La connexion cachée qui a changé la théorie des nombres | Magazine Quanta

Il existe trois sortes de nombres premiers. La première est une valeur aberrante solitaire : 2, la seule valeur première paire. Après cela, la moitié des nombres premiers laisse un reste de 1 lorsqu'ils sont divisés par 4. L'autre moitié laisse un reste de 3. (5 et 13 tombent dans le premier camp, 7 et 11 dans le second.) Il n'y a aucune raison évidente pour laquelle le reste Les nombres premiers -1 et les restes-3 premiers devraient se comporter de manière fondamentalement différente. Mais ils le font.

Une différence clé vient d’une propriété appelée réciprocité quadratique, prouvée pour la première fois par Carl Gauss, sans doute le mathématicien le plus influent du XIXe siècle. "C'est une déclaration assez simple qui a des applications partout, dans toutes sortes de mathématiques, pas seulement en théorie des nombres", a déclaré James Rickards, mathématicien à l'Université du Colorado, Boulder. "Mais ce n'est pas non plus suffisamment évident pour être vraiment intéressant."

La théorie des nombres est une branche des mathématiques qui traite des nombres entiers (par opposition, par exemple, aux formes ou aux quantités continues). Les nombres premiers – ceux divisibles uniquement par 1 et eux-mêmes – en sont la base, tout comme l’ADN est au cœur de la biologie. La réciprocité quadratique a changé la conception des mathématiciens quant à tout ce qu'il est possible de prouver à leur sujet. Si vous considérez les nombres premiers comme une chaîne de montagnes, la réciprocité est comme un chemin étroit qui permet aux mathématiciens de gravir des sommets auparavant inaccessibles et, depuis ces sommets, de voir des vérités qui étaient cachées.

Bien qu’il s’agisse d’un théorème ancien, il continue d’avoir de nouvelles applications. Cet été, Rickards et son collègue Catherine Stange, en compagnie de deux étudiants, réfuté une conjecture largement acceptée sur la façon dont de petits cercles peuvent être emballés dans un plus grand. Le résultat a choqué les mathématiciens. Pierre Sarnak, théoricienne des nombres à l'Institute for Advanced Study et à l'Université de Princeton, s'est entretenue avec Stange lors d'une conférence peu après que son équipe posté leur papier. "Elle m'a dit qu'elle avait un contre-exemple", se souvient Sarnak. « Je lui ai immédiatement demandé : 'Utilisez-vous la réciprocité quelque part ?' Et c’est effectivement ce qu’elle utilisait.

Modèles en paires de nombres premiers

Pour comprendre la réciprocité, vous devez d’abord comprendre l’arithmétique modulaire. Les opérations modulaires reposent sur le calcul des restes lorsque vous divisez par un nombre appelé module. Par exemple, 9 modulo 7 vaut 2, car si vous divisez 9 par 7, il vous reste un reste de 2. Dans le système numérique modulo 7, il y a 7 nombres : {0, 1, 2, 3, 4, 5. , 6}. Vous pouvez additionner, soustraire, multiplier et diviser ces nombres.

Tout comme pour les nombres entiers, ces systèmes numériques peuvent avoir des carrés parfaits, c'est-à-dire des nombres qui sont le produit d'un autre nombre par lui-même. Par exemple, 0, 1, 2 et 4 sont les carrés parfaits modulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 et 3 × 3 = 2 mod 7). Chaque carré ordinaire sera égal à 0, 1, 2 ou 4 modulo 7. (Par exemple, 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Étant donné que les systèmes numériques modulaires sont finis, les carrés parfaits sont plus courants.

La réciprocité quadratique découle d’une question relativement simple. Étant donné deux nombres premiers p et les q, si tu le sais p est un modulo carré parfait q, pouvez-vous dire si oui ou non q est un modulo carré parfait p?

Il s'avère que tant que l'un ou l'autre p or q laisse un reste de 1 lorsqu'il est divisé par 4, si p est un modulo carré parfait q, puis q est aussi un modulo carré parfait p. On dit que les deux nombres premiers sont réciproques.

D'un autre côté, si les deux laissent un reste de 3 (comme, disons, 7 et 11), alors ils ne rendent pas la pareille : si p est un modulo carré q, cela signifie que q ne sera pas un carré modulo p. Dans cet exemple, 11 est un carré modulo 7, puisque 11 = 4 mod 7 et on sait déjà que 4 est un des carrés parfaits modulo 7. Il s'ensuit que 7 n'est pas un carré modulo 11. Si l'on prend la liste des carrés ordinaires carrés (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) et regardez leurs restes modulo 11, alors 7 n'apparaîtra jamais.

Ceci, pour utiliser un terme technique, est vraiment bizarre !

Le pouvoir de la généralisation

Comme beaucoup d’idées mathématiques, la réciprocité a eu une influence parce qu’elle peut être généralisée.

Peu après que Gauss eut publié la première preuve de réciprocité quadratique en 1801, les mathématiciens tentèrent d'étendre l'idée au-delà des carrés. « Pourquoi pas des troisièmes puissances ou des quatrièmes puissances ? Ils ont imaginé qu'il existait peut-être une loi de réciprocité cubique ou une loi de réciprocité quartique », a déclaré Keith Conrad, théoricien des nombres à l'Université du Connecticut.

Mais ils sont restés bloqués, a déclaré Conrad, « parce qu’il n’y a pas de modèle facile ». Cela a changé une fois que Gauss a introduit la réciprocité dans le domaine des nombres complexes, qui ajoutent la racine carrée de moins 1, représentée par i, aux nombres ordinaires. Il a introduit l'idée que les théoriciens des nombres pourraient analyser non seulement les entiers ordinaires, mais aussi d'autres systèmes mathématiques de type entier, comme les entiers dits gaussiens, qui sont des nombres complexes dont les parties réelles et imaginaires sont toutes deux des entiers.

Avec les entiers gaussiens, toute la notion de ce qui compte comme premier a changé. Par exemple, 5 n'est plus premier, car 5 = (2 + i) × (2 − i). "Vous devez recommencer comme si vous étiez à l'école primaire", a déclaré Conrad. En 1832, Gauss démontra une loi de réciprocité quartique pour les entiers complexes qui portent son nom.

Soudain, les mathématiciens ont appris à appliquer des outils tels que l’arithmétique modulaire et la factorisation à ces nouveaux systèmes numériques. La réciprocité quadratique en était l'inspiration, selon Conrad.

Des modèles qui auraient été insaisissables sans nombres complexes ont maintenant commencé à émerger. Au milieu des années 1840, Gotthold Eisenstein et Carl Jacobi avaient prouvé les premières lois de réciprocité cubique.

Puis, dans les années 1920, Emil Artin, l’un des fondateurs de l’algèbre moderne, a découvert ce que Conrad appelle la « loi de réciprocité ultime ». Toutes les autres lois de réciprocité pourraient être considérées comme des cas particuliers de la loi de réciprocité d'Artin.

Un siècle plus tard, les mathématiciens continuent d'élaborer de nouvelles preuves de la première loi de réciprocité quadratique de Gauss et de la généraliser à de nouveaux contextes mathématiques. Avoir de nombreuses preuves distinctes peut être utile. "Si vous souhaitez étendre le résultat à un nouveau contexte, peut-être que l'un des arguments sera facilement conservé, tandis que les autres ne le seront pas", a déclaré Conrad.

Pourquoi la réciprocité est si utile

La réciprocité quadratique est utilisée dans des domaines de recherche aussi divers que la théorie des graphes, la topologie algébrique et la cryptographie. Dans ce dernier cas, un algorithme de chiffrement à clé publique influent développé en 1982 par Goldwasser Shafi et les Silvio Micali repose sur la multiplication de deux grands nombres premiers p et les q ensemble et produire le résultat, N, accompagné d'un numéro, x, qui n'est pas un carré modulo N. L'algorithme utilise N et les x pour chiffrer les messages numériques en chaînes de nombres plus grands. La seule façon de déchiffrer cette chaîne est de décider si chaque nombre de la chaîne cryptée est un carré modulo. N — pratiquement impossible sans connaître les valeurs des nombres premiers p et les q.

Et bien sûr, la réciprocité quadratique revient à plusieurs reprises dans la théorie des nombres. Par exemple, cela peut être utilisé pour prouver que tout nombre premier égal à 1 modulo 4 peut s'écrire comme la somme de deux carrés (par exemple, 13 est égal à 1 modulo 4, et 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). En revanche, les nombres premiers égaux à 3 modulo 4 ne peuvent jamais être écrits comme la somme de deux carrés.

Sarnak a noté que la réciprocité pourrait être utilisée pour résoudre des questions ouvertes, comme déterminer quels nombres peuvent être écrits comme la somme de trois cubes. On sait que les nombres égaux à 4 ou 5 modulo 9 ne sont pas égaux à la somme de trois cubes, mais d'autres restent un mystère. (En 2019, Andrew Booker titres générés quand il a découvert que (8,866,128,975,287,528 8,778,405,442,862,239 2,736,111,468,807,040 33 XNUMX XNUMX)³ + (−XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX)³ + (−XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX)³ = XNUMX.)

Malgré toutes ses nombreuses applications et ses nombreuses preuves différentes, il y a quelque chose dans la réciprocité qui reste un mystère, a déclaré Stange.

« Ce qui arrive souvent avec une preuve mathématique, c'est que vous pouvez suivre chaque étape ; vous pouvez croire que c'est vrai », a-t-elle déclaré. « Et vous pouvez toujours sortir à l'autre bout du fil en vous disant : « Mais pourquoi ? »

Comprendre, à un niveau viscéral, ce qui différencie 7 et 11 de 5 et 13 pourrait être à jamais hors de portée. "Nous ne pouvons jongler avec plusieurs niveaux d'abstraction", a-t-elle déclaré. « Cela apparaît partout dans la théorie des nombres… et pourtant, c'est juste un pas au-delà de ce que l'on pourrait vraiment savoir. »

Quanta mène une série d’enquêtes pour mieux servir notre public. Prenez notre enquête auprès des lecteurs de mathématiques et vous serez inscrit pour gagner gratuitement Quanta marchandise.