Au IIIe siècle avant notre ère, Archimède posé une énigme sur l'élevage du bétail que, selon lui, seule une personne vraiment sage pourrait résoudre. Son problème se résumait finalement à une équation qui implique la différence entre deux termes au carré, qui peut s'écrire sous la forme x2 - dy2 = 1. Ici, d est un nombre entier - un nombre positif ou négatif - et Archimède cherchait des solutions où les deux x ainsi que y sont aussi des entiers.
Cette classe d'équations, appelées équations de Pell, fascine les mathématiciens depuis des millénaires.
Quelques siècles après Archimède, le mathématicien indien Brahmagupta, et plus tard le mathématicien Bhāskara II, ont fourni des algorithmes pour trouver des solutions entières à ces équations. Au milieu des années 1600, le mathématicien français Pierre de Fermat (qui n'était pas au courant de ce travail) a redécouvert que dans certains cas, même lorsque d s'est vu attribuer une valeur relativement petite, les plus petites solutions entières possibles pour x ainsi que y pourrait être massif. Lorsqu'il a envoyé une série de problèmes de défi à des mathématiciens rivaux, ils ont inclus l'équation x2 au 61 Févriery2 = 1, dont les plus petites solutions ont neuf ou 10 chiffres. (Quant à Archimède, son énigme demandait essentiellement des solutions entières à l'équation x2 au 4,729,494 Févriery2 = 1. "Pour imprimer la plus petite solution, il faut 50 pages", a déclaré Pierre Koymans, mathématicien à l'Université du Michigan. "Dans un certain sens, c'est un gigantesque troll d'Archimède.")
Mais les solutions aux équations de Pell peuvent faire beaucoup plus. Par exemple, supposons que vous souhaitiez approximer $latex sqrt{2}$, un nombre irrationnel, sous la forme d'un rapport d'entiers. Il s'avère que la résolution de l'équation de Pell x2 au 2 Févriery2 = 1 peut vous aider à faire cela : $latex sqrt{2}$ (ou, plus généralement, $latex sqrt{d}$) peut être bien approximé en réécrivant la solution sous la forme d'une fraction de la forme x/y.
Peut-être encore plus intrigant, ces solutions vous disent aussi quelque chose sur des systèmes de nombres particuliers, que les mathématiciens appellent des anneaux. Dans un tel système de numération, les mathématiciens pourraient adjoindre $latex sqrt{2}$ aux nombres entiers. Les anneaux ont certaines propriétés, et les mathématiciens veulent comprendre ces propriétés. Il s'avère que l'équation de Pell peut les aider à le faire.
Et donc "beaucoup de mathématiciens très célèbres - presque tous les mathématiciens à une certaine période de temps - ont en fait étudié cette équation en raison de sa simplicité", a déclaré Marc Shusterman, mathématicien à l'Université de Harvard. Ces mathématiciens comprenaient Fermat, Euler, Lagrange et Dirichlet. (John Pell, pas tellement; l'équation porte son nom par erreur.)
Maintenant Koymans et Carlo Pagano, mathématicien à l'Université Concordia à Montréal, ont prouvé une conjecture vieille de plusieurs décennies liée à l'équation de Pell, celle qui quantifie la fréquence à laquelle une certaine forme de l'équation a des solutions entières. Pour ce faire, ils ont importé des idées d'un autre domaine - la théorie des groupes - tout en acquérant simultanément une meilleure compréhension d'un objet d'étude clé mais mystérieux dans ce domaine. "Ils ont utilisé des idées vraiment profondes et belles", a déclaré André Granville, mathématicien à l'Université de Montréal. "Ils ont vraiment réussi."
Arithmétique brisée
Au début 1990s, Pierre Stevenhagen, mathématicien de l'Université de Leiden aux Pays-Bas, s'est inspiré de certaines des connexions qu'il a vues entre les équations de Pell et la théorie des groupes pour faire une conjecture sur la fréquence à laquelle ces équations ont des solutions entières. Mais "je ne m'attendais pas à ce que cela soit prouvé de si tôt", a-t-il déclaré - ou même de son vivant. Les techniques disponibles ne semblaient pas assez puissantes pour s'attaquer au problème.
Sa conjecture dépend d'une caractéristique particulière des anneaux. Dans l'anneau de nombres où, par exemple, $latex sqrt{-5}$ a été ajouté aux nombres entiers (les mathématiciens travaillent souvent avec des nombres "imaginaires" comme $latex sqrt{-5}$), il existe deux façons distinctes de diviser un nombre en ses facteurs premiers. Le nombre 6, par exemple, peut être écrit non seulement comme 2 × 3, mais aussi comme (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). En conséquence, dans cet anneau, la factorisation première unique - un principe central de l'arithmétique, pratiquement pris pour acquis dans les entiers normaux - tombe en panne. La mesure dans laquelle cela se produit est codée dans un objet associé à cet anneau, appelé groupe de classe.
Une façon pour les mathématiciens d'essayer de mieux comprendre un système numérique qui les intéresse — disons, $latex sqrt{2}$ accolés aux nombres entiers — est de calculer et d'étudier son groupe de classes. Pourtant, il est presque prohibitif d'établir des règles générales sur la façon dont les groupes de classe se comportent dans tous ces différents systèmes de numération.
Dans les années 1980, les mathématiciens Henri Cohen ainsi que Hendrik Lenstra émis un large éventail de conjectures sur ce à quoi ces règles devraient ressembler. Ces «heuristiques de Cohen-Lenstra» pourraient vous en dire beaucoup sur les groupes de classes, qui à leur tour devraient révéler les propriétés de leurs systèmes de nombres sous-jacents.
Il y avait juste un problême. Bien que de nombreux calculs semblent soutenir l'heuristique de Cohen-Lenstra, ce sont toujours des conjectures, pas des preuves. "En ce qui concerne les théorèmes, jusqu'à très récemment, nous ne savions presque rien", a déclaré Alex Bartel, mathématicien à l'Université de Glasgow.
Curieusement, le comportement typique d'un groupe de classe est inextricablement lié au comportement des équations de Pell. Comprendre un problème aide à donner un sens à l'autre - à tel point que la conjecture de Stevenhagen "a également été un problème de test pour tous les progrès réalisés sur l'heuristique Cohen-Lenstra", a déclaré Pagano.
Le nouveau travail implique l'équation de Pell négative, où x2 - dy2 est égal à −1 au lieu de 1. Contrairement à l'équation de Pell originale, qui a toujours un nombre infini de solutions entières pour tout d, toutes les valeurs de d dans l'équation de Pell négative donnent une équation qui peut être résolue. Prendre x2 au 3 Févriery2 = −1 : Peu importe à quelle distance vous regardez le long de la droite numérique, vous ne trouverez jamais de solution, même si x2 au 3 Févriery2 = 1 a une infinité de solutions.
En fait, il y a beaucoup de valeurs de d pour laquelle l'équation de Pell négative ne peut pas être résolue : basée sur des règles connues sur la façon dont certains nombres sont liés les uns aux autres, d ne peut pas être un multiple de 3, 7, 11, 15 et ainsi de suite.
Mais même lorsque vous évitez ces valeurs de d et ne considérons que les équations de Pell négatives restantes, il n'est pas toujours possible de trouver des solutions. Dans ce plus petit ensemble de valeurs possibles de d, quelle proportion fonctionne réellement ?
En 1993, Stevenhagen a proposé une formule qui donnait une réponse précise à cette question. Parmi les valeurs de d qui pourraient fonctionner (c'est-à-dire des valeurs qui ne sont pas des multiples de 3, 7, etc.), il a prédit qu'environ 58 % donneraient lieu à des équations de Pell négatives avec des solutions entières.
La conjecture de Stevenhagen était notamment motivée par le lien entre l'équation négative de Pell et l'heuristique de Cohen-Lenstra sur les groupes de classe - un lien que Koymans et Pagano ont exploité quand, 30 ans plus tard, ils lui ont finalement donné raison.
Un meilleur canon
En 2010, Koymans et Pagano étaient encore étudiants de premier cycle - pas encore familiers avec la conjecture de Stevenhagen - lorsqu'un article est sorti qui a fait certains des premiers progrès sur le problème depuis des années.
Dans ce travail, qui était publié au Annales des mathématiques, les mathématiciens Étienne Fouvry ainsi que Jürgen Klüners a montré que la proportion des valeurs de d cela fonctionnerait pour l'équation de Pell négative tombant dans une certaine plage. Pour ce faire, ils ont maîtrisé le comportement de certains éléments des groupes de classe concernés. Mais ils auraient besoin de comprendre de nombreux autres éléments pour se concentrer sur l'estimation beaucoup plus précise de Stevenhagen de 58%. Malheureusement, ces éléments restaient impénétrables : de nouvelles méthodes étaient encore nécessaires pour donner un sens à leur structure. De nouveaux progrès semblaient impossibles.
Puis, en 2017, lorsque Koymans et Pagano étaient tous les deux à l'école doctorale à l'Université de Leiden, un papier est apparu ça a tout changé. "Quand j'ai vu cela, j'ai immédiatement reconnu que c'était un résultat très, très impressionnant", a déclaré Koymans. "C'était comme, OK, maintenant j'ai un canon que je peux tirer sur ce problème et j'espère pouvoir progresser." (À l'époque, Stevenhagen et Lenstra étaient également professeurs à Leiden, ce qui a contribué à susciter l'intérêt de Koymans et Pagano pour le problème.)
Le papier était par un étudiant diplômé à Harvard, Alexander Smith (qui est maintenant un Clay Fellow à Stanford). Koymans et Pagano n'étaient pas les seuls à saluer le travail comme une percée. "Les idées étaient incroyables", a déclaré Granville. "Révolutionnaire."
Smith avait essayé de comprendre les propriétés des solutions aux équations appelées courbes elliptiques. Ce faisant, il a élaboré une partie spécifique de l'heuristique de Cohen-Lenstra. Non seulement c'était la première étape majeure dans la cimentation de ces conjectures plus larges en tant que fait mathématique, mais cela impliquait précisément la partie du groupe de classe que Koymans et Pagano avaient besoin de comprendre dans leur travail sur la conjecture de Stevenhagen. (Cette pièce incluait les éléments que Fouvry et Klüners avaient étudiés dans leur résultat partiel, mais elle allait aussi bien au-delà.)
Cependant, Koymans et Pagano ne pouvaient pas simplement utiliser les méthodes de Smith tout de suite. (Si cela avait été possible, Smith lui-même l'aurait probablement fait.) La preuve de Smith concernait les groupes de classes associés aux bons anneaux de nombres (ceux dans lesquels $latex sqrt{d}$ est adjoint aux entiers) - mais il considérait tous valeurs entières de d. Koymans et Pagano, d'autre part, ne pensaient qu'à un petit sous-ensemble de ces valeurs de d. En conséquence, ils devaient évaluer le comportement moyen d'une fraction beaucoup plus petite de groupes de classe.
Ces groupes de classe constituaient essentiellement 0% des groupes de classe de Smith - ce qui signifie que Smith pouvait les jeter lorsqu'il écrivait sa preuve. Ils ne contribuaient pas du tout au comportement moyen qu'il étudiait.
Et lorsque Koymans et Pagano ont essayé d'appliquer ses techniques aux seuls groupes de classe qui les intéressaient, les méthodes se sont immédiatement effondrées. La paire aurait besoin de faire des changements importants pour les faire fonctionner. De plus, ils ne caractérisaient pas seulement un groupe de classe, mais plutôt l'écart qui pouvait exister entre deux groupes de classe différents (cela constituerait une partie importante de leur preuve de la conjecture de Stevenhagen) - ce qui nécessiterait également des outils différents.
Koymans et Pagano ont donc commencé à parcourir plus attentivement l'article de Smith dans l'espoir de déterminer exactement où les choses ont commencé à dérailler. C'était un travail difficile et minutieux, non seulement parce que le matériel était si compliqué, mais parce que Smith était encore en train de peaufiner sa préimpression à l'époque, en apportant les corrections et les clarifications nécessaires. (Il a posté le nouvelle version de son article en ligne le mois dernier.)
Pendant une année entière, Koymans et Pagano ont appris la preuve ensemble, ligne par ligne. Ils se réunissaient tous les jours, discutaient d'une section donnée pendant le déjeuner avant de passer quelques heures au tableau noir, s'aidant mutuellement à travailler sur les idées pertinentes. Si l'un d'eux faisait des progrès tout seul, il envoyait un texto à l'autre pour le mettre à jour. Shusterman se souvient les avoir parfois vus travailler jusque tard dans la nuit. Malgré (ou peut-être à cause) des défis que cela impliquait, "c'était très amusant à faire ensemble", a déclaré Koymans.
Ils ont finalement identifié où ils auraient besoin d'essayer une nouvelle approche. Au début, ils n'ont pu apporter que de modestes améliorations. Avec les mathématiciens Stéphanie Chan ainsi que Djordjo Milović, ils ont compris comment maîtriser certains éléments supplémentaires du groupe de classe, ce qui leur a permis d'obtenir de meilleures limites que Fouvry et Klüners. Mais des éléments significatifs de la structure du groupe de classe leur échappaient encore.
L'un des problèmes majeurs auxquels ils devaient s'attaquer - ce pour quoi la méthode de Smith ne fonctionnait plus dans ce nouveau contexte - était de s'assurer qu'ils analysaient réellement le comportement « moyen » des groupes de classe comme les valeurs de d est devenu de plus en plus grand. Pour établir le degré approprié d'aléatoire, Koymans et Pagano ont prouvé un ensemble compliqué de règles, appelées lois de réciprocité. En fin de compte, cela leur a permis d'acquérir le contrôle dont ils avaient besoin sur la différence entre les deux groupes de classe.
Cette avancée, couplée à d'autres, leur a permis de terminer enfin la preuve de la conjecture de Stevenhagen plus tôt cette année. "C'est incroyable qu'ils aient pu le résoudre complètement", a déclaré Chan. "Auparavant, nous avions tous ces problèmes."
Ce qu'ils ont fait "m'a surpris", a déclaré Smith. "Koymans et Pagano ont en quelque sorte conservé mon ancien langage et l'ont simplement utilisé pour pousser de plus en plus loin dans une direction que je ne comprends plus à peine."
L'outil le plus pointu
Depuis qu'il l'a présentée il y a cinq ans, la preuve de Smith d'une partie de l'heuristique de Cohen-Lenstra a été considérée comme un moyen d'ouvrir les portes à une foule d'autres problèmes, y compris des questions sur les courbes elliptiques et d'autres structures d'intérêt. (Dans leur article, Koymans et Pagano énumèrent une douzaine de conjectures sur lesquelles ils espèrent utiliser leurs méthodes. Beaucoup n'ont rien à voir avec l'équation négative de Pell ou même les groupes de classe.)
"Beaucoup d'objets ont des structures qui ne sont pas différentes de ces sortes de groupes algébriques", a déclaré Granville. Mais bon nombre des mêmes obstacles auxquels Koymans et Pagano ont dû faire face sont également présents dans ces autres contextes. Les nouveaux travaux sur l'équation de Pell négative ont aidé à démanteler ces barrages routiers. "Alexander Smith nous a expliqué comment construire ces scies et ces marteaux, mais nous devons maintenant les rendre aussi tranchants que possible, aussi percutants que possible et aussi adaptables que possible à différentes situations", a déclaré Bartel. "L'une des choses que fait ce journal est d'aller beaucoup dans cette direction."
Pendant ce temps, tous ces travaux ont affiné la compréhension des mathématiciens d'une seule facette des groupes de classe. Le reste des conjectures de Cohen-Lenstra reste hors de portée, du moins pour le moment. Mais l'article de Koymans et Pagano "indique que les techniques dont nous disposons pour résoudre les problèmes de Cohen-Lenstra sont en train de se développer", a déclaré Smith.
Lenstra lui-même était tout aussi optimiste. C'est "absolument spectaculaire", a-t-il écrit dans un e-mail. "Cela ouvre vraiment un nouveau chapitre dans une branche de la théorie des nombres qui est tout aussi ancienne que la théorie des nombres elle-même."
