esittely
Solmuteoria sai alkunsa yrityksestä ymmärtää maailmankaikkeuden perusrakenne. Vuonna 1867, kun tiedemiehet yrittivät innokkaasti selvittää, mikä voisi olla syynä kaikkiin erilaisiin ainelajeihin, skotlantilainen matemaatikko ja fyysikko Peter Guthrie Tait näytti ystävälleen ja maanmiehelleen Sir William Thomsonille laitteensa savurenkaiden muodostamiseen. Thomson – josta myöhemmin tuli Lord Kelvin (lämpötila-asteikon kaima) – kiehtoi renkaiden houkuttelevia muotoja, niiden vakautta ja vuorovaikutusta. Hänen inspiraationsa johdatti hänet yllättävään suuntaan: Ehkä, hän ajatteli, aivan kuten savurenkaat olivat pyörteitä ilmassa, atomit olivat solmittuja pyörteitä valomaisessa eetterissä, näkymättömässä väliaineessa, jonka läpi valo eteni fyysikkojen mielestä.
Vaikka tämä viktoriaanisen aikakauden idea saattaa nyt kuulostaa naurettavalta, se ei ollut kevytmielinen tutkimus. Tällä pyörreteorialla oli paljon suositeltavaa: Solmujen pelkkä monimuotoisuus, jokainen hieman erilainen, näytti heijastavan monien kemiallisten alkuaineiden erilaisia ominaisuuksia. Pyörrerenkaiden stabiilius saattaa myös tarjota atomien vaatiman pysyvyyden.
Vortex-teoria sai vetovoimaa tiedeyhteisössä ja inspiroi Taitia alkamaan taulukoida kaikki solmut ja luomaan sen, mitä hän toivoi vastaavan elementtitaulukkoa. Tietenkin atomit eivät ole solmuja, eikä eetteriä ole. 1880-luvun lopulla Thomson oli vähitellen luopumassa pyörreteoriastaan, mutta siihen mennessä Tait kiehtoi solmujensa matemaattinen eleganssi, ja hän jatkoi taulukointiprojektiaan. Prosessissa hän perusti solmuteorian matemaattisen kentän.
Me kaikki tunnemme solmut – ne pitävät kengät jalassamme, veneet kiinnitettyinä telakoihin ja vuorikiipeilijät alapuolella olevilta kiviltä. Mutta nuo solmut eivät ole täsmälleen sitä, mitä matemaatikot (mukaan lukien Tait) kutsuisivat solmuksi. Vaikka sotkeutunut jatkojohto saattaa näyttää solmitulta, se on aina mahdollista irrottaa. Matemaattisen solmun saamiseksi sinun on kytkettävä johdon vapaat päät yhteen muodostamaan suljettu silmukka.
Koska solmun säikeet ovat joustavia kuin naru, matemaatikot pitävät solmuteoriaa osakenttänä. topologia, muovattavien muotojen tutkimus. Joskus on mahdollista purkaa solmu niin, että siitä tulee yksinkertainen ympyrä, jota kutsumme "solmuksi". Mutta useammin solmun purkaminen on mahdotonta.
Solmut voivat myös yhdistyä muodostaen uusia solmuja. Esimerkiksi yhdistämällä yksinkertainen solmu, joka tunnetaan nimellä trefoil, sen peilikuva tuottaa neliömäinen solmu. (Ja jos yhdistät kaksi identtistä apilasolmua, muodostat mummosolmun.)
Käyttämällä numeromaailman terminologiaa matemaatikot sanovat, että apila on alkusolmu, neliösolmu on yhdistelmä ja, kuten numero 1, oksasolmu ei ole kumpaakaan. Tätä analogiaa tuettiin edelleen vuonna 1949, kun Horst Schubert osoitti, että jokainen solmu on joko perussolmu tai se voidaan hajottaa yksilöllisesti alkusolmuiksi.
Toinen tapa luoda uusia solmuja on kietoa kaksi tai useampi solmu yhteen muodostaen linkin. Borromean renkaat, jotka on nimetty, koska ne esiintyvät Italian Borromeon talon vaakunassa, ovat yksinkertainen esimerkki.
Thomson ja Tate eivät olleet ensimmäisiä, jotka katsoivat solmuja matemaattisella tavalla. Jo vuonna 1794 Carl Friedrich Gauss kirjoitti ja piirsi esimerkkejä solmuista henkilökohtaiseen muistikirjaansa. Ja Gaussin opiskelija Johann Listing kirjoitti solmuista vuoden 1847 monografiassa Vorstudien zur Topologie ("Preliminary Studies of Topology") - josta myös termi topologia on peräisin.
Mutta Tait oli ensimmäinen tutkija, joka työskenteli solmuteorian perusongelman parissa: kaikkien mahdollisten solmujen luokittelun ja taulukoinnin parissa. Vuosien huolellisella työllä käyttämällä vain geometrista intuitiota hän löysi ja luokitteli kaikki tärkeimmät solmut, joilla on tasoon projisoituna enintään seitsemän risteystä.
19-luvun lopulla Tait sai tietää, että myös kaksi muuta ihmistä – pastori Thomas Kirkman ja amerikkalainen matemaatikko Charles Little – tutkivat tätä ongelmaa. Yhdistetyin ponnisteluin he luokittelivat kaikki pääsolmut, joissa oli enintään 10 risteystä, ja monet niistä, joissa oli 11 risteystä. Hämmästyttävää kyllä, heidän pöytänsä kymmeneen asti olivat täydellisiä: he eivät menettäneet yhtään solmua.
On huomattavaa, että Tait, Kirkman ja Little saavuttivat niin paljon ilman lauseita ja tekniikoita, jotka löydettäisiin tulevina vuosina. Mutta yksi asia, joka toimi heidän edukseen, oli se, että useimmat pienet oksat ovat "vuorottelevia", mikä tarkoittaa, että niillä on projektio, jossa risteyksissä on johdonmukainen yli-alle-alla-kuvio.
Vuorottelevilla solmuilla on ominaisuuksia, jotka helpottavat niiden luokittelua kuin ei-vuorottelevilla solmuilla. Esimerkiksi risteysten vähimmäismäärän löytäminen mille tahansa solmun projektiolle on vaikeaa. Mutta Tait, joka vuosia virheellisesti oletti, että kaikki solmut vuorottelevat, arveli tavan kertoa, oletko löytänyt tämän vähimmäismäärän: Jos vuorottelevassa projektiossa ei ole risteyksiä, jotka voitaisiin poistaa kääntämällä osa solmusta, niin sen täytyy olla projektio, jossa on pienin määrä risteyksiä.
Tämä ja kaksi muuta Taitin arvelua vuorottelevista solmuista osoittautuivat todeksi. Nämä kuuluisat olettamukset todistettiin kuitenkin vasta 1980-luvun lopulla ja 90-luvun alussa käyttämällä matemaattista työkalua, jonka Vaughan Jones kehitti vuonna 1984. Hän voitti Fields-mitalin työstään solmuteoriassa.
Valitettavasti vuorottelevat solmut vievät sinut vain niin pitkälle. Kun pääsemme solmuihin, joissa on vähintään kahdeksan risteystä, ei-vuorottelevien solmujen määrä kasvaa nopeasti, mikä tekee Taitin tekniikoista vähemmän hyödyllisiä.
Kaikkien 10 ylityssolmun alkuperäinen taulukko oli valmis, mutta Tait, Kirkman ja Little laskivat kaksinkertaisesti. Vasta 1970-luvulla Princetonissa solmuteoriaa opiskellut lakimies Kenneth Perko huomasi, että kaksi solmua ovat peilikuvia toisistaan. Heidät tunnetaan nyt Perko-parina hänen kunniakseen.
Viime vuosisadan aikana matemaatikot ovat löytäneet monia älykkäitä tapoja määrittää, ovatko solmut todella erilaisia. Pohjimmiltaan ideana on tunnistaa invariantin — ominaisuus, määrä tai algebrallinen kokonaisuus, joka liittyy solmuun ja joka voidaan usein laskea yksinkertaisesti. (Näillä ominaisuuksilla on nimet, kuten värittävyys, sillan numero tai väänteleminen.) Näillä tarroilla varustetut matemaatikot voivat nyt helposti verrata kahta solmua: Jos ne eroavat jossakin määritteessä, ne eivät ole sama solmu. Mikään näistä ominaisuuksista ei kuitenkaan ole se, mitä matemaatikot kutsuvat täydelliseksi invariantiksi, mikä tarkoittaa, että kahdella eri solmulla voi olla sama ominaisuus.
Kaiken tämän monimutkaisuuden vuoksi ei ehkä ole yllätys, että solmujen taulukointi on edelleen käynnissä. Viimeksi, vuonna 2020, Benjamin Burton luokitellut kaikki pääsolmut jopa 19 risteystä (joita on lähes 300 miljoonaa).
Perinteisellä solmuteorialla on järkeä vain kolmessa ulottuvuudessa: kahdessa ulottuvuudessa vain solmu on mahdollinen, ja neljässä ulottuvuudessa ylimääräinen huone sallii solmujen irtoamisen, joten jokainen solmu on sama kuin solmu.
Neliulotteisessa avaruudessa voimme kuitenkin solmia palloja. Saadaksesi käsityksen siitä, mitä tämä tarkoittaa, kuvittele viipaloivasi tavallista palloa säännöllisin väliajoin. Näin syntyy ympyröitä, kuten leveysasteviivoja. Kuitenkin, jos meillä olisi ylimääräinen ulottuvuus, voisimme solmia pallon, jotta viipaleet, jotka ovat nyt kolmiulotteisia kahden sijaan, voisivat olla solmuja.
Tämä ajatus oli takana yksi suurimmista viimeaikaisista solmuteorian tuloksista. Vuonna 2018 silloinen jatko-opiskelija Lisa Piccirillo ratkaisi 50 vuotta vanhan kysymyksen noin 11 risteyssolmua, jonka ensimmäisenä löysi John Conway. Kysymys liittyi sliceness-nimiseen ominaisuuteen. Kuten olemme nähneet, kun leikkaamme solmitun pallon neljään ulottuvuuteen, saamme solmun tai linkin kolmiulotteisesti. Joskus voimme saada tietyn solmun kauniista tasaisesti solmitusta pallosta, mutta muiden solmujen kohdalla pallo on solmittava ja rypistettävä kuin jätepaperi. Piccirillo osoitti pohjimmiltaan, että Conwayn solmu oli jälkimmäistä tyyppiä. Teknisessä kielenkäytössä hän osoitti, että se ei ole "tasainen siivu".
Solmuteoria on ylittänyt matemaattisen maiseman vuosisatojen ajan. Se alkoi soveltavana matematiikan alueena, kun Thomson yritti käyttää solmuja ymmärtääkseen aineen koostumuksen. Kun tämä ajatus haihtui, siitä tuli puhtaan matematiikan alue, topologian kiehtovan ja edelleen epäkäytännöllisen alueen haara. Mutta viime vuosina solmuteoriasta on jälleen tullut matematiikan soveltava alue, kun tiedemiehet käyttävät solmuteorian ideoita tutkiessaan Neste dynamiikkaa, sähködynamiikka, solmitut molekyylit, kuten DNA ja niin edelleen. Onneksi, kun tiedemiehet tutkivat muita asioita, matemaatikot rakensivat luetteloita solmuista ja työkaluista salaisuuksiensa selvittämiseksi.
