Une nouvelle preuve distingue les "formes modulaires" mystérieuses et puissantes

Dans une nouvelle preuve, un objet mathématique longtemps négligé a enfin obtenu son moment sous les projecteurs.

À première vue, les formes modulaires - des fonctions dont les symétries abondantes ont intrigué les mathématiciens pendant des siècles - semblent avoir attiré plus qu'assez d'attention. Ils surgissent dans toutes sortes de problèmes : ils étaient un ingrédient clé dans la preuve d'Andrew Wiles en 1994 du dernier théorème de Fermat, qui a résolu l'une des plus grandes questions ouvertes en théorie des nombres. Ils jouent un rôle central dans la Programme Langlands, un effort continu pour développer « une grande théorie unifiée des mathématiques ». Ils ont même été utilisés pour étudier des modèles en théorie des cordes et en physique quantique.

Mais les formes modulaires qui apparaissent dans ces contextes sont d'un type particulier. Les formes modulaires dites de « congruence » présentent une structure supplémentaire qui facilite leur étude. Mais les formes modulaires de « non-congruence » plus générales sont largement plus nombreuses que leurs homologues de congruence. "Si vous prenez une forme modulaire aléatoire, avec une probabilité de 1, c'est une non-congruence", a déclaré Franc camerounais, mathématicien à l'Université McMaster au Canada. « À moins que vous n'ayez une très bonne raison de rencontrer une forme modulaire de congruence, vous ne vous y attendriez pas. Ils sont très rares.

Et pourtant, les mathématiciens connaissent très peu les formes modulaires de non-congruence, malgré leur ubiquité. "Ils sont complètement mystérieux", a déclaré Antoine Scholl, mathématicien à l'Université de Cambridge. Non seulement il est difficile de faire des déclarations globales sur une classe aussi générale de fonctions, mais les outils développés pour étudier les formes modulaires échouent dans le cas de la non-congruence. Cela a laissé les mathématiciens incertains de ce qu'ils devraient même essayer de prouver.

Cependant, une conjecture majeure sur les formes modulaires de non-congruence s'est longtemps démarquée : un poteau indicateur solitaire et instable dans le désert.

En 1968, les mathématiciens Oliver Atkin et Peter Swinnerton-Dyer ont remarqué que les formes modulaires de non-congruence semblaient avoir une propriété particulièrement remarquable qui les distinguait des formes modulaires de congruence. Qu'il y ait un moyen aussi flagrant de distinguer les deux "est vraiment assez étonnant", a déclaré Geoffroy Mason, mathématicien à l'Université de Californie à Santa Cruz. Les formes modulaires de congruence et de non-congruence sont très différentes, car les formes modulaires de non-congruence manquent de symétries que les formes modulaires de congruence ont. Mais ces différences, bien qu'importantes, peuvent être subtiles et difficiles à détecter.

Ici, tout à coup, était la preuve flagrante de ces différences, rendue apparente.

L'observation d'Atkin et Swinnerton-Dyer est devenue plus tard connue sous le nom de conjecture des « dénominateurs illimités ». Si cela est vrai, cela permettrait aux mathématiciens de prendre pied dans le domaine largement inexploré des objets de non-congruence. Et en fournissant un moyen facile de reconnaître à quelle classe appartient une forme modulaire donnée, la conjecture pourrait également mettre un programme majeur en physique théorique - visant à comprendre les modèles d'interactions de particules appelés théories de champ conformes - sur une base mathématique plus solide.

Mais pendant plus de 50 ans, personne n'a pu le prouver. Enfin, fin 2021, un trio de mathématiciens a réussi. Leur preuve semblait sortir de nulle part, employant des techniques que personne ne s'attendait à voir dans ce domaine d'étude. Les mathématiciens et les physiciens commencent maintenant à explorer les conséquences de ces travaux.

Symétrie et structure

Les formes modulaires de non-congruence n'étaient pas toujours reléguées à la marge.

Au 19ème siècle, les mathématiciens commençaient tout juste à développer une théorie des formes modulaires. C'était le nom donné à un type particulier de fonction hautement symétrique - celle qui vit dans un domaine connu sous le nom de moitié supérieure du plan complexe.

Le plan complexe est une façon de représenter graphiquement des nombres complexes, qui ont deux parties : réelle et imaginaire. Une forme modulaire prend en entrée des nombres complexes dont la partie imaginaire est positive, correspondant à la moitié supérieure du plan. (Le demi-plan supérieur peut être facilement mappé à l'intérieur d'un disque unitaire ; les formes modulaires sont souvent représentées à l'aide de ce mappage.)

Les nombreuses symétries des formes modulaires sont définies en termes de collections spéciales, ou "groupes", de matrices 2 par 2 - des tableaux carrés de quatre nombres. Dans les formes modulaires, ces quatre nombres sont toujours des nombres entiers. Fondamentalement, un nombre associé à la matrice qui détermine certaines de ses propriétés - appelé le déterminant - doit être 1.

Il existe une infinité de tels ensembles de matrices. Dans certains groupes, les matrices peuvent être décrites par des règles relativement simples. Par exemple, dans toutes les matrices, les entrées en haut à droite et en bas à gauche peuvent être paires, tandis que les deux autres entrées sont impaires. Ou peut-être que les entrées en haut à droite et en bas à gauche sont divisibles par 11, tandis que les deux autres entrées sont toutes deux 1 de plus qu'un multiple de 11.

Les groupes qui peuvent être définis par ces types de relations - et les formes modulaires associées à ces groupes - sont les groupes de congruence les plus étudiés.

Mais elles sont comme des aiguilles dans une botte de foin : la plupart des collections de matrices 2 par 2 ne peuvent pas être caractérisées par de belles règles de cette manière, ce qui les rend, ainsi que leurs formes modulaires associées, non congruentes.

Ce n'est qu'à la fin des années 1930 - vers le début de la Seconde Guerre mondiale - que l'étude des formes modulaires de congruence a commencé à éclipser l'étude des formes de non-congruence. C'est alors que le mathématicien allemand Erich Hecke a développé une boîte à outils qui lui permettrait de cerner de nombreuses propriétés des formes modulaires et de les associer à d'autres objets mathématiques importants.

Les méthodes de Hecke ne fonctionnaient que pour les groupes de congruence et leurs formes modulaires. Les groupes de non-congruence manquaient de la structure supplémentaire qui rendait efficace la boîte à outils de Hecke. "Cette chose que vous avez dans le monde de la congruence disparaît lorsque vous passez au monde de la non-congruence", a déclaré Franc.

Et il semblait donc que les formes modulaires de non-congruence étaient vouées à toujours être négligées. Cela ne veut pas dire qu'ils n'avaient pas de structure spéciale qui leur soit propre, cachée juste sous la surface. Comme Bryan Birch, collaborateur de Swinnerton-Dyer, l'a écrit un jour : "Bien que la structure soit plus mystérieuse, elle semble presque aussi riche". Mais lorsqu'il s'agissait d'accéder à cette structure, les mathématiciens étaient perdus. Ils ne savaient même pas par où commencer.

Entrent Atkin et Swinnerton-Dyer.

Un critère bien rangé

Les deux mathématiciens voulaient en savoir plus sur les formes modulaires de non-congruence et sur les secrets qu'elles pouvaient cacher.

"C'est toujours ainsi que les mathématiques progressent", a déclaré Winnie Li, mathématicien à l'Université d'État de Pennsylvanie. « Vous étudiez des choses avec des propriétés très spéciales et plus structurées. Ensuite, vous allez généraliser, pour essayer de comprendre quelles propriétés sont transmises et lesquelles ne le sont pas.

Pour étudier une forme modulaire donnée, les mathématiciens la représentent souvent comme une somme infinie appelée q-expansion (un type particulier de série de puissances), puis analysent les coefficients de cette expansion. On savait déjà que si une forme modulaire donnée est congruence, alors les coefficients ont des dénominateurs qui ne dépassent jamais une valeur fixe.

Dans les années 1960, Atkin et Swinnerton-Dyer ont calculé les q-expansions pour des scores et des scores de formes modulaires. Ce faisant, ils ont remarqué que si une forme modulaire était non congruente, les dénominateurs de sa séquence associée continuaient de croître sans limite. "Ils pourraient en fait dire quelque chose sur ces mystérieuses formes de non-congruence", a déclaré Tang Yunqing, mathématicien à l'Université de Californie à Berkeley.

Pourrait-il être aussi facile de distinguer les deux types de formes modulaires ?

Les mathématiciens ont mentionné leur observation lors d'une conférence en Californie en 1968, suggérant que les dénominateurs illimités pourraient être une caractéristique universelle des formes modulaires de non-congruence. La conjecture était "très frappante", a déclaré Jean Voight, mathématicien au Dartmouth College. "Cela nous donne un critère bien rangé pour décider si une forme modulaire appartient ou non à un groupe de congruence" - un test décisif très pratique pour les théoriciens des nombres à leur disposition, et quelque chose qui, dans d'autres contextes, pourrait être difficile à détecter.

"C'est presque trop beau pour être vrai", a-t-il ajouté. "On ne s'attend pas vraiment à ce genre de miracle."

En effet, personne n'a pu prouver la conjecture des dénominateurs illimités. Li et une poignée d'autres étaient capable de montrer c'était vrai pour familles spécifiques de formes modulaires non congruentes, mais les mathématiciens ne savaient pas comment aborder l'énoncé général.

Puis en septembre 2021, Tang, avec Franck Calegari de l'Université de Chicago et Vesselin Dimitrov de l'Institute for Advanced Study, a publié une preuve de 50 pages. "C'était incroyable et vraiment inattendu", a déclaré Franc. "C'était comme si la communauté n'avait aucune idée sur la façon d'aborder ce problème."

Les auteurs espèrent que leur article est la première étape vers le développement de ce panneau dans le désert en un réseau routier à part entière. "Nous apportons notre modeste contribution à cette partie de la théorie des nombres en fournissant la réponse à sa question la plus simple", a déclaré Dimitrov.

Retour aux anciennes méthodes

Calegari, Dimitrov et Tang n'ont pas cherché à résoudre la conjecture des dénominateurs illimités. Fin 2019, ils espéraient montrer qu'un certain nombre (une valeur analogue à la fonction zêta de Riemann) était irrationnel - que, comme la racine carrée de 2, il ne peut pas être écrit sous forme de fraction. (Leur but ultime est de prouver que ce nombre et d'autres comme lui sont transcendantaux, ce qui signifie que, comme pour les nombres π ainsi que e, ils ne peuvent pas être écrits comme la solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers.)

À première vue, ce problème n'a aucun rapport. Mais le 1er janvier 2021, Dimitrov a sonné la nouvelle année avec un e-mail aux autres dans lequel il décrivait « un vœu pieux » : Peut-être que les techniques qu'ils avaient développées au cours de l'année précédente pourraient être réutilisées pour prouver la conjecture des dénominateurs illimités.

Ils ont tenté le coup. En sept mois, ils avaient leur preuve.

Premièrement, ils ont considéré deux espaces : l'espace de toutes les formes modulaires avec des dénominateurs bornés, et l'espace de toutes les formes modulaires de congruence. Selon la conjecture des dénominateurs illimités, ces deux espaces devraient être identiques. Puisque les espaces satisfaisaient certaines propriétés, les mathématiciens n'avaient qu'à montrer qu'ils étaient de même taille. Cela impliquerait automatiquement leur équivalence.

Calegari, Dimitrov et Tang ont pu calculer la taille du deuxième espace relativement facilement, obtenant une sorte de décompte approximatif des formes modulaires de congruence. Mais il était très difficile d'obtenir une estimation de la taille du premier espace. Ils ont dû combiner de nombreuses techniques différentes, y compris celles de la théorie transcendantale des nombres.

En utilisant ces méthodes, ils ont montré que l'espace des formes modulaires à dénominateurs bornés pouvait être au plus d'une certaine taille. Cette taille maximale était un peu plus grande que la taille de l'espace des formes modulaires de congruence. Pourtant, cette étape s'est avérée "vraiment être le cœur de la preuve", a déclaré Jean-Benoit Bost, mathématicien à l'université Paris-Saclay. "Il faut beaucoup de courage pour faire ça." (Calegari, Dimitrov et Tang ont prouvé cette limite sur la taille de l'espace de plusieurs manières différentes, donnant potentiellement à leurs techniques des applications beaucoup plus larges.)

"Ce sont des mathématiques très, très classiques, belles, avec une saveur du 19ème siècle", a déclaré Javier Fresan, mathématicien à l'École Polytechnique en France.

Le trio devait alors combler l'écart entre les deux espaces. Cela établirait que toute forme modulaire avec des dénominateurs bornés devait être congruente.

Ils ont donc supposé le contraire : qu'il existe une forme modulaire de non-congruence avec des dénominateurs bornés. Par définition, il vivrait dans l'écart que Calegari, Dimitrov et Tang tentaient de combler. Les trois ont ensuite montré que l'existence de cette forme modulaire de non-congruence impliquait automatiquement l'existence de beaucoup d'autres formes modulaires de non-congruence avec des dénominateurs bornés. C'était comme si une forêt entière avait poussé à partir de cette seule graine.

Mais ils avaient déjà établi la taille maximale de l'écart - et il était trop petit pour s'adapter à autant de formes de non-congruence.

Ce qui signifiait que même une telle forme ne pouvait pas exister. Ils avaient prouvé la conjecture vieille de plusieurs décennies d'Atkin et Swinnerton-Dyer.

Les mathématiciens trouvent les techniques utilisées dans le travail encore plus intrigantes que le résultat lui-même. "Ces idées n'ont jamais été utilisées auparavant dans l'étude de l'arithmétique des formes modulaires", a déclaré Scholl.

Comme l'explique Voight, bien que l'étude des formes modulaires ait commencé dans le domaine de l'analyse complexe, les travaux actuels relèvent de la théorie des nombres et de la géométrie algébrique. Le nouvel article, a-t-il dit, marque un retour à une analyse complexe : "C'est une perspective rafraîchissante et ancienne."

Une recherche de nouvelles théories

Les mathématiciens ne sont pas les seuls à être enthousiasmés par la conjecture des dénominateurs illimités. Il fait également une apparition en physique théorique.

Dans les années 1970, une autre histoire se déroule parallèlement à celle commencée par Atkin et Swinnerton-Dyer. Les mathématiciens avaient remarqué une connexion étrange entre un objet appelé le groupe de monstres et une forme modulaire appelée le j-fonction. Les coefficients de la j-la fonction reflétait précisément certaines propriétés du groupe de monstres.

Des recherches ultérieures ont révélé que cette connexion était due au fait que le groupe et la forme modulaire étaient liés à un modèle important d'interactions de particules appelé théorie des champs conformes à deux dimensions.

Mais la théorie des champs conformes qui reliait le groupe monstre au j-fonction n'était qu'un exemple d'un nombre infini de théories de champ conformes. Et bien que ces théories ne décrivent pas l'univers dans lequel nous vivons, leur compréhension peut donner de nouvelles informations sur la façon dont des théories quantiques des champs plus réalistes pourraient se comporter.

Ainsi, les physiciens ont continué à étudier les théories des champs conformes en examinant leurs formes modulaires associées. (Dans ce contexte, les physiciens utilisent une notion plus générale de forme modulaire, appelée forme modulaire à valeurs vectorielles.)

Pour comprendre ce qui se passe avec une théorie de champ conforme particulière, vous devez montrer que sa forme modulaire est la congruence, a déclaré Michel Tuité, mathématicien et physicien théoricien à l'Université de Galway en Irlande. Vous pouvez alors commencer à décrire des théories de champ conformes, et même en découvrir de nouvelles que vous ne saviez pas rechercher. Ceci est particulièrement crucial pour un effort continu visant à classer toutes les théories de champ conformes - un projet que les physiciens ont surnommé le bootstrap modulaire.

"Une fois que vous savez que c'est une forme modulaire de congruence, cela vous permet de faire d'énormes progrès dans ce programme", a déclaré Mason.

Les physiciens ont développé un cadre qui leur permet d'assumer cette propriété de congruence pour les formes modulaires qu'ils étudient. Mais ce n'est pas la même chose que d'avoir une preuve mathématique rigoureuse - et tandis que d'autres mathématiciens ont pu plus tard fournir une telle preuve, leur argument n'a fonctionné que dans certains contextes. Cela impliquait également «un chemin très tortueux et alambiqué» vers la congruence, selon Mason, bien qu'il ait également souligné que ce chemin alambiqué donnait des informations importantes.

La preuve de Calegari, Dimitrov et Tang de la conjecture des dénominateurs illimités coupe tout cela. En effet, il s'avère que les formes modulaires associées aux théories de champ conformes ont toujours des coefficients entiers. Par définition, les nombres entiers ont un dénominateur de 1, ce qui signifie que leurs dénominateurs sont toujours bornés. Et puisque la conjecture des dénominateurs non bornés stipule que les dénominateurs bornés ne sont associés qu'aux formes modulaires de congruence, il n'est plus nécessaire de faire des hypothèses. "Vous n'avez même pas besoin de savoir quoi que ce soit sur [les théories de champ conformes]", a déclaré Tang. La nouvelle preuve fournit automatiquement la congruence pour tous ces cas - gratuitement.

"C'est quelque chose qui est dans l'air depuis des décennies", a déclaré Bost. Maintenant, c'est enfin résolu.

"C'est vraiment un miracle", a déclaré Mason. "Cela découle simplement miraculeusement du fait que ces séquences sont des nombres entiers."

Il a déjà commencé à appliquer le résultat dans son propre travail. « Depuis la parution de ce journal, je m'en sers, dit-il. "Cela fournit un raccourci très bienvenu vers les résultats que je veux résoudre. … Cela supprime une énorme quantité de travail potentiel que je ne pouvais pas voir à travers.

Il place également le programme d'amorçage modulaire et d'autres résultats sur une base mathématique plus solide. "Cela va permettre aux mathématiciens de prouver à nouveau les résultats [précédents], ou de les croire", a déclaré Mason.

"Je pense que cela va vraiment avoir un impact, en particulier du côté des mathématiques, juste pour vraiment, vraiment lier les choses, pour comprendre exactement ce qui se passe", a déclaré Tuite.

Transcendance mathématique

Dans l'année qui a suivi la publication de leur preuve, Calegari, Dimitrov et Tang ont poursuivi leur collaboration. Ils sont maintenant revenus aux types de problèmes de la théorie transcendantale des nombres qui ont à l'origine suscité leur intérêt pour la conjecture. "Nous essayons de terminer ce que nous avons commencé", a déclaré Tang. En fait, ils ont déjà utilisé leurs techniques pour prouver que plusieurs nombres d'intérêt sont irrationnels.

"Ils poussent vraiment la [méthode] à la limite", a déclaré Fresán. "Je suis vraiment très excité à ce sujet."

Ces méthodes pourraient également être applicables à d'autres problèmes de théorie des nombres.

Techniques mises à part, la résolution de la conjecture des dénominateurs illimités marque l'une des premières grandes étapes dans l'effort pour mieux comprendre les formes modulaires de non-congruence. "C'est une réalisation incroyable, que nous puissions faire des progrès sur les formes de non-congruence de cette manière", a déclaré Franc. "Je suis excité pour les 10, 20 prochaines années, pour voir ce qui se passe."

Li, Voight et d'autres commencent déjà à rechercher des modèles dans les types de nombres qui apparaissent dans les dénominateurs de ces mystérieuses formes modulaires. Ils espèrent que ce faisant, ils pourront trouver des indices de structure plus profonde.

"Cette conjecture de dénominateurs illimités n'était que le début", a déclaré Li.