Une brève histoire du carrelage mathématique délicat | Magazine Quanta

Chaque jour, nous voyons des exemples de motifs répétitifs. Cette symétrie et cette régularité peuvent sembler banales et presque invisibles, comme avec la maçonnerie sur les murs d'un bâtiment ou le motif hexagonal dans un nid d'abeilles. Ou si nous avons la chance de rencontrer quelque chose comme l'élégant carrelage de l'Alhambra en Espagne ou les dessins créatifs de MC Escher, les motifs peuvent nous inspirer et nous étonner.

Pendant des siècles, les mathématiciens ont joué avec ces formes répétitives, en tirant des idées fascinantes et de nouvelles possibilités. La beauté des mathématiques rivalise avec la beauté des dessins eux-mêmes.

Les pavages les plus simples sont constitués de polygones identiques avec des côtés d'égale longueur et des angles d'égale mesure joints d'un bord à l'autre. Mais bien qu'il existe une infinité de ces polygones « réguliers » — un pour chaque nombre de côtés — il n'y a que trois pavages réguliers, formés de formes à trois, quatre ou six côtés — c'est-à-dire des triangles, des carrés et des hexagones.

Les autres formes ne sont tout simplement pas conçues pour cela. Un pentagone régulier (à cinq côtés) a un angle intérieur de 108 degrés. Cela ne se divise pas uniformément en 360 degrés, donc toute tentative d'assembler des pentagones réguliers dans un pavage est vouée à produire des espaces qui ne peuvent pas être comblés ; on dit que le pentagone régulier ne peut pas carreler le plan. Et les polygones réguliers avec plus de six côtés ont des angles intérieurs trop grands pour que trois puissent se rencontrer en un seul point, et ils ne le peuvent donc pas non plus.

Une autre approche du carrelage avec des polygones réguliers vient de Johannes Kepler, aujourd'hui surtout connu pour ses découvertes sur le mouvement planétaire. En 1619, il montra que même si l’on utilise plus d’un polygone régulier, on ne peut créer que huit nouveaux motifs de carrelage où la configuration autour de chaque sommet est identique. (Si nous sommes autorisés à nous écarter de cette restriction, il y a plus de possibilités.)

Lorsque nous autorisons les polygones irréguliers, les choses deviennent plus intéressantes. Étonnamment, chaque triangle peut carreler le plan, et plus surprenant encore, chaque quadrilatère le peut aussi.

D'un autre côté, il est impossible de carreler le plan avec un polygone convexe de plus de six côtés ; la somme des angles intérieurs est tout simplement trop grande. Cela ne laisse donc que les pentagones et les hexagones comme possibilités restantes.

Dans sa thèse de doctorat de 1918, Karl Reinhardt a prouvé qu'il était possible de carreler le plan avec une infinité d'hexagones convexes – ceux sans indentations – qu'il a regroupés en trois familles.

Les pentagones convexes qui recouvrent le plan étaient plus difficiles à classer. Reinhardt a découvert cinq familles de tels pentagones ; 50 ans plus tard, Richard Kershner en trouva trois autres. Puis, en 1975, Martin Gardner a écrit sur le problème de Scientific American, le portant à l'attention des mathématiciens professionnels et amateurs. L'un de ces amateurs, un programmeur informatique nommé Richard James III, a envoyé à Gardner un exemple d'une neuvième famille, en lui demandant : « Êtes-vous d'accord pour dire que Kershner a raté celle-ci ? Il avait.

Marjorie Rice, une femme au foyer, a également lu la chronique de Gardner et a commencé à réfléchir au problème qui se posait à sa table de cuisine. Elle a bricolé pendant plus de deux ans et a découvert quatre autres familles de carrelage pentagones.

Les chercheurs ont découvert une 14e famille de pentagones en carrelage en 1985, et trois décennies plus tard, une autre équipe a trouvé une 15e famille à l'aide d'une recherche informatique. Personne ne savait si cette découverte complétait la liste, ou si d'autres familles se cachaient encore. Cette question a trouvé sa réponse en 2017 lorsque Michaël Rao prouvé que tous les pentagones à carrelage convexe – et avec eux, tous les polygones à carrelage convexe – avaient été trouvés.

Tous ces carrelages se répètent. Autrement dit, ils ont une symétrie périodique, ce qui signifie essentiellement que si nous devions tracer le carrelage sur un morceau de papier et faire glisser ce papier dans certaines directions, il s'alignerait à nouveau exactement avec le carrelage.

D'autres types de symétries sont également possibles. Par exemple, une symétrie miroir implique que nos motifs s’aligneront si nous retournons notre papier calque autour d’une ligne fixe. La symétrie de rotation signifie qu'ils s'aligneront si nous faisons pivoter notre papier. Et nous pouvons combiner des actions pour obtenir une symétrie de réflexion glissante, ce qui revient à faire glisser le papier puis à le retourner.

En 1891, le cristallographe russe Evgraf Fedorov a prouvé qu'il n'existait que 17 façons de combiner ces symétries. Puisque cette restriction s’applique à toutes les décorations périodiques de l’avion, celles-ci sont largement appelées les 17 « groupes de papiers peints ».

Une fois familiarisé avec cette classification des motifs de symétrie, il est presque impossible de voir un dessin périodique, aussi complexe soit-il, et de ne pas le considérer comme un puzzle à décoder : où et comment, exactement, se répète-t-il ? Où sont ces symétries ?

Bien entendu, toutes les conceptions de carrelage ne sont pas périodiques. Il est possible, et souvent facile, de placer les carreaux dans le plan afin que le motif obtenu ne se répète jamais. Dans notre exemple avec des hexagones, des carrés et des triangles, vous pouvez le faire en faisant simplement pivoter un seul hexagone et les polygones qui l'entourent de 30 degrés. Le pavage résultant n’a plus de symétries de translation.

En 1961, le logicien Hao Wang a émis l’hypothèse que si un ensemble de formes carrelent le plan, alors les formes doivent être capables de carreler le plan périodiquement. Quelques années plus tard, son étudiant diplômé, Robert Berger, lui a prouvé le contraire en découvrant un ensemble massif de plus de 20,000 XNUMX tuiles qui recouvrent l'avion, mais seulement de manière non périodique. De tels ensembles de tuiles sont appelés apériodiques.

Bien que Berger et d'autres aient réussi à réduire considérablement la taille de ces ensembles apériodiques, Roger Penrose a attiré l'attention du monde entier au milieu des années 1970 en découvrant de très petits ensembles de ses propres tuiles apériodiques. Les plus petits ensembles ne nécessitent que deux tuiles.

Ces formes et motifs ont captivé les mathématiciens, les scientifiques et le grand public. Mais ils ont soulevé une question évidente : existe-t-il une seule tuile apériodique ? La quête ultime de la théorie des tuiles était maintenant de trouver une telle tuile « d'Einstein » – nommée non pas d'après le physicien, mais pour l'expression allemande « une pierre ».

En 2010, Joshua Socolar et Joan Taylor ont failli découvrir un Einstein. Le problème avec leur approche était que leur tuile a dû être déconnectée; ce serait comme recouvrir le plan de formes comme l'État d'Hawaï, une entité unique composée de régions distinctes, plutôt que de formes connectées comme la Californie. De plus en plus, les mathématiciens soupçonnaient que si un Einstein existait, il devrait s’agir de quelque chose de très compliqué géométriquement.

En mars 2023, un amateur a encore choqué le monde. Un technicien d'impression à la retraite et amateur de mathématiques nommé David Smith avait découvert non seulement un monotile apériodique, mais une famille infinie de ces Einstein insaisissables. Il a fait appel à Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss et Joseph Samuel Myers – experts en informatique, mathématiques et théorie des carrelages – et ensemble, ils ont présenté un Einstein géométriquement simple appelé la tuile du chapeau (qui, selon Internet, ressemblait à un T-shirt). ).

La réaction a été rapide et positive. Les découvreurs ont pris la parole lors de conférences et ont donné des conférences en ligne. Les artistes mathématiques ont sauté sur l'occasion pour trouver des moyens créatifs de produire des designs de type Escher basés sur ces nouveaux carreaux géométriquement intéressants. La tuile du chapeau est même apparue dans le monologue d’une émission télévisée de fin de soirée.

Pourtant, il y avait encore place à l’amélioration. Pour carreler l’avion avec le chapeau, vous devez retourner environ un septième des tuiles à l’envers. Un propriétaire souhaitant carreler sa salle de bain avec le carrelage chapeau devra acheter deux types de carrelage : un carrelage standard et son image miroir. Était-ce vraiment nécessaire ?

Avant même que l'enthousiasme suscité par la tuile du chapeau ne se calme, l'équipe a fait une autre annonce. Smith en avait trouvé un, dans cette famille infinie de monotiles apériodiques, qu'il appelait un « spectre » capable de carreler le plan sans nécessiter de copies réfléchies. Un véritable Einstein était enfin apparu.

Nous sommes aujourd’hui au milieu d’une résurgence de l’exploration mathématique des pavages et des pavages. Il s’est appuyé sur d’importantes contributions d’amateurs, a inspiré la créativité d’artistes mathématiques et a exploité la puissance des ordinateurs pour repousser les limites de la connaissance. Et grâce à cela, nous avons acquis de nouvelles connaissances sur la nature de la symétrie, de la géométrie et du design.

Correction: 30 octobre 2023
La version originale de cet article indiquait qu'il était impossible de carreler le plan avec un polygone de plus de six côtés. Cela n'est vrai que si le polygone est convexe.

Quanta mène une série d’enquêtes pour mieux servir notre public. Prenez notre enquête auprès des lecteurs de mathématiques et vous serez inscrit pour gagner gratuitement Quanta marchandise.