Deux étudiants dévoilent une conjecture mathématique largement répandue | Quanta Magazine

Summer Haag et Clyde Kertzer avaient de grands espoirs pour leur projet de recherche d'été. L'aveuglement d'un sous-domaine entier des mathématiques n'en faisait pas partie.

En mai, Haag terminait sa première année d'études supérieures à l'Université du Colorado à Boulder, où Kertzer était étudiante de premier cycle. Tous deux attendaient avec impatience une pause dans les cours. Haag prévoyait d'explorer de nouvelles randonnées et voies d'escalade. Kertzer, un natif de Boulder, voulait jouer au football et préparer sa candidature à l'école doctorale. Mais en tant que mathématiciens de recherche en herbe, ils avaient également postulé pour un programme de recherche d'été à mi-temps dans le groupe du mathématicien Catherine Stange.

Stange est une théoricienne des nombres qui se décrit comme une mathématiciennegrenouille"- quelqu'un qui plonge profondément dans les subtilités d'un problème avant de sauter à un autre. Elle s'intéresse aux «questions apparemment simples qui mènent à une richesse de structure», a-t-elle déclaré. Ses projets s'attaquent souvent aux problèmes ouverts insaisissables de la théorie des nombres en utilisant des ordinateurs pour générer de grands ensembles de données.

Haag et Kertzer ont commencé le programme le jour du 23e anniversaire de Haag avec une introduction d'une semaine sur les emballages de cercles apolliniens - l'ancienne étude de la façon dont les cercles peuvent se serrer harmonieusement dans un cercle plus grand.

Imaginez que vous disposiez trois pièces de monnaie de manière à ce que chacune touche les autres. Vous pouvez toujours tracer un cercle autour d'eux qui touche les trois de l'extérieur. Ensuite, vous pouvez commencer à poser des questions : quel est le rapport entre la taille de ce plus grand cercle et celle des trois pièces ? Quelle taille de cercle entrera dans l'espace entre les trois pièces ? Et si vous commencez à dessiner des cercles qui remplissent des espaces de plus en plus petits entre les cercles - créant un motif fractal connu sous le nom d'emballage - comment les tailles de ces cercles sont-elles liées les unes aux autres ?

Plutôt que de penser au diamètre de ces cercles, les mathématiciens utilisent une mesure appelée courbure - l'inverse du rayon. Ainsi, un cercle de rayon 2 a une courbure de 1/2 et un cercle de rayon 1/3 a une courbure de 3. Plus le cercle est petit, plus la courbure est grande.

Les mathématiciens de la Renaissance ont prouvé que si les quatre premiers cercles ont une courbure qui est un nombre entier, les courbures de tous les cercles suivants dans l'emballage sont garanties d'être des nombres entiers. C'est remarquable en soi. Mais les mathématiciens ont poussé le problème un peu plus loin en posant des questions sur les nombres entiers qui apparaissent à mesure que les cercles deviennent de plus en plus petits et que les courbures deviennent de plus en plus grandes.

En 2010, Elena Renard, un théoricien des nombres maintenant à l'Université de Californie, Davis, prouvé que les courbures suivent une relation particulière qui les force dans certains seaux numériques. Peu de temps après, les mathématiciens sont devenus convaincus que non seulement les courbures devaient tomber dans un seau ou un autre, mais aussi que tous les nombres possibles dans chaque seau devaient être utilisés. L'idée est connue sous le nom de conjecture locale-globale.

"De nombreux travaux y ont fait référence comme si c'était déjà un fait", a déclaré Kertzer. "Nous en avons discuté comme si cela allait être prouvé à un moment donné dans un avenir proche."

James Rickards, un mathématicien de Boulder qui travaille avec Stange et les étudiants, avait écrit un code pour examiner toute disposition souhaitée des emballages circulaires. Ainsi, lorsque Haag et Kertzer ont rejoint le groupe le 15 mai, ils pensaient qu'ils créeraient des intrigues sympas de la règle fiable du local au global.

Stange s'est envolé pour la France pour une conférence début juin. À son retour le 12 juin, l'équipe s'est réunie autour de graphiques qui montraient comment quelques seaux semblaient manquer certains chiffres.

"Nous n'étudiions pas ce phénomène", a déclaré Rickards. « Je n'essayais pas de tester que c'est vrai. Je savais que c'était vrai - j'ai juste supposé que c'était vrai. Et puis tout à coup, nous sommes confrontés à des données qui disent que ce n'est pas le cas.

À la fin de la semaine, l'équipe était convaincue que la conjecture était fausse. Les chiffres qu'ils s'attendaient à voir apparaître ne l'ont jamais fait. Ils ont élaboré une preuve, et le 6 juillet ils posté leur travail sur le site de prépublication scientifique arxiv.org.

Fuchs se souvient avoir parlé à Stange peu de temps après que la preuve se soit mise en place. "Dans quelle mesure croyez-vous la conjecture du local au global ?" demanda Stange. Fuchs a répondu que bien sûr elle y croyait. "Ensuite, elle m'a montré toutes ces données et j'ai dit:" Oh mon Dieu, c'est incroyable "", a déclaré Fuchs. "Je veux dire, je croyais vraiment que la conjecture du local au mondial était vraie."

"Une fois que vous le voyez, vous dites simplement" Aha! Bien sûr !", a déclaré Pierre Sarnak, mathématicien à l'Institute for Advanced Study et à l'Université de Princeton dont premières observations contribué à alimenter la conjecture local-global.

"C'est un aperçu fantastique", a ajouté Alex Kontorovitch de l'Université Rutgers. "Nous nous blâmons tous de ne pas l'avoir trouvé il y a 20 ans, quand les gens ont commencé à jouer avec ça."

Au milieu des décombres laissés par le résultat, le travail a révélé une fissure dans le fondement d'autres conjectures en théorie des nombres. Les mathématiciens se sont demandé quelle croyance largement répandue pourrait être la prochaine à tomber.

Histoire du rond-point

Les emballages du cercle apollinien tirent leur nom de leur créateur probable, Apollonius de Perga. Il y a environ 2,200 XNUMX ans, le géomètre grec a écrit un livre intitulé Tangences comment construire un cercle tangent à trois autres. Le livre a été perdu dans le temps. Mais environ 500 ans plus tard, le mathématicien grec Pappus d'Alexandrie a élaboré un recueil qui survivrait à l'effondrement de l'empire byzantin.

En utilisant uniquement la description de Pappus de Tangences, les mathématiciens de la Renaissance ont tenté de retracer l'œuvre originale. En 1643, René Descartes avait découvert une relation simple entre les courbures de quatre cercles tangents les uns aux autres. Descartes a affirmé que la somme de toutes les courbures au carré est égale à la moitié du carré de la somme des courbures. Cela signifie que, étant donné trois cercles, il est possible de calculer le rayon d'un quatrième cercle tangent. Par exemple, si vous avez trois cercles avec des courbures de 11, 14 et 15, vous pouvez insérer ces nombres dans l'équation de Descartes et calculer la courbure du cercle qui rentrerait à l'intérieur : 86.

En 1936, le radiochimiste lauréat du prix Nobel Frédérick Soddy remarqué quelque chose d'étrange alors qu'il construisait des emballages avec la relation de Descartes. Au fur et à mesure que les cercles devenaient plus petits et les courbures plus grandes, il s'attendait à obtenir des nombres noueux avec des racines carrées ou des décimales infinies. Au lieu de cela, toutes les courbures étaient des nombres entiers. C'était une conséquence assez simple de l'équation de Descartes, mais personne ne l'avait remarqué depuis des centaines d'années. Cela a inspiré Sody à publier un poème dans la revue scientifique Nature, qui commençait :

Pour des paires de lèvres à embrasser peut-être
N'implique aucune trigonométrie.
Ce n'est pas le cas quand quatre cercles s'embrassent
Chacun les trois autres.

Le possible et l'inévitable

Une fois qu'il a été établi qu'il existe des paquets pleins d'entiers, les mathématiciens ont essayé de trouver des modèles dans ces entiers.

En 2010, Fuchs et Catherine Sanden décidé de construire sur un papier de 2003. Le duo a observé que si vous divisiez chaque courbure d'un emballage donné par 24, une règle émergeait. Certains garnissages n'ont que des courbures avec des restes de 0, 1, 4, 9, 12 ou 16, par exemple. D'autres ne laissent que des restes de 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 ou 22. Il y avait six groupes différents possibles.

Au fur et à mesure que les mathématiciens examinaient les différentes catégories d'emballages, ils ont commencé à remarquer que pour des cercles suffisamment petits - ceux avec de grandes courbures - il semblait que tous les nombres possibles dans chaque catégorie apparaissaient pour les emballages de ce type. Cette idée a été appelée la conjecture locale-globale. Prouver cela est devenu "l'un de mes rêves de petits mathématiciens", a déclaré Fuchs. "Par exemple, peut-être qu'à un moment donné, dans de nombreuses années, je pourrai le résoudre."

En 2012, Kontorovich et Jean Bourgain (qui morts dans 2018) Prouvé cela pratiquement tous les numéros prédit par la conjecture se produit. Mais « pratiquement tous » ne veut pas dire « tous ». Par exemple, les carrés parfaits sont suffisamment rares pour que, mathématiquement, "pratiquement tous" les entiers ne soient pas des carrés parfaits, même si, par exemple, 25 et 49 le sont. Les mathématiciens pensaient que les rares contre-exemples qui restaient possibles après l'article de Kontorovich et Bourgain n'existaient pas réellement, principalement parce que les deux ou trois emballages de cercles les mieux étudiés semblaient si bien suivre la conjecture locale-globale, a déclaré Kontorovich.

Lancer ce cadran

Lorsque Haag et Kertzer ont commencé cet été à Boulder, Rickards a griffonné des idées sur un tableau noir dans le bureau de Stange. "Nous avions toute une liste", a déclaré Rickards. Ils avaient quatre ou cinq points de départ à expérimenter. "Des choses avec lesquelles vous pouvez simplement jouer et voir ce qui se passe."

Une idée était de calculer tous les emballages de cercles possibles qui contiennent deux courbures arbitraires A et B. Rickards a écrit un programme qui produit une sorte de registre qui indique quels entiers apparaissent à la partie lorsque A héberge.

Sur la base de ce programme, Haag a créé un script Python qui a tracé des tonnes de simulations à la fois. C'était comme une table de multiplication : Haag choisissait les lignes et les colonnes à inclure en fonction de leurs restes lorsqu'ils étaient divisés par 24. Les paires de nombres apparaissant ensemble dans un apollonien obtenaient des pixels blancs ; ceux qui n'ont pas de pixels noirs.

Haag a parcouru des dizaines de parcelles – une pour chaque paire de restes dans chacun des six groupes.

Ils ressemblaient exactement à ce à quoi on s'attendait : un mur blanc, parsemé de taches noires pour les entiers plus petits. "Nous nous attendions à ce que les points noirs disparaissent", a déclaré Stange. Rickards a ajouté: "Je pensais qu'il serait peut-être même possible de prouver qu'ils s'essoufflent." Il a émis l'hypothèse qu'en examinant des tableaux synthétisant de nombreux emballages ensemble, l'équipe serait en mesure de prouver des résultats qui n'étaient pas possibles lorsqu'ils examinaient un seul emballage.

Pendant que Stange était absent, Haag a fini par tracer chaque paire de restes – environ 120. Pas de surprise là-bas. Puis elle est devenue grande.

Haag avait tracé comment 1,000 1 nombres entiers interagissent. (Le graphique est plus grand qu'il n'y paraît, puisqu'il implique 10,000 million de paires possibles.) Puis elle a poussé le cadran jusqu'à 10,000 XNUMX fois XNUMX XNUMX. Dans un graphique, des rangées et des colonnes régulières de points noirs ont refusé de se dissoudre. Cela ne ressemblait en rien à ce que prédisait la conjecture locale-globale.

L'équipe s'est réunie un lundi après le retour de Stange. Haag a présenté ses graphiques, et ils se sont tous concentrés sur celui avec les points bizarres. "C'était juste un schéma continu", a déclaré Haag. "Et c'est à ce moment-là que Kate a dit:" Et si la conjecture locale-globale n'était pas vraie? ""

« Cela ressemble à un modèle. Cela doit continuer. Donc, la conjecture locale-globale doit être fausse », se souvient Stange en pensant. "James était plus sceptique."

"Ma première pensée a été qu'il devait y avoir un bogue dans mon code", a déclaré Rickards. "Je veux dire, c'était la seule chose raisonnable à laquelle je pouvais penser."

En une demi-journée, Rickards est revenu. Le modèle a exclu toutes les paires où le premier nombre est de la forme 8 × (3n ± 1)² et le second est 24 fois n'importe quel carré. Cela signifie que 24 et 8 n'apparaissent jamais dans le même emballage. Les nombres auxquels vous vous attendez ne se produisent pas.

"J'étais un peu étourdie. Ce n'est pas très souvent que quelque chose vous surprend vraiment », a déclaré Stange. "Mais c'est la magie de jouer avec les données."

Le Journal de juillet décrit une preuve rigoureuse que le modèle qu'ils ont observé continue indéfiniment, réfutant la conjecture. La preuve repose sur un principe séculaire appelé réciprocité quadratique qui implique les carrés de deux nombres premiers. L'équipe de Stange a découvert comment la réciprocité s'applique aux emballages circulaires. Cela explique pourquoi certaines courbures ne peuvent pas être tangentes entre elles. La règle, appelée obstruction, se propage dans tout le garnissage. "C'est juste une chose entièrement nouvelle", a déclaré Jeffrey Lagarias, un mathématicien de l'Université du Michigan qui était co-auteur de l'article de 2003 sur l'emballage du cercle. "Ils l'ont trouvé ingénieusement", a déclaré Sarnak. "Si ces chiffres apparaissaient, ils violeraient la réciprocité."

Fallout

Un certain nombre d'autres conjectures en théorie des nombres peuvent maintenant être mises en doute. Comme la conjecture locale-globale, elles sont difficiles à prouver, mais il a déjà été démontré qu'elles sont valables pour pratiquement tous les cas et sont généralement supposées vraies.

Par exemple, Fuchs étudie les triplets de Markov, ensembles de nombres qui satisfont l'équation x² + y² + z² = 3xyz. Elle et d'autres ont montré que certains types de solutions sont connectés pour les nombres premiers supérieurs à 10³⁹². Tout le monde pense que le modèle devrait continuer à l'infini. Mais à la lumière du nouveau résultat, Fuchs s'est autorisée à éprouver un pincement au doute. "Peut-être que j'ai raté quelque chose," dit-elle. "Peut-être que tout le monde manque quelque chose."

"Maintenant que nous avons un seul exemple où c'est faux, la question est : est-ce faux aussi pour ces autres exemples ?" dit Rickards.

Il y a aussi la conjecture de Zaremba. Il dit qu'une fraction avec n'importe quel dénominateur peut être exprimée comme une fraction continue qui n'utilise que les nombres entre 1 et 5. En 2014, Kontorovich et Bourgain ont montré que la conjecture de Zaremba est valable pour presque tous les nombres. Mais la surprise suscitée par l'emballage en cercle a sapé la confiance dans la conjecture de Zaremba.

Si le problème d'emballage est un signe avant-coureur des choses à venir, les données informatiques peuvent être l'outil de sa résolution.

"Je trouve toujours fascinant que de nouvelles mathématiques naissent d'un simple examen des données", a déclaré Fuchs. "Sans cela, il est vraiment difficile d'imaginer qu'[ils] seraient tombés dessus."

Stange a ajouté que rien de tout cela ne serait arrivé sans le projet d'été à faible enjeu. "La sérendipité et une attitude d'exploration ludique ont toutes deux un rôle tellement important dans la découverte", a-t-elle déclaré.

"C'était une pure coïncidence", a déclaré Haag. "Si je n'étais pas assez grand, nous ne l'aurions pas remarqué." Ce travail est de bon augure pour l'avenir de la théorie des nombres. "Vous pouvez glaner une compréhension des mathématiques grâce à votre intuition, grâce à des preuves", a déclaré Stange. « Et vous faites beaucoup confiance à cela parce que vous avez passé beaucoup de temps à y penser. Mais vous ne pouvez pas discuter avec les données.

Note de l'éditeur: Alex Kontorovitch est membre de Quanta Magazineconseil scientifique de . Il a été interviewé pour cette histoire mais n'a pas autrement contribué à sa production.