La preuve mathématique trace de nouvelles frontières autour de la formation des trous noirs | Quanta Magazine

La notion moderne de trou noir est avec nous depuis février 1916, trois mois après qu'Albert Einstein a dévoilé sa théorie de la gravité. C'est alors que le physicien Karl Schwarzschild, en plein combat dans l'armée allemande pendant la Première Guerre mondiale, publie un article aux implications étonnantes : si suffisamment de masse est confinée dans une région parfaitement sphérique (limitée par le « rayon de Schwarzschild »), rien ne peut échapper à l'attraction gravitationnelle intense d'un tel objet, pas même à la lumière elle-même. Au centre de cette sphère se trouve une singularité où la densité tend vers l'infini et où la physique connue déraille.

Au cours des plus de 100 ans qui se sont écoulés depuis, les physiciens et les mathématiciens ont exploré les propriétés de ces objets énigmatiques du point de vue de la théorie et de l'expérience. Il peut donc être surprenant d'entendre que "si vous preniez une région de l'espace avec un tas de matière éparpillée et demandiez à un physicien si cette région s'effondrerait pour former un trou noir, nous n'avons pas encore les outils pour répondre cette question », a déclaré Marcus Khuri, mathématicien à l'Université de Stony Brook.

Ne désespérez pas. Khuri et trois collègues — Sven Hirsch à l'Institut d'études avancées, Déméter Kazaras à l'Université Duke, et Yi Yue Zhang à l'Université de Californie, Irvine - ont publié un nouveau papier cela nous rapproche de la détermination de la présence de trous noirs basée uniquement sur la concentration de matière. De plus, leur article prouve mathématiquement que des trous noirs de dimension supérieure – ceux de quatre, cinq, six ou sept dimensions spatiales – peuvent exister, ce qui n'aurait pas pu être dit avec confiance auparavant.

Pour mettre le récent article dans son contexte, il pourrait être utile de revenir à 1964, l'année où Roger Penrose a commencé à introduire les théorèmes de singularité qui lui ont valu une part du Prix ​​Nobel de physique 2020. Penrose a prouvé que si l'espace-temps a ce qu'on appelle une surface piégée fermée - une surface dont la courbure est si extrême que la lumière sortante est enroulée et tournée vers l'intérieur - alors il doit également contenir une singularité.

Ce fut un résultat monumental, en partie parce que Penrose a apporté de nouveaux outils puissants de la géométrie et de la topologie à l'étude des trous noirs et d'autres phénomènes dans la théorie d'Einstein. Mais le travail de Penrose n'a pas précisé ce qu'il faut pour créer une surface piégée fermée en premier lieu.

En 1972, le physicien Kip Thorne a fait un pas dans cette direction en formulant la conjecture du cerceau. Thorne a reconnu que déterminer si un objet non sphérique - dépourvu de la symétrie supposée dans les efforts de pionnier de Schwarzschild - s'effondrerait dans un trou noir serait "beaucoup plus difficile à calculer [et] bien au-delà de mes talents". (Thorne allait gagner le Prix ​​Nobel de physique 2017.) Pourtant, il a estimé que sa conjecture pourrait rendre le problème plus gérable. L'idée de base est de déterminer d'abord la masse d'un objet donné et à partir de là de calculer le rayon critique d'un cerceau dans lequel l'objet doit s'inscrire - quelle que soit l'orientation du cerceau - pour rendre inévitable la formation d'un trou noir. Ce serait comme montrer qu'un cerceau qui s'adapte autour de votre taille pourrait également - s'il est tourné à 360 degrés - s'adapter à tout votre corps allongé, y compris vos pieds et votre tête. Si l'objet rentre, il s'effondrera en un trou noir.

"La conjecture du cerceau n'est pas bien définie", a commenté Kazaras. "Thorne a intentionnellement utilisé une formulation vague dans l'espoir que d'autres fourniraient une déclaration plus précise."

En 1983, les mathématiciens Richard Schoen et Shing-Tung Yau ont obligé, prouver une version importante de la conjecture du cerceau, appelé par la suite théorème d'existence du trou noir. Schoen et Yau ont montré – dans un argument mathématique clair – à quel point la matière doit être entassée dans un volume donné pour induire la courbure espace-temps nécessaire pour créer une surface piégée fermée.

Kazaras a loué l'œuvre de Schoen-Yau pour son originalité et sa généralité ; leur technique pourrait révéler si n'importe quelle configuration de la matière, indépendamment des considérations de symétrie, était destinée à devenir un trou noir. Mais leur approche avait un inconvénient majeur. La façon dont ils mesuraient la taille d'une région donnée de l'espace - en déterminant le rayon du plus gros tore, ou beignet, qui pouvait tenir à l'intérieur - était, pour de nombreux observateurs, "lourde et non intuitive", a déclaré Kazaras, et donc peu pratique.

L'article récent propose une alternative. L'une des innovations majeures de Schoen et Yau a été de reconnaître qu'une équation conçue par le physicien Pong Soo Jang, qui n'avait à l'origine rien à voir avec les trous noirs, peut "exploser" - aller à l'infini - en certains points de l'espace. Étonnamment, l'endroit où il explose coïncide avec l'emplacement d'une surface fermée piégée. Donc, si vous voulez trouver une telle surface, déterminez d'abord où l'équation de Jang va à l'infini. "Au lycée, on essaie souvent de résoudre une équation dont la solution est égale à zéro", explique le mathématicien Mu Tao Wang de l'Université de Columbia. "Dans ce cas, nous essayons de résoudre l'équation [Jang] de sorte que la solution soit infinie."

Hirsch, Kazaras, Khuri et Zhang s'appuient également sur l'équation de Jang. Mais en plus d'un tore, ils utilisent un cube - un cube qui peut être sérieusement déformé. Cette approche "s'apparente à l'idée de Thorne, en utilisant des cerceaux carrés au lieu des cerceaux circulaires traditionnels", a déclaré Khuri. Il s'appuie sur « l'inégalité du cube » développée par le mathématicien Mikhail Gromov. Cette relation relie la taille d'un cube à la courbure de l'espace à l'intérieur et autour de celui-ci.

Le nouvel article montre que si vous pouvez trouver un cube quelque part dans l'espace tel que la concentration de matière est grande par rapport à la taille du cube, alors une surface piégée se formera. "Cette mesure est beaucoup plus facile à vérifier" qu'une mesure impliquant un tore, a déclaré Pengzi Miao, mathématicien à l'Université de Miami, "parce que tout ce que vous devez calculer est la distance entre les deux faces opposées les plus proches du cube."

Les mathématiciens peuvent également construire des beignets (tori) et des cubes dans des dimensions supérieures. Afin d'étendre leur preuve de l'existence d'un trou noir à ces espaces, Hirsch et ses collègues se sont appuyés sur des idées géométriques qui ont été développées au cours des quatre décennies qui ont suivi l'article de Schoen et Yau en 1983. L'équipe n'a pas pu aller au-delà de sept dimensions spatiales car des singularités commencent à apparaître dans leurs résultats. "Contourner ces singularités est un point de friction commun en géométrie", a déclaré Khuri.

La prochaine étape logique, a-t-il dit, est de prouver l'existence d'un trou noir sur la base d'une "masse quasi-locale", qui comprend l'énergie provenant à la fois de la matière et du rayonnement gravitationnel, plutôt que de la matière seule. Ce n'est pas une tâche simple, en partie parce qu'il n'y a pas de définition universellement acceptée de la masse quasi-locale.

Pendant ce temps, une autre question se pose : pour créer un trou noir à trois dimensions spatiales, un objet doit-il être compressé dans les trois directions, comme l'a insisté Thorne, ou une compression dans deux directions ou même une seule pourrait-elle suffire ? Toutes les preuves indiquent que la déclaration de Thorne est vraie, a déclaré Khuri, bien qu'elle ne soit pas encore prouvée. En effet, ce n'est qu'une des nombreuses questions ouvertes qui persistent au sujet des trous noirs après leur première manifestation il y a plus d'un siècle dans le cahier d'un soldat allemand.