Les mathématiciens s'émerveillent devant les coupes « folles » à travers quatre dimensions | Magazine Quanta

Les objets centraux d’étude en topologie sont des espaces appelés variétés, qui semblent plats lorsque vous zoomez dessus. La surface d’une sphère, par exemple, est une variété bidimensionnelle. Les topologues comprennent très bien ces variétés bidimensionnelles. Et ils ont développé des outils qui leur permettent de donner un sens aux variétés tridimensionnelles et à celles à cinq dimensions ou plus.

Mais en quatre dimensions, « tout devient un peu fou », dit Sam Hugues, chercheur postdoctoral à l'Université d'Oxford. Les outils cessent de fonctionner ; des comportements exotiques émergent. Comme Tom Mrowka du Massachusetts Institute of Technology a expliqué : « Il y a juste assez de place pour avoir des phénomènes intéressants, mais pas assez de place pour qu'ils s'effondrent. »

Au début des années 1990, Mrowka et Pierre Kronheimer de l'Université Harvard étudiaient comment des surfaces bidimensionnelles pouvaient être intégrées dans des variétés quadridimensionnelles. Ils ont développé de nouvelles techniques pour caractériser ces surfaces, leur permettant ainsi d’obtenir des informations cruciales sur la structure autrement inaccessible des variétés à quatre dimensions. Leurs résultats suggèrent que les membres d’une large classe de surfaces découpent tous leur variété mère d’une manière relativement simple, laissant une propriété fondamentale inchangée. Mais personne ne pouvait prouver que cela était toujours vrai.

En février, avec Daniel Ruberman de l'Université Brandeis, Hughes construit une séquence de contre-exemples – des surfaces bidimensionnelles « folles » qui disséquent leurs variétés mères d'une manière que les mathématiciens croyaient impossible. Les contre-exemples montrent que les variétés à quatre dimensions sont encore plus remarquablement diverses que ce que les mathématiciens des décennies précédentes avaient imaginé. "C'est vraiment un beau papier", a déclaré Mrowka. «Je continue de le regarder. Il y a plein de petites choses délicieuses là-bas.

Faire une liste

À la fin de l'année dernière, Ruberman aidé à organiser une conférence qui a créé une nouvelle liste des problèmes ouverts les plus importants en topologie de basse dimension. Pour le préparer, il a examiné une liste précédente de problèmes topologiques importants non résolus datant de 1997. Elle comprenait une question que Kronheimer avait posée sur la base de son travail avec Mrowka. "C'était là-dedans, et je pense que c'était un peu oublié", a déclaré Ruberman. Maintenant, il pensait pouvoir y répondre.

Pour comprendre la question, il est utile de considérer d’abord deux idées clés : les variétés simplement connectées et le groupe fondamental.

Les collecteurs simplement connectés sont des espaces sans aucun trou qui les traverse. Dans une dimension, une ligne infinie est simplement connectée, mais pas un cercle. En deux dimensions, un plan infini et la surface d’une sphère sont simplement connectés, mais pas la surface d’un beignet.

Les mathématiciens rendent cette distinction rigoureuse en plaçant des boucles sur une variété et en considérant comment elles peuvent être déformées. Si une boucle peut être réduite à un point, alors un collecteur est simplement connecté. Sur un plan ou à la surface d’une sphère, par exemple, cela est possible – pensez à tendre une corde. Mais si cette corde fait le tour d’un cercle, elle ne peut pas rétrécir. De même, à la surface d'un beignet, les boucles qui contournent ou traversent le trou central ne peuvent pas être déformées en un seul point. Le beignet lui-même gêne.

Les mathématiciens classent les espaces qui ne sont pas simplement connectés en calculant leur « groupe fondamental », un objet dont la structure reflète la façon dont les boucles se rétrécissent. Les variétés simplement connectées ont un groupe fondamental « trivial » avec un seul élément. Mais les variétés percées de trous ont des groupes fondamentaux plus compliqués.

Les variétés à quatre dimensions simplement connectées peuvent encore être très étranges. Pour les comprendre, les mathématiciens réfléchissent à ce qui peut arriver aux surfaces bidimensionnelles qui y sont incorporées.

Par analogie, pensez à poser une boucle de ficelle à plat sur une feuille de papier. Vous ne pouvez pas faire grand-chose avec ça. Mais soulevez-le dans un espace tridimensionnel et vous pourrez l’attacher en nœuds compliqués. Les façons dont vous pouvez manipuler la chaîne – une variété unidimensionnelle – clarifient la nature de l’espace dans lequel elle est intégrée.

De même, dans le monde plus complexe des quatre dimensions, les surfaces bidimensionnelles sont « en quelque sorte la clé de toute l’entreprise, de différentes manières », a déclaré Ruberman. "Les surfaces vous en disent bien plus sur une variété à quatre dimensions que ce à quoi vous êtes en droit de vous attendre." Les surfaces vous permettent de distinguer les variétés : si une surface peut vivre à l’intérieur d’une variété mais pas d’une autre, vous savez que les variétés sont différentes. Et les surfaces peuvent être utilisées pour construire de nouveaux collecteurs à partir des anciens.

Les surfaces ont également des groupes fondamentaux correspondants. Il en va de même pour leurs compléments – la partie d’un collecteur qui reste lorsque vous enlevez la surface. Supprimez l’équateur des variétés bidimensionnelles comme la surface d’une sphère ou d’un beignet, par exemple, et vous obtenez deux hémisphères déconnectés. Mais la surface du beignet reste intacte si vous retirez un anneau vertical au lieu d'un anneau horizontal. De même, selon la manière dont vous découpez une surface dans une variété à quatre dimensions, vous pouvez obtenir différents types de compléments.

Dans les années 1990, Mrowka et Kronheimer ont étudié ce qui se produit lorsque l’on excise une surface bidimensionnelle d’une variété à quatre dimensions. Si la variété elle-même est simplement connexe, quelles conditions les surfaces doivent-elles remplir pour garantir que leurs complémentaires doivent également être simplement connexes ?

Kronheimer et Mrowka savaient que certains types de surfaces pouvaient avoir des compléments qui n'étaient pas simplement connectés. Mais leurs travaux semblaient indiquer qu’une autre grande classe de surfaces devait toujours avoir des compléments simplement connectés.

Pendant près de trois décennies, personne n’a pu trouver d’exemple de surface dans cette classe dont le complément n’était pas simplement connecté. Mais à l’automne 2023, après avoir rencontré le problème, Ruberman a pensé qu’il le pourrait. Au lieu de commencer avec une variété à quatre dimensions et de découper une surface, il a commencé avec une surface à deux dimensions qui possédait les propriétés nécessaires et a construit une variété autour d'elle.

Tout d’abord, il a grossi la surface pour en faire une goutte à quatre dimensions. Cette goutte à quatre dimensions avait une limite tridimensionnelle, tout comme un objet tridimensionnel comme une balle a une limite bidimensionnelle. Ruberman souhaitait attacher une variété quadridimensionnelle soigneusement choisie de l'autre côté de la frontière, qui servirait de complément à la surface. Si le pari fonctionnait, alors cette variété aurait un groupe fondamental compliqué, mais le groupe fondamental de tout ce qui est pris ensemble serait trivial. La variété quadridimensionnelle nouvellement construite serait donc simplement connectée.

Mais pour pouvoir tout assembler correctement, il devait montrer que le groupe fondamental de la nouvelle addition satisfaisait à toutes sortes de propriétés. "Je ne savais pas comment faire ça", a déclaré Ruberman.

Puis, en janvier, Hughes – un théoricien des groupes – a donné une conférence à Brandeis. Ruberman était dans le public. Il comprit que Hughes détenait peut-être la pièce manquante qu'il cherchait. Les deux hommes se sont rencontrés le lendemain et, en quelques heures, ils avaient mis au point les principales idées dont ils avaient besoin. Ce qui manquait à Ruberman, « c’est quelque chose que les théoriciens des groupes calculent depuis 70 ou 80 ans à ce stade », a déclaré Hughes. "Nous sommes là depuis toujours." À la fin de la semaine, ils avaient une épreuve terminée.

"Je savais certaines choses, et il savait certaines choses, et entre nous deux, nous en savions assez pour le faire", a déclaré Ruberman.

En raison de la façon dont la théorie des groupes est utilisée dans la preuve, « c'est un peu inhabituel », a déclaré Maggie Miller de l'Université du Texas, Austin. "C'est écrit un peu différemment de celui avec lequel la plupart des topologues à quatre dimensions seraient à l'aise."

Le résultat est un autre exemple de la complexité de la topologie à quatre dimensions. "Il existe des intégrations de surfaces plus intéressantes que nous ne le pensions", a déclaré Hughes. Cela rend plus difficile la classification des variétés et la preuve d’autres types de résultats à leur sujet.

Néanmoins, en mars, Inanç Baykur de l'Université du Massachusetts à Amherst, qui a organisé la conférence d'établissement de listes de l'année dernière avec Ruberman, a annoncé la solution à un autre problème impliquant des variétés à quatre dimensions simplement connectées de la liste de 1997.

Il semblerait que les topologues fassent le ménage.