1ICFO-Institut de Ciencies Fotoniques, Barcelonan tiede- ja teknologiainstituutti, 08860 Castelldefels, Espanja
2CFIS-Centre de Formació Interdisciplinària Superior, UPC-Universitat Politècnica de Catalunya, 08028 Barcelona, Espanja
3Univ Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Institut Néel, 38000 Grenoble, Ranska
4ICREA-Institucio Catalana de Recerca i Estudis Avançats, Lluis Companys 23, 08010 Barcelona, Espanja
Onko tämä artikkeli mielenkiintoinen vai haluatko keskustella? Scite tai jätä kommentti SciRate.
Abstrakti
Keskinäisesti puolueettomat emäkset vastaavat erittäin hyödyllisiä mittauspareja kvanttiinformaatioteoriassa. Pienimmässä yhdistelmäulottuvuuden, kuuden, tiedetään, että olemassa on kolmesta seitsemään keskenään puolueetonta emästä, ja vuosikymmeniä vanha oletus, joka tunnetaan nimellä Zaunerin olettamus, jonka mukaan niitä on enintään kolme. Tässä käsitellään Zaunerin arvelua numeerisesti rakentamalla Bell-epäyhtälöt jokaiselle kokonaislukuparille $n,d ge 2$, joka voidaan rikkoa maksimaalisesti ulottuvuudessa $d$, jos ja vain jos $n$ MUB:ia on kyseisessä ulottuvuudessa. Tästä syystä muutamme Zaunerin oletuksen optimointiongelmaksi, jota käsittelemme kolmella numeerisella menetelmällä: näkemisoptimointi, epälineaarinen puolimääräinen ohjelmointi ja Monte Carlo -tekniikat. Kaikki kolme menetelmää tunnistavat oikein tunnetut tapaukset matalissa ulottuvuuksissa ja kaikki viittaavat siihen, että ulottuvuudessa kuusi ei ole neljää keskenään puolueetonta kantaa, ja kaikki löytävät samat emäkset, jotka numeerisesti optimoivat vastaavan Bell-epäyhtälön. Lisäksi nämä numeeriset optimoijat näyttävät olevan samat kuin "neljä kaukaisimpaa kantaa" ulottuvuudessa kuusi, jotka löydettiin optimoimalla numeerisesti etäisyysmitta kohdassa [P. Raynal, X. Lü, B.-G. Englert, {Phys. Rev. A}, { 83} 062303 (2011)]. Lopuksi Monte Carlon tulokset viittaavat siihen, että kymmenessä ulottuvuudessa on enintään kolme MUBia.
Suositeltu kuva: Bell-epäyhtälöjemme arvon suhteellinen ero olettaen, että dimensiossa d on n MUBia, ja numeerisilla menetelmillämme löydetyn arvon välillä. Nolla-arvot tarkoittavat, että menetelmät löysivät n MUB:ta dimensiosta d, kun taas nollasta poikkeavat arvot tarkoittavat, että menetelmät eivät löytäneet n MUB:ta ulottuvuudesta d. Kaikki tunnetut tapaukset (ulottuvuus kahdesta viiteen ja ulottuvuus kuusi kahdella ja kolmella MUB:lla) tunnistetaan oikein numeroiden perusteella. Dimensiossa kuusi mikään menetelmistä ei löydä neljää MUBia, ja kaikki menetelmät konvergoivat samaan neljän kantajoukon joukkoon.
Suosittu yhteenveto
Huolimatta niiden laajasta käytöstä, MUB:ien rakenteessa on edelleen avoimia kysymyksiä. Merkittävin on, että pareittain puolueettomien mittausten enimmäismäärä ("MUB:ien lukumäärä") on tuntematon, jos kvanttijärjestelmän ulottuvuus on yhdistelmäluku. Erityisesti kuudennessa ulottuvuudessa tiedämme vain, että MUB:ien määrä on kolmen ja seitsemän välillä. Pitkäaikainen avoin olettamus on Zaunerin, jonka mukaan kuudennen ulottuvuuden MUB:ia ei ole enempää kuin kolme. Tätä vuosikymmeniä kestänyt olettamusta tukee joitain numeerisia todisteita, mutta todisteita ei ole olemassa tähän päivään mennessä.
Tässä työssä käsittelemme Zaunerin arvelua Bellin ei-paikallisuuden kautta. Bellin epäpaikallisuus koskee kahta kokeilijaa, jotka eivät saa kommunikoida, mutta voivat jakaa joitain korrelaatioita klassisen satunnaisuuden tai jaetun kvanttitilan muodossa. On osoitettu, että kvanttiresurssien jakaminen voi johtaa kokeelliseen dataan, jota ei voida selittää klassisella fysiikalla (tarkemmin sanottuna ns. paikallisilla piilomuuttujamalleilla). Tämä tunnetaan Bellin lauseena, ja se on todistettu kokeellisesti viimeisen vuosikymmenen aikana. Kokeellisen datan epäklassismin todistaminen tapahtuu yleisimmin ns. Bell-epäyhtälöillä, jotka ovat kokeessa esiintyvien mittaustulosten todennäköisyyksien funktioita. Klassisen datan on täytettävä Bellin epäyhtälöt, kun taas kvanttidata voi rikkoa niitä.
Äskettäin on löydetty Bell-epätasa-arvoja, jotka rikotaan maksimaalisesti, jos toinen osapuolista käyttää tietyn mittasuhteen MUB-mittausparia. Tässä työssä laajennamme nämä epätasa-arvot uusiin, joita rikotaan maksimaalisesti valitulla määrällä MUB-mittauksia tietyssä ulottuvuudessa. Lisäksi, jos kokeen mitta on kiinteä, maksimaalinen rikkomus saadaan silloin ja vain, jos käytetyt mittaukset vastaavat valittua MUB-määrää annetussa ulottuvuudessa. Siksi sen päättäminen, onko valittu määrä MUB:ia tietyssä ulottuvuudessa, vastaa vastaavan Bell-epätasa-arvon maksimaalisen rikkomuksen löytämistä tässä kiinteässä ulottuvuudessa.
Vaikka tämän maksimaalisen rikkomuksen löytäminen on yleensä vaikea ongelma, käytämme kolmea erilaista numeerista menetelmää yrittääksemme löytää Bell-epätasa-arvojemme maksimaalisen rikkomuksen kiinteässä ulottuvuudessa. Kaksi näistä menetelmistä on muunnelmia puolimääräisistä ohjelmointitekniikoista, kun taas kolmas on tilastollisen fysiikan inspiroima, ja sitä kutsutaan simuloiduksi hehkutukseksi. Vaikka kaikki nämä menetelmät ovat heuristisia – eli ei ole takeita siitä, että ne löytävät ongelman todellisen optimin – niiden suorituskykyä voidaan mitata soveltamalla niitä optimointiongelmiin, joiden optimi on tiedossa. Erityisesti havaitsemme, että kaikki kolme menetelmää pystyvät oikein tunnistamaan MUB-mittaukset tapauksissa, joissa niitä tiedetään olevan olemassa. Lisäksi tapauksissa, joissa niitä ei tiedetä olevan olemassa, kaikki kolme menetelmää konvergoivat samaan mittaussarjaan numeeriseen tarkkuuteen asti. Käytämme sitten menetelmiämme ensimmäiseen tuntemattomaan tapaukseen, eli neljään MUB:iin ulottuvuudessa kuusi. Mikään menetelmistä ei pysty tunnistamaan neljää MUB:ia dimensiossa kuusi, mutta taas ne kaikki konvergoivat samaan neljän mittauksen joukkoon numeeriseen tarkkuuteen asti. Lisäksi simuloitu hehkutustekniikka ei löydä neljää MUBia seuraavasta komposiittiulotteesta, ulottuvuudesta kymmenen. Siksi, vaikka tiukkoja väitteitä ei voida esittää tekniikoidemme heuristisen luonteen vuoksi, tuloksemme tukevat Zaunerin olettamusta Bellin epäpaikallisuudesta uudesta näkökulmasta.
► BibTeX-tiedot
► Viitteet
[1] ID Ivanovic. Kvantaalitilan määrityksen geometrinen kuvaus. Journal of Physics A: Mathematical and General, 14(12):3241-3245, 1981. doi:10.1088/0305-4470/14/12/019.
https://doi.org/10.1088/0305-4470/14/12/019
[2] G. Brassard CH Bennett. Kvanttisalaus: Julkisen avaimen jakelu ja kolikoiden heittäminen. Proceedings of IEEE International Conference on Computers, Systems and Signal Processing (IEEE, 1984), 175:8, 1984. doi: 10.1016/j.tcs.2011.08.039.
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.tcs.2011.08.039
[3] Artur K. Ekert. Kvanttisalaus perustuu Bellin lauseeseen. Phys. Rev. Lett., 67:661–663, 1991. doi: 10.1103/PhysRevLett.67.661.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.67.661
[4] Dagmar Bruß. Optimaalinen salakuuntelu kuuden tilan kvanttisalauksessa. Phys. Rev. Lett., 81:3018–3021, 1998. doi:10.1103/PhysRevLett.81.3018.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.81.3018
[5] Armin Tavakoli, Alley Hameedi, Breno Marques ja Mohamed Bourennane. Kvanttihakukoodit yksittäisillä $d$-tason järjestelmillä. Phys. Rev. Lett., 114:170502, 2015. doi:10.1103/PhysRevLett.114.170502.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.114.170502
[6] Máté Farkas ja Jędrzej Kaniewski. Itsetestaavat keskenään puolueettomat perusteet valmistelu- ja mittausskenaariossa. Phys. Rev. A, 99:032316, 2019. doi:10.1103/PhysRevA.99.032316.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.99.032316
[7] H. Bechmann-Pasquinucci ja N. Gisin. Bell-epäyhtälö kvniteille binäärimittauksilla. Kvantti Info. Comput., 3(2):157–164, 2003. doi:10.26421/QIC3.2-6.
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC3.2-6
[8] Jędrzej Kaniewski, Ivan Šupić, Jordi Tura, Flavio Baccari, Alexia Salavrakos ja Remigiusz Augusiak. Maksimaalinen epäpaikallisuus maksimaalisesta kietoutumisesta ja toistensa puolueettomista emäksistä sekä kahden qutritin kvanttijärjestelmien itsetestaus. Quantum, 3:198, 2019. doi: 10.22331/q-2019-10-24-198.
https://doi.org/10.22331/q-2019-10-24-198
[9] Armin Tavakoli, Máté Farkas, Denis Rosset, Jean-Daniel Bancal ja Jędrzej Kaniewski. Keskinäiset puolueettomat emäkset ja symmetriset tiedot täyttävät mittaukset Bell-kokeissa. Science Advances, 7(7):eabc3847, 2021. doi:10.1126/sciadv.abc3847.
https:///doi.org/10.1126/sciadv.abc3847
[10] Thomas Durt, Berthold-Georg Englert, Ingemar Bengtsson ja Karol Życzkowski. Toisiaan puolueettomilla perusteilla. International Journal of Quantum Information, 08(04):535–640, 2010. doi: 10.1142/S0219749910006502.
https: / / doi.org/ 10.1142 / S0219749910006502
[11] William K Wootters ja Brian D Fields. Optimaalinen tilamääritys keskenään puolueettomilla mittauksilla. Annals of Physics, 191(2):363-381, 1989. doi:10.1016/0003-4916(89)90322-9.
https://doi.org/10.1016/0003-4916(89)90322-9
[12] Paweł Wocjan ja Thomas Beth. Uusi rakentaminen keskenään puolueettomista jalustoista neliömäisissä mitoissa. Kvantti Info. Comput., 5(2):93–101, 2005. doi:10.26421/QIC5.2-1.
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC5.2-1
[13] Mihály Weiner. Rako keskenään puolueettomien emästen enimmäismäärälle. Proc. Amer. Matematiikka. Soc., 141:1963–1969, 2013. doi: 10.1090/S0002-9939-2013-11487-5.
https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2013-11487-5
[14] Gerhard Zauner. Quantendesigns: Grundzüge einer nichtkommutativen Designtheorie. Väitöskirja, 1999.
[15] P. Oscar Boykin, Meera Sitharam, Pham Huu Tiep ja Pawel Wocjan. Lie-algebroiden molemminpuolisesti puolueettomat kantakannat ja ortogonaaliset hajotukset. Kvantti Info. Comput., 7(4):371–382, 2007. doi:10.26421/QIC7.4-6.
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC7.4-6
[16] Stephen Brierley ja Stefan Weigert. Toistensa puolueettomien kantakohtien rakentaminen ulottuvuudessa kuusi. Phys. Rev. A, 79:052316, 2009. doi: 10.1103/PhysRevA.79.052316.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.052316
[17] Philippe Jaming, Máté Matolcsi, Péter Móra, Ferenc Szöllősi ja Mihály Weiner. Yleistetty Paulin ongelma ja loputon MUB-triplettien perhe dimensiossa 6. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 42(24):245305, toukokuu 2009. doi:10.1088/1751-8113/42/24/ 245305.
https://doi.org/10.1088/1751-8113/42/24/245305
[18] Gary McConnell, Harry Spencer ja Afaq Tahir. Todisteita Zaunerin MUB-oletuksen puolesta ja vastaan $mathbb{C}^6$:ssa. 2021. doi: 10.48550/arXiv.2103.08703.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.2103.08703
[19] Sander Gribling ja Sven Polak. Keskinäiset puolueettomat kantakannat: polynomioptimointi ja symmetria. 2021. doi: 10.48550/arXiv.2111.05698.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.2111.05698
[20] Ingemar Bengtsson, Wojciech Bruzda, Åsa Ericsson, Jan-Åke Larsson, Wojciech Tadej ja Karol Życzkowski. Toistensa puolueettomat emäkset ja Hadamard-matriisit, kertaluokkaa kuusi. Journal of Mathematical Physics, 48(5):052106, 2007. doi:10.1063/1.2716990.
https: / / doi.org/ 10.1063 / +1.2716990
[21] Philippe Raynal, Xin Lü ja Berthold-Georg Englert. Keskinäiset puolueettomat emäkset kuudessa ulottuvuudessa: Neljä kaukaisinta kantaa. Phys. Rev. A, 83:062303, 2011. doi:10.1103/PhysRevA.83.062303.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.83.062303
[22] Edgar A. Aguilar, Jakub J. Borkała, Piotr Mironowicz ja Marcin Pawłowski. Yhteydet toistensa puolueettomien kantojen ja kvanttihakukoodien välillä. Phys. Rev. Lett., 121:050501, 2018. doi:10.1103/PhysRevLett.121.050501.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.121.050501
[23] Nicolas Brunner, Daniel Cavalcanti, Stefano Pironio, Valerio Scarani ja Stephanie Wehner. Kello ei-paikallinen. Rev. Mod. Phys., 86: 419–478, 2014. doi: 10.1103 / RevModPhys.86.419.
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.86.419
[24] MOSEK ApS. MOSEK Fusion API for C++ 9.2.49, 2021. URL: https:///docs.mosek.com/9.2/cxxfusion/index.html.
https:///docs.mosek.com/9.2/cxxfusion/index.html
[25] Hiroshi Yamashita, Hiroshi Yabe ja Kouhei Harada. Alku-kaksoispistemenetelmä epälineaariseen puolimääräiseen ohjelmointiin. Matemaattinen ohjelmointi, 135(1):89–121, 2012. doi:10.1007/s10107-011-0449-z.
https: / / doi.org/ 10.1007 / s10107-011-0449-z
[26] Stephen Boyd ja Lieven Vandenberghe. Kupera optimointi. Cambridge University Press, 2004. doi: 10.1017 / CBO9780511804441.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511804441
[27] S. Kirkpatrick, CD Gelatt ja MP Vecchi. Optimointi simuloidulla hehkutuksella. Science, 220 (4598): 671-680, 1983. doi: 10.1126/science.220.4598.671.
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.220.4598.671
[28] Nicholas Metropolis, Arianna W. Rosenbluth, Marshall N. Rosenbluth, Augusta H. Teller ja Edward Teller. Tilalaskelmien yhtälö nopeilla laskentakoneilla. The Journal of Chemical Physics, 21(6):1087–1092, 1953. doi:10.1063/1.1699114.
https: / / doi.org/ 10.1063 / +1.1699114
[29] Miguel Navascués, Stefano Pironio ja Antonio Acín. Kvanttikorrelaatioiden joukon rajoittaminen. Phys. Rev. Lett., 98:010401, 2007. doi:10.1103/PhysRevLett.98.010401.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.98.010401
Viitattu
Tämä kirja on julkaistu Quantum - lehdessä Creative Commons Nimeäminen 4.0 Kansainvälinen (CC BY 4.0) lisenssin. Tekijänoikeudet säilyvät alkuperäisillä tekijänoikeuksien haltijoilla, kuten tekijöillä tai heidän instituutioillaan.
