esittely
Yksinkertaisessa Wordle-pelissä pelaajien on arvattava salainen viisikirjaiminen sana kuudessa tai pienemmässä kierrossa aiempien arvaustensa paljastamien kirjainten olemassaolosta ja sijainnista saatujen vihjeiden perusteella. Vaikka jonkin verran samankaltaisia pelejä on ilmestynyt aiemminkin, jokaisen Wordleä tiettynä päivänä pelaavan on löydettävä sama salainen sana, mikä tekee yrityksistäsi helppoa jakaa ja keskustella pelistä ystäviesi kanssa. Pelin erottuva rakenne ja esitys inspiroivat kysymyksiä viimeisimmässämme Oivalluksia palapeli. Vastauksista keskustellaan alla.
Yksi avain hyvän Wordle-pelin pelaamiseen on valita vahva aloitussana. Tietokoneanalyysit ilmentävät informaatioteorian tekniikoita ehdottaa, että aloitussanat, kuten "liuskekivi" ja "nosturi", antavat sinun (tai tietokonealgoritmin joka tapauksessa) ratkaista Wordles-sanat keskimäärin pienimmällä määrällä kierroksia. Kuitenkin monet ihmisratkaisijat tuntevat olonsa mukavammaksi valita vokaalirikkaan sanan, kuten "hyväinen", "ääni" tai "korottaa". Tällä tunteella on sekä intuitiivinen että rationaalinen perusta. Ensinnäkin sijoitettujen vokaalien avulla voit löytää vokaalin "selkärangan", joka voi rajoittaa haettavien konsonanttien määrää. Jos esimerkiksi tiedät, että sana näyttää _AI_E:ltä sen jälkeen, kun olet pelannut "raise", jäljellä on vain muutama mahdollinen sana: "naiivi", "loopu" ja "maissi". Toiseksi vokaalit maksimoivat määrän, jota voidaan kutsua "peitoksi" – vain viiden vokaalin ja Y:n välillä voimme saada ainakin yhden positiivisen kirjaimen jokaiseen 2,309 20 vastauksesta. Saadaksesi tällaisen täydellisen peiton konsonanttien kanssa, sinun on kokeiltava niitä kaikkia XNUMX, mikä vaatisi vähintään viisi kierrosta.
Ensimmäinen palapelimme haastoi lukijat selvittämään, mikä näistä kolmesta vokaalirikkaasta sanasta on paras ensimmäinen arvaus.
Palapeli 1
Seuraavassa taulukossa esitetään, kuinka usein kahdeksan kirjainta sanoissa "hyväiset", "ääni" ja "korotukset" esiintyvät kussakin paikassa koko Wordlen vastausluettelossa, jossa on 2,309 XNUMX sanaa. Määritä tämän taulukon perusteella, kuinka monta vihreää ja keltaista voit odottaa saavasi yli koko Wordlen vastausluettelon jokaiselle kolmelle vokaalirikkaalle aloitussanalle: "hyvä", "ääni" ja "korota". (Wordlessa kirjain näytetään vihreällä taustalla, jos se on oikeassa paikassa, ja keltaisella taustalla, jos se on sanassa, mutta on väärässä paikassa.) Mitä tämä kertoo niiden odotetusta toimivuudesta aloitussaneina. ?
lukija Rob Corlett näytti kuinka lasketaan odotettavissa olevien vihreiden ja keltaisten määrä tästä taulukosta. "Adieu":lle A on oikea ensimmäinen kirjain 140 sanalle, D on oikea toinen kirjain 20 sanalle ja niin edelleen. Vihreiden kokonaismäärä kaikista mahdollisista Wordle-vastauksista on näiden summa. Joten "hyväinen" saa yhteensä 140 + 20 + 266 + 318 + 1 = 745 vihreää. Keltaisten kohdalla meidän on aloitettava siitä, kuinka monta kertaa kirjain esiintyy vähintään kerran sanassa (906 A:lle sanassa "hyväiset") ja vähennettävä kerta, kun se on vihreä (140), jotta saadaan keltaisten määrä (766). . Lisää numerot jokaiselle sanan kirjaimelle saadaksesi keltaisten kokonaismäärän. Voimme jakaa nämä luvut vastausten kokonaismäärällä (2,309 XNUMX) saadaksemme vihreiden ja keltaisten odotukset yhdelle käännökselle, mutta koska tämä vaihe on yhteinen kaikille aloitussanoillemme, voimme vain verrata kolmea kokonaismäärää. niistä. Koska olemme valinneet nämä sanat nimenomaan vokaalin selkärangan löytämiseen, voimme myös laskea, kuinka monet vihreistä ovat peräisin vokaalista. Tässä tulokset.
Kuten näette, vertailua ei ole! "Raise" on parempi kuin "adieu" jokaisessa mittakaavassa, sillä se antaa enemmän vihreitä ja keltaisia ja antaa enemmän vokaalia oikeille paikoilleen, puhumattakaan siitä, että olet myös kiinni tai sulkenut pois kaksi yleisimmistä konsonanteista. "Audio" on kaukainen kolmas kaikissa näissä mittauksissa. Huomaa, että vaikka voit saada tietoa siitä, mitkä kirjaimet puuttuvat, vaikka et saa keltaisia tai vihreitä, lukijana Max Davies huomautti, saat varmasti enemmän tietoa, kun saat yhden tai useamman keltaisen ja vihreän. Joten "hyväiset" käyttäjät, ehkä on aika sanoa hyvästit.
Kysymys 1
Tämä oli kysymys siitä, kuinka paljon meidän pitäisi arvostaa vihreitä suhteessa keltaisiin: Kuinka monta keltaista vastaa yhtä vihreää? Yllä olevien tulostemme selkeä luonne tekee tarpeettomaksi vastata tähän yllä olevaan vertailuun, mutta se on mielenkiintoinen kysymys. Arvostuksessa on kaksi näkökohtaa. Ensimmäinen on inhimillinen puoli: kuinka paljon painoa annat henkiselle ponnistukselle, joka vaaditaan selvittääksesi kaikki erilaiset tavat, joilla keltainen kirjain voidaan sijoittaa? Ei voida kiistää, että viheriöiden syöminen tekee elämästä helpompaa ja antaa meille enemmän dopamiinipotkua. Tietoteorian näkökulmasta sinun pitäisi käydä läpi jokaisen vastaussanan jokainen aloitussana ja verrata, kuinka monta kierrosta palapelin ratkaiseminen vaatisi, kun samat kirjaimet olivat vihreitä verrattuna siihen, kun ne olivat joka tapauksessa keltaisia.
Vaikka tämä on valtava tehtävä, onnistuin tekemään sen parhaan mahdollisen tietokoneen aloitussanan takia (hämärä sana "tarse", joka tarkoittaa uroshaukkaa, jonka täydellinen optimaalinen ratkaisupuu on ollut postitettu verkkoon matemaatikko Alex Selby). Vastaus on yllättävä. Pelkästään vihreitä tuottavaa vastaussanaa käyttävän tietokoneratkaisun keskimääräinen kierrosmäärä ensimmäisessä käännöksessä oli 3.34, kun taas keltaisia kirjaimia vaadittiin 3.51, eli vain 5 % lisäystä! Ilmeisesti tietokonealgoritmilla keltaisten kirjainten sijoittaminen, mikä vaikuttaa niin pelottavalta meistä ihmisistä, voidaan saavuttaa ilman liiallista rangaistusta. Arvelisin, että ero olisi ihmisratkaisijalle suurempi paitsi vaadittujen kierrosten määrässä, myös ratkaisemiseen tarvittavassa henkisessä ponnistelussa ja ajassa.
Palapeli 2
A) Jos saat kaikki viisi keltaista ensimmäisellä kierroksella, kuinka monta kierrosta voi kestää löytääksesi vastaus, olettaen, että peli on paras?
As Rob Corlett ja Sam Rhoads oikein ilmaistuna teoreettinen vastaus on viisi: Täysin keltainen kirjainyhdistelmä, kuten ABCDE, voisi vastustaa löytämistä vielä neljä kierrosta, koska saatat joutua selaamaan BCDEA:n, CDEAB:n ja DEABC:n läpi ennen kuin huomaat, että vastaus oli EABCD. Käytännössä tällaiset sykliset "sanat" eivät kuitenkaan ole mahdollisia juuri siksi, että oikeat sanat ovat määrittäneet vokaali- ja konsonanttikuviot, joita ei voi venyttää mielivaltaisesti. Jopa sanat, joissa on monia anagrammeja, voidaan ratkaista korkeintaan kolmella yrityksellä, kuten Rob Corlett osoitti "jäsennyksellä".
B) Onko joskus niin, että kirjaimen muuttuminen keltaiseksi on arvokkaampaa kuin sen näkeminen vihreäksi? Jos on, voitko antaa esimerkin ja selittää, miksi näin pitäisi olla?
Kyllä, keltainen kirjain voi harvoissa tapauksissa olla arvokkaampi kuin sama kirjain vihreänä, jos se on harvoin muissa paikoissa esiintyvä kirjain. Tämä tapahtuu usein Y:n kanssa, joka löytyy ylivoimaisesti sanan lopusta. Oletetaan, että aloitat sanalla "vatsa", ja sekä B että Y tulevat vihreiksi. Sinulle jää monia mahdollisuuksia: "pussimainen", "pisara", "bobby", "saalis", "pensas" jne. Mutta jos sekä B että Y tulevat keltaiseksi, on vain yksi mahdollisuus: "syvyyteen".
Kysymys 2
Onko henkilöllä, jolla on hyvä epäselvien Scrabble-sanojen sanasto, etua tai haittaa Wordlen pelaamisessa?
Entisenä turnauksen Scrabble-pelaajana, joka vietti useita tunteja oppien ulkoa epäselviä sanoja, mielestäni se on sekä etu että haitta. Kun aloin pelata Wordleä, huomasin usein näkeväni mahdollisuuden ja yrittävän sulkea pois epätavallisia sanoja, joiden myöhemmin ymmärsin, ettei niillä ollut juuri mitään mahdollisuutta pitää paikkansa. (Golf-terminologiassa, jota Wordle-ryhmäni usein käyttää, viittaamme tähän kuvitteellisen vaaran estämäksi.) Kuten kuvailin pulmasarakkeessa, Wordlen vastaukset on poimittu luettelosta yksinkertaisista sanoista, joista suurin osa tunnetaan. kaikille Yhdysvaltain englannin äidinkielenään puhuville. Edes sanat, jotka ovat melko harvinaisia, mutta eivät epäselviä, eivät ole Wordlen vastausluettelossa. Esimerkiksi äskettäin hukkasin vuoroni leikkimään "lateksia", joka on melko yleinen sana, joka ei osoittautunut mahdolliseksi Wordlen vastaukseksi. Joten, kuten kaikki Wordle-pelaajat, minun on täytynyt rakentaa mentaalinen malli sellaisista sanoista, jotka saattavat olla Wordlen vastaus, ja erityisesti jättää huomioimatta harvinaiset ja epäselvät sanat, joita käyttäisin mielelläni saadakseni lisää pisteitä Scrabblessa. Toisaalta näiden harvinaisten sanojen tuntemuksesta on hyötyä "konsonanttien pyyhkäisyssä", mikä sinun on joskus tehtävä, jotta et joutuisi kuluttamaan montaa kierrosta arvailemaan joukko samankaltaisia sanoja yksitellen. Jos sinulla on esimerkiksi _RA_E ja tarkastelet mahdollisia sanoja, jotka sisältävät D:n, G:n ja K:n, kuten "brake", "drake", "drape", "grade" ja "grape", on hyvä tietää ja pelaa sanaa "kedge", joka voi taata ratkaisun löytämisen kahdella lisäkierroksella (kedge tarkoittaa laivan siirtämistä pudottamalla sen ankkuri etäälle ja vetämällä sitä sitten jäykällä köydellä).
Saman Wordle-palapelin hankkiminen kuin kaikki muutkin joka päivä rohkaisee sosiaaliseen leikkiin. Mutta spoilereita internetissä on runsaasti, ja se tiedetään jotkut ihmiset pettää pisteytensä raportoinnissa. Seuraava palapeli käsittelee kysymystä siitä, milloin Wordle-ryhmän pettämisepäilyt ovat perusteltuja pelkästään henkilön pistemäärän epätodennäköisyyden perusteella. Jälleen tämä palapeli on kehystetty golfin pisteytystermeillä: Wordlen ratkaisua kolmessa kierrossa kutsutaan birdieksi, sen saaminen kahdessa kierrossa on kotka ja sanan saaminen aivan ensimmäisellä kierroksella on tietysti hole-in-one. .)
Palapeli 3
Perinteinen tieteellinen kriteeri jatkotutkimukselle on, jos lopputuloksen todennäköisyys sattuu sattumalta ( alfa-arvo) on alle 5 % tai alle 1 % tutkijoiden tavoitteista riippuen. Tuloksen katsotaan sitten olevan tilastollisesti merkitsevä 5 % tai 1 % tasolla. Koska ei ole mukavaa epäillä ihmisiä pettämisestä, vaikka he eivät sitä tee, valitaan tässä tutkimuksessa konservatiivisempi 1 %:n taso.
Oletetaan, että kuulut Wordle-ryhmään, jossa on 10 pelaajaa, jotka ovat jakaneet tuloksia keskenään joka päivä 200 päivän ajan. Oletetaan, että erittäin hyvä ihmispelaaja voi odottaa saavansa birdien 2.5 pelin välein, kotkan 40 pelin välein ja hole-in-one-pelin joka 2,000 XNUMX peliä (jotka ovat kohtuullisia tosielämän arvioita).
A) Kuinka monta birdietä peräkkäin olisi merkittävä 1 %:n tasolla ryhmässäsi tänä aikana?
B) Kuinka monta kotkaa peräkkäin?
C) Kuinka monta holes-in-one peräkkäin?
Tärkeintä tässä on ymmärtää, että sinulla on 2,000 200,000 henkilöpeliä. Joten saavuttaaksesi tämän merkitystason, sinun pitäisi nähdä tapahtuma, joka tapahtuisi harvemmin kuin kerran XNUMX XNUMX henkilöpelissä vain sattumalta.
A) Birdie-or-better -sarjat: Todennäköisyys saada birdie tai parempi yhdessä pelissä on 2/5 + 1/40 + 1/2,000 0.4255 = 1, mikä on 2.35 noin XNUMX pelissä. Kutsutaan tätä B. Pienin teho B joka ylittää 200,000 XNUMX B15, mikä on yli 368,000 XNUMX (B14 on noin 157,000 15). Joten 14:n tai parempi sarja kenen tahansa ryhmän jäsenen kohdalla täyttäisi tämän tiukan kriteerin, mutta yksi 20,000:stä ei. Jos epäilet yksittäistä pelaajaa, sinun on nähtävä tapahtuma, joka tapahtuu harvemmin kuin kerran 12 1,850 pelissä, mikä tapahtuisi 188 putkeen tai-paremmin putkeen. (Huomaa, että todellinen määrä mahdollisuuksia päästä nämä pituudet ovat hieman pienempiä: se on itse asiassa XNUMX peliä ryhmälle ja XNUMX peliä yksittäiselle pelaajalle, mutta se ei vaikuta tässä tapauksessa).
Huomaa, että nämä ovat asiantunteville pelaajille tarkoitettuja taajuuksia, ja useimpien ryhmien ja henkilöiden epäilyttävät jaksot ovat pienempiä. Tämän kriteerin soveltamiseksi käytännössä sinun on määritettävä vastaavat näkemäsi birdie-, eagle- ja hole-in-one-taajuudet sekä otettava huomioon myös ryhmässäsi pelattujen pelien määrä.
B) Kotka tai parempi -juovat: Kotkan tai paremman todennäköisyys on 1/40 + 1/2,000 0.0255 = 1 eli noin 39.2:4. Merkitystasomme ylittävät putkien pituudet ovat 3 ryhmällä ja XNUMX epäillyllä yksilöllä.
C) Hole-in-one-viivat: Merkitystasomme ylittävä viivan pituus on 2 sekä ryhmällä että epäillyn yksilön osalta.
Kahteen viimeiseen vastaukseen liittyy varoitus: Nämä ovat harvinaisia tapahtumia, ja otoskoko on hyvin pieni, joten sinun on oltava varovainen. Useimmat tilastotieteilijät odottavat yleensä, kunnes he olivat nähneet vähintään viisi kotka- tai holes-in-one-tapausta, ei välttämättä osana putkia, ennen kuin he olisivat halunneet soveltaa merkitsevyystestiä.
Kysymys 3
On täysin mahdollista, että hyvien tulosten taajuus ryhmässäsi on huomattavasti suurempi kuin sattumalta ennustettu taajuus ilman, että kukaan pettää. Miten selittäisit tämän?
Yksi mahdollinen syy tähän on mm Rob Corlett selittää, että "pelaajat pitävät ahkerasti kirjaa jokaisesta tuloksesta." Kuten selitin palapelin 4 johdannossa, Wordle-vastauksia ei ole tarkoitus toistaa noin viiteen vuoteen nykyisessä asetelmassa. Joten vaikka kukaan ei pettäisi tai tietäisi kaikkia vastausluettelon sanoja, nämä tiedot voivat silti auttaa ketä tahansa yksilöä tai ryhmää vähitellen menestymään paremmin.
Mutta on myös toinen syy: luettelo ei ehkä ole hyvin satunnaistettu. Pelattaessani Wordleä useiden viime kuukausien aikana huomasin, että aina kun oli valittavana kahden tai useamman sanan välillä, yksinkertaisemmat sanat olivat todennäköisemmin oikeita kuin vähemmän yleiset sanat. Jos sinulla olisi esimerkiksi A, N ja E ja vaihtoehtoina olisivat sanat "hiipiä", "hyeena" ja "peräruiske", voisit epäröimättä soittaa yksinkertaisimman sanan (tässä tapauksessa "hiipiä") ja olisit korjata paljon useammin kuin voisit odottaa puhtaasti sattumalta. Itse asiassa käytin englanninkielistä proosasanataajuusluetteloa tarkistaakseni, kuinka yleisiä kahden kuukauden aikana kohtaamiani vastauksia verrattiin Wordlen vastausluettelon keskimääräiseen sanaan. Vastaukset, joihin törmäsin, olivat noin 25 % yleisempiä kuin Wordlen vastausluettelon keskimääräinen sana, ja mikä tärkeintä, luettelon harvinaisimmista sanoista (alinta 10 %) vain kolmannes niin paljon kuin oli oletettu. to. Eagles tapahtui taajuudella, joka oli lähempänä 1/20:tä eikä 1/40:tä puhtaan sattuman perusteella. Joten näyttää siltä, että Wordlen vastaussekvenssi ei ole hyvin satunnaistettu, ja se on joko täynnä yksinkertaisempia sanoja tai käymme läpi osan luettelosta, joka koostuu yksinkertaisemmista sanoista.
Merkittävä viimeaikainen muutos on se New York Times nimitettiin Wordle-toimittajaksi ohjelmoimaan päivän sanat 7. marraskuuta alkaen. Siitä lähtien vaikeiden tai loukkaavien sanojen poistaminen valmiiksi järjestetystä luettelosta on yleistynyt, mukaan lukien kulissien takana sanojen, kuten "ombre", "oksenna" ja " fanny." Vaikka ymmärrän tarpeen Times Puhdistaa ja yksinkertaistaa Wordlen sanoja estääkseen miljoonien pelaavien ihmisten raivoa, se tekee pelistä vähemmän satunnaisen ja paljon ennakoitavamman. Vielä pahempaa on viime viikkojen valitettava toimituksellinen taipumus valita päivälle sopiva sana, kuten "juhla" kiitospäivänä ja "mitali" veteraanipäivänä. Tämä tarkoittaa ylimääräisen vihjeen antamista sanasta jo ennen pelin alkua, mikä helpottaa pulmapeliä ja heikentää sen rikasta informaatioteoriayhteyttä. Toivon, että tämä on väliaikainen poikkeama, koska satunnaisuus on olennainen osa tätä peliä. Suurin osa ihmisistä, jotka antoi palautetta että New York Times Näistä toimituksellisista valinnoista tuntui samalta.
Neljäs pulmamme perustui siihen, että Wordlen nykyisessä arkkitehtuurissaan Wordle-ratkaisut eivät koskaan toistu ennen kuin lista loppuu noin viiden vuoden kuluttua.
Palapeli 4
Ajattele henkilöä, jolla on täydellinen muisti menneistä ratkaisuista. Tällaiselle henkilölle vastaus olisi ilmeinen Wordlen 2,309 XNUMX sanan luettelon viimeisenä päivänä. Voitko nopeasti arvioida, kuinka monta holes-in-onea tämä henkilö odottaa saavansa yli koko listan keston suorittamatta varsinaista laskelmaa? Sitten jos voit, yritä tehdä varsinainen laskelma.
Rob Corlett vastasi tähän täydellisesti, arvioiden loogisesti vastaukseksi 8.25 ja laskemalla vastaukseksi 8.32. Corlettin keskeiset laskelmat on lainattu alla. Voit tarkistaa kommentista erinomaisen arviointitekniikan.
Jos olet m sanoja ja arvaat, niin todennäköisyys saada se oikein on 1/m. Jos sinulla on 1 sana, todennäköisyys on 1/1, 2 sanaa 1/2, 3 sanaa 1/3 jne. Jos lasket nämä yhteen, saat odotetun määrän reikiä yhdessä! …
[Tämä] edellyttää, että laskemme kaikkien lukujen käänteislukujen summan 2309:stä 1:een. Tein tämän laskentataulukossa ja huomasin, että summa on 8.32, tyydyttävän lähellä arviotani!
Viimeinen kysymyksemme kysyi, kuinka parantaa Wordlen sanojen satunnaistamista säilyttäen samalla sen "asiakaspuolen" suunnittelu. Ennen Wordlen toimittajan nimitystä ei ollut satunnaista sanojen päivittäistä satunnaista: sanat tulivat ladatusta esijärjestetystä luettelosta, joka ei ollut kovin hyvin satunnaistettu, kuten edellä mainitsin. Sitten Wordlen ratkaisusana generoitiin asiakkaan (käyttäjän) laitteelle sanalistasta kulloisenkin päivämäärän mukaan ja koko palapeli arvottiin myös käyttäjän laitteessa. Kaiken tämän tekevä koodi ladataan heti ensimmäisen kerran, kun käyttäjä muodostaa yhteyden verkkosivustoon joka päivä. Käyttäjän ei tarvitse olla verkossa sen jälkeen.
Kysymys 4
Miten suunnittelet Wordlen niin, että se säilyttää asiakaspuolen suunnittelun ja varmistaa, että kaikki saavat saman ratkaisusanan tiettynä päivänä, mutta satunnaistaa vastaukset järkevällä tavalla ilman, että koodia tarvitsee muuttaa päivittäin?
Satunnaistamiskysymykseen saatiin hyviä vastauksia. Pari lukijaa ehdotti pseudosatunnaisen numeron käyttöä ennalta määritetyllä siemenellä indeksin luomiseksi Wordlen vastausluetteloon. Mumintrollet jopa kirjoitti ohjelman, joka sekoittaa satunnaisesti viisi Wordlen vastauslistaa (kesto 32 vuotta) varmistaen, ettei mikään sana toistu vuoden sisällä. Minusta houkuttelevin menettely tuli BlindThemis, joka ehdotti, että satunnaistamismenettelyssä käytetyn satunnaisen siemenen tulisi olla neljä viimeistä numeroa niiden ihmisten lukumäärästä, jotka ovat pelanneet peliä tiettyyn aikaan mennessä. (Koska Wordleä voidaan pelata kaikkialla maailmassa, tämä olisi tehtävä itäisen Tyynenmeren aikavyöhykkeillä alkaen kansainvälisestä päivämääräviivasta!) Hienoa tässä on, että kukaan, ei edes New York Times Wordle-editori, tietäisi mikä sana oli päivää ennen sen käyttöä.
Mitään näistä mekanismeista ei voida täysin toteuttaa asiakkaan puolella, kuten Tim Ross huomautti. Palvelimen pitäisi luoda seuraava sana, ja tämä sana tai sen indeksinumero olisi ladattava, mahdollisesti salatussa muodossa muun koodin kanssa. Kuten Ross huomautti, tällä hetkellä 2,309 XNUMX vastaussanaa näkyvät selvästi päivämääräjärjestyksessä lähdekoodissa, minkä mikä tahansa selain voi paljastaa. Yksi tapa voisi olla salata vastaussanaluettelo ja tallentaa se aakkosjärjestyksessä päivämääräjärjestyksen sijaan.
Vaikka ehdotetut parannukset satunnaistukseen auttaisivat, salauksella ei ole mitään merkitystä, koska Internetissä on edelleen useita spoilereita ja useita tapoja huijata.
Kiitos kaikille, jotka osallistuivat tähän mielenkiintoiseen keskusteluun. Tämän palapelin Insights-palkinto menee Rob Corlettille. Onnittelut! Seuraava palapelimme ilmestyy helmikuussa. Siihen asti hyvää hämmentävää ja hyvää lomaa!
