivät laajentaa ideaa neliöiden ulkopuolelle. "Miksi ei kolmas tai neljäs voima? He kuvittelivat, että ehkä on olemassa kuutiometrinen vastavuoroisuuslaki tai kvartsivastavuoroisuuslaki”, sanoi Keith Conrad, numeroteoreetikko Connecticutin yliopistosta.

Mutta he jäivät jumiin, Conrad sanoi, "koska helppoa mallia ei ole." Tämä muuttui, kun Gauss toi vastavuoroisuuden kompleksilukujen alueelle, jotka lisäävät neliöjuuren miinus 1:stä, jota edustaa i, tavallisiin numeroihin. Hän esitteli ajatuksen, että lukuteoreetikot voisivat analysoida paitsi tavallisia kokonaislukuja myös muita kokonaislukumaisia ​​matemaattisia järjestelmiä, kuten niin sanottuja Gaussin kokonaislukuja, jotka ovat kompleksilukuja, joiden reaali- ja imaginaariosat ovat molemmat kokonaislukuja.

Gaussin kokonaislukujen avulla koko käsitys siitä, mikä lasketaan alkuluvuksi, muuttui. Esimerkiksi 5 ei ole enää alkuluku, koska 5 = (2 + i) × (2 − i). "Sinun on aloitettava alusta kuin olisit peruskoulussa uudelleen", Conrad sanoi. Vuonna 1832 Gauss osoitti kvarttisen vastavuoroisuuden lain hänen nimeään kantaville monimutkaisille kokonaisluvuille.

Yhtäkkiä matemaatikot oppivat soveltamaan työkaluja, kuten modulaarista aritmetiikkaa ja kertoimia näihin uusiin lukujärjestelmiin. Conradin mukaan inspiraationa oli neliöllinen vastavuoroisuus.

Mallit, jotka olivat olleet vaikeasti havaittavissa ilman kompleksilukuja, alkoivat nyt ilmaantua. 1840-luvun puoliväliin mennessä Gotthold Eisenstein ja Carl Jacobi olivat todistaneet ensimmäiset kuutiometriset vastavuoroisuuslait.

Sitten 1920-luvulla Emil Artin, yksi modernin algebran perustajista, havaitsi sen, mitä Conrad kutsuu "lopulliseksi vastavuoroisuuslakiksi". Kaikki muut vastavuoroisuuslait voitaisiin nähdä Artinin vastavuoroisuuslain erikoistapauksina.

Vuosisataa myöhemmin matemaatikot kehittävät edelleen uusia todisteita Gaussin ensimmäiselle toisen asteen vastavuoroisuuden laille ja yleistävät sen uusiin matemaattisiin yhteyksiin. Monien erillisten todisteiden saaminen voi olla hyödyllistä. "Jos haluat laajentaa tuloksen uuteen asetukseen, ehkä yksi argumenteista siirtyy helposti eteenpäin, kun taas muut eivät", Conrad sanoi.

Miksi vastavuoroisuus on niin hyödyllistä

Neliöllistä vastavuoroisuutta käytetään niinkin erilaisilla tutkimuksen aloilla kuin graafiteoria, algebrallinen topologia ja kryptografia. Jälkimmäisessä vaikutusvaltainen julkisen avaimen salausalgoritmi, jonka kehitti vuonna 1982 Shafi Goldwasser ja Silvio Micali riippuu kahden suuren alkuluvun kertomisesta p ja q yhdessä ja tulostaa tulos, N, sekä numero, x, joka ei ole neliön muotoinen modulo N. Algoritmi käyttää N ja x digitaalisten viestien salaamiseen suurempien numeroiden merkkijonoiksi. Ainoa tapa purkaa tämän merkkijonon salaus on päättää, onko jokainen salatun merkkijonon numero neliömodulo N — käytännössä mahdotonta ilman alkulukujen arvoa p ja q.

Ja tietysti neliöllinen vastavuoroisuus esiintyy toistuvasti lukuteoriassa. Sitä voidaan esimerkiksi käyttää todistamaan, että mikä tahansa alkuluku, joka on yhtä suuri kuin 1 modulo 4, voidaan kirjoittaa kahden neliön summana (esimerkiksi 13 on yhtä kuin 1 modulo 4 ja 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Sitä vastoin alkulukuja, jotka ovat yhtä suuria kuin 3 modulo 4, ei voida koskaan kirjoittaa kahden neliön summana.

Sarnak huomautti, että vastavuoroisuutta voidaan käyttää avoimien kysymysten ratkaisemiseen, kuten sen selvittämiseen, mitkä luvut voidaan kirjoittaa kolmen kuution summana. Tiedetään, että luvut, jotka ovat yhtä suuria kuin 4 tai 5 modulo 9, eivät ole yhtä suuria kuin kolmen kuution summa, mutta toiset jäävät mysteeriksi. (Vuonna 2019 Andrew Booker luotuja otsikoita kun hän huomasi, että (8,866,128,975,287,528 8,778,405,442,862,239 2,736,111,468,807,040 33 XNUMX XNUMX)³ + (−XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX)³ + (−XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX)³ = XNUMX.)

Kaikista sen monista sovelluksista ja monista erilaisista todisteista huolimatta vastavuoroisuudessa on jotain, joka on edelleen mysteeri, Stange sanoi.

”Mitä usein tapahtuu matemaattiselle todistukselle, voit seurata jokaista askelta; voit uskoa, että se on totta", hän sanoi. "Ja voit silti tulla ulos toisesta päästä tunteen: "Mutta miksi?""

Ymmärtäminen sisäelinten tasolla, mikä tekee 7:stä ja 11:stä eron 5:stä ja 13:sta, voi olla ikuisesti ulottumattomissa. "Voimme vain jongleerata niin monia abstraktiotasoja", hän sanoi. "Se näkyy kaikkialla lukuteoriassa... ja silti se on vain askel sen pidemmälle kuin voisit vain tietää."

Quanta tekee sarjan kyselyjä palvellakseen paremmin yleisöämme. Ota meidän matematiikan lukijakysely ja pääset mukaan voittamaan ilmaiseksi Quanta kauppatavaraa.