Teoreetikko, joka näkee matematiikan taiteessa, musiikissa ja kirjoittamisessa | Quanta-lehti

Sarah Hartilla on aina ollut silmällä salattuja tapoja, joilla matematiikka tunkeutuu muihin aloihin. Lapsena hän hämmästyi numeron 3 läsnäolosta hänen saduissaan. Hartin äiti, matematiikan opettaja, rohkaisi häntä etsimään kaavoja ja antoi hänelle matemaattisia pulmia ajanviettoon.

Hart valmistui ryhmäteorian tohtoriksi vuonna 2000, ja myöhemmin hänestä tuli professori Birkbeckissä Lontoon yliopistossa. Hartin tutkimus tutki Coxeter-ryhmien rakennetta, yleisempiä versioita rakenteista, jotka luetteloivat polygonien ja prismojen symmetriat. Vuonna 2023 hän julkaisi Once Upon a Prime, kirja siitä, miten matematiikka esiintyy fiktiossa ja runoudessa. "Koska me ihmiset olemme osa maailmankaikkeutta, on täysin luonnollista, että luovan ilmaisun muotomme, niiden joukossa kirjallisuus, osoittavat myös taipumusta malliin ja rakenteeseen", Hart kirjoitti. "Matematiikka on siis avain täysin erilaiseen näkökulmaan kirjallisuuteen."

Vuodesta 2020 lähtien Hart on toiminut geometrian professorina Gresham Collegessa Lontoossa. Greshamilla ei ole perinteisiä kursseja; Sen sijaan sen professorit pitävät kukin useita julkisia luentoja vuodessa. Hart on ensimmäinen nainen, jolla on koskaan ollut 428-vuotias asema, jonka 17-luvulla otti Isaac Barrow, joka oli kuuluisa toisen Isaacin (Newtonin) opettamisesta. Viime aikoina sen piti Roger Penrose, matemaatikko, joka voitti vuoden 2020 fysiikan Nobelin. Hart puhui Quanta miten matematiikka ja taide vaikuttavat toisiinsa. Haastattelu on tiivistetty ja muokattu selvyyden vuoksi.

Miksi päätit kirjoittaa kirjasi matematiikan ja kirjallisuuden välisistä yhteyksistä?

Nämä yhteydet ovat vähemmän tutkittuja ja vähemmän tunnettuja kuin matematiikan ja esimerkiksi musiikin väliset yhteydet. Matematiikan ja musiikin yhteyksiä on juhlittu ainakin pythagoralaisista asti. Vaikka tietyistä kirjoista, kirjailijoista tai genreistä onkin tehty kirjoittamista ja akateemista tutkimusta, en ollut nähnyt suurelle yleisölle tarkoitettua kirjaa matematiikan ja kirjallisuuden laajemmista yhteyksistä.

Miten taiteen ihmisten tulisi ajatella matematiikkaa?

Matematiikan ja, sanonko, muiden taiteiden välillä on paljon yhteistä. Kirjallisuudessa, samoin kuin musiikissa ja taiteessa, et koskaan aloita tyhjästä. Jos olet runoilija, valitset: Onko minulla haiku, jossa on hyvin tarkat numeeriset rajoitukset, vai kirjoitanko sonetin, jossa on tietty määrä rivejä, tietty riimijärjestelmä, tietty metri? Jopa sellaisessa, jolla ei ole riimijärjestelmää, on rivinvaihtoja, rytmiä. Tulee rajoitteita, jotka inspiroivat luovuuteen ja auttavat keskittymään.

Matematiikassa meillä on sama asia. Meillä on joitain perussääntöjä. Sen sisällä voimme tutkia, pelata ja todistaa lauseita. Se, mitä matematiikka voi tehdä taiteille, on auttaa löytämään uusia rakenteita, näyttää mahdollisuudet. Miltä näyttäisi musiikkikappale, jolla ei ole avainta? Voimme ajatella 12 säveltä ja niiden sovittamista eri tavalla, ja tässä on kaikki tavat, joilla voit tehdä sen. Tässä on erilaisia ​​värimalleja, joita voit suunnitella, tässä on erilaisia ​​runomittarin muotoja.

Mikä on yksi esimerkki siitä, kuinka kirjallisuus on vaikuttanut matematiikkaan?

Tuhansia vuosia sitten Intiassa runoilijat yrittivät ajatella mahdollisia mittareita. Sanskritin runoudessa sinulla on pitkät ja lyhyet tavut. Pitkä on kaksi kertaa niin pitkä kuin lyhyt. Jos haluat laskea, kuinka monta on kolmea aikaa, voit valita lyhyen, lyhyen, lyhyen tai pitkän, lyhyen tai lyhyen, pitkän. On kolme tapaa tehdä kolme. Neljän pituisen lauseen tekemiseen on viisi tapaa. Ja on kahdeksan tapaa tehdä viiden pituinen lause. Tämä saamasi sekvenssi on sellainen, jossa jokainen termi on kahden edellisen summa. Toistat tarkalleen sen, mitä me nykyään kutsumme Fibonacci-sekvenssiksi. Mutta tämä tapahtui vuosisatoja ennen Fibonaccia.

Entä matematiikan vaikutus kirjallisuuteen?

Melko yksinkertainen sekvenssi, mutta se toimii erittäin, erittäin voimakkaasti, on Eleanor Cattonin kirja Valaisimet, joka ilmestyi vuonna 2013. Hän käytti sekvenssiä, joka menee 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Jokainen luku tässä kirjassa on puolet edellisen luvun pituudesta. Se luo tämän todella kiehtovan vaikutelman, koska vauhti kiihtyy ja hahmojen valinnat ovat rajoitetumpia. Kaikki kiihtyy kohti loppuaan. Loppujen lopuksi luvut ovat erittäin lyhyitä.

Toinen esimerkki hieman monimutkaisemmasta matemaattisesta rakenteesta on ns. ortogonaaliset latinalaiset neliöt. Latinalainen neliö on eräänlainen sudoku-ruudukko. Tässä tapauksessa se olisi 10 x 10 ruudukko. Jokainen numero esiintyy täsmälleen kerran kullakin rivillä ja jokaisessa sarakkeessa. Ortogonaaliset latinalaiset neliöt muodostetaan peittämällä kaksi latinalaista neliötä, joten jokaisessa tilassa on numeropari. Kunkin parin ensimmäisen luvun muodostama ruudukko on latinalainen neliö, ja niin on myös kunkin parin toisen luvun muodostama ruudukko. Lisäksi pariruudukossa yksikään pari ei esiinny useammin kuin kerran.

Nämä ovat erittäin hyödyllisiä kaikilla tavoilla. Niistä voi tehdä virheenkorjauskoodeja, jotka ovat hyödyllisiä lähetettäessä viestejä meluisia kanavia pitkin. Mutta yksi upeista asioista näissä nimenomaisissa, koko 10, on se, että yksi kaikkien aikojen suurimmista matemaatikoista Leonhard Euler ajatteli, että niitä ei voi olla olemassa. Se oli yksi harvoista kertoista, jolloin hän teki virheen; siksi se oli niin jännittävää. Pitkään sen jälkeen, kun hän teki tämän olettamuksen, jonka mukaan näitä asioita ei voi olla olemassa tietyn kokoisille, se kumottiin, ja tämän kokoisia neliöitä löydettiin vuonna 1959. Se oli kattaa of Scientific American se vuosi.

Vuosia sen jälkeen ranskalainen kirjailija Georges Perec etsi rakennetta kirjalleen Elämä: Käyttöopas. Hän valitsi yhden näistä ortogonaalisista latinalaisista neliöistä. Hän asetti kirjansa Pariisin kerrostaloon, jossa oli 100 huonetta, 10 x 10 neliötä. Jokainen luku oli eri huoneessa, ja jokaisella luvulla oli ainutlaatuinen maku. Hänellä oli luettelo 10 asiasta - erilaisia ​​kankaita, värejä, sellaisia ​​asioita. Jokainen luku käyttäisi ainutlaatuista yhdistelmää. Se on todella kiehtova tapa jäsentää kirjaa.

Arvostat selvästi hyvää kirjoitusta. Mitä mieltä olet matematiikan tutkimusten kirjoittamisen laadusta?

Se on hyvin vaihtelevaa! Tiedän, että arvostamme lyhyyttä, mutta mielestäni se viedään joskus liian pitkälle. On liian monia papereita, joissa ei ole hyödyllisiä esimerkkejä.

Arvostamme itse asiassa nerokasta argumenttia, joka, koska se kattaa kaikki tapaukset kerralla niin taitavasti, on myös lyhyt ja tyylikäs. Se ei ole sama asia kuin puristaa pitkä väitteesi pienempään tilaan kuin se tarvitsee peittämällä sivu arkaanisilla merkinnöillä, jotka olet luonut lyhentääksesi merkintää, mutta jotka lukijan lisäksi luultavasti sinun on purettava vaivalloisesti. uudelleen saadakseen mitään käsitystä siitä, mitä tapahtuu.

Emme ajattele tarpeeksi hyödyllistä merkintää, joka muistuttaa lukijaa siitä, mitä tarkoitetaan. Oikea merkintätapa voi täysin muuttaa palan matematiikkaa ja voi jättää tilaa myös yleistyksille. Ajattele historiallista siirtymää tuntemattoman, sen neliön ja kuution kirjoittamisesta kolmella eri kirjaimella ja kuinka paljon todennäköisemmin ja jopa mahdollista on alkaa ajatella  kun olet aloittanut kirjoittamisen  ja sen sijaan.

Näetkö evoluution matematiikan ja taiteen välisissä yhteyksissä?

Koko ajan tulee uusia asioita. Fraktaaleja oli kaikkialla 1990-luvulla. Jokaisen opiskelija-asuntohuoneen seinällä oli kuva Mandelbrotin setistä tai vastaavasta. Kaikki sanoivat: "Voi, tämä on jännittävää, fraktaalit." Saat esimerkiksi muusikoita, säveltäjiä, jotka käyttävät sävellyksessään fraktaalisekvenssejä.

Kun olin noin 16-vuotias, siellä oli näitä uusia asioita, joita kutsutaan grafiikkalaskimiksi. Erittäin jännittävä. Ja äitini ystävä antoi minulle tämän ohjelman, joka voisi piirtää Mandelbrot-sarjan yhdelle näistä pienistä grafiikkasaskimista. Siinä oli noin 200 pikseliä, en tiedä. Ohjelmoit tämän asian, ja sitten minun piti jättää se 12 tunniksi. Se piirtäisi nämä 200 pistettä sen loppuun. Joten jopa pelkät koululaiset saattoivat osallistua tähän 80-luvun lopulla ja 90-luvun alussa ja tuottaa näitä kuvia itselleen.

Kuulostaa siltä, ​​että jo koulussa ollessasi olit kovasti kiinnostunut hardcore-matematiikasta.

 Luulen, että olen ollut kiinnostunut siitä lähtien, kun edes tiesin, että olen matemaattinen. Kuten, tein aina kuvioita, kun olin pieni, pieni lapsi.

Kun olin melko pieni, suosikkileluni olivat hyvin yksinkertaiset puiset maalatut laatat. Niitä tuli kaikissa eri väreissä. Tein niistä kuvioita, ja sitten katsoin sitä ylpeänä päivän tai pari, ja sitten tein toisen.

Kun tulin vähän vanhemmaksi, leikin numeroilla ja katsoin kuvioita. Äiti olisi se, jonka luo menisin sanomaan: "Minulla on tylsää." Ja sitten hän sanoi: "No, voitko selvittää, mikä on kolmion muodostamiseen tarvittavien pisteiden määrä?" vai mikä se olikaan. Hän saisi minut löytämään uudelleen kolmioluvut tai jotain, ja olisin hyvin innoissani.

Köyhä äitini, kuinka monta hämmästyttävää keksintöä menisin äitini luokse. "Olen kehittänyt aivan uuden tavan tehdä jotain!" Ja hän sanoisi: "OK, se on erittäin mukavaa. Mutta tiedätkö, Descartes ajatteli sitä vuosisatoja sitten." Ja sitten lähtisin; Keksin toisen hämmästyttävän idean muutaman päivän kuluttua. "Se on ihanaa, rakas. Mutta muinaisilla kreikkalaisilla oli sellainen."

Muistatko matematiikan tutkijan urasi aikana erityisen tyydyttäviä hetkiä?

Hetket, jolloin vihdoin ymmärrät näkemäsi kuvion, ovat aina tyydyttäviä, samoin kuin kun mietit, kuinka saat valmiiksi todistuksen, jonka kanssa olet paininut. Vahvimmat muistoni noista ilon tunteista, luultavasti siksi, että ne olivat ensimmäiset kerta, kun tunsin ne, ovat tutkimusurani alusta. Mutta silti on ihana tunne saada se "aha", kun vihdoin ymmärtää mitä tapahtuu.

Hyvin varhain yritin todistaa jotain loputtomista Coxeter-ryhmistä. Olin ratkaissut osan tapauksista, ja katsoessani loput keksin tekniikan, joka toimisi, jos tietty kriteeri täyttyy. Voit kirjoittaa nämä suhteet kaavioon, joten aloin koota kokoelmaa kaavioista, joihin voisin soveltaa tekniikkaani. Tämä oli yli joulun vuoden.

Jonkin ajan kuluttua kuvasarjani alkoivat näyttää tietyltä kaaviojoukolta, joka oli lueteltu toimistossani olevassa Coxeter-ryhmiä koskevassa kirjassa, ja aloin toivoa, että se oli juuri tämä kaaviosarja. Jos olisi, se täyttäisi todistuksessani olevan aukon ja lauseeni olisi valmis. Mutta en voinut varmistaa varmuutta ennen kuin palasin yliopistoon joulun jälkeen – tämä oli ennen kuin voit vain googlettaa kaikkea. Luulen, että odotukseni joutumisesta vahvistamaan aavistukseni teki siitä vielä paremman, kun pääsin kirjan pariin ja vertasin käsinkirjoitettuani kaaviosarjaani kirjan kaavioihin, ja ne todellakin sopivat yhteen.

Mitä mieltä olet kysymyksestä, onko matematiikka luotu vai löydetty? Melkein kukaan ei väitä, että joku kirjailijoista, joista kirjoitat kirjassasi, "löysi" romaaninsa. Onko tämä perustavanlaatuinen ero matematiikan ja kirjallisuuden välillä vai ei?

Todennäköisesti on, vaikka resonanssia on edelleen.

Matematiikan tekeminen tuntuu löydöltä. Jos keksisimme matematiikan, ei varmasti olisi niin vaikeaa todistaa asioita! Joskus haluamme epätoivoisesti jonkin olevan totta, mutta se ei ole. Emme voi välttää logiikan seurauksia, luulen.

Se kaikki tuntuu löydöltä, kun teet sitä. Jotkut valinnat heijastavat sitä, mitä koemme todellisessa maailmassa, kuten geometrian aksioomat, joiden kanssa työskentelemme ja jotka valitaan, koska se näyttää olevan suunnilleen millaista todellisuus on – vaikka sielläkään ei ole olemassa sellaista asiaa kuin "piste" tai " viiva” (koska emme voi piirtää mitään, mikä ei vie tilaa, ja geometriassa viivalla ei ole leveyttä ja se ulottuu äärettömän pitkälle).

Kirjallisuudessa on jossain määrin yhtäläisyyksiä tälle jatkumolle. Kun olet määritellyt sonetin säännöt, sinun on vaikea kirjoittaa sellaista, jonka ensimmäinen rivi päättyy sanaan "oranssi" tai "piippu".

Mutta en voi olla jakamatta jotain J.R.R. Tolkien sanoi kirjoittamisesta Hobbit: ”Kaikki alkoi siitä, kun luin koepapereita ansaitakseni hieman ylimääräistä rahaa. … No, eräänä päivänä tulin koekirjan tyhjälle sivulle ja kirjoitin sitä. "Maan kolossa asui hobitti." En tiennyt olennoista sen enempää, ja meni vuosia ennen kuin hänen tarinansa kasvoi. En tiedä mistä sana tuli."

Hobitit – loiko hän ne vai löysikö ne?