Comment peut-on parler avec certitude de l'infini ? Que pouvons-nous vraiment savoir sur les mystérieux nombres premiers sans les connaître tous ? Tout comme les scientifiques ont besoin de données pour évaluer leurs hypothèses, les mathématiciens ont besoin de preuves pour prouver ou réfuter des conjectures. Mais qu'est-ce qui compte comme preuve dans le domaine intangible de la théorie des nombres ? Dans cet épisode, Steven Strogatz parle avec Mélanie Matchett Wood, professeur de mathématiques à l'Université de Harvard, pour apprendre comment la probabilité et le hasard peuvent aider à établir des preuves pour les arguments hermétiques exigés des mathématiciens.
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Transcription
Steven Strogatz (00:02): Je suis Steve Strogatz, et voici La joie du pourquoi, un podcast de Quanta Magazine qui vous emmène dans certaines des plus grandes questions sans réponse en mathématiques et en sciences aujourd'hui. Dans cet épisode, nous allons parler de preuves en mathématiques. Quels types de preuves les mathématiciens utilisent-ils ? Qu'est-ce qui les amène à soupçonner que quelque chose pourrait être vrai, avant d'avoir une preuve étanche ?
(00:26) Cela peut sembler paradoxal, mais il s'avère que le raisonnement basé sur la théorie des probabilités, l'étude du hasard et de l'aléatoire, peut parfois conduire à ce que les mathématiciens recherchent vraiment, à savoir la certitude, pas seulement la probabilité. Par exemple, dans la branche des mathématiques connue sous le nom de théorie des nombres, on utilise depuis longtemps le hasard pour aider les mathématiciens à deviner ce qui est vrai. Maintenant, la probabilité est utilisée pour les aider à prouver ce qui est vrai.
(00:53) Nous nous concentrerons ici sur les nombres premiers. Vous vous souvenez probablement des nombres premiers, n'est-ce pas ? Vous les avez appris à l'école. Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui ne peut être divisé que par 1 et lui-même. Par exemple, 7 ou 11. Ce sont des nombres premiers, mais 15 ne l'est pas parce que 15 peut être divisé par 3 ou par 5. Vous pourriez penser aux nombres premiers comme un peu comme les éléments du tableau périodique de la chimie, dans le sens qu'ils sont les atomes indivisibles qui composent tous les autres nombres.
(01:27) Les nombres premiers semblent devoir être simples, mais certains des plus grands mystères des mathématiques sont les questions sur les nombres premiers. Dans certains cas, des questions qui existent depuis des centaines d'années. Il y a vraiment quelque chose de très subtil dans les nombres premiers. Ils semblent vivre dans une zone frontalière entre ordre et hasard. Mon invité d'aujourd'hui nous aidera à mieux comprendre la nature des preuves en mathématiques, et en particulier comment et pourquoi le hasard peut nous en dire autant sur les nombres premiers, et pourquoi les modèles basés sur la probabilité peuvent être si utiles à la pointe de la théorie des nombres. Melanie Matchett Wood, professeur de mathématiques à l'Université de Harvard, se joint à moi maintenant pour discuter de tout cela. Bienvenue, Mélanie !
Mélanie Matchett Wood (02:09): Salut, c'est bon de te parler.
Strogatz (02:11) : C'est très bien de te parler, je suis une grande fan. Parlons des mathématiques et des sciences les unes par rapport aux autres parce que les mots sont souvent utilisés ensemble, et pourtant les techniques que nous utilisons pour arriver à la preuve et à la certitude en mathématiques sont quelque peu différentes de ce que nous essayons de faire en science. Par exemple, lorsque nous parlons de recueillir des preuves en mathématiques, en quoi est-ce la même chose ou en quoi est-ce différent de la collecte de preuves par la méthode scientifique en science ?
Bois (02:38) : Une preuve mathématique est un argument logique absolument hermétique et complet selon lequel une affirmation mathématique doit être ainsi et ne pourrait pas être autrement. Donc, contrairement à une théorie scientifique - qui est peut-être la meilleure que nous ayons sur la base des preuves dont nous disposons aujourd'hui, mais nous aurons plus de preuves, vous savez, dans les 10 prochaines années et peut-être qu'il y aura une nouvelle théorie - une preuve mathématique dit qu'une déclaration doit être ainsi, nous ne pouvons pas découvrir qu'elle sera fausse dans 10 ou 20 ans.
Strogatz (03:17) : Eh bien, quels types de choses comptent comme preuves en mathématiques ?
Bois (03:19) : Donc vous pourriez voir que quelque chose est vrai dans beaucoup d'exemples. Et en se basant sur le fait que c'est vrai dans beaucoup d'exemples, ce que vous pourriez peut-être dire serait la preuve de ce fait, tu pourrais faire une conjecture, ce que les mathématiciens appelleraient une conjecture, une supposition que quelque chose est vrai. Mais alors, ce que les mathématiciens voudraient, ce serait une preuve que cette chose que vous avez vue se dérouler dans tant d'exemples fonctionnerait toujours de la manière que vous avez affirmée.
Strogatz (03:49) : C'est vrai, très différent du simple poids de la preuve. C'est une déclaration qu'il y a une raison pour laquelle quelque chose va être vrai pour toujours, pour toujours, dans tous les cas.
Bois (03:58) : Et pas seulement "Eh bien, j'ai examiné un million de cas et c'est vrai dans chacun d'entre eux." Ce qui est une raison de deviner ou de conjecturer que c'est toujours vrai. Mais en mathématiques, nous faisons une distinction entre une telle supposition qui pourrait être basée sur un grand nombre de cas ou de preuves, et avoir un théorème ou une preuve, un argument qui vous dit que cela fonctionnera dans tous les cas, même ceux que vous avez pas essayé.
Strogatz (04:25): Maintenant, est-ce juste que les mathématiciens sont exigeants par nature, ou y a-t-il des cas où quelque chose qui semblait être vrai, jusqu'à un très grand nombre de possibilités, a fini par ne pas être vrai au-delà d'un autre grand nombre ?
Bois (04:39): Oh, c'est, c'est une excellente question. Eh bien, voici un exemple que j'aime, parce que j'aime les nombres premiers. Ainsi, en parcourant les nombres premiers - 2, 3, 5, 7 - l'une des choses que vous pourriez faire, vous pourriez regarder et dire, "hé, sont-ils divisibles par 2?" Et cela s'avère peu intéressant. Après 2, aucun n'est divisible par 2. Ils sont tous, ils sont tous impairs.
(05:10) Et puis vous pourriez penser, "Eh bien, sont-ils divisibles par 3?" Et bien sûr, après 3, ils ne peuvent pas non plus être divisibles par 3, car ce sont des nombres premiers. Cependant, vous remarquerez peut-être que certains d'entre eux, lorsque vous les divisez par 3, vous obtenez un reste de 1, qu'ils sont 1 de plus qu'un multiple de 3. Donc, des choses comme 7, qui est 1 de plus que 6, ou 13 , qui est 1 de plus que 12. Et certains de ces nombres premiers, comme 11, ou 17, qui est 2 de plus que 15, ils auront un reste de 2 quand vous les divisez par 3, parce qu'ils sont 2 de plus qu'un multiples de 3.
(05:47) Et donc vous pourriez penser à ces nombres premiers en équipes. L'équipe 1 est composée de tous ceux qui sont 1 de plus qu'un multiple de 3 et l'équipe 2 sont tous ceux qui sont 2 de plus qu'un multiple de 3. Et lorsque vous parcourez les nombres premiers et que vous listez les nombres premiers, vous pouvez lister tous les nombres premiers et vous pourriez compter, et voir combien sont dans l'équipe 1, et combien sont dans l'équipe 2. Et si vous faisiez cela jusqu'à 600 milliards, à chaque point, chaque nombre jusqu'à 600 milliards, vous trouveriez que il y a plus de nombres premiers de l'équipe 2 que de nombres premiers de l'équipe 1. Donc, vous pourriez naturellement conjecturer, sur la base de cette preuve, qu'il y aura toujours plus de nombres premiers de l'équipe 2 que de nombres premiers de l'équipe 1.
Strogatz (06:33) : Bien sûr. Ça y ressemble totalement.
Bois: Il s'avère qu'à un nombre d'environ 608 milliards de dollars, j'oublie le nombre exact, ça change.
Strogatz (06:46): Oh, allez.
Bois: Ouais, ça change vraiment. Et maintenant, tout d'un coup, l'équipe 1 est en tête. Donc, c'est un —
Strogatz (06:53) : Attendez une minute. Attendez, mais c'est incroyable. Quoi - maintenant, changent-ils constamment? Savons-nous ce qui se passe pendant que vous continuez? Changent-ils constamment ?
Bois (07:01) : Ouais, excellente question. Donc, en effet, c'est un théorème qu'ils changeront de piste infiniment souvent.
Strogatz (07:07) : Vraiment ?
Bois: Donc, ils continueront à échanger les pistes. Mais c'est un très bon exemple à garder à l'esprit lorsque vous étudiez les nombres premiers, que ce n'est pas parce que quelque chose était vrai pour les 600 premiers milliards de cas que ce sera toujours vrai.
Strogatz (07:25) : Oh, waouh. Agréable. D'accord. Alors, comme en général, comment passe-t-on d'une conjecture à une preuve ?
Bois (07:31) : Cela dépend beaucoup du cas. Je veux dire, il y a de nombreux cas de mathématiques où nous avons des conjectures et nous n'avons aucune preuve. Donc, il n'y a pas de recette simple pour passer d'une conjecture à une preuve, sinon nous n'aurions pas autant de problèmes ouverts célèbres où, vous savez, il y a certaines - certaines conjectures selon lesquelles les gens pensent que quelque chose fonctionne d'une certaine manière, mais nous n'avons pas ' Je ne le sais pas avec certitude. Mais, vous savez, parfois la conjecture peut suggérer des raisons pour lesquelles quelque chose est vrai. Parfois, c'est juste une théorie mathématique, qui s'appuie sur de plus en plus de théories mathématiques que les gens développent depuis des centaines d'années, nous donne suffisamment d'outils et de structure pour travailler avec pour comprendre des choses que nous trouvons avec une preuve. Mais ce n'est pas que la conjecture mène nécessairement à la preuve. La conjecture peut inspirer les gens à essayer de trouver la preuve, mais la façon dont la preuve se produit peut être entièrement distincte de la conjecture elle-même.
Strogatz (08:31) : Ouais, je suis intéressé par une sorte d'énumération, ou d'énumération des types de preuves qui ne constituent pas une preuve, qui amènent les gens à avoir la certitude que cela vaut la peine d'essayer d'aller chercher une preuve.
Bois (08:41) : Ouais, une autre chose que nous pourrions appeler une preuve qui n'est pas seulement des exemples serait une heuristique. Une heuristique pourrait être quelque chose comme un argument, sauf à un niveau de rigueur beaucoup plus bas. C'est juste comme, est-ce que ça te va ? Pas « ai-je absolument établi ce fait sans l'ombre d'un doute ? » mais "est-ce que ça - ouais, ça semble assez plausible." Ainsi, une heuristique peut être une ligne de raisonnement qui semble assez plausible, vous savez, mais qui n'est en fait pas un argument rigoureux. C'est donc une sorte de preuve.
(09:12) Parfois, on peut avoir un modèle qui, selon nous, capture les éléments essentiels du système mathématique que nous essayons de comprendre, et alors vous conjecturez que votre système a le même comportement que votre modèle.
Strogatz (09:30): D'accord. À un moment donné, je veux entendre des exemples de modèles et de conjectures et, vous savez, dans quelle mesure ils fonctionnent ou ne fonctionnent pas sur certaines questions ou pas sur d'autres, mais, si cela ne vous dérange pas, j'aimerais j'aimerais revenir à quelques petites choses personnelles, en quelque sorte, parce que nous parlons ici de chiffres, et vous êtes un théoricien des nombres. Les gens ne connaissent peut-être pas beaucoup de théoriciens des nombres dans leur vie quotidienne. Donc, je me demande si vous pourriez nous dire qu'est-ce que la théorie des nombres, et aussi, pourquoi trouvez-vous cela intéressant ? Pourquoi êtes-vous venu l'étudier ?
Bois (10:02) Eh bien, la théorie des nombres est l'étude mathématique des nombres entiers. Alors, pensez 1, 2, 3, 4, 5. Et, en particulier, l'une des choses importantes dans les nombres entiers sont les nombres premiers. Comme vous l'avez expliqué, dès le début, ce sont les blocs de construction à partir desquels nous pouvons, par multiplication, construire tous les autres nombres. Donc, parce que la théorie des nombres s'intéresse à tous ces nombres entiers, elle s'intéresse également à leurs blocs de construction, aux nombres premiers, et à la façon dont les autres nombres sont pris en compte dans les nombres premiers et comment ils sont construits à partir de nombres premiers.
Strogatz (10:37) : Donc, la théorie des nombres, pour nos besoins aujourd'hui, je suppose, sera l'étude des nombres entiers, avec un intérêt particulier pour les nombres premiers. Cela semble être un très bon début. Je suppose que c'est plus que ça. Mais peut-être que c'est une bonne définition pour nous maintenant. Pensez-vous que oui?
Bois (10:50) : C'est un bon, c'est un bon début. Je veux dire, à partir de là, on explore d'autres choses comme, eh bien, et si vous commenciez à considérer des systèmes de nombres qui sont plus compliqués que les nombres entiers ? Comme vous commencez à mettre d'autres nombres, comme la racine carrée de 2, alors que se passe-t-il avec les nombres premiers et la factorisation ? Vous êtes amené à d'autres questions. Mais honnêtement, il y a beaucoup de mathématiques riches et belles juste dans les nombres entiers et les nombres premiers.
Strogatz (11:16) : Donc, avec cela à l'esprit, pourquoi trouvez-vous cela convaincant ? Pourquoi aimez-vous l'étude de la théorie des nombres ? Qu'est-ce qui vous y a attiré ?
Bois (11:22) : Je pense que j'aime que les questions puissent être si concrètes. Vous savez, je vais parler aux enfants de l'école primaire. Et je peux leur parler, vous savez, de certaines des choses auxquelles – auxquelles je pense. Donc, c'est amusant pour moi de travailler sur quelque chose dont d'une part, les questions peuvent être si concrètes, mais d'autre part, le casse-tête d'essayer de le résoudre peut être si difficile. Je veux dire, les gens essaient de répondre aux questions sur les nombres entiers, sur les nombres premiers depuis littéralement des milliers d'années.
(11:54) Et il y a beaucoup de branches des mathématiques. L'une des parties importantes de la théorie moderne des nombres est que pour progresser sur ces vieilles questions tenaces sur lesquelles les gens travaillent depuis si longtemps, il faut apporter de nouvelles idées et établir des liens avec d'autres parties des mathématiques. Donc, même si je me qualifierais de théoricien des nombres, j'utilise les mathématiques de toutes sortes de domaines. De l'étude, vous savez, de la géométrie et de la topologie et des formes des espaces à la probabilité et à l'étude du hasard. J'utilise toutes sortes de mathématiques, mais pour essayer de dire quelque chose sur des choses comme les nombres entiers, les nombres premiers et la factorisation.
Strogatz (12:36) : Ouais, j'adore cette vision des mathématiques comme ce gigantesque réseau d'idées interconnectées, et vous pouvez vouloir vivre dans une partie particulière de celle-ci qui est votre préférée. Mais vous avez mentionné les nombres premiers comme étant un domaine d'intérêt particulier dans la théorie des nombres, la partie la plus fondamentale de celle-ci, vraiment. Qu'est-ce qui est dur chez eux ? Ce n'est pas encore clair, dans notre discussion, qu'y a-t-il de si mystérieux là-bas ? Comme nous les avons définis, nous pourrions probablement continuer à les énumérer, je suppose. Quels sont certains de ces problèmes auxquels vous faites référence qui datent de plusieurs centaines d'années?
Bois (13:05) : Eh bien, l'une des questions les plus importantes et les plus importantes, qui date peut-être d'environ 120 ans environ, est, vous avez dit, « oh, vous pourriez les énumérer. Si vous faisiez cela, combien en trouveriez-vous ? Alors disons que vous avez énuméré les nombres premiers, jusqu'à cent, ou mille, ou cent mille, ou un million, un milliard. Au fur et à mesure que vous répertoriez des nombres premiers jusqu'à des nombres de plus en plus grands, combien de ces nombres que vous traversez seront en fait premiers ? Donc, comprendre que la quantité est vraiment au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui est l'un des Clay Math Institute Problèmes du prix du millénaire, il y a un prix d'un million de dollars pour une réponse. C'est l'une des questions les plus célèbres et nous n'avons aucune idée de comment le faire, et il s'agit vraiment de la question de savoir, lorsque vous énumérez ces nombres premiers, combien en trouverez-vous ?
Strogatz (13:58) : D'accord. C'est marrant, non ? Parce que lorsque vous commencez à faire la liste, même si quelqu'un commence à énumérer les nombres premiers jusqu'à 100, vous remarquez des choses amusantes. Comme, au début 11 et 13, ils sont 2 séparés. Quinze, eh bien, ça ne marche pas, parce que c'est divisible par 5 et 3. Puis 17, donc il y a un écart de 4 maintenant, entre 13 et 17. Mais 19, c'est à nouveau proche. Je ne sais pas, je veux dire, donc l'espacement entre les nombres premiers peut être un peu bancal. Comme parfois il y a un assez grand écart là-dedans, et parfois ils sont juste à côté l'un de l'autre, à seulement 2 l'un de l'autre.
Bois (14:31) : Oui, donc comprendre cet espacement et ces écarts a également été une grande question d'intérêt. Il y a eu des progrès remarquables au cours de la dernière décennie dans la compréhension de l'espacement entre les nombres premiers. Mais il y a encore une question fondamentale vraiment alléchante à laquelle nous ne connaissons pas la réponse. Vous avez donc mentionné que ces nombres premiers, 11 et 13, ne sont séparés que de 2. Ces nombres premiers sont donc appelés nombres premiers jumeaux. Nous ne pouvions pas nous attendre à ce que les nombres premiers soient plus proches que 2 car après 2, ils doivent tous être impairs. Voici une question ouverte en mathématiques, ce qui signifie que nous ne connaissons pas la réponse, et c'est : Existe-t-il une infinité de paires de nombres premiers jumeaux? Et donc ici, il y a une conjecture, la conjecture serait, oui. Je veux dire, non seulement il y a une conjecture selon laquelle "oui, ils devraient durer éternellement, et il devrait toujours y en avoir plus", mais il y a même une conjecture sur, en quelque sorte, combien vous en trouverez au fur et à mesure. Mais c'est complètement ouvert. Pour autant que nous sachions, il se peut qu'une fois que vous atteignez un très grand nombre, ils s'arrêtent simplement et que vous ne trouviez plus du tout de paires de nombres premiers jumeaux.
Strogatz (15:40): Il y a quelque chose de très poétique là-dedans, poignant, cette pensée, comme, que cela pourrait être la fin de la ligne à un moment donné. Je veux dire, aucun de nous ne le croit probablement. Mais il est possible, je suppose, il est concevable qu'il y ait une dernière paire de jumeaux solitaires se blottissant dans l'obscurité, là-bas, vous savez, sur la ligne numérique.
Bois (15:57) : Oui, il pourrait y en avoir. Et, vous savez, en tant que mathématiciens, nous dirions, vous savez, nous ne savons pas. Même si vous pouviez faire un graphique au fur et à mesure du nombre que vous avez trouvé, si vous tracez ce graphique, il semblerait qu'il monte et monte à un rythme qui ne se retournerait jamais. Mais je suppose que cela fait partie de la différence entre les mathématiques et les sciences, c'est que nous gardons ce scepticisme et disons, eh bien, nous ne savons pas. Je veux dire, peut-être qu'à un moment donné, le graphique se retourne, et il n'y en a plus.
Strogatz (16:29) : Donc, ça — j'aime votre image là d'un graphique, parce que je pense que tout le monde peut s'identifier à cette idée, de faire un graphique, de faire une sorte de graphique. Vous savez, penser aux nombres premiers comme un peu comme des données. Et, et donc je pense que c'est peut-être le bon moment pour nous de nous tourner, de commencer à parler de la théorie des probabilités. Et cela semble un peu bizarre de parler de probabilité et de statistiques en relation avec les nombres premiers parce qu'il n'y a aucune chance ici. Les nombres premiers sont déterminés par la définition que nous avons donnée, qu'ils ne sont pas divisibles. Mais pourtant, les mathématiciens et les théoriciens des nombres, comme vous, ont utilisé des arguments statistiques ou probabilistes pour réfléchir aux nombres premiers. Je me demande si vous pourriez m'esquisser quelque chose comme ça en utilisant le tirage au sort, et revenir à - ce dont nous parlions au début, les nombres impairs et les nombres pairs.
Bois (17:14) : D'accord. Ainsi, contrairement aux nombres premiers, nous comprenons très bien le modèle des nombres pairs et impairs. Ils vont impair, pair, impair, pair, bien sûr. Mais supposons que nous n'ayons pas compris ce schéma. Et nous utilisons cela pour comprendre combien de nombres impairs vous pourriez trouver si vous regardiez tous les nombres jusqu'à un million. Vous pouvez imaginer, puisqu'il y a deux possibilités, un nombre peut être impair ou un nombre peut être pair, que peut-être quelqu'un est allé et a lancé une pièce pour chaque nombre, et si la pièce sortait face, le nombre était impair. Et si la pièce tombait pile, le nombre était pair. Et donc vous pourriez faire en sorte que votre personne qui lance des pièces marche le long de la droite numérique, lance une pièce à chaque numéro, et cela revient, disons, à déclarer ce nombre impair ou pair.
(18:03) Maintenant, d'une part, c'est un non-sens. D'un autre côté, le modèle de retournement de pièces permettra de corriger certaines choses. Par exemple, si vous dites, vous savez, approximativement, combien de nombres jusqu'à un million sont pairs ? Nous savons qu'à peu près le nombre de lancers de pièces qui, disons, tomberont pile, si vous faites un grand nombre de lancers de pièces, comme un million, est d'environ la moitié d'entre eux. Et donc, ce modèle, aussi idiot soit-il, peut toujours faire certaines prédictions correctement. Et je dois dire que cela peut sembler idiot, car nous connaissons déjà la réponse à cette question. L'idée est que nous construisons des modèles pour des modèles plus compliqués, comme où les nombres premiers apparaissent parmi les nombres, au lieu de simplement où les cotes apparaissent.
Strogatz (18:55) : Ouais. Je veux dire, je pense que nous devons souligner cela - à quel point les nombres premiers sont profondément mystérieux. Il n'y a pas de formule pour les nombres premiers, comme il y a une formule pour les nombres impairs. Comme si vous pensez, oh, allez, c'est - nous parlons vraiment de choses absurdes ici, c'est en fait très précieux d'avoir ces modèles statistiques qui peuvent prédire des propriétés qui sont des propriétés moyennes. Comme l'analogue de, la moitié des nombres inférieurs à un grand nombre vont être impairs. C'est quelque chose qui, dans le cas des nombres premiers, est une question très sérieuse et intéressante. Quelle fraction de nombres inférieure à un grand nombre est première ? Et, comme vous le dites, vous pouvez créer un modèle statistique qui réponde à vos besoins. Et puis quoi, ce même modèle peut être utilisé pour prédire combien de nombres premiers jumeaux il y aurait moins qu'un grand nombre ? Est-ce que le même modèle fait du bon travail dans ce cas?
Bois (19:41): Donc, dans le cas des nombres premiers, si nous construisions un modèle - vous savez, et il y a un modèle que les mathématiciens utilisent appelé le modèle de Cramer des nombres premiers - si nous construisions un modèle de tirage au sort des nombres premiers où nous imaginions quelqu'un marchant le long de la droite numérique, et à chaque nombre, vous savez, en lançant une pièce, disons, pour décider si ce nombre était premier ou non premier, nous serions incorporer tout ce que nous savons sur les nombres premiers dans ce modèle. Donc, tout d'abord, nous savons que les grands nombres sont moins susceptibles d'être premiers que les petits nombres. Ces pièces devraient donc être pesées. Et nous devrions - nous devrions essayer de mettre précisément les pondérations auxquelles nous nous attendons. Et nous savons des choses comme, vous ne pouvez pas avoir deux nombres premiers l'un à côté de l'autre, car l'un d'eux devrait être impair et l'autre devrait être pair. Nous avons donc intégré cela dans le modèle. Et puis il y a plus de choses que nous savons sur les nombres premiers.
(20:37) Donc le modèle est quelque chose qui commence avec ce modèle de pile ou face, mais ensuite il est modifié par toutes ces autres règles, et toutes les autres choses que nous savons sur les nombres premiers. Et une fois que vous avez mis toutes ces choses que nous savons dans le modèle, vous demandez ensuite à ce lancer de pièces, vous savez, modèle, eh bien, voyez-vous, infiniment souvent, des pièces primer à seulement 2 d'intervalle ? Et le modèle vous dit, oh, oui, nous voyons cela. En fait, nous le voyons à ce taux très particulier pour lequel nous pouvons vous donner une formule. Et puis, si vous représentez graphiquement le nombre de nombres premiers jumeaux réels, dans les nombres réels, où il n'y a pas de pièces retournées, par rapport à ce que le modèle prédit, vous voyez que le modèle vous donne une prédiction très précise pour le nombre de paires de nombres premiers jumeaux vous trouverez au fur et à mesure. Et alors vous pensez, vous savez, peut-être que ce modèle sait de quoi il parle.
Strogatz (21:31): C'est super. Je veux dire, c'est assez important, ce que nous venons d'en arriver là, que - vous n'avez pas encore utilisé le mot ordinateurs. Mais je suppose que vous ne le faites pas à la main. Les gens qui listent des nombres premiers jumeaux, je ne sais pas, de quoi parlons-nous ? Trillion trillion trillion ? Je veux dire, ce sont de gros chiffres dont nous parlons, n'est-ce pas ?
Bois (21:49): Eh bien, pour la liste des nombres premiers jumeaux, c'est-à-dire - serait fait par ordinateur, absolument. Mais pour avoir construit ce modèle et trouvé la formule que le modèle donne. Vous savez, c'est fait à la main, essentiellement, par des mathématiciens qui réfléchissent au modèle et s'en servent.
Strogatz (22:07) : C'est trop cool. C'est donc là que le modèle montre son truc, que le modèle peut réellement prédire ce que l'ordinateur voit. Et il n'est pas nécessaire d'avoir un ordinateur pour faire cette prédiction. Cela peut être fait à la main, par des personnes, et peut en fait conduire à des preuves. Sauf que ce sont des preuves de propriétés du modèle, pas nécessairement encore des preuves de la chose qui vous intéresse.
Bois (22:28): D'accord. Et à un moment donné, l'ordinateur s'arrête. Vous savez, la puissance de calcul est limitée. Mais cette formule que vous obtiendriez, que le modèle vous donnerait, que vous pourriez prouver est vraie, encore une fois, à propos de cette situation modèle de retournement de pièces, cette formule continuera. Vous pouvez mettre des nombres de plus en plus grands dans cette formule, beaucoup plus grands que votre ordinateur ne pourrait jamais, jamais calculer.
Strogatz (22:53) : Donc, vous nous avez parlé un peu de la façon dont le hasard peut aider à donner des modèles de phénomènes intéressants en théorie des nombres, et je suis sûr que c'est également vrai dans d'autres parties des mathématiques. Y a-t-il des cas où vous pouvez utiliser le hasard pour fournir des preuves réelles, pas seulement des modèles ?
Bois (23:10) : Absolument. Une autre branche des mathématiques s'appelle la théorie des probabilités. Et dans la théorie des probabilités, ils prouvent des théorèmes sur les systèmes aléatoires et leur comportement. Et vous pourriez penser que, eh bien, si vous commencez par, avec quelque chose de aléatoire, et que vous faites quelque chose avec, vous aurez toujours quelque chose de aléatoire. Mais l'une des choses remarquablement belles que l'on trouve dans la théorie des probabilités est que parfois vous pouvez obtenir quelque chose de déterministe à partir de quelque chose d'aléatoire.
Strogatz (23:45) : Eh bien, comment ça marche ? Comme quoi?
Bois (23:48): Ouais. Vous avez donc vu la courbe en cloche, ou la distribution normale, comme les mathématiciens l'appelleraient. Il apparaît partout dans la nature. Comme si vous regardiez la tension artérielle des gens, ou le poids de naissance du bébé, ou quelque chose comme ça. Et vous pourriez penser, oh, cette courbe en cloche, que c'est un, c'est un fait de, de la nature. Mais en fait, il y a un théorème, appelé théorème central limite dans la théorie des probabilités, qui vous dit qu'en fait, cette courbe en cloche n'est pas un fait naturel, mais un fait mathématique. Le théorème central limite vous dit que si vous combinez tout un tas de petits effets aléatoires indépendamment, la sortie de cela correspondra toujours à une certaine distribution. Cette forme, cette courbe en cloche. Les mathématiques et la théorie des probabilités peuvent prouver que si vous avez - si vous combinez beaucoup de petites choses aléatoires indépendantes, le résultat de toute cette combinaison vous donnera une distribution qui ressemble à cette courbe en cloche. Et donc - même si vous ne savez pas à quoi ressemblaient les entrées. Et c'est un théorème très puissant et un outil très puissant en mathématiques.
Strogatz (25:05) : Oui, c'est certainement le cas. Et j'ai aimé votre emphase sur le fait que vous n'avez pas besoin de savoir ce qui se passe avec les petits effets. Que ça, en quelque sorte, ça s'efface. Cette information n'est pas nécessaire. La courbe en cloche est prévisible, même si vous ne savez pas quelle est la nature des petits effets. Tant qu'il y en a beaucoup et qu'ils sont petits. Et ils ne s'affectent pas, d'accord, ils sont indépendants, dans un certain sens.
Bois (25:27) : Oui, absolument. Et donc c'est une idée, vous savez, parfois appelée l'universalité dans la théorie des probabilités, qu'il existe certains types de machines qui, si vous mettez beaucoup d'entrées aléatoires, vous pouvez prédire la sortie. Comme, par exemple, que vous obtiendriez cette courbe en cloche, ou cette distribution normale, même si vous ne savez pas ce que vous mettez dans la machine. Et c'est incroyablement puissant quand il y a des choses que nous ne comprenons pas très bien, parce que -
Strogatz (25:56) : Mais alors, êtes-vous en train de me dire — oh, je suis désolé de vous interrompre — mais êtes-vous en train de me dire que cela se passe aussi dans la théorie des nombres maintenant ? Que d'une manière ou d'une autre, l'idée d'universalité apparaît dans la théorie des nombres ? Ou suis-je en train de rêver ?
Bois (26:09) : Eh bien, dans une certaine mesure, je dirais que c'est un de mes rêves qui commence. Vous savez, nous sommes juste, nous faisons les premiers pas pour le voir se réaliser. Donc ce n'est pas seulement ton rêve, c'est aussi mon rêve. Une partie du travail que je fais aujourd'hui et sur lequel mes collaborateurs et moi travaillons essaie de faire de ce genre de rêve une réalité afin que certaines de ces questions déroutantes sur les chiffres auxquelles nous ne connaissons pas la réponse, nous puissions peut-être comprendre qu'il y a des modèles qui sortent, comme une courbe en cloche, comme une distribution normale, que nous pouvons prouver qu'ils sont sortis de la machine même si nous ne savons pas quels mystères ont été mis dedans.
Strogatz (26:55): Eh bien, c'est une vision très inspirante et passionnante, en fait, et j'espère que tout se réalisera. Merci beaucoup de nous avoir parlé aujourd'hui, Mélanie.
Bois (27:03) : Merci. C'était très amusant.
Annonceur (27:06): Si tu aimes La joie du pourquoi, Vérifiez Podcast scientifique du magazine Quanta, animée par moi, Susan Valot, l'une des productrices de cette émission. Parlez également de ce podcast à vos amis et donnez-nous un like ou suivez où vous écoutez. Il aide les gens à trouver La joie du pourquoi podcast.
Strogatz (27: 26): La joie du pourquoi est un podcast de Quanta Magazine, une publication éditorialement indépendante soutenue par la Fondation Simons. Les décisions de financement de la Fondation Simons n'ont aucune influence sur la sélection des sujets, des invités ou d'autres décisions éditoriales dans ce podcast ou dans Quanta Magazine. La joie du pourquoi est produit par Susan Valot et Polly Stryker. Nos éditeurs sont John Rennie et Thomas Lin, avec le soutien de Matt Carlstrom, Annie Melchor et Leila Sloman. Notre thème musical a été composé par Richie Johnson. Notre logo est de Jackie King et les illustrations des épisodes sont de Michael Driver et Samuel Velasco. Je suis votre hôte, Steve Strogatz. Si vous avez des questions ou des commentaires à nous faire parvenir, veuillez nous envoyer un courriel à quanta@simonsfoundation.org. Merci pour l'écoute.
