Introduction
Le secret pour réparer une faille fatale au cœur de la théorie quantique réside peut-être dans trois manuels obscurs des années 1980. Mais les physiciens peuvent être pardonnés d'avoir négligé les idées potentiellement transformatrices à l'intérieur, car les volumes semblent à la fois amateurs et intimidants.
Les quelques copies physiques qui existent du magnum opus de Jean Écalle ressemblent à peine à des photocopies glorifiées. Des symboles mathématiques surdimensionnés griffonnés à l'encre noire épaisse interrompent fréquemment les phrases soigneusement dactylographiées. Le texte est également rédigé en français, un inconvénient pour les chercheurs du monde anglophone.
Les mathématiques elles-mêmes constituent une autre barrière. Les 1,110 XNUMX pages de la trilogie regorgent d'objets mathématiques originaux et de monnaies bizarres. Les termes à consonance étrange tels que « trans-séries », « germes analysables », « dérivations extraterrestres » et « accéléro-sommation » abondent.
"Si vous y jetez un œil pour la première fois et que vous ne le lisez pas très attentivement, vous pourriez penser que c'est un cinglé qui écrit des choses folles", a déclaré Marcos Mariño, physicien mathématicien à l'Université de Genève qui conserve dans sa bibliothèque ce qu'il appelle les "documents historiques" et utilise quotidiennement les outils développés par Écalle. "Bien sûr, il ne l'est pas. Il fait partie de ces mathématiciens visionnaires.
Ses mathématiques visionnaires pourraient être exactement ce qu'il faut pour surmonter un profond embarras conceptuel – un embarras que les physiciens ont plus ou moins ignoré au cours des 70 dernières années. À cette époque, les physiciens ont appris à faire des prédictions incroyablement précises sur le monde subatomique. Mais ces prédictions, aussi précises soient-elles, sont des approximations. Si l'on recherche une précision absolue, la théorie quantique des manuels s'effondre et donne des réponses infinies - des résultats absurdes que de nombreux physiciens considèrent comme des déchets mathématiques.
En étudiant les anciens manuels d'Écalle, les physiciens en viennent à soupçonner que ces réponses infinies recèlent d'innombrables trésors, et que, avec un effort suffisant, les outils mathématiques qu'il a développés devraient leur permettre de prendre n'importe quel infini et de déterrer une réponse finie et irréprochable à toute question quantique.
"En effet, cela fonctionne très bien" dans de nombreux cas, a déclaré Marco Serone, un physicien qui étudie cette stratégie, qui porte le nom de « résurgence ». "À un moment donné, ce processus se termine et ce que vous avez devant les yeux est la solution exacte à votre problème initial."
La communauté de résurgence est petite mais a fait des progrès constants au fil des ans. Une proto-version de la technique a obtenu des résultats exacts en mécanique quantique, qui se limite au comportement des particules. Et des incarnations plus sophistiquées ont permis à certains physiciens de s'aventurer plus loin dans les eaux troubles de la théorie quantique des champs et, plus récemment, de la théorie des cordes. Mais ce n'est que le début des grands rêves nourris par les praticiens de la résurgence. Ils visent rien de moins qu'une nouvelle façon de penser les infinis dans les théories physiques - une qui correspond mieux à notre monde fini en théorie et, peut-être aussi, en pratique.
Des possibilités explosives
La théorie quantique des champs - la notion selon laquelle les particules comme les électrons sont en réalité des ondulations soutenues dans un champ quantique sous-jacent - a forcé les physiciens d'après-guerre à affronter l'infini de front.
Ces champs quantiques sont des bêtes d'une complexité inimaginable - avec des ondulations transitoires et des ondes cohérentes qui agitent un espace apparemment vide. Ces ondulations passagères peuvent, en principe, apparaître à tout moment, en n'importe quel nombre et avec n'importe quelle énergie, ce qui met les physiciens au défi de rendre compte d'un éventail infini de mélanges subatomiques afin de comprendre le résultat précis d'expériences même simples.
Dans les années 1940, Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger et Richard Feynman ont tous trouvé des moyens équivalents d'obtenir des réponses finies à partir de l'infinie complexité du champ électromagnétique quantique. Mieux connu aujourd'hui dans la présentation de Feynman, le calcul a pris la forme d'une chaîne infinie de "Diagrammes de Feynman» représentant un défilé de possibilités quantiques de plus en plus byzantines. Vous commencez par le diagramme de l'événement le plus simple possible - un électron se déplaçant dans l'espace, par exemple - et calculez une propriété mesurable, telle que la quantité d'oscillations de l'électron dans un champ magnétique. Ensuite, vous ajoutez le résultat d'un scénario plus compliqué, tel que l'électron expulsant brièvement puis réabsorbant un photon à la volée. Vous ajoutez ensuite un drame subatomique impliquant deux ondulations transitoires, puis trois et ainsi de suite, dans une technique mathématique largement utilisée connue sous le nom de théorie des perturbations.
Introduction
Sur le papier, un calcul de cette propriété crée une « série entière » sans fin : une équation qui implique une certaine valeur critique, que nous appellerons x, puis x au carré, x au cube, et des puissances de plus en plus élevées de x, le tout multiplié par différents coefficients :
F(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +… + a1,000,000x1,000,000 +….
Pour le champ électromagnétique, la valeur de x est une constante clé de voûte de la nature, alpha, qui est proche de 1/137. C'est un petit nombre qui convient à la faiblesse relative de la force, et élever ce petit nombre à des puissances plus grandes fait que les termes se rétrécissent rapidement.
Les diagrammes de Feynman donnent aux physiciens les coefficients de chaque terme — le a's - qui sont les parties difficiles à calculer. Prenez le calcul du "facteur g" de l'électron, un nombre lié à la façon dont la particule vacille dans un champ magnétique. Le diagramme de Feynman le plus simple vous donne a0, qui est exactement égal à 2. Mais si vous considérez un diagramme de Feynman légèrement plus compliqué, celui où la première ondulation temporaire apparaît, vous devez calculer le a1 terme, et c'est là que l'infini pointe le bout de son nez. Tomonaga, Schwinger et Feynman ont trouvé un moyen de rendre ce terme fini. Leur calcul d'environ 2.002 pour le facteur g de l'électron correspondait aux mesures expérimentales de cette génération, a prouvé que la théorie quantique des champs pouvait avoir un sens et leur a valu à tous les trois le prix Nobel de physique en 1965.
Leur approche a également lancé une nouvelle ère, celle où les physiciens ont dû escalader des montagnes toujours plus hautes de diagrammes de Feynman afin de calculer plus a's. Ces montagnes deviennent raides et rapides. En 2017, un physicien a terminé deux décennies travail d'amourun calcul précis du facteur g de l'électron qui a nécessité le calcul d'équations poilues à partir de 891 diagrammes de Feynman. Le résultat n'a révélé que le cinquième terme de la série.
Les diagrammes de Feynman restent d'une importance cruciale dans la physique moderne. Une collection de calculs similaires mais encore plus compliqués pour le muon, le cousin corpulent de l'électron, fait la une des journaux en 2021. Une expérience a révélé un écart d'une huitième décimale par rapport aux prédictions théoriques. La modeste anomalie représente l'un des meilleurs espoirs pour voir ce qui se trouve au-delà de l'imposant édifice issu du travail de Feynman et de ses collègues.
Mais cet enchaînement de victoires expérimentales a masqué le fait qu'au fond, cette façon d'aborder la théorie quantique des champs ne fonctionne pas du tout.
La chute des diagrammes de Feynman
Freeman Dyson, un autre pionnier de l'après-guerre, a été le premier physicien à comprendre que la théorie quantique perturbative était probablement condamnée. L'année était 1952, et tandis que d'autres célébraient le fait que les deux premiers termes de la série de puissance de Feynman pouvaient être réduits et finis, Dyson s'inquiétait du reste de la série.
Les physiciens espéraient naïvement que le traitement du diagramme de Feynman du champ électromagnétique se révélerait être ce que les mathématiciens appellent "convergent". Dans une série convergente, chaque terme suivant est beaucoup plus petit que le terme précédent, et plus il y a de termes, plus la somme converge vers un seul nombre fini. En revanche, une série peut également être «divergente» - les termes ultérieurs sont plus grands que les termes antérieurs et la série croît sans limite. La somme «diverge», ne donnant aucune réponse significative évidente.
Les premiers termes de la somme de Feynman ont en effet diminué - conséquence de la valeur infime d'alpha - et Dyson lui-même d'abord conclu que l'électromagnétisme quantique perturbatif devrait être globalement convergent.
Mais ensuite, Dyson a mélangé le raisonnement mathématique et physique pour faire une supposition plus sophistiquée sur le sort de la série. En pensant mathématiquement, Dyson savait qu'une série de puissances convergentes converge plus rapidement lorsque x devient plus petit, car les termes supérieurs (qui impliquent des puissances de x) rétrécir plus rapidement.
Mais quand il a permis x pour passer par zéro, tout s'est effondré.
La raison est liée à notre vide, qui produit constamment des paires transitoires d'ondulations avec des charges positives et négatives. Ces ondulations s'attirent normalement et disparaissent. Mais si alpha devenait négatif, ces ondulations s'écarteraient et deviendraient de véritables particules. L'éruption continue de particules à partir de rien déclencherait une fusion cosmique, une "désintégration explosive du vide", comme l'a dit Dyson.
Physiquement, tout alpha négatif est un problème. Pourtant, mathématiquement, le signe de x n'est pas pertinent : si une série diverge pour une petite valeur négative x alors il devrait également diverger pour un petit positif x. Par conséquent, pour un petit alpha positif (à savoir, 1/137), la série devrait également diverger. La situation physique catastrophique de Dyson implicite que la célèbre façon de Feynman de gérer l'électromagnétisme quantique prédisait, finalement, l'infini.
Aujourd'hui, les physiciens s'attendent à ce que l'électrodynamique quantique (comme on appelle la théorie quantique des champs de l'électromagnétisme) commence à diverger quelque part autour du 137e terme. C'est-à-dire, peut-être, a138x138 peut être plus grand que a137x137, et l'inclure dans la somme rendra la prédiction moins - plutôt que plus - précise.
Le problème est que des termes plus élevés conduisent à une croissance explosive - une croissance factorielle - du nombre de diagrammes de Feynman. Cela revient à calculer a9 nécessitera environ 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (environ 362,880 XNUMX) diagrammes, et a10 nécessitera environ 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (3,628,800 XNUMX XNUMX) diagrammes. Cette croissance factorielle dans les diagrammes contribuant à la afiniront par battre le rétrécissement des puissances d'alpha, et la somme se développera indomptée vers l'infini.
Pour la plupart des physiciens, l'inévitable divergence de la théorie quantique des champs, même la plus simple, reste un problème abstrait, comme la mort de notre soleil dans un milliard d'années environ. À une époque où le calcul – et encore moins les tests – même le 10e terme de la série ressemble à de la science-fiction, pourquoi s'inquiéter des dangers qui se cachent bien au-delà du 100e ?
Mais pour quelques privilégiés, le fait que la théorie la mieux comprise de la physique moderne donne techniquement des réponses infinies à toute question que vous voudriez poser reste profondément troublant. "Nous ne savons pas comment simuler le monde, même en principe, même avec des ressources de calcul illimitées", a déclaré Emmanuel Katz, un physicien de l'Université de Boston qui étudie de nouvelles méthodes pour aller au-delà des diagrammes de Feynman.
La divergence du diable
Les mathématiciens, quant à eux, s'interrogeaient sur des séries divergentes depuis plus d'un siècle avant que Dyson ne commence à s'inquiéter de la théorie quantique.
"Les séries divergentes sont l'invention du diable, et il est honteux de fonder une quelconque démonstration sur elles", QUIPPED Niels Henrik Abel en 1828. « Pour la plupart, les résultats sont valables, c'est vrai, mais c'est une chose curieuse. Je cherche la raison.
Abel mourut l'année suivante, à l'âge de 26 ans. Mais vers la fin du siècle, Henri Poincaré fit un pas significatif vers la compréhension de ce qui rendait les séries divergentes si glissantes : elles n'étaient pas sataniques, juste incomplètes.
Poincaré s'attaquait à une question séculaire : comment trois corps célestes pourraient-ils orbiter l'un autour de l'autre ? Il entreprit de s'attaquer au problème en utilisant la théorie des perturbations, tout comme Feynman et Dyson le feraient lorsqu'ils rencontreraient des champs quantiques un siècle plus tard. Poincaré a cherché à construire la fonction mystérieuse et vraisemblablement compliquée qui décrit les trajectoires des trois corps en utilisant une somme infiniment longue d'unités plus simples - un processus semblable à la construction d'une voiture à partir de simples pièces de Lego. L'espoir était que la série convergerait vers une réponse finie, signe que la série était une représentation parfaite d'une fonction unique.
Au départ, il pensait avoir réussi. En 1890, le roi Oscar II de Suède et de Norvège a décerné un prix à Poincaré pour ses progrès sur le fameux problème. Mais peu de temps avant que sa solution ne soit publiée, il demanda au roi d'arrêter les presses. La série était divergente. Une analyse plus approfondie (qui jetterait les bases de la théorie du chaos) a révélé qu'elle correspondait non pas à une mais à deux fonctions distinctes. C'était une complication avec laquelle les physiciens ne sont que trop familiers.
Introduction
"Ce serait un miracle complet si votre problème de physique qui vous intéresse est en fait associé à une série convergente", a déclaré Carl Bender, un éminent physicien mathématicien de l'Université de Washington à St. Louis. (Aujourd'hui, les physiciens savent que trois corps célestes peuvent interagir d'un nombre incalculable de façons très différentes, et aucune équation simple ne peut contenir toutes les possibilités.)
Bender compare le genre de séries divergentes rencontrées par Poincaré à une vision floue d'une fonction. Le flou accueille de nombreuses fonctions possibles, tout comme la silhouette en blocs d'un véhicule Lego pourrait correspondre à n'importe quel nombre de voitures de sport. Lorsque vous développez une fonction compliquée dans une telle série "asymptotique", "vous avez perdu des informations", a déclaré Bender.
Depuis l'époque de Poincaré, les mathématiciens et les physiciens ont compris qu'il existe d'autres types de termes, ceux qui sont « au-delà de tous les ordres », qui sont encore plus petits que le plus petit terme de puissance. Ces termes "exponentiellement petits" peuvent prendre la forme de e(−1/x), par exemple, et ils fournissent les informations perdues. Si vous les incluez dans votre série et sélectionnez une procédure de "reprise" appropriée pour rendre la série finie, vous pouvez vous débarrasser d'une partie, sinon de la totalité, du flou. Ce sont les blocs nano-Lego nécessaires pour distinguer une Ferrari d'une Lamborghini.
Les physiciens appellent ces termes supplémentaires « non perturbatifs », car ils sont hors de portée de la théorie des perturbations. Vous pouvez passer un billion d'années à dessiner des diagrammes de Feynman et à calculer a's, et vous n'apprendrez jamais certains événements physiques encodés dans ces termes non perturbatifs. Bien que les effets décrits par ces termes minuscules puissent être rares ou subtils, ils peuvent faire une différence dramatique dans le monde réel.
Prenez l'équation de Schrödinger de la mécanique quantique, par exemple, qui décrit le comportement ondulatoire des particules. C'est une équation compliquée que les physiciens approchent souvent en utilisant la théorie des perturbations. Bien que la série infinie qui en résulte prédise magnifiquement de nombreuses expériences, elle passe complètement à côté d'un événement extrêmement improbable (mais pas impossible) connu sous le nom de tunnel, dans lequel la particule se téléporte essentiellement à travers une barrière.
L'effet tunnel est l'un des nombreux phénomènes non perturbatifs de la physique quantique, mais les effets non perturbatifs sont partout : croissance ramifiée des flocons de neige, l'écoulement d'un liquide à travers un tuyau troué, les orbites des planètes dans un système solaire, le clapotis des vagues pris au piège entre des îles rondes, et d'innombrables autres phénomènes physiques sont non perturbatifs.
"Ils sont là, et ils sont cruciaux", a déclaré Danièle Dorigoni, physicien à l'Université de Durham. "La théorie des perturbations à elle seule ne suffit pas."
En raison de sa nature universelle, des hordes de mathématiciens et de physiciens ont travaillé sur divers aspects du méta-problème du calcul des termes non perturbatifs. Et vers la fin du 20e siècle, un assortiment de chercheurs a commencé à trouver des indices alléchants que les séries perturbatives semblaient en savoir plus qu'elles ne le devraient.
Parmi ces chercheurs, un groupe du Centre de recherche nucléaire de Saclay en France dans les années 1980 a aidé à développer un moyen de combiner des termes de puissance perturbatifs avec des termes exponentiels non perturbatifs pour obtenir des résultats exacts pour l'effet tunnel en mécanique quantique. Leur technique fonctionnait dans la mesure où ils pouvaient s'appuyer sur une technologie mathématique cruciale du début du siècle connue sous le nom de récapitulation de Borel. La sommation de Borel était l'outil le plus puissant de l'époque pour extraire des nombres finis de séries divergentes, mais elle avait ses limites. Il a parfois donné des résultats erronés ou contradictoires, frustrant les physiciens qui espéraient qu'une série prédirait correctement le résultat d'une expérience.
"Lorsque les physiciens trouvaient une série qui n'était pas sommable par Borel, ils abandonnaient essentiellement", a déclaré Mariño.
À leur insu, un mathématicien excentrique travaillant isolément à quelques kilomètres du groupe de Saclay avait déjà monté une exploration sans précédent des pics infiniment hauts des séries asymptotiques.
Les diagrammes de Feynman contre-attaquent
Jean Écalle se sent captivé par les mathématiques de l'infini depuis son adolescence. Il se souvient s'être relaxé sur les rives d'un ruisseau de montagne un été au lycée et s'être demandé s'il pourrait y avoir une version plus générale de l'opération dérivée - un exercice sur les infinitésimaux que les élèves apprennent d'abord en calcul élémentaire.
Au fur et à mesure de ses études, Écalle développe le goût de travailler seul. Il a même essayé d'éviter de lire les travaux de ses collègues mathématiciens, de peur que leur pensée ne l'entraîne dans des ornières établies.
"Je suis par tempérament opposé à me perdre dans la littérature mathématique", a déclaré Écalle. "J'ai également pu observer, à maintes reprises, à quel point une immersion trop profonde dans la littérature mathématique avait tendance à étouffer la créativité."
Introduction
Au début des années 1970, la curiosité d'Écalle le pousse à suivre les traces de Poincaré. Il a commencé à analyser des objets mathématiques encore plus abstraits issus de l'étude des corps célestes. Des séries asymptotiques sont apparues en cours de route, tout comme la dérivée plus générale sur laquelle il avait spéculé au lycée. Écalle finira par développer ce qu'il décrivit comme "une structure précise et aux contours nets - un calcul extraterrestre - résultant spontanément de ce qui semblerait être le contexte le moins prometteur et le plus amorphe : la divergence".
Le calcul extraterrestre d'Écalle est abstrait et multiforme. Mais le message qu'il contenait pour les physiciens qui finiraient par le rencontrer était clair. Une série perturbative, même si elle diverge, cache une bibliothèque complète d'informations non perturbatives. La série contient tout ce qui est nécessaire pour la mettre à niveau de manière à supprimer le flou, en restaurant une image nette d'une fonction correspondante unique. Les briques Lego en blocs suffisent peut-être après tout.
Malgré ses profondes conséquences, l'œuvre d'Écalle languit d'abord. C'était trop obscur et trop abstrait pour les physiciens (même francophones). Et ce n'était pas assez rigoureux pour attirer l'attention des mathématiciens.
« Il fait partie de ces génies qui pensent que les preuves détaillées, avec tous les cas, ne sont pas importantes. Ce qui est vraiment important, c'est la vue grandiose », a déclaré Mariño.
Écalle a d'abord esquissé les concepts de base de la résurgence dans trois articles en 1976, et entre 1981 et 1985, il a écrit ses trois manuels, dans lesquels il a minutieusement exposé le calcul extraterrestre de la résurgence. Ils n'ont jamais paru dans une revue mathématique. Au lieu de cela, il a publié la trilogie par le biais du département de mathématiques de son université, remplissant les équations à la main.
Si les physiciens avaient réussi à fouiller dans ses livres tout de suite, leur expérience n'aurait pas été sans rappeler le contact avec une civilisation extraterrestre intelligente. Ils auraient rencontré des machines mathématiques à des années-lumière d'avance sur ce à quoi ils étaient habitués.
"La résurgence est très sophistiquée", a déclaré Bender. Mais, pour le dire aussi simplement que possible, cela permet aux praticiens de creuser dans les termes distants d'une série asymptotique (calculée à l'aide de diagrammes de Feynman, par exemple) et de découvrir les pièces manquantes nécessaires pour spécifier une fonction unique (celle qui décrit l'effet tunnel, par exemple) . En bref, il révèle un pont reliant les événements physiques décrits par la théorie des perturbations à ceux décrits par les termes non perturbatifs. "C'est une relation très compliquée", a déclaré Bender, avant de refuser poliment d'essayer de l'expliquer.
Quand Écalle, aujourd'hui âgé de 73 ans, est contacté par Quanta Magazine aux questions sur l'histoire de la résurgence, il a répondu en composant un Traité de 24 pages sur le sujet en six jours - un régal pour les chercheurs avides de plus d'informations sur la résurgence et son développement. "C'est un trésor", a déclaré David Sauzin, mathématicien à l'Institut de mécanique céleste de Paris et célèbre décodeur d'Écalle.
Voici une version cartoon extrêmement grossière de l'approche :
Tout d'abord, écrivez la série perturbative typique. Les termes se rétrécissent au début, mais finissent par croître rapidement à mesure que le aça devient vraiment gros. Tracer la croissance de la a's, et vous verrez qu'ils montent à une vitesse qui correspond presque - mais pas exactement - à la croissance factorielle. Etudiez la différence entre la ligne tracée par le aet une courbe croissante factoriellement pour apprendre le premier terme non perturbatif - la plus grande des briques nano-Lego.
Mais ce n'est que le début. Appliquer la première étape d'une reprise Borel. Cela élimine la croissance factorielle, ce qui vous permet de voir plus en détail le comportement des termes perturbateurs. Le tracé résultant de modifié a's devrait croître de façon exponentielle. Mais étudiez-le attentivement et vous verrez que les données perturbatives sont un peu erronées. Cet écart provient d'une toute nouvelle série asymptotique, que vous multipliez par le premier terme non perturbatif.
La procédure continue. Supprimez la croissance exponentielle des données perturbatives, et si vous avez un œil attentif, vous pourrez repérer d'autres déviations qui révèlent un deuxième terme non perturbatif. Regardez de plus près et vous constaterez que ce terme non perturbatif est accompagné d'une autre série asymptotique.
En fin de compte, il peut y avoir n'importe quel nombre de termes non perturbatifs avec des séries asymptotiques attachées. Trouvez-en autant que vous avez l'estomac pour, et vous aurez un objet appelé une trans-série sur vos mains. La trans-série commence par la série perturbative familière. Vient ensuite un terme non perturbatif (avec une série), puis un autre et encore un autre.
La trans-série d'Écalle a surmonté les difficultés avec la reprise de Borel qui avaient auparavant déconcerté les physiciens. Si vous connaissez la trans-série décrivant certaines mesures, telles que le facteur g de l'électron, la récapitulation de Borel vous donnera une seule réponse correcte. De plus, la résurgence affirme que de subtiles déviations dans la série perturbative familière à la tête de la trans-série vous disent tout ce que vous devez savoir sur le défilé potentiellement infini qui suit.
Ce tableau mathématique a deux conséquences frappantes pour les physiciens. Premièrement, cela suggère que des résultats exacts - et pas simplement des approximations - pourraient exister pour les champs quantiques et d'autres systèmes complexes. Si c'est le cas, cela établirait la théorie quantique comme finie et sensible.
"Établir que dans la théorie quantique des champs, les choses sont effectivement sujettes à une résurgence serait une avancée majeure", a déclaré Serone.
Deuxièmement, cela suggère que l'assortiment potentiellement infini de pièces non perturbatives peut être entièrement déduit de la série perturbative dont la divergence a troublé Dyson. Ce qui pendant des décennies a semblé être des domaines indépendants de la physique est en fait intimement lié.
"Au lieu de penser à la série perturbative comme quelque chose qui va diverger et vous causer beaucoup de problèmes", a déclaré Mariño, "c'est juste l'entrée d'un monde très complexe et fascinant."
En effet, c'est de là que vient le nom de résurgence, a déclaré Gökçe Basar, physicien à l'Université de Caroline du Nord, Chapel Hill : "Le comportement des derniers termes de la série perturbative" réapparaît "dans ces termes non perturbatifs." C'est alambiqué, dit-il, mais "c'est plutôt beau".
Se lancer dans la physique
La prise de conscience de la découverte d'Écalle - que la connaissance non perturbative pourrait être secrètement accessible grâce à la théorie des perturbations - s'est lentement propagée dans le monde de la physique mathématique. Là, les physiciens l'ont déjà utilisé pour identifier de nouvelles pièces cachées dans deux des théories les plus étudiées du 21e siècle : la théorie de la force forte et la théorie des cordes.
Mithat Ünsal, physicien à la North Carolina State University, a consacré une grande partie de sa carrière à essayer de comprendre la force forte, qui maintient les quarks ensemble pour former des protons et d'autres particules. En 2008, après avoir lu un article sur la résurgence d'un 1993 article sur les séries divergentes, il a recherché une vue d'ensemble de l'œuvre d'Écalle. "Mon français est très rouillé, mais il y avait une préface en anglais avec une terminologie suggérée", se souvient Ünsal. "Je l'ai maîtrisé et j'ai essayé de le comprendre."
Il rencontra plus tard Gérald Dunne de l'Université du Connecticut lors d'une conférence, et tout en discutant autour d'un café, ils ont découvert que le même article les avait inspirés tous les deux à commencer à s'enseigner la résurgence. Ils ont décidé d'unir leurs forces.
Les deux physiciens étaient motivés par le fait qu'ils essayaient de comprendre quelque chose d'encore plus compliqué que ce à quoi Dyson et Feynman étaient confrontés. Ces physiciens ont eu de la chance avec le champ électromagnétique. C'est extrêmement faible, l'alpha n'étant que de 1/137. Une autre force fondamentale, l'interaction faible, s'est avérée tout aussi facile à apprivoiser, sa version d'alpha étant encore 10,000 XNUMX fois plus petite. La théorie des perturbations fonctionne pour ces deux forces parce qu'elles sont si faibles que c'est presque comme si elles n'existaient pas du tout.
Introduction
Mais cette chance a pris fin lorsque les physiciens ont tenté de s'attaquer à la force forte. La force forte est environ 100 fois plus forte que la force électromagnétique, avec un analogue alpha d'environ 1, et elle refuse d'être ignorée. La mise au carré ou au cube de 1 ne crée aucun effet de rétrécissement, de sorte que la série perturbative se dirige directement vers l'infini dès les premiers termes. Les physiciens ont passé des décennies à développer une autre façon de gérer la force forte à l'aide de superordinateurs, obtenant des résultats spectaculaires en cours de route. Mais les calculs numériques ne donnent pas beaucoup d'informations sur la façon dont la force forte fait ce qu'elle fait.
Ünsal et Dunne ont reconnu que la résurgence, avec son pouvoir d'apprivoiser des séries divergentes, pourrait les faire avancer vers le rêve de comprendre la force forte avec un crayon et du papier. En particulier, ils entreprirent de résoudre un mystère qui tourmentait la théorie de la force forte depuis 40 ans.
En 1979, les physiciens Gérard 't Hooft et de Georges Parisi ont déduit l'existence de termes minuscules et bizarres dans les calculs de force forte. Ils les appelaient renormalons, et personne ne savait quoi en penser. Les renormalons ne semblaient pas correspondre à une ondulation spécifique ou à un autre comportement de champ concret. Mais ils étaient là, gâchant néanmoins les calculs.
Ünsal et Dunne ont abordé les renormalons avec résurgence. Même s'ils travaillaient dans un analogue 2D de la force forte, cela leur a pris environ un an. Mais en 2012, ils ont montré que - du moins dans leur modèle simplifié - les renormalons de 't Hooft et Parisi correspondaient à des comportements compris par les physiciens.
Ils "ont résolu le mystère et ont pu trouver à quoi correspondaient les renormalons", a déclaré Jordan Cotler, un physicien de l'Université de Harvard qui monte actuellement une tentative similaire pour comprendre les renormalons dans une théorie plus réaliste de la force forte.
L'année dernière, cependant, les chercheurs ont utilisé la résurgence pour ajouter une nouvelle ride. Mariño et ses collaborateurs ont effectué un calcul plus rigoureux (mais aussi dans une théorie simplifiée) et découvert de nouvelles renormalons au-delà de ce que le groupe appelle « le lore standard » de 't Hooft et Parisi. Mariño soupçonne maintenant que les renormalons ne sont que la pointe d'un iceberg non perturbateur. Résurgence et autre non perturbatif méthodes peut révéler que les physiciens ont été gâtés par leur succès historique à faire correspondre des termes mathématiques individuels à des événements spécifiques. S'il a raison, le monde quantique pourrait un jour devenir encore plus difficile à visualiser qu'il ne l'est déjà.
"Je doute que cette image - une exponentielle [pour] un objet - passe par les théories générales des champs", a-t-il déclaré. "Il se peut que le monde des corrections exponentielles soit vraiment sauvage."
Mariño a également joué un rôle clé dans la découverte d'un nouvel effet non perturbatif dans la théorie des cordes, la notion spéculative et non prouvée selon laquelle l'univers n'est pas constitué de particules ponctuelles mais est composé d'objets étendus tels que des cordes. L'agitation de telles cordes déterminerait les propriétés des particules que nous observons.
La théorie des cordes, comme la théorie quantique, est généralement traitée comme une série perturbative de diagrammes de type Feynman représentant des cordes fusionnant et se séparant de manière de plus en plus compliquée. Mais contrairement aux théoriciens quantiques, les théoriciens des cordes manquent même du plus faible des guides sur les effets non perturbatifs de la théorie. Ils supposent que, tout comme la théorie quantique contient des tunnels et des renormalons, la formulation non perturbative complète de la théorie des cordes contient également des dragons.
Un exemple frappant de phénomènes non perturbatifs dans la théorie des cordes - des objets en forme de feuille connus sous le nom de D-branes - a été découvert dans les années 1990. Les D-branes stimuleront plus tard certains des plus grands développements de la théorie des cordes.
Mariño se demandait ce qu'il pouvait y avoir d'autre.
Il faisait partie d'un groupe qui, en 2010, a remarqué une série d'homologues négatifs cachés dans l'ombre des termes D-brane. Il n'était pas clair quel phénomène physique ces termes associés pourraient décrire.
Un indice est venu six ans plus tard, lorsque Cumrun Vafa de Harvard et ses collaborateurs ont exploré une théorie généralisée des cordes où certaines quantités pouvaient devenir négatives. Ils ont trouvé des D-branes avec une tension négative - la version brane d'une masse négative. Ces bêtes exotiques déformé la structure de la réalité autour d'eux, créant de multiples dimensions du temps et violant le principe fondamental selon lequel les probabilités doivent toujours totaliser 100 %. Mais le groupe n'a trouvé aucune indication que ces objets devraient s'échapper de leur monde bizarre et apparaître dans la théorie des cordes standard.
Maintenant Ricardo Schiapa, un ami de Mariño et physicien théoricien à l'Université de Lisbonne, pense avoir trouvé des preuves du contraire. Ces derniers mois, Schiappa et ses collaborateurs ont utilisé la résurgence pour examiner une poignée de modèles simples de théorie des cordes. Ils ont découvert que les branes D à tension négative de Vafa correspondaient exactement aux termes exponentiellement petits que Mariño avait trouvés en 2010. Les branes D négatives sont des partenaires inévitables des branes D, a fait valoir le groupe dans un Prépublication de janvier. "Ce que nous avons découvert maintenant, c'est qu'ils sont fondamentaux pour la théorie des perturbations", a déclaré Schiappa.
D'autres théoriciens ne savent pas encore quoi faire de la nouvelle découverte. Vafa note que l'équipage de Schiappa a fait ses calculs dans des modèles de cordes dépouillés, et que le résultat n'est pas garanti pour tenir dans des formulations plus sophistiquées. Mais si c'est le cas, et si la théorie des cordes décrit réellement notre univers, elle doit contenir un autre moyen d'empêcher la formation de D-branes négatives.
"Ils ne devraient pas être là comme un objet régulier dans cette théorie", a déclaré Vafa. Sinon, "cela ouvre toute une boîte de puzzles de Pandore".
Cygnes noirs et autres anomalies
Malgré leurs progrès dans la détection des renormalons et des branes négatives, les physiciens citent deux obstacles redoutables au couronnement de la résurgence, successeur officiel de la théorie des perturbations.
Premièrement, il n'a pas été prouvé que toutes les théories avaient une structure résurgente. La question est particulièrement aiguë pour les théories quantiques des champs, que les physiciens vérifient au cas par cas. C'est un processus laborieux, un peu comme étudier les mammifères une espèce à la fois. Après avoir observé des humains, des dauphins et des chats, vous commencerez peut-être à croire que la naissance vivante est une caractéristique universelle des mammifères. Mais il y a toujours une chance qu'au prochain coin de rue, vous trouviez un ornithorynque en train de pondre un œuf.
C'est pourquoi Serone a consacré les trois dernières années à la résurgence des tests de résistance dans certaines théories quantiques des champs. En 2021, lui et ses collaborateurs étudié une théorie qui partage des caractéristiques clés avec la force forte mais est encore assez simple pour leur permettre de calculer les nombreux aest nécessaire pour effectuer la résurgence. Ils ont calculé l'énergie de l'espace vide dans un tel univers en utilisant la résurgence et deux autres méthodes, montrant que tous les trois étaient d'accord. Il y a eu des arguments qualitatifs selon lesquels la résurgence devrait tenir dans la théorie quantique des champs, mais ce fut l'un des premiers calculs concrets, suscitant davantage d'optimisme.
"Dans la plupart des cas, il a été testé jusqu'à présent, soit la résurgence fonctionne, soit nous avons de bonnes raisons de croire que nous comprenons quand ce n'est pas le cas", a déclaré Serone.
Le problème le plus grave est que pour repérer des pièces non perturbatives, vous devez connaître un nombre effrayant de termes perturbatifs. Dans ses recherches récentes, par exemple, Serone a choisi des théories quantiques des champs avec des portes dérobées mathématiques qui lui ont permis de générer des milliers de termes. Mais pour la force forte, calculer seulement huit ou neuf est actuellement hors de question. Même les pionniers de la méthode ne mâchent pas leurs mots quant au moment où ils s'attendent à la voir produire un nombre réel comme la masse du proton (un exploit mathématique vaut un prix d'un million de dollars).
"C'est extrêmement difficile", a déclaré Ünsal en soupirant. "Je ne vois pas de moyen immédiat."
« Ce que disait Écalle, c'est que la réponse est rigoureusement là en principe. Mais obtenir la réponse est vraiment, vraiment difficile », a déclaré Bender. "Mon conseil serait de ne pas rester sur un pied pendant que vous attendez."
Un nouvel espoir
Mais la difficulté décourageante n'a pas tué le rêve d'essayer d'obtenir de vraies prédictions à partir de la résurgence. D'une part, la technique a déjà produit des résultats autrement impossibles à obtenir en mécanique quantique. Dans les années 1980, les physiciens mathématiciens français de Saclay ont utilisé des méthodes proto-résurgentes pour faire une prédiction exacte de l'effet tunnel des particules - un problème que les physiciens n'avaient auparavant pu qu'approximer. Dunne et Ünsal ont effectué des calculs similaires avec un stylo et du papier en utilisant les outils plus raffinés d'Écalle. Un autre groupe a vérifié ces résultats en utilisant des méthodes standard. Ils n'ont pu aller que jusqu'à six décimales – un effort herculéen qui a pris des mois de temps et une puissance informatique considérable.
Ces exemples dramatiques ont motivé Dunne à développer des moyens hyper-efficaces de pratiquer la résurgence, dans l'espoir de les transposer un jour dans les théories quantiques des champs. Au cours des cinq dernières années, avec Ovidiu Costin, mathématicien à l'Ohio State University, il a trouvé des techniques qui en ont plus pour leur argent perturbatif. Dans certains cas (qui sont encore loin des théories du monde réel), ils ont constaté que seulement 10 à 15 termes suffisent. "Ce nombre aurait pu être 1,000 XNUMX, et j'aurais abandonné et je serais allé ailleurs", a-t-il déclaré. "C'est un peu tentant."
Le travail de Dunne et Costin a même réussi à attirer l'attention d'Écalle lui-même. Le fondateur de la résurgence n'a pas suivi de près les vagues que son travail a déclenchées, se qualifiant "d'ignorant accompli en physique théorique". Néanmoins, tout en craignant que tout travail sur des modèles spéculatifs tels que la théorie des cordes puisse être « construit sur des sables mouvants », il loue les efforts des chercheurs pour donner à la résurgence une mise au point mathématique.
"Même si le terrain physique cède, les résultats mathématiques impressionnants de, disons, O. Costin et G. Dunne sont là pour rester", a-t-il déclaré.
Pour Écalle, la résurgence est quelque chose d'un chapitre passé. Près de 40 ans se sont écoulés depuis sa trilogie originale. Il a continué à développer le calcul extraterrestre jusque vers 2000, et il a passé les 20 dernières années à explorer une ramification plus algébrique. S'il décidait un jour de publier une trilogie suite rassemblant toutes ses découvertes en un seul endroit, qui sait quels trésors les physiciens y trouveront.
"Je pense qu'il a découvert de nombreux outils qui doivent encore être explorés", a déclaré Mariño.
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- de travail
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