Introduction
Gina l'étudiante en géométrie est restée debout trop tard la nuit dernière pour faire ses devoirs en regardant Le Great British Bake Off, alors quand elle est finalement allée se coucher, son esprit endormi était encore plein de cupcakes et de boussoles. Cela a conduit à un rêve des plus inhabituels.
Gina s'est retrouvée juge du Great Brownie Bake Off à l'Université Imaginary, une école où les élèves apprennent beaucoup de géométrie mais très peu d'arithmétique. Des équipes d'étudiants d'Imaginary U ont été chargées de faire le plus gros brownie possible, et c'était à Gina de déterminer le gagnant.
L'équipe Alpha a été la première à terminer et a fièrement présenté son brownie rectangulaire au jury. Gina a sorti une règle et a mesuré le brownie : il mesurait 16 pouces de long et 9 pouces de large. L'équipe Beta a rapidement suivi avec leur brownie carré, qui mesurait 12 pouces de chaque côté. C'est alors que les ennuis ont commencé.
"Notre brownie est beaucoup plus long que le vôtre", a déclaré le capitaine de l'équipe Alpha. "Le nôtre est clairement plus grand, nous sommes donc les gagnants!"
"Mais le côté court de votre rectangle est beaucoup plus court que le côté de notre carré", a déclaré un représentant de l'équipe Beta. « Notre place est clairement plus grande. Nous avons gagné!"
Gina trouvait étrange de se disputer à ce sujet. "La superficie du brownie rectangulaire est de 9 fois 16, soit 144 pouces carrés", a-t-elle déclaré. "La superficie du brownie carré est de 12 fois 12, ce qui correspond également à 144 pouces carrés. Les brownies sont de la même taille : c'est une cravate.
Les deux équipes semblaient perplexes. « Je ne comprends pas ce que vous entendez par « fois » », a déclaré un élève, qui n'avait jamais appris la multiplication. « Moi non plus », dit un autre. Un troisième a déclaré: "J'ai entendu parler d'étudiants du Complex College mesurant la zone en utilisant des nombres une fois, mais qu'est-ce que cela signifie même?" L'Université Imaginaire était en effet un endroit étrange, même dans les rêves.
Que devait faire Gina ? Comment pourrait-elle convaincre les équipes que leurs brownies étaient de la même taille si elles ne comprenaient pas comment mesurer une surface et multiplier des nombres ? Heureusement, Gina a eu une idée de génie. « Donnez-moi un couteau », dit-elle.
Gina a mesuré 12 pouces sur le côté long du brownie rectangulaire et a fait une coupe parallèle au côté court. Cela a transformé le grand rectangle en deux plus petits : l'un mesurant 9 par 12 et l'autre 9 par 4. Avec trois coupes rapides, elle a transformé la pièce 9 par 4 en trois plus petites pièces 3 par 4. Un peu de réarrangement a entraîné des oohs et des aahs audibles de la foule : Gina avait transformé le rectangle en une réplique exacte du carré.
Les deux équipes devaient maintenant convenir que leurs brownies étaient de la même taille. En disséquant l'un et en le réarrangeant pour former l'autre, Gina a montré que les deux brownies occupaient la même surface totale. Des dissections comme celle-ci sont utilisées en géométrie depuis des milliers d'années pour montrer que les figures ont la même taille, et il existe de nombreux résultats remarquables sur les dissections et l'équivalence. Même aujourd'hui, les mathématiciens utilisent encore la dissection et le réarrangement pour bien comprendre quand certaines formes sont équivalentes, ce qui a conduit à des résultats récents surprenants.
Vous avez probablement vu des dissections géométriques en cours de mathématiques lors du développement des formules d'aire pour les formes de base. Par exemple, vous vous souviendrez peut-être que l'aire d'un parallélogramme est égale à la longueur de sa base multipliée par sa hauteur : c'est parce qu'un parallélogramme peut être disséqué et réarrangé en un rectangle.
Cette dissection montre que l'aire du parallélogramme est égale à l'aire d'un rectangle ayant la même base et la même hauteur, qui, comme le savent tous ceux qui n'ont pas fréquenté l'Université Imaginaire, est le produit de ces deux nombres.
En parlant d'Imaginary U, le Great Brownie Bake Off ne faisait que chauffer. L'équipe Gamma s'est approchée avec un gros brownie triangulaire. "Voici le gagnant", ont-ils annoncé avec audace. "Nos deux côtés sont beaucoup plus longs que les autres."
Gina mesura les côtés. "Cela a aussi la même zone!" s'exclama-t-elle. "C'est un triangle rectangle, et les jambes mesurent 18 et 16, et donc la zone est..." Gina s'arrêta un instant, remarquant les regards déconcertés sur les visages de tout le monde. "Oh peu importe. Donnez-moi juste le couteau.
Gina a habilement découpé du milieu de l'hypoténuse au milieu de la jambe la plus longue, puis a fait pivoter le triangle nouvellement formé afin qu'il forme un rectangle parfait lorsqu'il est niché dans le plus gros morceau.
"C'est exactement notre brownie !" cria l'équipe Alpha. Effectivement, le rectangle résultant était de 9 par 16 : exactement la même taille que la leur.
L'équipe Beta avait des doutes. "Mais comment ce triangle se compare-t-il à notre carré?" demanda leur chef d'équipe.
Gina était prête pour ça. "Nous savons déjà que le rectangle et le carré ont la même taille, donc par transitivité, le triangle et le carré ont la même taille." La transitivité est l'une des propriétés les plus importantes de l'égalité : elle dit que si a = b ainsi que b = c, puis a = c. Gina a poursuivi: "Si la surface du premier brownie est égale à la surface du deuxième et que la surface du deuxième brownie est égale à la surface du troisième, les premier et troisième brownies doivent également avoir des surfaces égales."
Mais Gina s'amusait trop avec les dissections pour s'arrêter là. "Ou nous pourrions simplement faire quelques coupes supplémentaires."
Gina a d'abord fait pivoter le rectangle qui était auparavant un triangle. Puis elle l'a coupé en utilisant exactement le même motif qu'elle avait utilisé sur le rectangle de l'équipe Alpha.
Ensuite, elle a montré comment cette nouvelle dissection du triangle de l'équipe Gamma pouvait être transformée en carré de l'équipe Beta, exactement comme elle l'avait fait avec le rectangle de l'équipe Alpha.
Dans cette situation, nous disons que le triangle et le carré sont "ciseaux congruents": Vous pouvez imaginer utiliser des ciseaux pour découper une figure en un nombre fini de morceaux qui peuvent ensuite être réarrangés pour former l'autre. Dans le cas du triangle et du carré, les brownies montrent exactement comment fonctionne cette congruence en ciseaux.
Notez que le motif fonctionne dans les deux sens : il peut être utilisé pour transformer le triangle en carré ou le carré en triangle. En d'autres termes, la congruence en ciseaux est symétrique : si la forme A est congruente en ciseaux à la forme B, alors la forme B est également congruente en ciseaux à la forme A.
En fait, l'argument ci-dessus impliquant le triangle, le rectangle et le carré montre que la congruence en ciseaux est également transitive. Puisque le triangle est en ciseaux congru au rectangle et que le rectangle est en ciseaux congru au carré, le triangle est en ciseaux congru au carré. La preuve est dans les motifs : il suffit de les superposer sur la forme intermédiaire, comme cela a été fait avec le rectangle ci-dessus.
Si vous coupez le triangle en morceaux qui forment le rectangle, puis découpez le rectangle en morceaux qui forment le carré, les morceaux résultants peuvent être utilisés pour former l'une des trois formes.
Le fait que la congruence en ciseaux soit transitive est au cœur d'un résultat étonnant : si deux polygones ont la même aire, alors ils sont congruents en ciseaux. Cela signifie que, étant donné deux polygones quelconques ayant la même surface, vous pouvez toujours en découper un en un nombre fini de morceaux et les réorganiser pour faire l'autre.
La démonstration de ce théorème remarquable est également remarquablement simple. Commencez par découper chaque polygone en triangles.
Deuxièmement, transformez chaque triangle en rectangle, de la même manière que Gina a réorganisé le brownie triangulaire.
Vient maintenant la partie technique délicate : transformer chaque rectangle en un nouveau rectangle d'une unité de large.
Pour ce faire, commencez à couper des morceaux du rectangle d'une unité de large.
Si vous pouvez découper le rectangle en un nombre entier de morceaux de largeur 1, vous avez terminé : empilez-les simplement les uns sur les autres. Sinon, arrêtez de hacher lorsque le dernier morceau mesure entre 1 et 2 unités de large et empilez le reste les uns sur les autres.
Ne vous inquiétez pas si le rectangle lui-même mesure moins d'une unité de large : coupez-le simplement en deux et utilisez les deux morceaux pour créer un nouveau rectangle deux fois plus long et moitié moins épais. Répétez au besoin jusqu'à ce que vous ayez un rectangle entre 1 et 1 unités de large.
Imaginez maintenant que ce dernier rectangle a une hauteur h et largeur w, avec 1 w < 2. Nous allons découper ce rectangle et le réorganiser en un rectangle de largeur 1 et de hauteur h × w. Pour ce faire, superposez le h × w rectangle avec le désiré hw × 1 rectangle comme celui-ci.
Coupez ensuite d'un coin à l'autre le long de la ligne pointillée, et coupez le petit triangle en bas à droite en suivant le bord droit du hw × 1 rectangle.
Cela coupe le h × w rectangle en trois morceaux qui peuvent être réorganisés en un hw × 1 rectangle. (Justifier cette dissection finale nécessite quelques arguments intelligents impliquant des triangles similaires. Voir les exercices ci-dessous pour les détails.)
Enfin, placez ce dernier rectangle au-dessus de la pile et vous avez réussi à transformer ce polygone - vraiment, n'importe quel polygone - en un rectangle de largeur 1.
Maintenant, si l'aire du polygone d'origine était A, alors la hauteur de ce rectangle doit être A, donc chaque polygone d'aire A est un ciseau congru à un rectangle de largeur 1 et de hauteur A. Cela signifie que si deux polygones ont une aire A, alors ce sont tous les deux des ciseaux congrus au même rectangle, donc par transitivité ce sont des ciseaux congrus l'un à l'autre. Cela montre que chaque polygone d'aire A les ciseaux sont-ils congrus à tous les autres polygones d'aire A.
Mais même ce résultat puissant n'était pas suffisant pour terminer avec succès le jugement de Brownie Bake Off de l'Université Imaginaire. Il restait encore une entrée, et personne n'a été surpris de ce que l'équipe Pi s'est présenté.
Au moment où Gina a vu ce cercle venir, elle s'est réveillée de son rêve en sueur froide. Elle savait qu'il était impossible de découper un cercle en un nombre fini de morceaux et de les réorganiser pour former un carré, un rectangle ou n'importe quel polygone. En 1964, les mathématiciens Lester Dubins, Morris Hirsch et Jack Karush ont prouvé qu'un cercle n'est pas un ciseau congru à un polygone. Le rêve de Gina s'était transformé en cauchemar géométrique.
Mais comme ils semblent toujours le faire, les mathématiciens ont transformé cet obstacle en nouvelles mathématiques. En 1990, Miklós Laczkovich a prouvé qu'il était possible de découper un cercle et de le réorganiser en carré, tant que vous pouvez utiliser des pièces infiniment petites, infiniment déconnectées et infiniment déchiquetées qui ne pourraient pas être produites avec une paire de ciseaux.
Aussi surprenant et passionnant que soit le résultat de Laczkovich, il prouve seulement qu'une telle décomposition est théoriquement possible. Il n'expliquait pas comment construire les pièces, seulement qu'elles pouvaient exister. C'est là qu'Andras Máthé, Oleg Pikhurko et Jonathan Noel sont intervenus : début 2022, ils posté un article dans lequel ils correspondaient à l'accomplissement de Laczkovich, mais avec des pièces qu'il est possible de visualiser.
Malheureusement, vous ne pourrez pas utiliser leur résultat pour régler les cuissons au brownie. Les ciseaux seuls ne peuvent pas produire le 10200 pièces nécessaires à leur décomposition. Mais c'est un autre pas en avant pour répondre à une longue série de questions qui ont commencé quand Archimède a inventé ou découvert $latex pi$. Et cela nous pousse à inventer ou à découvrir de nouvelles mathématiques dont les générations précédentes ne pouvaient rêver.
Des exercices
1. Expliquez comment nous savons que dans la dérivation de la formule de l'aire d'un parallélogramme, le triangle que nous avons coupé s'intègre parfaitement dans l'espace de l'autre côté du parallélogramme.
2. Explique pourquoi n'importe quel triangle peut être disséqué en un rectangle.
Pour les exercices 3 et 4, considérez le schéma utilisé pour montrer qu'un h × w le rectangle est un ciseau congru à un hw × 1 rectangle, avec des points étiquetés.
3. Expliquez pourquoi $triangle de latex$ XYQ est similaire à $latextriangle$ ABX. Qu'est-ce que cela fait de la longueur de QY?
4. Expliquez pourquoi $triangle de latex$ PCX est congru à $triangle de latex$ AZQ.
Cliquez pour la réponse 1:
Il existe plusieurs façons de montrer que les deux triangles sont congrus. Une façon consiste à noter que la distance entre les lignes parallèles est constante, de sorte que les deux triangles rectangles ont une paire de jambes congruentes.
Et dans un parallélogramme, les côtés opposés sont congruents, ce qui rend les deux triangles congruents par le théorème de congruence du triangle hypoténuse-jambe. Vous pouvez également faire un argument en utilisant le théorème de congruence du triangle angle-côté-angle.
Cliquez pour la réponse 2:
L'un des grands résultats élémentaires de la géométrie des triangles est le théorème du segment médian du triangle : si vous connectez les milieux de deux côtés d'un triangle, le segment de droite résultant est parallèle au troisième côté et a la moitié de sa longueur.
Parce que le segment est parallèle au troisième côté, les angles 1 et 3 sont des angles correspondants congruents. Et les angles 1 et 2 sont des angles intérieurs du même côté, ils sont donc supplémentaires, ce qui signifie que leurs mesures totalisent 180 degrés. Puisque $latexangle$ 1 est congru à $latexangle$ 3, cela signifie que les angles 3 et 2 sont également supplémentaires.
Ainsi, lorsque vous retournez le triangle supérieur autour et vers la droite, les côtés congruents correspondent parfaitement et les angles 2 et 3 forment une ligne droite.
Cela transforme le triangle en parallélogramme, qui, comme nous le savons déjà, peut être transformé en rectangle.
Cliquez pour la réponse 3:
Depuis que BXYZ est un rectangle, à la fois $latexangle$ ZBC et $latexangle$ ZYX sont des angles droits. Et puisque les côtés opposés d'un rectangle sont parallèles, cela fait $latexangle$ YQX conforme à $latexangle$ AXB, car ce sont des angles intérieurs alternés. Ainsi $latextriangle$ XYQ est similaire à $latextriangle$ ABX par similarité angle-angle. Dans les triangles similaires, les côtés sont proportionnels, donc $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Ainsi, $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, et donc QY = 1. Notez que, puisque $latexangle$ ADC est un angle droit et $angle de latex$ DAP et $angle de latex$ YQX sont des angles correspondants congruents, cela fait un $triangle de latex$ DAP conforme à $latextriangle$ YQX. Cela prouve que vous pouvez glisser $latextriangle$ YQX à l'endroit actuellement occupé par le $triangle de latex$ DAP, comme cela est nécessaire dans l'argument de congruence en ciseaux.
Cliquez pour la réponse 4:
Remarquez que $angle de latex$ AZQ et $latexangle$ PCX sont tous les deux des angles droits, donc congruents. En utilisant les propriétés des lignes parallèles comme dans l'exercice 3, nous pouvons également voir que $angle de latex$ AQZ et $angle de latex$ PXC sont des angles correspondants congruents. Toujours dans l'exercice 3, nous avons montré que QY = 1. Cela fait QZ = w − 1, ce qui correspond exactement à CX est égal à. Ainsi, $triangle de latex$ PCX est congru à $triangle de latex$ AZQ par la congruence du triangle angle-côté-angle. Cela justifie l'autre partie de l'argument selon lequel un h × w le rectangle est un ciseau congru à un hw × 1 rectangle.
