Introduction
En 2012, le mathématicien Shinichi Mochizuki affirmait avoir résolu le problème abc conjecture, une question ouverte majeure en théorie des nombres sur la relation entre addition et multiplication. Il n’y avait qu’un seul problème : sa preuve, qui faisait plus de 500 pages, était totalement impénétrable. Il s’appuyait sur une multitude de nouvelles définitions, notations et théories que presque tous les mathématiciens trouvaient impossibles à comprendre. Des années plus tard, lorsque deux mathématiciens traduisirent de grandes parties de la preuve en termes plus familiers, ils soulignèrent ce que l’on appelait un «écart grave et irréparable» dans sa logique – seulement pour que Mochizuki rejette leur argument au motif qu'ils n'avaient tout simplement pas compris son travail.
L’incident soulève une question fondamentale : qu’est-ce qu’une preuve mathématique ? Nous avons tendance à y penser comme une révélation d’une vérité éternelle, mais il est peut-être préférable de le comprendre comme une sorte de construction sociale.
André Granville, mathématicien à l'Université de Montréal, y a beaucoup réfléchi récemment. Après avoir été contacté par un philosophe au sujet de certains de ses écrits, « j’ai commencé à réfléchir à la manière dont nous parvenons à nos vérités », a-t-il déclaré. "Et une fois que vous commencez à pousser cette porte, vous découvrez que c'est un vaste sujet."
Granville a aimé l'arithmétique dès son plus jeune âge, mais il n'a jamais envisagé une carrière dans la recherche en mathématiques parce qu'il ignorait l'existence d'une telle chose. « Mon père a quitté l'école à 14 ans, ma mère à 15 ou 16 ans », dit-il. « Ils sont nés dans ce qui était alors le quartier ouvrier de Londres, et l’université était juste au-delà de ce qu’ils voyaient possible. Nous n’en avions donc aucune idée.
Après avoir obtenu son diplôme de l'Université de Cambridge, où il a étudié les mathématiques, il a commencé à adapter Les papiers de Rachel, un roman de Martin Amis, en scénario. Tout en travaillant sur le projet et en recherchant des fonds pour le projet, il voulait éviter d'accepter un travail de bureau – il avait travaillé dans une compagnie d'assurance pendant une année sabbatique entre le lycée et l'université et ne voulait pas y revenir – « alors je suis allé aux études supérieures », a-t-il déclaré. Le film n'a jamais décollé (le roman a ensuite été adapté indépendamment en film), mais Granville a obtenu une maîtrise en mathématiques puis a déménagé au Canada pour terminer son doctorat. Il n'a jamais regardé en arrière.
Introduction
«C'était vraiment une aventure», a-t-il déclaré. « Je ne m'attendais pas vraiment à grand-chose. Je ne savais pas vraiment ce qu'était un doctorat. était."
Au cours des décennies qui ont suivi, il a rédigé plus de 175 articles, principalement sur la théorie des nombres. Il est également devenu bien connu pour ses écrits sur les mathématiques destinés à un public populaire : en 2019, il a co-écrit un roman graphique sur les nombres premiers et les concepts associés avec sa sœur aînée, Jennifer, scénariste. Le mois dernier, l'un de ses articles sur « la façon dont nous arrivons à nos vérités » a été publié. publié dans les Annales de mathématiques et de philosophie. Et avec d'autres mathématiciens, informaticiens et philosophes, il prévoit de publier un recueil d'articles dans le numéro de l'année prochaine. Bulletin de l'American Mathematical Society sur la façon dont les machines pourraient changer les mathématiques.
Quanta s'est entretenu avec Granville sur la nature de la preuve mathématique – de la façon dont les preuves fonctionnent dans la pratique aux idées fausses populaires à leur sujet, en passant par la façon dont la rédaction de preuves pourrait évoluer à l'ère de l'intelligence artificielle. L'interview a été éditée et condensée pour plus de clarté.
Vous avez récemment publié un article sur la nature de la preuve mathématique. Pourquoi avez-vous décidé qu’il était important d’écrire sur ce sujet ?
La manière dont les mathématiciens effectuent leurs recherches n’est généralement pas bien décrite dans les médias populaires. Les gens ont tendance à voir les mathématiques comme cette pure quête, où l’on parvient à de grandes vérités par la seule pensée pure. Mais les mathématiques sont une question de suppositions – souvent de fausses suppositions. C'est un processus expérimental. Nous apprenons par étapes.
Par exemple, lorsque l'hypothèse de Riemann est apparue pour la première fois dans un article en 1859, c'était comme par magie : voici cette conjecture étonnante, sortie de nulle part. Pendant 70 ans, les gens ont parlé de ce qu’un grand penseur peut accomplir par la seule pensée pure. Ensuite, le mathématicien Carl Siegel a trouvé les notes de Riemann dans les archives de Göttingen. Riemann avait en fait fait des pages de calculs de zéros de la fonction zêta de Riemann. Les mots célèbres de Siegel étaient : « Voilà pour la pensée pure seule ».
Il y a donc cette tension dans la façon dont les gens écrivent sur les mathématiques, notamment certains philosophes et historiens. Ils semblent penser que nous sommes une pure créature magique, une licorne de la science. Mais ce n’est généralement pas le cas. Il s’agit rarement d’une pensée pure seule.
Introduction
Comment caractériseriez-vous ce que font les mathématiciens ?
La culture mathématique est avant tout une question de preuve. Nous nous asseyons et réfléchissons, et 95 % de ce que nous faisons en est la preuve. Une grande partie de la compréhension que nous acquérons provient de la lutte avec les preuves et de l’interprétation des problèmes qui surviennent lorsque nous les luttons.
Nous considérons souvent une preuve comme un argument mathématique. Grâce à une série d’étapes logiques, il démontre qu’une affirmation donnée est vraie. Mais vous écrivez que cela ne doit pas être confondu avec une vérité pure et objective. Que veux-tu dire par là?
Le but principal d’une preuve est de persuader le lecteur de la véracité d’une affirmation. Cela signifie que la vérification est la clé. Le meilleur système de vérification dont nous disposons en mathématiques est que de nombreuses personnes examinent une preuve sous différents angles, et cela s'intègre bien dans un contexte qu'ils connaissent et croient. Dans un certain sens, nous ne disons pas que nous savons que c'est vrai. Nous disons que nous espérons que c'est correct, car beaucoup de gens l'ont essayé sous différents angles. Les preuves sont acceptées par ces normes communautaires.
Ensuite, il y a cette notion d'objectivité : être sûr que ce qui est affirmé est juste, avoir le sentiment de détenir une vérité ultime. Mais comment pouvons-nous savoir que nous sommes objectifs ? Il est difficile de sortir du contexte dans lequel vous avez fait une déclaration, d'avoir une perspective en dehors du paradigme mis en place par la société. Cela est tout aussi vrai pour les idées scientifiques que pour toute autre chose.
On peut aussi se demander ce qui est objectivement intéressant ou important en mathématiques. Mais c’est aussi clairement subjectif. Pourquoi considérons-nous Shakespeare comme un bon écrivain ? Shakespeare n’était pas aussi populaire à son époque qu’aujourd’hui. Il existe évidemment des conventions sociales autour de ce qui est intéressant, de ce qui est important. Et cela dépend du paradigme actuel.
Introduction
En mathématiques, à quoi ça ressemble ?
L’un des exemples les plus célèbres de changement de paradigme est le calcul. Lorsque le calcul a été inventé, cela impliquait de diviser quelque chose qui tend vers zéro par quelque chose d’autre qui tend vers zéro – conduisant à zéro divisé par zéro, ce qui n’a aucun sens. Initialement, Newton et Leibniz ont proposé des objets appelés infinitésimaux. Cela faisait fonctionner leurs équations, mais selon les normes actuelles, ce n'était ni raisonnable ni rigoureux.
Nous disposons désormais de la formulation epsilon-delta, introduite à la fin du XIXe siècle. Cette formulation moderne est si étonnamment, évidemment bonne pour bien comprendre ces concepts que lorsque vous regardez les anciennes formulations, vous vous demandez, à quoi pensaient-ils ? Mais à l’époque, c’était considéré comme la seule manière de procéder. Pour être juste envers Leibniz et Newton, ils auraient probablement adoré la manière moderne. Ils n’y ont pas pensé, à cause des paradigmes de leur époque. Il a donc fallu énormément de temps pour y arriver.
Le problème est que nous ne savons pas quand nous nous comportons ainsi. Nous sommes piégés dans la société dans laquelle nous vivons. Nous n'avons pas de point de vue extérieur pour dire quelles hypothèses nous faisons. L’un des dangers en mathématiques est que vous pouvez concevoir quelque chose comme n’étant pas important parce qu’il n’est pas facile à exprimer ou à discuter dans le langage que vous avez choisi d’utiliser. Cela ne veut pas dire que vous avez raison.
J'aime beaucoup cette citation de Descartes, où il dit en substance : « Je pense que je sais tout ce qu'il y a à savoir sur un triangle, mais qui peut dire que oui ? Je veux dire, quelqu’un dans le futur pourrait proposer une perspective radicalement différente, conduisant à une bien meilleure façon de penser un triangle. Et je pense qu'il a raison. Vous voyez cela en mathématiques.
Comme vous l'avez écrit dans votre article, vous pouvez considérer une preuve comme un pacte social – une sorte d'accord mutuel entre l'auteur et sa communauté mathématique. Nous avons vu un exemple extrême de cela qui ne fonctionne pas, avec la preuve revendiquée par Mochizuki du abc conjecture.
C'est extrême, parce que Mochizuki ne voulait pas jouer au jeu de la manière dont il est joué. Il a fait ce choix pour être obscur. Lorsque les gens font de grandes percées, avec des idées vraiment nouvelles et difficiles, j'estime qu'il leur incombe d'essayer d'inclure d'autres personnes en expliquant leurs idées de la manière la plus accessible possible. Et il disait plutôt : eh bien, si vous ne voulez pas le lire comme je l’ai écrit, ce n’est pas mon problème. Il a le droit de jouer au jeu auquel il veut jouer. Mais cela n'a rien à voir avec la communauté. Cela n'a rien à voir avec la manière dont nous progressons.
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Si les preuves existent dans un contexte social, comment ont-elles évolué au fil du temps ?
Tout commence avec Aristote. Il a dit qu'il devait y avoir une sorte de système déductif – que l'on ne pouvait prouver de nouvelles choses qu'en les basant sur des choses que l'on connaissait déjà et dont on était certain, en revenant à certaines « déclarations primitives » ou axiomes.
Alors la question est : quelles sont ces choses fondamentales que vous savez être vraies ? Pendant très longtemps, les gens ont simplement dit : eh bien, une ligne est une ligne, un cercle est un cercle ; il y a quelques choses qui sont simples et évidentes, et ce sont là les hypothèses sur lesquelles nous partons.
Cette perspective a duré éternellement. C'est toujours d'actualité aujourd'hui dans une large mesure. Mais le système axiomatique euclidien qui s’est développé – « une ligne est une ligne » – avait ses problèmes. Il y a eu ces paradoxes découverts par Bertrand Russell à partir de la notion d'ensemble. De plus, on pourrait jouer à des jeux de mots avec le langage mathématique, créant des déclarations problématiques telles que « cette déclaration est fausse » (si c'est vrai, alors c'est faux ; si c'est faux, alors c'est vrai) qui indiquent qu'il y a des problèmes avec le système axiomatique.
Russell et Alfred Whitehead ont donc essayé de créer un nouveau système de calcul qui pourrait éviter tous ces problèmes. Mais c’était ridiculement compliqué, et il était difficile de croire que c’étaient les bonnes primitives à partir desquelles partir. Personne n’était à l’aise avec ça. Quelque chose comme prouver 2 + 2 = 4 prenait beaucoup de place depuis le point de départ. Quel est l'intérêt d'un tel système ?
Puis David Hilbert est arrivé et a eu cette idée étonnante : peut-être que nous ne devrions pas du tout dire à qui que ce soit par quoi commencer. Au lieu de cela, tout ce qui fonctionne – un point de départ simple, cohérent et cohérent – mérite d'être exploré. Vous ne pouvez pas déduire deux choses de vos axiomes qui se contredisent, et vous devriez être capable de décrire la plupart des mathématiques en termes d'axiomes sélectionnés. Mais il ne faut pas dire a priori de quoi il s’agit.
Cela semble également correspondre à notre discussion antérieure sur la vérité objective en mathématiques. Ainsi, au tournant du XXe siècle, les mathématiciens se rendaient compte qu'il pouvait y avoir une pluralité de systèmes axiomatiques – qu'un ensemble donné d'axiomes ne devait pas être considéré comme une vérité universelle ou évidente ?
Droite. Et je dois dire que Hilbert n’a pas commencé par faire cela pour des raisons abstraites. Il s'est beaucoup intéressé à différentes notions de géométrie : la géométrie non euclidienne. C'était très controversé. Les gens à l’époque se disaient : si vous me donnez cette définition d’une ligne qui fait le tour des coins d’une boîte, pourquoi diable devrais-je vous écouter ? Et Hilbert a dit que s'il pouvait le rendre cohérent et cohérent, vous devriez écouter, car c'est peut-être une autre géométrie que nous devons comprendre. Et ce changement de point de vue – que l’on peut autoriser n’importe quel système axiomatique – ne s’appliquait pas seulement à la géométrie ; cela s’appliquait à toutes les mathématiques.
Mais bien sûr, certaines choses sont plus utiles que d’autres. La plupart d’entre nous travaillent donc avec les mêmes 10 axiomes, un système appelé ZFC.
Ce qui nous amène à nous demander ce qui peut ou ne peut pas en être déduit. Il existe des affirmations, comme l'hypothèse du continuum, qui ne peuvent pas être prouvées à l'aide de ZFC. Il doit y avoir un 11ème axiome. Et vous pouvez le résoudre d’une manière ou d’une autre, car vous pouvez choisir votre système axiomatique. C'est vraiment cool. Nous continuons avec cette sorte de pluralité. On ne sait pas clairement ce qui est bien et ce qui ne va pas. Selon Kurt Gödel, nous devons encore faire des choix basés sur le goût, et nous espérons avoir bon goût. Nous devrions faire des choses qui ont du sens. Et nous le faisons.
En parlant de Gödel, il joue ici aussi un rôle assez important.
Pour discuter de mathématiques, vous avez besoin d’un langage et d’un ensemble de règles à suivre dans ce langage. Dans les années 1930, Gödel a prouvé que, quelle que soit la manière dont vous choisissez votre langue, il y a toujours des affirmations dans cette langue qui sont vraies mais qui ne peuvent pas être prouvées à partir de vos axiomes de départ. C'est en fait plus compliqué que cela, mais vous êtes quand même immédiatement confronté à ce dilemme philosophique : qu'est-ce qu'une déclaration vraie si vous ne pouvez pas la justifier ? C'est fou.
Il y a donc un gros gâchis. Nous sommes limités dans ce que nous pouvons faire.
Les mathématiciens professionnels l’ignorent largement. Nous nous concentrons sur ce qui est réalisable. Comme Peter Sarnak aime le dire : « Nous sommes des travailleurs ». Nous continuons et essayons de prouver ce que nous pouvons.
Introduction
Aujourd’hui, avec l’utilisation non seulement des ordinateurs mais aussi de l’IA, comment la notion de preuve évolue-t-elle ?
Nous avons déménagé dans un autre endroit, où les ordinateurs peuvent faire des choses folles. Maintenant, les gens disent, oh, nous avons cet ordinateur, il peut faire des choses que les gens ne peuvent pas faire. Mais est-ce possible ? Peut-il réellement faire des choses que les gens ne peuvent pas faire ? Dans les années 1950, Alan Turing disait qu’un ordinateur était conçu pour faire ce que les humains peuvent faire, mais plus rapidement. Peu de choses ont changé.
Depuis des décennies, les mathématiciens utilisent des ordinateurs, par exemple pour effectuer des calculs qui peuvent les aider à comprendre. Ce que l’IA peut faire de nouveau, c’est vérifier ce que nous croyons être vrai. Des développements formidables se sont produits avec la vérification des preuves. Comme [l'assistant de preuve] Lean, qui a permis aux mathématiciens de vérifier de nombreuses preuves, tout en aidant également les auteurs à mieux comprendre leur propre travail, car ils doivent décomposer certaines de leurs idées en étapes plus simples pour les intégrer dans Lean à des fins de vérification.
Mais est-ce infaillible ? Une preuve est-elle une preuve simplement parce que Lean reconnaît qu'elle en est une ? D'une certaine manière, c'est aussi bon que les personnes qui convertissent les preuves en éléments pour le Lean. Ce qui ressemble beaucoup à la manière dont nous pratiquons les mathématiques traditionnelles. Je ne dis donc pas que je pense que quelque chose comme Lean va faire beaucoup d'erreurs. Je ne suis tout simplement pas sûr que ce soit plus sécurisé que la plupart des choses faites par les humains.
Je crains d'être très sceptique quant au rôle des ordinateurs. Ils peuvent être un outil très précieux pour bien faire les choses, en particulier pour vérifier des mathématiques qui reposent en grande partie sur de nouvelles définitions difficiles à analyser à première vue. Il ne fait aucun doute qu’il est utile d’avoir de nouvelles perspectives, de nouveaux outils et de nouvelles technologies dans notre arsenal. Mais ce que j'évite, c'est l'idée selon laquelle nous allons désormais avoir des machines logiques parfaites qui produiront des théorèmes corrects.
Vous devez reconnaître que nous ne pouvons pas être sûrs que tout va bien avec les ordinateurs. Notre avenir doit reposer sur le sentiment de communauté sur lequel nous nous sommes appuyés tout au long de l’histoire de la science : le fait que nous rebondissions les uns sur les autres. Que nous parlions à des gens qui regardent la même chose sous un angle complètement différent. Et ainsi de suite.
Cependant, où voyez-vous cela évoluer à l’avenir, à mesure que ces technologies deviennent plus sophistiquées ?
Cela pourrait peut-être aider à créer une preuve. Peut-être que dans cinq ans, je dirai à un modèle d'IA comme ChatGPT : « Je suis presque sûr d'avoir vu ça quelque part. Voudriez-vous le vérifier ? Et il reviendra avec une déclaration similaire qui est correcte.
Et puis, une fois que vous serez très, très bon dans ce domaine, vous pourriez peut-être aller plus loin et dire : « Je ne sais pas comment faire ça, mais y a-t-il quelqu'un qui a fait quelque chose comme ça ? Peut-être qu’à terme, un modèle d’IA pourrait trouver des moyens efficaces de rechercher dans la littérature afin d’utiliser des outils qui ont été utilisés ailleurs – d’une manière qu’un mathématicien ne pourrait pas prévoir.
Cependant, je ne comprends pas comment ChatGPT peut dépasser un certain niveau pour faire des preuves d'une manière qui nous dépasse. ChatGPT et d'autres programmes d'apprentissage automatique ne réfléchissent pas. Ils utilisent des associations de mots basées sur de nombreux exemples. Il semble donc peu probable qu’ils transcendent leurs données d’entraînement. Mais si cela devait arriver, que feraient les mathématiciens ? Une grande partie de ce que nous faisons est une preuve. Si vous nous enlevez des preuves, je ne suis pas sûr de qui nous deviendrons.
Quoi qu'il en soit, lorsque nous réfléchissons à l'utilisation de l'assistance informatique, nous devons prendre en compte toutes les leçons que nous avons tirées de l'effort humain : l'importance d'utiliser des langages différents, de travailler ensemble, de porter des perspectives différentes. Il y a une robustesse, une santé dans la manière dont différentes communautés se réunissent pour travailler et comprendre une preuve. Si nous voulons avoir une assistance informatique en mathématiques, nous devons l'enrichir de la même manière.
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- La source: https://www.quantamagazine.org/why-mathematical-proof-is-a-social-compact-20230831/
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