esittely
Kvanttiteorian ytimessä olevan kohtalokkaan virheen korjaamisen salaisuus saattaa olla kolmessa hämärässä 1980-luvun oppikirjassa. Mutta fyysikot voidaan antaa anteeksi, jos he jättävät huomiotta sisällään mahdollisesti muuttavat ideat, koska volyymit näyttävät samanaikaisesti amatöörimäisiltä ja pelottavilta.
Ne muutamat fyysiset kopiot, jotka ovat olemassa Jean Écallen magnum opuksesta, näyttävät vähän enemmän kuin kirkastetuilta valokopioilta. Paksulla mustalla musteella kirjoitetut ylisuuret matemaattiset symbolit keskeyttävät usein siististi kirjoitetut lauseet. Teksti on kirjoitettu myös ranskaksi, mikä haittaa englanninkielisen maailman tutkijoille.
Itse matematiikka asettaa toisen esteen. Trilogian 1,110 XNUMX sivua täynnä alkuperäisiä matemaattisia esineitä ja outoja kolikoita. Oudolta kuulostavia termejä, kuten "trans-sarja", "analysoitavat bakteerit", "alien derivations" ja "accelero-summation" on runsaasti.
"Jos katsot tätä ensimmäistä kertaa etkä lue sitä kovin tarkkaan, saatat ajatella, että se on pätkä kirjoittaa hulluja asioita", sanoi. Marcos Mariño, Geneven yliopiston matemaattinen fyysikko, joka pitää kirjahyllyssään niin sanottuja "historiallisia asiakirjoja" ja käyttää Écallen päivittäin kehittämiä työkaluja. "Hän ei tietenkään ole. Hän on yksi näistä näkemyksellisistä matemaatikoista."
Hänen visionäärinen matematiikkansa saattaa olla juuri sitä, mitä tarvitaan voittamaan syvällinen käsitteellinen hämmennys – jonka fyysikot ovat jättäneet enemmän tai vähemmän huomiotta viimeiset 70 vuotta. Tuona aikana fyysikot ovat oppineet tekemään henkeäsalpaavan tarkkoja ennusteita subatomisesta maailmasta. Mutta nämä ennusteet, vaikka ne olisivat tarkkoja, ovat likimääräisiä. Jos etsitään absoluuttista tarkkuutta, oppikirjan kvanttiteoria hajoaa ja antaa loputtomasti vastauksia – järjettömiä tuloksia, joita monet fyysikot pitävät matemaattisena roskana.
Tutkimalla Écallen vintage-oppikirjoja fyysikot alkavat epäillä, että nämä äärettömät vastaukset sisältävät lukemattomia aarteita ja että hänen kehittämiensä matemaattisten työkalujen pitäisi riittävällä vaivalla päästää mikä tahansa äärettömyys ja kaivaa rajallinen ja virheetön vastaus mihin tahansa kvanttikysymykseen.
"Todellakin, se toimii erittäin kauniisti", monissa tapauksissa, sanoi Marco Serone, fyysikko, joka tutkii tätä strategiaa, jota kutsutaan nimellä "resurgence". "Jossain vaiheessa tämä prosessi päättyy, ja se, mitä sinulla on silmiesi edessä, on täsmällinen ratkaisu alkuperäiseen ongelmaasi."
Elpymisyhteisö on pieni, mutta se on edistynyt tasaisesti vuosien varrella. Tekniikan protoversio sai tarkat tulokset kvanttimekaniikassa, joka rajoittuu hiukkasten käyttäytymiseen. Ja kehittyneemmät inkarnaatiot ovat antaneet joillekin fyysikoille mahdollisuuden uskaltaa syvemmälle kvanttikenttäteorian ja viime aikoina merkkijonoteorian hämäriin vesiin. Mutta se on vasta alkua elpymisen harjoittajien suurille unelmille. He tähtäävät ei vähempään kuin uuteen tapaan ajatella äärettömyyttä fysikaalisissa teorioissa - sellaiseen, joka vastaa paremmin rajallista maailmaamme teoriassa ja ehkä myös käytännössä.
Räjähtävät mahdollisuudet
Kvanttikenttäteoria – käsitys siitä, että hiukkaset kuten elektronit ovat todella jatkuvia väreitä taustalla olevassa kvanttikentässä – pakotti sodanjälkeiset fyysikot kohtaamaan äärettömyyden.
Nämä kvanttikentät ovat käsittämättömän monimutkaisia petoja – ohimeneviä aaltoiluja ja koherentteja aaltoja riehuvat näennäisesti tyhjää tilaa. Nämä ohimenevät aaltoilut voivat periaatteessa ilmaantua milloin tahansa, millä tahansa määrällä ja millä tahansa energialla – haastavat fyysikot ottamaan huomioon loputtoman joukon subatomien sekoittumista ymmärtääkseen jopa yksinkertaisten kokeiden tarkan tuloksen.
1940-luvulla Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger ja Richard Feynman kehittivät kaikki vastaavia tapoja saada rajallisia vastauksia kvanttisähkömagneettisen kentän äärettömästä monimutkaisuudesta. Nykyään tunnetuin Feynmanin esityksessä laskelma muodosti äärettömän merkkijonon "Feynmanin kaavioita” edustaa yhä bysanttilaisempien kvanttimahdollisuuksien paraatia. Aloitat kaaviosta yksinkertaisimmasta mahdollisesta tapahtumasta - esimerkiksi avaruuden läpi liikkuvasta elektronista - ja lasket jonkin mitattavissa olevan ominaisuuden, kuten kuinka paljon elektroni huojuu magneettikentässä. Seuraavaksi lisäät tuloksen monimutkaisemmasta skenaariosta, kuten elektronista, joka syrjäyttää hetken ja sitten absorboi fotonin lennossa. Lisäät sitten subatomisen draaman, jossa on kaksi ohimenevää aaltoilua, sitten kolme ja niin edelleen, laajasti käytetyssä matemaattisessa tekniikassa, joka tunnetaan häiriöteoriana.
esittely
Paperilla tämän ominaisuuden laskeminen luo loputtoman "tehosarjan": yhtälön, joka sisältää tietyn kriittisen arvon, jota kutsumme x, sitten x neliö, x kuutio, ja korkeammat ja korkeammat voimat x, kaikki kerrottuna eri kertoimilla:
F(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +… + a1,000,000x1,000,000 +….
Sähkömagneettisen kentän arvo x on luonnon linchpin vakio, alfa, joka on lähellä 1/137. Se on pieni määrä, joka sopii voiman suhteellisen heikkouteen, ja tämän pienen luvun nostaminen suurempiin voimiin saa termit kutistumaan nopeasti.
Feynman-kaaviot antavat fyysikoille kertoimet jokaiselle termille - the a's - jotka ovat vaikeita laskea. Laske elektronin ”g-tekijä”, luku, joka liittyy siihen, miten hiukkanen huojuu magneettikentässä. Yksinkertaisin Feynman-kaavio antaa sinulle a0, joka on täsmälleen 2. Mutta jos harkitset hieman monimutkaisempaa Feynman-kaaviota, jossa ensimmäinen väliaikainen aaltoilu ilmaantuu, sinun on laskettava a1 termi, ja siinä äärettömyys nostaa päätään. Tomonaga, Schwinger ja Feynman kehittivät tavan tehdä tästä termistä rajallinen. Heidän laskelmansa noin 2.002 elektronin g-tekijälle vastasi tuon sukupolven kokeellisia mittauksia, osoitti, että kvanttikenttäteoria voi olla järkevä, ja ansaitsi heistä kolmesta vuoden 1965 fysiikan Nobelin palkinnon.
Heidän lähestymistapansa käynnisti myös uuden aikakauden, jossa fyysikot joutuivat mittaamaan yhä korkeampia vuoria Feynman-kaavioita voidakseen laskea enemmän a's. Vuoret ovat jyrkkiä ja nopeita. Vuonna 2017 fyysikko päätti kaksi vuosikymmentä asianharrastus, The tarkka laskelma elektronin g-tekijästä, joka vaati karvaisten yhtälöiden laskemista 891 Feynman-kaaviosta. Tulos paljasti vain sarjan viidennen kauden.
Feynman-kaaviot ovat edelleen erittäin tärkeitä modernissa fysiikassa. Kokoelma samankaltaisia, mutta vielä enemmän osallisia laskelmia myonille, elektronin serkkulle, nousi otsikoihin vuonna 2021. Kokeilu paljasti kahdeksannen desimaalin eron teoreettisista ennusteista. Vaatimaton poikkeama edustaa yhtä parhaista toiveista nähdä, mitä on Feynmanin ja hänen kollegoidensa työstä kasvaneen kohoavan rakennuksen takana.
Mutta tämä kokeellisten voittojen sarja on piilottanut sen tosiasian, että syvällä sisimmässään tämä tapa lähestyä kvanttikenttäteoriaa ei todellakaan toimi ollenkaan.
Feynmanin kaatuminen -kaaviot
Freeman Dyson, toinen sodanjälkeinen pioneeri, oli ensimmäinen fyysikko, joka ymmärsi, että häiritsevä kvanttiteoria oli todennäköisesti tuomittu tuhoon. Vuosi oli 1952, ja kun muut juhlivat sitä tosiasiaa, että Feynmanin tehosarjan ensimmäiset pari termiä voitiin tehdä pieniksi ja rajallisiksi, Dyson oli huolissaan sarjan muista osista.
Fyysikot toivoivat naiivisti, että sähkömagneettisen kentän Feynman-kaavion käsittely osoittautuisi matemaatikoiden "konvergentiksi". Suppenevassa sarjassa jokainen seuraava termi on paljon pienempi kuin edellinen termi, ja mitä enemmän termejä on, sitä enemmän summa konvergoi yhdeksi äärelliseksi luvuksi. Sitä vastoin sarja voi olla myös "erilainen" - myöhemmät termit ovat suurempia kuin aikaisemmat termit ja sarja kasvaa ilman rajoituksia. Summa "poikkeaa", ei anna selvää merkityksellistä vastausta.
Feynmanin summan ensimmäiset ehdot todellakin kutistuvat - alfan pienen arvon seurauksena - ja itse Dyson aluksi päätteli että häiritsevän kvanttisähkömagnetismin tulisi olla yleisesti konvergenttia.
Mutta sitten Dyson sekoitti matemaattisen ja fyysisen päättelyn tehdäkseen hienostuneemman arvauksen sarjan kohtalosta. Matemaattisesti ajateltuaan Dyson tiesi, että konvergentti potenssisarja konvergoi nopeammin x tulee pienemmäksi, koska korkeammat termit (joihin sisältyy valtuuksia x) kutistuu nopeammin.
Mutta kun hän salli x päästäkseen nollasta, kaikki hajosi.
Syynä on tyhjiömme, joka tuottaa jatkuvasti ohimeneviä aaltoilupareja positiivisilla ja negatiivisilla varauksilla. Ne väreet vetävät yleensä toisiaan puoleensa ja katoavat. Mutta jos alfa muuttuisi negatiiviseksi, nuo väreet työntäisivät toisiaan erilleen ja muuttuisivat todellisiksi hiukkasiksi. Jatkuva hiukkasten purkautuminen tyhjästä laukaisi kosmisen sulamisen, "tyhjiön räjähdysmäisen hajoamisen", kuten Dyson sanoi.
Fyysisesti mikä tahansa negatiivinen alfa on ongelma. Silti matemaattisesti merkki x on epäolennainen: Jos sarja poikkeaa pienestä negatiivista x silloin sen pitäisi myös poiketa pienestä positiivisesta x. Siksi pienelle positiiviselle alfalle (eli 1/137) sarjan tulisi myös erota. Dysonin katastrofaalinen fyysinen tilanne epäsuora että Feynmanin kuuluisa tapa käsitellä kvanttisähkömagnetismia ennusti lopulta äärettömän.
Nykyään fyysikot odottavat kvanttielektrodynamiikan (kuten sähkömagnetismin kvanttikenttäteoriaa kutsutaan) alkavan erota jossain 137. termissä. Eli ehkä a138x138 voi olla suurempi kuin a137x137, ja sen sisällyttäminen summaan tekee ennusteesta vähemmän - pikemminkin - tarkemman.
Ongelmana on, että korkeammat termit johtavat räjähdysmäiseen kasvuun - tekijäkasvuun - Feynman-kaavioiden lukumäärässä. Se tarkoittaa laskemista a9 vaatii noin 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (noin 362,880 XNUMX) kaavioita ja a10 vaatii noin 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (3,628,800 XNUMX XNUMX) kaavioita. Tämä tekijäkasvu kaavioissa edistää a's voittaa lopulta alfan voimien kutistumisen, ja summa kasvaa kesyttämättömänä kohti ääretöntä.
Useimmille fyysikoille jopa yksinkertaisimman kvanttikenttäteorian väistämätön ero on abstrakti ongelma, kuten aurinkomme kuolema noin miljardin vuoden kuluttua. Aikana, jolloin laskeminen – paljon vähemmän testaus – jopa sarjan 10. termi vaikuttaa tieteiskirjallisuudesta, miksi pelätä vaaroja, jotka väijyvät kaukana sadan luvun jälkeen?
Mutta muutamille valituille se tosiasia, että modernin fysiikan parhaiten ymmärretty teoria antaa teknisesti loputtomia vastauksia kaikkiin kysymyksiin, joita saatat haluta kysyä, on edelleen syvästi huolestuttavaa. "Emme osaa simuloida maailmaa edes periaatteessa rajattomilla laskentaresursseilla", sanoi Emanuel Katz, Bostonin yliopiston fyysikko, joka tutkii uusia menetelmiä Feynman-kaavioiden pidemmälle menemiseen.
Paholaisen ero
Samaan aikaan matemaatikot olivat ihmetellyt eriäviä sarjoja yli vuosisadan ennen kuin Dyson alkoi huolestua kvanttiteoriasta.
"Eririitaiset sarjat ovat paholaisen keksintöä, ja on häpeällistä perustaa mitään mielenosoituksia niihin." letkautti Niels Henrik Abel vuonna 1828. ”Tulokset ovat suurimmaksi osaksi päteviä, se on totta, mutta se on kumma juttu. Etsin syytä."
Abel kuoli seuraavana vuonna 26-vuotiaana. Mutta vuosisadan lopulla Henri Poincaré otti merkittävän askeleen ymmärtääkseen, mikä teki eriävistä sarjoista niin liukkaita: Ne eivät olleet saatanallisia, vaan vain epätäydellisiä.
Poincaré pohdiskeli ikivanhaa kysymystä: Kuinka kolme taivaankappaletta voisi kiertää toisiaan? Hän päätti ratkaista ongelman häiriöteorian avulla, aivan kuten Feynman ja Dyson tekisivät, kun he kohtasivat kvanttikentät vuosisata myöhemmin. Poincaré pyrki rakentamaan salaperäisen, oletettavasti monimutkaisen funktion, joka kuvaa kolmen kappaleen liikeradat käyttämällä äärettömän pitkää yksinkertaisempien yksiköiden summaa – prosessia, joka muistuttaa auton rakentamista yksinkertaisista lego-osista. Toivottiin, että sarja lähentyisi rajalliseen vastaukseen, merkki siitä, että sarja oli täydellinen esitys ainutlaatuisesta funktiosta.
Aluksi hän luuli onnistuneensa. Vuonna 1890 Ruotsin ja Norjan kuningas Oscar II sai Poincarelle palkinnon hänen edistymisestään kuuluisan ongelman ratkaisemisessa. Mutta vähän ennen kuin hänen ratkaisunsa oli tarkoitus julkaista, hän kehotti kuningasta lopettamaan puristuksen. Sarja oli erilainen. Lisäanalyysi (joka loisi perustan kaaosteorialle) paljasti, että se ei vastannut yhtä vaan kahta erillistä toimintoa. Se oli komplikaatio, jonka fyysikot ovat nyt liiankin tuttuja.
esittely
"Olisi täydellinen ihme, jos fysiikan ongelmasi, josta olet kiinnostunut, liittyy konvergenttisarjaan", sanoi Carl Bender, merkittävä matemaattinen fyysikko Washingtonin yliopistossa St. Louisissa. (Nykyään fyysikot tietävät, että kolme taivaankappaletta voivat olla vuorovaikutuksessa lukemattomilla eri tavoilla, eikä mikään yksinkertainen yhtälö voi sisältää kaikkia mahdollisuuksia.)
Bender vertaa Poincarén kohtaamia eriäviä sarjoja funktion epäselvyyteen. Sumeutukseen mahtuu monia mahdollisia toimintoja, aivan kuten Lego-ajoneuvon lohkomainen siluetti voisi vastata mihin tahansa urheiluautoon. Kun laajennat monimutkaisen toiminnon sellaiseksi "asymptoottiseksi" sarjaksi, "olet menettänyt tietoa", Bender sanoi.
Poincarén ajoista lähtien matemaatikot ja fyysikot ovat oppineet ymmärtämään, että on olemassa muun tyyppisiä termejä, sellaisia, jotka ovat "ylimääräisiä", jotka ovat jopa pienempiä kuin pienin tehotermi. Nämä "eksponentiaalisesti pienet" termit voivat tulla muodossa e(−1/x)ja he toimittavat kadonneet tiedot. Jos sisällytät ne sarjaasi ja valitset sopivan "jatkamis"-menettelyn tehdäksesi sarjasta rajallisen, voit päästä eroon joistakin - ellei kaikesta - epäselvyydestä. Ne ovat nano-Lego-palikoita, joita tarvitaan erottamaan Ferrari Lamborghinista.
Fyysikot kutsuvat näitä ylimääräisiä termejä "ei-häiriöisiksi", koska ne ovat häiriöteorian ulottumattomissa. Voit viettää biljoonaa vuotta Feynman-kaavioiden piirtämiseen ja laskemiseen a's, etkä koskaan opi tietystä fyysisistä tapahtumista, jotka on koodattu näihin ei-häiritseviin termeihin. Vaikka näillä pienillä termeillä kuvatut vaikutukset voivat olla harvinaisia tai hienovaraisia, niillä voi olla dramaattinen ero todellisessa maailmassa.
Otetaan esimerkiksi kvanttimekaniikan Schrödinger-yhtälö, joka kuvaa hiukkasten aaltomaista käyttäytymistä. Se on monimutkainen yhtälö, jota fyysikot usein arvioivat häiriöteorian avulla. Vaikka tuloksena oleva ääretön sarja ennustaa kauniisti monia kokeita, se missaa täysin äärimmäisen epätodennäköisen (mutta ei mahdoton) tapahtuman, joka tunnetaan nimellä tunnelointi, jossa partikkeli olennaisesti teleporttuu esteen läpi.
Tunnelointi on yksi monista kvanttifysiikan ei-häiritsevistä ilmiöistä, mutta ei-häiritseviä vaikutuksia on kaikkialla: lumihiutaleiden haarautuva kasvu, nesteen virtaus reikiä sisältävän putken läpi, planeettojen kiertoradat aurinkokunnassa, aaltojen aaltoilu loukussa pyöreiden saarten välissä, ja lukemattomat muut fyysiset ilmiöt eivät ole häiritseviä.
"He ovat siellä, ja he ovat ratkaisevia", sanoi Daniele Dorigoni, fyysikko Durhamin yliopistossa. "Häirityksen teoria ei yksinään riitä."
Universaalin luonteensa vuoksi monet matemaatikot ja fyysikot ovat työskennelleet ei-häiritsevien termien laskemiseen liittyvän meta-ongelman eri näkökohtien parissa. Ja 20-luvun lopulla joukko tutkijoita alkoi löytää houkuttelevia vihjeitä siitä, että häiritsevät sarjat näyttivät tietävän enemmän kuin heidän pitäisi.
Näiden tutkijoiden joukossa ryhmä Saclay Nuclear Research Centerissä Ranskassa 1980-luvulla auttoi kehittämään tavan yhdistää häiritseviä tehotermejä ei-häiritseviin eksponentiaalisiin termeihin saadakseen tarkkoja tuloksia kvanttimekaniikan tunnelointiin. Heidän tekniikkansa toimi sikäli, että he saattoivat luottaa ratkaisevaan vuosisadan vaihteen matemaattiseen tekniikkaan, joka tunnetaan nimellä Borel Resummation. Borel-resummatio oli päivän tehokkain työkalu rajallisten lukujen saamiseksi eroavista sarjoista, mutta sillä oli rajansa. Se antoi toisinaan vääriä tai ristiriitaisia tuloksia, turhauttaen fyysikot, jotka toivoivat yhden sarjan ennustavan oikein yhden kokeen tuloksen.
"Kun fyysikot löysivät sarjan, joka ei ollut Borel-summattava, he periaatteessa luovuttivat", Mariño sanoi.
Heidän tietämättään eksentrinen matemaatikko, joka työskenteli eristyksissä vain kilometrin päässä Saclayn ryhmästä, oli jo aloittanut ennennäkemättömän tutkimuksen asymptoottisten sarjojen äärettömän korkeista huipuista.
Feynmanin kaaviot iskevät takaisin
Jean Écalle on tuntenut olevansa äärettömyyden matematiikan valloittanut teini-iästä lähtien. Hän muistelee rentoutuneensa vuoristopuron varrella eräänä kesänä lukiossa ja pohtineensa, olisiko johdannaisoperaatiosta olemassa yleisempi versio – infinitesimaalien harjoitus, jonka oppilaat oppivat ensin alkeislaskennassa.
Jatkaessaan opintojaan Écalle alkoi miellyttää yksin työskentelyä. Hän jopa yritti välttää lukemasta matemaatikotovereidensa töitä peläten, että heidän ajattelunsa vetäisi hänet vakiintuneisiin uriin.
"Olen temperamenttisesti vastenmielistä menettämästä itseäni matematiikan kirjallisuudessa", Écalle sanoi. "Sain myös havaita kerta toisensa jälkeen, kuinka liian syvä uppoutuminen matematiikan kirjallisuuteen tukahdutti luovuuden."
esittely
1970-luvun alussa Écallen uteliaisuus ajoi hänet seuraamaan Poincarén jalanjälkiä. Hän alkoi analysoida entistä abstraktimpia matemaattisia objekteja, jotka syntyivät taivaankappaleiden tutkimuksessa. Asymptoottisia sarjoja ilmestyi matkan varrella, samoin kuin yleisempi johdannainen, jota hän oli spekuloinut lukiossa. Écalle kehitti lopulta sen, mitä hän kuvaili "tarkan, teräväpiirteisen rakenteen - alien calculus -, joka syntyy spontaanisti siitä, mikä näyttäisi olevan kaikkein lupaamattomimmasta ja amorfisimmasta kontekstista: erosta."
Écallen alien-laskenta on abstrakti ja monitahoinen. Mutta viesti, jonka se piti fyysikoille, jotka sen lopulta kohtasivat, oli selvä. Häiritsevä sarja, vaikka se eroaakin, kätkee täydellisen kirjaston ei-häiritsevää tietoa. Sarja sisältää kaiken, mitä tarvitaan sen päivittämiseen tavalla, joka poistaa epäterävyyden ja palauttaa tarkan kuvan ainutlaatuisesta vastaavasta toiminnosta. Lohkoiset Lego-palikat saattavat kuitenkin riittää.
Syvistä seurauksistaan huolimatta Écallen työ kuivui aluksi. Se oli liian epäselvä ja liian abstrakti fyysikoille (jopa ranskankielisille). Ja se ei ollut tarpeeksi tiukka kiinnittääkseen matemaatikoiden huomion.
"Hän on yksi niistä neroista, jotka ajattelevat, että yksityiskohtaiset todisteet ja kaikki tapaukset eivät ole tärkeitä. Se, mikä on todella tärkeää, on upea näkymä”, Mariño sanoi.
Écalle hahmotteli uudelleen elpymisen ydinkäsitteet kolmessa artikkelissa vuonna 1976, ja vuosina 1981-1985 hän kirjoitti kolme oppikirjaansa, joissa hän esitti perusteellisesti elpymisen avaruuslaskennan. Ne eivät koskaan ilmestyneet matemaattisessa päiväkirjassa. Sen sijaan hän julkaisi trilogian yliopistonsa matematiikan laitoksen kautta ja täytti yhtälöitä käsin.
Jos fyysikot olisivat onnistuneet kaivamaan hänen kirjojaan heti, heidän kokemuksensa ei olisi ollut erilainen kuin kontakti älykkään maan ulkopuolisen sivilisaation kanssa. He olisivat kohdanneet matemaattisen koneiston valovuosia edellä siitä, mihin he olivat tottuneet.
"Uudelleensyntyminen on erittäin hienoa", Bender sanoi. Mutta mahdollisimman yksinkertaisesti sanottuna, se antaa harjoittajien kaivaa asymptoottisen sarjan kaukaisiin termeihin (esimerkiksi Feynman-kaavioilla laskettuihin) ja paljastaa puuttuvat palaset, jotka ovat välttämättömiä ainutlaatuisen funktion määrittämiseksi (joka kuvaa esimerkiksi tunnelointia). . Lyhyesti sanottuna se paljastaa sillan, joka yhdistää häiriöteorian kuvaamat fyysiset tapahtumat ei-häiritsevien termien kuvaamiin tapahtumiin. "Se on hyvin monimutkainen suhde", Bender sanoi, ennen kuin hän kohteliaasti kieltäytyi yrittämästä selittää sitä.
Kun Écalle, nyt 73, otti yhteyttä Quanta-lehti heräämisen historiaa koskeviin kysymyksiin hän vastasi säveltämällä a 24-sivuinen tutkielma aiheesta kuudessa päivässä – herkku tutkijoille, jotka kaipaavat lisätietoa elpymisestä ja sen kehityksestä. "Se on aarre", sanoi David Sauzin, matemaatikko Pariisin taivaanmekaniikan instituutista ja kuuluisa Écallen dekooderi.
Tässä on erittäin karkea sarjakuvaversio lähestymistavasta:
Kirjoita ensin tyypillinen häiritsevä sarja. Termit kutistuvat aluksi, mutta lopulta ne kasvavat nopeasti akasvaa todella isoksi. Piirrä kasvua a's, ja näet, että ne ampuvat ylöspäin nopeudella, joka melkein - mutta ei täsmälleen - vastaa tekijän kasvua. Tutki eroa viivalla piirretty a's ja käyrä, joka kasvaa tekijällisesti oppiakseen ensimmäisen ei-häiritsevän termin – suurimman nano-Lego-palikoista.
Mutta se on vasta alkua. Käytä Borel-resummaation ensimmäistä vaihetta. Tämä eliminoi tekijäkasvun, jolloin voit nähdä häiritsevien termien käyttäytymisen yksityiskohtaisemmin. Tuloksena oleva käyrä muutettu asen pitäisi kasvaa eksponentiaalisesti. Mutta tutki sitä huolellisesti, niin näet, että häiritsevät tiedot ovat hieman väärässä. Tämä poikkeama tulee kokonaan uudesta asymptoottisesta sarjasta, joka kerrotaan ensimmäisellä ei-häiritsevällä termillä.
Toimenpide jatkuu. Poista eksponentiaalinen kasvu häiriötiedoista, ja jos sinulla on tarkka silmä, voit havaita lisää poikkeamia, jotka paljastavat toisen ei-häiritsevän termin. Katso tarkemmin, niin huomaat, että tämä ei-häiritsevä termi sisältää vielä yhden asymptoottisen sarjan.
Päivän lopussa voi olla mikä tahansa määrä ei-häiritseviä termejä, joihin on liitetty asymptoottisia sarjoja. Löydä näitä niin monta kuin sinulla on vatsaa, ja sinulla on käsissäsi esine nimeltään trans-sarja. Trans-sarja alkaa tutulla häiritsevällä sarjalla. Sitten tulee ei-häiritsevä termi (sarjan kanssa), ja sitten toinen ja toinen.
Écallen trans-sarja voitti Borel-resummaation vaikeudet, jotka olivat aiemmin järkyttäneet fyysikot. Jos tiedät trans-sarjan, joka kuvaa jotakin mittausta, kuten elektronin g-tekijää, Borel-yhteenlasku antaa sinulle yhden oikean vastauksen. Lisäksi resurgence väittää, että hienovaraiset poikkeamat tutussa häiritsevässä sarjassa trans-sarjan kärjessä kertovat sinulle kaiken, mitä sinun tulee tietää seuraavasta mahdollisesti loputtomasta paraatista.
Tällä matemaattisella kuvalla on kaksi silmiinpistävää seurausta fyysikoille. Ensinnäkin se viittaa siihen, että kvanttikentille ja muille monimutkaisille järjestelmille voi olla tarkkoja tuloksia - ei vain likiarvoja. Jos näin on, se vahvistaisi kvanttiteorian äärelliseksi ja järkeväksi.
"Sen toteaminen, että kvanttikenttäteoriassa todellakin asiat ovat alttiina elpymiselle, olisi suuri edistysaskel", Serone sanoi.
Toiseksi se viittaa siihen, että potentiaalisesti ääretön valikoima ei-häiritseviä kappaleita voidaan päätellä kokonaan häiritsevistä sarjoista, joiden erotus vaivasi Dysonia. Se, mikä vuosikymmeniä näytti itsenäisiltä fysiikan alueilta, liittyy itse asiassa läheisesti toisiinsa.
"Sen sijaan, että ajattelisit häiritsevää sarjaa jonakin, joka eroaa ja aiheuttaa sinulle paljon ongelmia", Mariño sanoi, "se on vain sisäänkäynti erittäin monimutkaiseen ja kiehtovaan maailmaan."
Itse asiassa, sieltä nimi elpyminen tulee, sanoi Gökçe Başar, fyysikko Pohjois-Carolinan yliopistosta Chapel Hillistä: "Myöhäisten termien käyttäytyminen häiritsevässä sarjassa 'tulee uudelleen' noilla ei-häiritsevillä termeillä." Se on sekava, hän sanoi, mutta "se on melko kaunis."
Syöksy fysiikkaan
Tietoisuus Écallen löydöstä - siitä, että häiritsemätöntä tietoa voidaan saada salaa häiriöteorian kautta - on hitaasti valunut matemaattisen fysiikan maailmaan. Siellä fyysikot ovat jo käyttäneet sitä tunnistaakseen uusia kappaleita, jotka ovat piilossa kahdessa 21-luvun eniten tutkitussa teoriassa: vahvan voiman teoriassa ja kieleteoriassa.
Mithat Ünsal, fyysikko North Carolina State Universitystä, on omistanut suuren osan urastaan yrittäessään ymmärtää vahvaa voimaa, joka pitää kvarkeja yhdessä protoneja ja muita hiukkasia muodostaen. Vuonna 2008 luettuaan elpymisestä a 1993 artikkeli Erilaisista sarjoista hän etsi yleiskatsauksen Écallen työstä. "Ranskan kieleni on erittäin ruosteinen, mutta siellä oli englanninkielinen esipuhe ehdotetulla terminologialla", Ünsal muisteli. "Osasin sen ja yritin ymmärtää sitä."
Myöhemmin hän tapasi Gerald Dunne Connecticutin yliopistosta konferenssissa, ja kahvin ääressä jutellessaan he huomasivat, että sama artikkeli oli inspiroinut heitä molempia aloittamaan elpymisen opettamisen. He päättivät yhdistää voimansa.
Molempia fyysikoita motivoi se, että he yrittivät ymmärtää jotain vieläkin monimutkaisempaa kuin mitä Dyson ja Feynman kohtasivat. Noilla fyysikoilla kävi tuuri sähkömagneettisen kentän kanssa. Se on erittäin heikko, alfa on vain 1/137. Toinen perusvoima, heikko vuorovaikutus, osoittautui yhtä helposti kesytettäväksi, ja sen alfaversio oli vielä 10,000 XNUMX kertaa pienempi. Häiriöteoria sattuu toimimaan näille kahdelle voimalle, koska ne ovat niin heikkoja, että on melkein kuin niitä ei olisi ollenkaan.
esittely
Mutta tämä onni päättyi, kun fyysikot yrittivät torjua vahvaa voimaa. Vahva voima on noin 100 kertaa vahvempi kuin sähkömagneettinen voima, alfa-analogin ollessa noin 1, eikä sitä jätetä huomiotta. Neliöinti tai kuutio 1 ei luo minkäänlaista kutistuvaa vaikutusta, joten häiritsevä sarja suuntaa suoraan kohti ääretöntä varhaisimmista termeistä lähtien. Fyysikot ovat vuosikymmeniä kehittäneet vaihtoehtoista tapaa käsitellä vahvaa voimaa supertietokoneiden avulla, mikä on saavuttanut upeita tuloksia matkan varrella. Mutta numeeriset laskelmat eivät anna paljon käsitystä siitä, kuinka vahva voima tekee sen, mitä se tekee.
Ünsal ja Dunne ymmärsivät, että elpyminen, jolla on voima kesyttää erilaisia sarjoja, voisi viedä heidät askeleen kohti unelmaa ymmärtää vahva voima kynällä ja paperilla. Erityisesti he päättivät ratkaista mysteerin, joka oli vaivannut vahvan voiman teoriaa 40 vuoden ajan.
Vuonna 1979 fyysikot Gerard 't Hooft ja George Parisi päätteli pienten, outojen termien olemassaolosta vahvoissa voimalaskelmissa. He kutsuivat heitä renormaloneiksi, eikä kukaan tiennyt mitä tehdä niistä. Renormalonit eivät näyttäneet vastaavan mitään tiettyä aaltoilua tai muuta konkreettista kenttäkäyttäytymistä. Mutta siellä he olivat, sotkeen laskelmat siitä huolimatta.
Ünsal ja Dunne ratkaisivat renormaalit elpymisellä. Vaikka he työskentelivätkin vahvan voiman 2D-analogissa, kesti heiltä noin vuoden. Mutta vuonna 2012 he näyttivät että – ainakin yksinkertaistetussa mallissaan – 't Hooftin ja Parisin renormaalit vastasivat fyysikot ymmärtämään käyttäytymiseen.
He "ratkaisivat mysteerin ja pystyivät löytämään, mitä renormaalit vastasivat", sanoi Jordan Cotler, Harvardin yliopiston fyysikko, joka on parhaillaan tekemässä samanlaista yritystä ymmärtää renormaalia realistisemmassa vahvan voiman teoriassa.
Viime vuonna tutkijat kuitenkin käyttivät elpymistä lisätäkseen ryppyä. Mariño ja hänen työtoverinsa suorittivat tarkemman laskelman (tosin myös yksinkertaistetussa teoriassa) ja löysi uusia renormaaleja sen lisäksi, mitä ryhmä kutsuu 't Hooftin ja Parisin "tavanomaiseksi tarinaksi". Mariño epäilee nyt, että renormalons ovat vain häiritsemättömän jäävuoren huippu. Elpyminen ja muita häiritsemättömiä menetelmät saattaa paljastaa, että fyysikot ovat pilailleet heidän historiallisen menestyksensä sovittamassa yksittäisiä matemaattisia termejä tiettyihin tapahtumiin. Jos hän on oikeassa, kvanttimaailmasta voi joskus tulla vieläkin vaikeampi visualisoida kuin se jo on.
"Epäilen, että tämä kuva - yksi eksponentiaalinen [yhdelle esineelle] - menee läpi yleisissä kenttäteorioissa", hän sanoi. "Voi käydä niin, että eksponentiaalisten korjausten maailma on todella villi."
Mariño on myös ollut avainasemassa uuden ei-häiritsevän vaikutuksen löytämisessä jousiteoriassa, spekulatiivisessa ja todistamattomassa käsityksessä, jonka mukaan maailmankaikkeus ei ole tehty pistemäisistä hiukkasista, vaan se koostuu laajennetuista esineistä, kuten merkkijonoista. Tällaisten merkkijonojen heiluminen määrittäisi havaitsemiemme hiukkasten ominaisuudet.
Kieliteoriaa, kuten kvanttiteoriaa, käsitellään yleensä Feynmanin kaltaisten kaavioiden häiritsevänä sarjana, joka edustaa jousien sulautumista ja jakautumista yhä monimutkaisemmilla tavoilla. Mutta toisin kuin kvanttiteoreetikot, jousiteoreetikoilta puuttuu edes pienintäkään oppaita teorian häiritsemättömiin vaikutuksiin. He olettavat, että aivan kuten kvanttiteoria sisältää tunnelointia ja renormaalia, myös merkkijonoteorian täydellinen ei-häiritsevä muotoilu sisältää myös lohikäärmeitä.
Yksi silmiinpistävä esimerkki merkkijonoteorian ei-häiritsevistä ilmiöistä – levymäiset esineet, jotka tunnetaan nimellä D-braanit – löydettiin 1990-luvulla. D-braanit vauhdittivat myöhemmin joitakin jousiteorian suurimpia kehityskulkuja.
Mariño pohti, mitä muuta siellä voisi olla.
Hän oli osa ryhmää, joka vuonna 2010 huomasi joukon negatiivisia vastineita piiloutumassa D-braanitermien varjoon. Ei ollut selvää, mitä fyysistä ilmiötä nämä kumppanitermit voisivat kuvata.
Vihje tuli kuusi vuotta myöhemmin, kun Cumrun Vafa Harvardin ja hänen työtovereidensa tutkivat yleistettyä merkkijonoteoriaa, jossa tietyt suuret voivat mennä negatiivisiksi. He löysivät D-braaneja, joilla oli negatiivinen jännitys – braaniversio, jolla on negatiivinen massa. Nämä eksoottiset pedot vääntänyt ympärilleen todellisuuden rakenteen, luoden aikaan useita ulottuvuuksia ja rikkoen perusperiaatetta, jonka mukaan todennäköisyyksien summan on aina oltava 100 %. Mutta ryhmä ei löytänyt mitään viitteitä siitä, että näiden esineiden pitäisi paeta omituisesta maailmastaan ja näkyä tavallisessa merkkijonoteoriassa.
Nyt Ricardo Schiappa, Mariñon ystävä ja teoreettinen fyysikko Lissabonin yliopistosta, uskoo löytäneensä todisteita toisin. Viime kuukausina Schiappa ja hänen työtoverinsa käyttivät elpymistä tutkiakseen kourallisen yksinkertaisia jousteteoriamalleja. He havaitsivat, että Vafan negatiivisen jännityksen D-braanit vastasivat tarkasti niitä eksponentiaalisesti pieniä termejä, jotka Mariño oli löytänyt vuonna 2010. Negatiiviset D-braanit ovat D-braanien väistämättömiä kumppaneita, ryhmä väitti Tammikuun esipainos. "Olemme nyt havainneet, että ne ovat perustavanlaatuisia häiriöteorialle", Schiappa sanoi.
Muut teoreetikot eivät ole vielä varmoja, mitä tehdä tuoreesta löydöstä. Vafa huomauttaa, että Schiappan miehistö teki laskelmansa riisutuilla kielimalleilla ja että tulos ei taatusti säilyisi kehittyneemmissä koostumuksissa. Mutta jos näin on, ja jos merkkijonoteoria todella kuvaa universumiamme, sen täytyy sisältää jokin muu tapa estää negatiivisten D-braanien muodostuminen.
"Niiden ei pitäisi olla siellä tavallisina esineinä tuossa teoriassa", Vafa sanoi. Muuten "tämä avaa kokonaisen Pandoran pulmalaatikon".
Mustat joutsenet ja muut poikkeavuudet
Huolimatta edistymisestään renormalonien ja negatiivisten braanien havaitsemisessa, fyysikot mainitsevat kaksi valtavaa estettä häiriöteorian virallisen seuraajan kruunaamiselle.
Ensinnäkin kaikilla teorioilla ei ole osoitettu olevan uusiutuva rakenne. Kysymys on erityisen akuutti kvanttikenttäteorioiden kohdalla, joita fyysikot ovat tarkastaneet tapauskohtaisesti. Se on huolellinen prosessi, vähän kuin nisäkkäiden tutkiminen laji kerrallaan. Tarkasteltuasi ihmisiä, delfiinejä ja kissoja saatat alkaa luottaa siihen, että elävänä syntymä on yleinen nisäkäsominaisuus. Mutta aina on mahdollisuus, että löydät seuraavan kulman takaa munan munivan.
Siksi Serone on omistanut viimeiset kolme vuotta stressitestaamiseen uudelleen elpymisen tietyissä kvanttikenttäteorioissa. Vuonna 2021 hän ja hänen työtoverinsa opiskellut teoriaa joka jakaa keskeiset ominaisuudet vahvan voiman kanssa, mutta on silti tarpeeksi yksinkertainen, jotta he voivat laskea monia atarvitaan elpymisen suorittamiseen. He laskivat tyhjän tilan energian tällaisessa universumissa käyttämällä elpymistä ja kahta muuta menetelmää, mikä osoitti, että kaikki kolme olivat samaa mieltä. Kvanttikenttäteoriassa on esitetty kvalitatiivisia argumentteja, joiden mukaan elpymisen pitäisi pitää paikkaansa, mutta tämä oli yksi ensimmäisistä konkreettisista laskelmista, mikä lisäsi optimismia.
"Useimmissa tapauksissa se on testattu tähän mennessä, joko elpyminen toimii tai meillä on hyviä syitä uskoa, että ymmärrämme, kun se ei", Serone sanoi.
Vakavampi ongelma on, että havaitaksesi ei-häiritseviä kappaleita, sinun on tiedettävä pelottava määrä häiritseviä termejä. Esimerkiksi viimeaikaisessa tutkimuksessaan Serone valitsi kvanttikenttäteorioita matemaattisilla takaovilla, joiden avulla hän voi tuottaa tuhansia termejä. Mutta vahvan voiman osalta vain kahdeksan tai yhdeksän laskeminen on tällä hetkellä mahdotonta. Jopa menetelmän pioneerit eivät vähättele sanojaan, kun he odottavat sen tuottavan reaaliluvun, kuten protonin massan (a matemaattinen saavutus arvoinen a miljoonan dollarin palkinto).
"Se on äärimmäisen vaikeaa", Ünsal sanoi huokaisten. "En näe välitöntä tietä."
”Ecalle sanoi, että vastaus on periaatteessa tiukka. Mutta vastauksen saaminen on todella, todella vaikeaa, Bender sanoi. "Minun neuvoni olisi, älä seiso yhdellä jalalla odottaessasi."
New Hope
Pelottava vaikeus ei kuitenkaan ole tappanut unelmaa yrittää saada todellisia ennusteita elpymisestä. Ensinnäkin tekniikka on jo tuottanut kvanttimekaniikassa muuten saavuttamattomia tuloksia. Vielä 1980-luvulla Saclayn ranskalaiset matemaattiset fyysikot käyttivät proto-resurgent-menetelmiä tehdäkseen tarkan ennusteen hiukkastunnelointiin - ongelmaan, jonka fyysikot olivat aiemmin kyenneet vain arvioimaan. Dunne ja Ünsal ovat tehneet samanlaisia kynä-paperilaskelmia käyttämällä Écallen hienostuneempia työkaluja. Toinen ryhmä on tarkistanut nämä tulokset standardimenetelmillä. He pääsivät vain niin pitkälle kuuden desimaalin tarkkuudella — Herkuleen ponnistelu, joka vaati kuukausia aikaa ja huomattavaa tietokonetehoa.
Tällaiset dramaattiset esimerkit ovat motivoineet Dunnea kehittämään erittäin tehokkaita tapoja harjoitella uudelleensyntymistä, toivoen, että ne joskus siirrettäisiin kvanttikenttäteorioihin. Viimeisen viiden vuoden aikana yhdessä Ovidiu Costin, matemaatikko Ohion osavaltion yliopistosta, hän on löytänyt tekniikoita, jotka saavat enemmän vastinetta häiritsevälle rahalle. Joissakin tapauksissa (jotka ovat vielä kaukana tosielämän teorioista) he ovat havainneet, että vain 10-15 termiä riittää. "Tämä luku olisi voinut olla 1,000 XNUMX, ja olisin luovuttanut ja mennyt jonnekin muualle", hän sanoi. "Se on tavallaan kiehtovaa."
Dunnen ja Costinin työt ovat onnistuneet kiinnittämään jopa Écallen itsensä huomion. Resurgensin perustaja ei ole seurannut tarkasti työnsä käynnistämiä aaltoja, ja hän kutsui itseään "teoreettisen fysiikan edistyneeksi tietämättömäksi". Vaikka hän on huolissaan siitä, että kaikki spekulatiivisten mallien, kuten merkkijonoteorian, työt voivat olla "rakennettu juoksuhiekalle", hän kehuu tutkijoiden pyrkimyksiä antaa elpymiselle matemaattinen viritys.
"Vaikka fyysinen maaperä antaisi periksi, vaikkapa O. Costinin ja G. Dunnen vaikuttavat matematiikan tulokset pysyvät", hän sanoi.
Écallelle elpyminen on mennyttä lukua. Alkuperäisestä trilogiasta on kulunut lähes 40 vuotta. Hän jatkoi avaruuslaskennan kehittämistä noin vuoteen 2000 saakka, ja hän on viettänyt viimeiset 20 vuotta tutkien algebrallisempaa sivuhaaraa. Jos hän joskus päättää julkaista jatko-trilogian, joka kokoaa kaikki hänen löydöstään yhteen paikkaan, kuka tietää, mitä aarteita fyysikot löytävät sisältä.
"Luulen, että hän on löytänyt monia työkaluja, jotka ovat vielä tutkimatta", Mariño sanoi.
- SEO-pohjainen sisällön ja PR-jakelu. Vahvista jo tänään.
- Platoblockchain. Web3 Metaverse Intelligence. Tietoa laajennettu. Pääsy tästä.
- Lähde: https://www.quantamagazine.org/alien-calculus-could-save-particle-physics-from-infinities-20230406/
- :On
- ][s
- $ YLÖS
- 000
- 1
- 10
- 100
- 1985
- 20 vuotta
- 2012
- 2017
- 2021
- 2022
- 2D
- 7
- 70
- 8
- 9
- a
- pystyy
- Meistä
- Tietoja Quantum
- absoluuttinen
- TIIVISTELMÄ
- AC
- Accessed
- Suoritetut
- Tili
- tarkka
- saavuttamisessa
- todella
- edistää
- neuvot
- Jälkeen
- vuotta vanha
- ikäinen
- eteenpäin
- ulkomaalainen
- Kaikki
- Salliminen
- yksin
- Alpha
- jo
- vaihtoehto
- Vaikka
- aina
- analyysi
- analysoida
- ja
- Toinen
- vastaus
- vastauksia
- erilleen
- näyttää
- ilmestyi
- käyttää
- arvostaa
- lähestymistapa
- lähestyy
- sopiva
- OVAT
- perustelut
- noin
- Ryhmä
- artikkeli
- AS
- näkökohdat
- liittyvä
- lajitelma
- At
- takaisin
- Takaportteja
- Pankit
- este
- pohja
- perusta
- BE
- kaunis
- kauniisti
- koska
- tulevat
- tulee
- ennen
- alkoi
- Alku
- ovat
- Uskoa
- uskoo
- PARAS
- Paremmin
- välillä
- Jälkeen
- Iso
- suurempi
- Suurimmat
- Miljardi
- Bitti
- Musta
- Blocks
- hämärtää
- Kirjat
- boston
- Laatikko
- taukoja
- SILTA
- lyhyesti
- Rakentaminen
- Nippu
- by
- laskea
- laskettu
- laskettaessa
- laskelmat
- soittaa
- nimeltään
- soittamalla
- Puhelut
- CAN
- Voi saada
- auto
- joka
- Ura
- huolellisesti
- autot
- sarjakuva
- tapauksissa
- katastrofaalinen
- paini
- Kissat
- juhlittu
- Juhlitaan
- keskus
- Century
- tietty
- haastava
- mahdollisuus
- Kaaos
- Luku
- maksut
- chattailuun
- tarkkailun
- Sivistys
- selkeä
- lähellä
- tarkasti
- lähempänä
- kahvi
- JOHDONMUKAINEN
- työtovereiden
- kokoelma
- yhdistely
- Tulla
- tuleva
- yhteisö
- täydellinen
- täysin
- monimutkainen
- monimutkaisuus
- monimutkainen
- kokoonpanossa
- tietokone
- tietokoneen virtaa
- tietojenkäsittely
- käsitteet
- käsitteellinen
- Konferenssi
- luottavainen
- ristiriitaiset
- Seuraukset
- Harkita
- vakio
- alituisesti
- rakentaa
- ottaa yhteyttä
- sisältää
- sisältää
- yhteyksissä
- jatkui
- jatkuu
- jatkuva
- kontrasti
- edistää
- suppenee
- Ydin
- Kulma
- Korjaukset
- vastaava
- voisi
- Pari
- Kurssi
- luoda
- luo
- Luominen
- luovuus
- kriittinen
- ratkaiseva
- uteliaisuus
- utelias
- Tällä hetkellä
- käyrä
- päivittäin
- vaaroista
- tiedot
- David
- päivä
- päivää
- Kuolema
- vuosikymmeninä
- päättää
- päätti
- laskussa
- syvä
- osasto
- kuvata
- on kuvattu
- yksityiskohta
- yksityiskohtainen
- Määrittää
- kehittää
- kehitetty
- kehittämällä
- Kehitys
- kehitys
- poikkeama
- kaaviot
- DID
- kuollut
- ero
- eri
- vaikea
- vaikeudet
- vaikeus
- DIG
- mitat
- löysi
- löytö
- ristiriita
- selvä
- erota
- Eroavuus
- ei
- Dont
- Tuhoon tuomittu
- epäilyksiä
- alas
- Draama
- dramaattisesti
- piirustus
- unelma
- unelmat
- kukin
- Aikaisemmin
- Varhainen
- ansainnut
- koulutus
- vaikutus
- vaikutukset
- vaivaa
- ponnisteluja
- myöskään
- elektronit
- eliminoi
- Loputon
- päättyy
- energia
- Englanti
- tarpeeksi
- täysin
- yhtälöt
- Vastaava
- Aikakausi
- olennaisesti
- perustaa
- vakiintunut
- Jopa
- tapahtuma
- Tapahtumat
- lopulta
- EVER
- kaikki
- näyttö
- täsmälleen
- esimerkki
- Esimerkit
- Käyttää
- Eksoottinen
- Laajentaa
- odottaa
- experience
- kokeilu
- Selittää
- tutkimus
- tutkitaan
- Tutkiminen
- räjähdysmäinen
- Eksponentiaalinen kasvu
- eksponentiaalisesti
- lisää
- erittäin
- silmä
- katse
- Kasvot
- Pudota
- tuttu
- kuuluisa
- lumoava
- FAST
- nopeampi
- pelko
- Ominaisuus
- Ominaisuudet
- kaveri
- Ferrari
- harvat
- Kaunokirjallisuus
- ala
- Fields
- Löytää
- löytäminen
- Etunimi
- ensimmäistä kertaa
- virhe
- virtaus
- seurata
- seurannut
- seuraa
- Jalka
- varten
- voima
- Joukot
- muoto
- ihana
- löytyi
- perusta
- perustaja
- Ranska
- Ranskan
- usein
- tuore
- ystävä
- alkaen
- etuosa
- turhauttava
- koko
- toiminto
- tehtävät
- perus-
- edelleen
- keräys
- general
- tuottaa
- Geneve
- bakteereita
- saada
- saada
- Antaa
- tietty
- antaa
- Antaminen
- Go
- Goes
- menee
- hyvä
- Maa
- Ryhmä
- Kasvaa
- Kasvava
- täysikasvuinen
- kasvaa
- Kasvu
- taattu
- Oppaat
- käsi
- kourallinen
- kahva
- Käsittely
- käsissä
- tapahtua
- tapahtuu
- Kova
- Harvard
- Harvardin yliopisto
- Olla
- ottaa
- pää
- Pääotsikot
- päät
- sydän
- sankari
- auttanut
- kätketty
- Korkea
- korkeampi
- vihjeitä
- historiallinen
- historia
- pitää
- pitää
- Holes
- toivoa
- toivoo
- toivoen
- Miten
- Miten
- Kuitenkin
- HTTPS
- Ihmiset
- Nälkäinen
- i
- ideoita
- tunnistaa
- kuva
- Välitön
- tärkeä
- mahdoton
- vaikuttava
- in
- sisältää
- Mukaan lukien
- yhä useammin
- itsenäinen
- osoitus
- henkilökohtainen
- väistämätön
- Ääretön
- äärettömyys
- tiedot
- tietoa
- innoittamana
- esimerkki
- sen sijaan
- Instituutti
- Älykäs
- olla vuorovaikutuksessa
- vuorovaikutus
- kiinnostunut
- pelottava
- keksintö
- aiheuttaa
- osallistuva
- eristäminen
- IT
- SEN
- itse
- yhdistää
- päiväkirja
- Innokas
- avain
- laji
- kuningas
- Tietää
- tuntemus
- tunnettu
- Lack
- Lamborghini
- suurempi
- suurin
- Sukunimi
- Myöhään
- käynnistettiin
- johtaa
- OPPIA
- oppinut
- Lets
- Kirjasto
- piilee
- pitää
- RAJOITA
- rajat
- linja
- yhdistää
- Neste
- Lissabon
- kirjallisuus
- vähän
- elää
- Pitkät
- katso
- näyttää joltakin
- näköinen
- menettää
- Ludvig
- onni
- koneet
- tehty
- Magneettikenttä
- merkittävä
- tehdä
- TEE
- onnistui
- monet
- Massa
- ottelu
- Hyväksytty
- matching
- matematiikka
- matemaattinen
- matemaattisesti
- matematiikka
- mielekäs
- välineet
- Sillä välin
- mitat
- mekaniikka
- Sulaminen
- vain
- sulautuvan
- viesti
- menetelmä
- menetelmät
- ehkä
- sekoittumista
- piti
- puuttuva
- malli
- mallit
- Moderni
- muokattu
- hetki
- kk
- lisää
- Lisäksi
- eniten
- motivoituneita
- Vuori
- liikkuvat
- moniulotteinen
- moninkertainen
- kerrottuna
- salaperäinen
- Mysteeri
- nimi
- nimittäin
- luonto
- NCSU
- Lähellä
- lähes
- välttämätön
- Tarve
- negatiivinen
- silti
- Uusi
- seuraava
- Nobel palkinto
- Normaalisti
- Pohjoiseen
- pohjois-carolina
- Huomautuksia
- Käsite
- ydin-
- numero
- numerot
- objekti
- esineet
- tarkkailla
- esteitä
- saatu
- Ilmeinen
- of
- virallinen
- Ohio
- on
- ONE
- avautuu
- toiminta
- Optimismi
- Kiertorata
- tilata
- määräys
- alkuperäinen
- Muut
- Muuta
- muuten
- Tulos
- yleinen
- Voittaa
- yleiskatsaus
- oma
- paria
- Paperi
- paperit
- Pariisi
- osa
- erityinen
- erityisesti
- kumppani
- kumppani
- osat
- Hyväksytty
- Ohimenevä
- Ohi
- täydellinen
- Suorittaa
- ehkä
- ilmiö
- fyysinen
- Fysiikka
- poimitaan
- kuva
- kappaletta
- pioneeri
- pioneerit
- putki
- Paikka
- vaivannut
- Planeetat
- Platon
- Platonin tietotieto
- PlatonData
- soitin
- Kohta
- Pops
- aiheuttaa
- positiivinen
- mahdollisuuksia
- mahdollinen
- mahdollisesti
- teho
- voimakas
- valtuudet
- harjoitusta.
- tarkka
- Tarkkuus
- ennustaa
- ennusti
- ennustus
- Ennusteet
- ennustaa
- esitys
- edellinen
- aiemmin
- periaate
- palkinto
- todennäköisesti
- Ongelma
- prosessi
- tuottaa
- valmistettu
- Edistyminen
- näkyvä
- todisteet
- ominaisuudet
- omaisuus
- protoneja
- osoittautui
- julkaista
- julkaistu
- Työnnä
- laittaa
- Palapelit
- laadullinen
- Kvantamagatsiini
- Kvantti
- Kvanttimekaniikka
- kvanttifysiikkaa
- quarks
- kysymys
- kysymykset
- nopeasti
- nostamalla
- nopeasti
- HARVINAINEN
- pikemminkin
- tavoittaa
- Lue
- Lukeminen
- todellinen
- todellinen maailma
- realistinen
- Todellisuus
- reason
- syistä
- äskettäinen
- äskettäin
- tunnustettu
- puhdistettu
- säännöllinen
- liittyvä
- yhteys
- jäädä
- jäännökset
- kuuluisa
- edustus
- edustavat
- edustaa
- edellyttää
- tarvitaan
- tutkimus
- Tutkijat
- Esittelymateriaalit
- REST
- palauttaminen
- johtua
- Saatu ja
- tulokset
- paljastaa
- Revealed
- paljastaa
- Richard
- Eroon
- tiukka
- Ripple
- väreitä
- karkeasti
- kierros
- Said
- sama
- Asteikko
- skenaario
- Koulu
- tiede
- Tieteiskirjallisuus
- tieteet
- Toinen
- salaisuus
- koska
- etsii
- näytti
- näyttää
- tunne
- Sarjat
- setti
- varjo
- osakkeet
- Ampua
- Lyhyt
- Pian
- shouldnt
- näyttää
- merkki
- merkittävä
- samankaltainen
- samalla lailla
- Yksinkertainen
- yksinkertaistettu
- yksinkertaisesti
- samanaikaisesti
- koska
- single
- tilanne
- SIX
- Hitaasti
- pieni
- pienempiä
- So
- niin kaukana
- aurinko-
- Aurinkokunta
- ratkaisu
- SOLVE
- jonkin verran
- jonain päivänä
- jotain
- jonnekin
- hienostunut
- Tila
- erityinen
- mahtava
- nopeus
- viettää
- käytetty
- Urheilu
- Kaupallinen
- neliöinti
- seistä
- standardi
- Alkaa
- alkoi
- alkaa
- Osavaltio
- pysyä
- tasainen
- Vaihe
- Yhä
- stop
- pysäyttäminen
- suoraan
- Strategia
- virta
- lakko
- jono
- vahva
- vahvempi
- rakenne
- Opiskelijat
- tutkittu
- opinnot
- tutkimus
- Opiskelu
- aihe
- myöhempi
- merkittävä
- menestys
- niin
- riittävä
- Ehdottaa
- kesä
- aurinko
- toimittaa
- joutsenia
- Ruotsi
- järjestelmä
- järjestelmät
- ottaa
- Opetus
- tekniikat
- Elektroniikka
- teini-ikäinen
- tilapäinen
- terminologia
- ehdot
- Testaus
- oppikirja
- että
- -
- Linja
- maailma
- heidän
- Niitä
- itse
- teoreettinen
- siksi
- Nämä
- asia
- asiat
- Ajattelu
- ajattelee
- perin pohjin
- ajatus
- tuhansia
- kolmella
- Kautta
- aika
- kertaa
- kärki
- että
- tänään
- yhdessä
- liian
- työkalu
- työkalut
- kohti
- transformatiivinen
- kohdella
- hoito
- laukaista
- Biljoona
- ongelmia
- totta
- VUORO
- tyypit
- tyypillinen
- paljastaa
- taustalla oleva
- ymmärtää
- ymmärtäminen
- ymmärsi
- unique
- yksiköt
- Yleismaailmallinen
- CasinoUniverse
- yliopisto
- rajoittamaton
- ennennäkemätön
- todistamaton
- parantaa
- ylöspäin
- yleensä
- tyhjiö
- arvo
- eri
- ajoneuvo
- hanke
- versio
- voittoja
- Näytä
- rikkoo
- näkijä
- volyymit
- odotus
- Washington
- Vedet
- aallot
- Tapa..
- tavalla
- heikkous
- WebP
- Mitä
- onko
- joka
- vaikka
- KUKA
- koko
- laajalti
- Villi
- tulee
- with
- sisällä
- ilman
- Mietitkö
- sanoja
- Referenssit
- työskenteli
- työskentely
- toimii
- maailman-
- arvoinen
- olisi
- kirjoittaa
- kirjoittaminen
- kirjallinen
- Väärä
- vuosi
- vuotta
- saannot
- Voit
- Sinun
- youtube
- zephyrnet
- nolla-