परिचय
2,000 से भी अधिक वर्ष पहले, यूनानी गणितज्ञ एराटोस्थनीज ने अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने की एक विधि ईजाद की थी जो आज भी गणित में गूंजती रहती है। उनका विचार उन संख्याओं को धीरे-धीरे "छलनी" करके एक दिए गए बिंदु तक सभी अभाज्य संख्याओं की पहचान करना था जो अभाज्य नहीं हैं। उसकी छलनी 2 के सभी गुणजों (स्वयं 2 को छोड़कर), फिर 3 के गुणजों (स्वयं 3 को छोड़कर) को काटने से शुरू होती है। अगली संख्या, 4, को पहले ही काट दिया गया है, इसलिए अगला चरण 5 के गुणजों को काट देना है, इत्यादि। एकमात्र संख्याएँ जो जीवित रहती हैं वे अभाज्य संख्याएँ हैं - वे संख्याएँ जिनका एकमात्र विभाजक 1 और स्वयं हैं।
एराटोस्थनीज का ध्यान अभाज्य संख्याओं के पूरे सेट पर केंद्रित था, लेकिन आप सभी प्रकार की विशेष विशेषताओं वाले अभाज्यों की खोज के लिए उसकी छलनी पर विविधताओं का उपयोग कर सकते हैं। क्या आप "जुड़वा अभाज्य" खोजना चाहते हैं, जो केवल 2 अलग हैं, जैसे 11 और 13 या 599 और 601? उसके लिए एक छलनी है. क्या आप ऐसे अभाज्य संख्याएँ खोजना चाहते हैं जो एक पूर्ण वर्ग से 1 बड़ा हो, जैसे 17 या 257? उसके लिए एक छलनी भी है.
आधुनिक छलनी ने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय से लेकर अभी भी अप्रमाणित जुड़वां अभाज्य अनुमान तक की समस्याओं पर संख्या सिद्धांत में कई सबसे बड़ी प्रगति को बढ़ावा दिया है, जो कहता है कि जुड़वां अभाज्य संख्याओं के अनंत कई जोड़े हैं। हंगरी के गणितज्ञ पॉल एर्डोज़ ने 1965 में लिखा था कि छलनी विधियाँ, "शायद संख्या सिद्धांत में हमारा सबसे शक्तिशाली प्राथमिक उपकरण हैं।"
फिर भी यह शक्ति गणितज्ञों की सीमित समझ के कारण बाधित है कि अभाज्य संख्याओं को संख्या रेखा के साथ कैसे वितरित किया जाता है। किसी छोटी संख्या, जैसे 100, तक छलनी चलाना सरल है। लेकिन गणितज्ञ संख्याएँ बड़ी होने पर छलनी के व्यवहार को समझना चाहते हैं। वे उन सभी संख्याओं को सूचीबद्ध करने की उम्मीद नहीं कर सकते हैं जो किसी अत्यंत बड़े विराम बिंदु तक छलनी में जीवित रहती हैं। इसलिए इसके बजाय, वे यह अनुमान लगाने का प्रयास करते हैं कि उस सूची में कितनी संख्याएँ हैं।
परिचय
एराटोस्थनीज की छलनी के लिए, यह अनुमान इस बात पर निर्भर करता है कि कितनी बार पूर्ण संख्याएँ 2, या 3, या 5, इत्यादि से विभाज्य होती हैं - प्राप्त करने के लिए तुलनात्मक रूप से आसान जानकारी। लेकिन अधिक जटिल छलनी के लिए, जैसे कि जुड़वां अभाज्यों के लिए, महत्वपूर्ण जानकारी अक्सर उन अवशेषों से संबंधित होती है जो अभाज्य संख्याएं अलग-अलग संख्याओं से विभाजित होने पर पीछे छोड़ देती हैं। उदाहरण के लिए, कितनी बार अभाज्य संख्याओं को 1 से विभाजित करने पर 3 शेष बचता है? या 8 से भाग देने पर 15 शेष बचेगा?
जैसे-जैसे आप संख्या रेखा के साथ आगे बढ़ते हैं, ये शेषफल सांख्यिकीय रूप से पूर्वानुमानित पैटर्न में व्यवस्थित हो जाते हैं। 1896 में, बेल्जियम के गणितज्ञ चार्ल्स-जीन डे ला वेली पॉसिन ने साबित किया कि शेषफल धीरे-धीरे सम हो जाते हैं - उदाहरण के लिए, यदि आप अभाज्य संख्याओं को दो बकेटों में से एक में डालते हैं, जो इस पर निर्भर करता है कि 1 से विभाजित करने पर उनका शेषफल 2 है या 3, तो दो बाल्टियों में अंततः अभाज्य संख्याओं की लगभग समान संख्या होगी। लेकिन छलनी विधियों से पूरी क्षमता निकालने के लिए, गणितज्ञों को न केवल यह जानना होगा कि बाल्टियाँ अंततः बराबर हो जाती हैं, बल्कि यह भी जानना होगा कि वे कितनी जल्दी ऐसा करते हैं।
यह चुनौतीपूर्ण साबित हुआ है. 1960 के दशक में और 1980 के दशक में एक और प्रगति के बाद, नए विकास अधिकतर कम हो गए। एक उल्लेखनीय अपवाद 2013 में हुआ, जब यितांग झांग ने एक प्रकाशित किया ऐतिहासिक प्रमाण कि कुछ परिमित सीमाओं की तुलना में अभाज्य संख्याओं के अनंत रूप से कई जोड़े एक दूसरे के करीब हैं। लेकिन 80 के दशक में विकसित मुख्य कार्य में तीन दशकों से अधिक समय तक कोई प्रगति नहीं देखी गई।
अब यह विषय पुनर्जागरण का आनंद ले रहा है, जो कि एक द्वारा चिंगारी है श्रृंखला of तीन कागजात ऑक्सफोर्ड गणितज्ञ द्वारा लिखित जेम्स मेनार्ड 2020 में (दो साल पहले वह था फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया, गणित का सर्वोच्च सम्मान)। मेनार्ड ने "वितरण का स्तर" नामक एक संख्या का विश्लेषण किया जो दर्शाता है कि कितनी जल्दी अभाज्य अवशेष बाल्टियों में समान रूप से वितरित हो जाते हैं (कभी-कभी विशेष प्रकार की छलनी के संदर्भ में)। आमतौर पर उपयोग की जाने वाली कई छलनी के लिए, उन्होंने दिखाया कि वितरण का स्तर कम से कम 0.6 है, जो 0.57 के दशक के 1980 के पिछले रिकॉर्ड को तोड़ देता है।
मेनार्ड का कार्य और उसके द्वारा प्रेरित अनुवर्ती अध्ययन "विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में नई जान फूंक रहे हैं," कहा जॉन फ्रीडलैंडर टोरंटो विश्वविद्यालय के, जिन्होंने 1980 के दशक के विकास में एक बड़ी भूमिका निभाई। "यह एक वास्तविक पुनरुद्धार है।"
परिचय
पिछले कुछ महीनों में, मेनार्ड के तीन स्नातक छात्र है लिखा हुआ कागजात मेनार्ड और झांग दोनों के परिणामों का विस्तार; इन पत्रों में से एक, द्वारा जारेड डुकर लिक्टमैन (अब स्टैनफोर्ड यूनिवर्सिटी में पोस्टडॉक्टरल फेलो) ने मेनार्ड के वितरण के स्तर को लगभग 0.617 तक बढ़ा दिया। लिक्टमैन ने तब उस वृद्धि का उपयोग किसी दिए गए रोक बिंदु तक जुड़वां प्राइम की संख्या और "गोल्डबैक प्रतिनिधित्व" की संख्या पर बेहतर ऊपरी सीमा की गणना करने के लिए किया - दो प्राइम के योग के रूप में सम संख्याओं का प्रतिनिधित्व।
"ये युवा लोग इस बात का अनुसरण कर रहे हैं कि अब वास्तव में सबसे गर्म विषय क्या है," उन्होंने कहा एंड्रयू ग्रानविल मॉन्ट्रियल विश्वविद्यालय के।
संख्या सिद्धांत से बाहर के लोगों को 0.6 से 0.617 तक की वृद्धि छोटी लग सकती है। लेकिन छलनी सिद्धांत में, ग्रानविले ने कहा, "कभी-कभी उन छोटी जीतों के विनाशकारी परिणाम हो सकते हैं।"
शामिल करना और बहिष्कृत करना
यह अनुमान लगाने के लिए कि एक छलनी किसी रोक बिंदु तक कितने नंबर हटाती है N, गणितज्ञ समावेशन/बहिष्करण नामक किसी चीज़ पर आधारित दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं। यह कैसे काम करता है यह देखने के लिए एराटोस्थनीज़ की छलनी पर विचार करें। यह छलनी 2 के सभी गुणजों को हटाकर शुरू होती है - यानी लगभग आधी संख्याएँ N. इसके बाद छलनी 3 के सभी गुणजों को - लगभग 1/3 तक की संख्याओं को हटा देती है N. तो आप सोच सकते हैं कि अब तक आपने लगभग 1/2 + 1/3 तक की संख्याएँ हटा दी हैं N.
लेकिन यह अत्यधिक गिनती है, क्योंकि आपने ऐसी संख्याएँ दोहराई हैं जो 2 और 3 (6 के गुणज) दोनों के गुणज हैं। ये अब तक की सभी संख्याओं का लगभग 1/6 भाग हैं N, इसलिए उन्हें दो बार गिनने के लिए सही करने के लिए, आपको 1/6 घटाना होगा, जिससे आप जो हटा रहे हैं उसका कुल योग 1/2 + 1/3 - 1/6 हो जाएगा।
इसके बाद आप 5 के गुणज पर आगे बढ़ सकते हैं - इससे गिनती में 1/5 जुड़ जाएगा, लेकिन 1 और 10, या दोनों 1 से विभाज्य संख्याओं की अधिक गिनती को सही करने के लिए आपको 15/2 और 5/3 घटाना होगा। और 5. फिर भी आपका काम पूरा नहीं हुआ है - आपने गलती से उन संख्याओं को दो बार सही कर दिया है जो 2, 3 और 5 से विभाज्य हैं, इसलिए इसे ठीक करने के लिए आपको अपनी गिनती में 1/30 जोड़ना होगा, जिससे कुल योग आएगा से 1/2 + 1/3 − 1/6 + 1/5 − 1/10 − 1/15 + 1/30।
जैसे-जैसे यह प्रक्रिया जारी रहती है, योग अधिक से अधिक पदों को प्राप्त करता है, जिसमें बड़े और बड़े हर वाले भिन्न शामिल होते हैं। "लगभग 1/2" और "लगभग 1/3" जैसे अनुमानों में छोटी त्रुटियों को बहुत अधिक बढ़ने से रोकने के लिए, संख्या सिद्धांतकार आमतौर पर पूरी छलनी से गुजरने से पहले जोड़ और घटाव की प्रक्रिया को रोक देते हैं, और खुद को संतुष्ट करते हैं सटीक उत्तर के बजाय ऊपरी और निचली सीमाएं।
सिद्धांत रूप में, एक समान प्रक्रिया को जुड़वां अभाज्यों की तरह अभाज्य संख्याओं के आकर्षक सेटों के लिए काम करना चाहिए। लेकिन जब जुड़वां अभाज्य संख्याओं की बात आती है, तो समावेशन/बहिष्करण तब तक काम नहीं करेगा जब तक आप यह नहीं जानते कि अभाज्य शेषफलों को बाल्टियों में समान रूप से कैसे वितरित किया जाता है।
परिचय
इसे देखने के लिए, सोचें कि एक जुड़वां प्राइम छलनी कैसे काम कर सकती है। आप तक के सभी अभाज्यों को खोजने के लिए एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करके शुरुआत कर सकते हैं N. फिर, छानने का दूसरा दौर करें जिसमें प्रत्येक प्राइम को हटा दिया जाए जो ट्विन प्राइम जोड़ी का हिस्सा नहीं है। ऐसा करने का एक तरीका यह है कि किसी अभाज्य को छलनी से छान लिया जाए यदि उसके बायीं ओर दो स्थानों वाली संख्या अभाज्य नहीं है (या आप दाईं ओर दो स्थानों को देख सकते हैं - कोई भी छलनी काम करेगी)। बाईं ओर की छलनी का उपयोग करके, आप 13 जैसे अभाज्य रखेंगे, क्योंकि 11 भी अभाज्य है, लेकिन 23 जैसे अभाज्य हटा दें, क्योंकि 21 अभाज्य नहीं है।
आप इस छलनी के बारे में सोच सकते हैं कि पहले अभाज्यों के सेट को संख्या रेखा पर बाईं ओर दो स्थानों पर स्थानांतरित करना, फिर स्थानांतरित किए गए सेट में उन संख्याओं को पार करना जो अभाज्य नहीं हैं (जैसे 21)। स्थानांतरित सेट में, आप 3 के गुणज को काट देंगे, फिर 5 के गुणज को, और इसी तरह। (आपको 2 के गुणजों के बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है, क्योंकि स्थानांतरित सेट में पहली संख्या को छोड़कर सभी संख्याएँ विषम हैं।)
इसके बाद समावेशन/बहिष्करण आता है, जिससे यह अनुमान लगाया जाता है कि आपने कितनी संख्याएँ काट दी हैं। एराटोस्थनीज़ की छलनी में, 3 के गुणजों को काटने से सभी संख्याओं का लगभग 1/3 भाग निकल जाता है। लेकिन स्थानांतरित अभाज्य अभाज्य संख्याओं के छोटे सेट में, यह अनुमान लगाना कठिन है कि जब हम 3 के गुणज को काट देंगे तो कितने गिरेंगे।
कोई संख्या k स्थानांतरित सेट में कुछ प्राइम से 2 कम है। तो यदि k 3 का गुणज है, तो इसका संगत अभाज्य है, k +2 को 2 से विभाजित करने पर 3 शेष बचता है। अभाज्य संख्याओं को 1 से विभाजित करने पर 2 या 3 शेष बचता है (3 को छोड़कर), इसलिए आप अनुमान लगा सकते हैं कि अभाज्य संख्याओं का आधा भाग N 1 का शेषफल है और आधे का शेषफल 2 है। इसका मतलब यह होगा कि छलनी के इस चरण में आप स्थानांतरित सेट में लगभग आधी संख्याओं को काट रहे हैं (1/3 के बजाय जैसा कि एराटोस्थनीज़ की छलनी में होता है)। तो आप अपने समावेशन/बहिष्करण योग में 1/2 पद लिखेंगे।
डे ला वेली पौसिन को धन्यवाद, हम जानते हैं कि अंततः सभी अभाज्य अभाज्य संख्याओं में से आधे का शेषफल 1 होता है और जब आप 2 से भाग देते हैं तो आधे का शेषफल 3 होता है। लेकिन समावेशन/बहिष्करण करने के लिए, यह जानना पर्याप्त नहीं है कि शेष बकेट शेष हैं अंततः बाहर - आपको यह जानना होगा कि वे संतुलन बनाते हैं N. अन्यथा, आपको समावेशन/बहिष्करण राशि में "1/2" पर कोई भरोसा नहीं हो सकता है। शायद, गणितज्ञ एक सदी से भी अधिक समय से चिंतित हैं, अभाज्य संख्याओं के वितरण में अजीब विचित्रताएँ हैं जो हमारे समावेशन/बहिष्करण योग के लिए आवश्यक कुछ गणनाओं को कमजोर कर देती हैं।
"यदि आपके पास वितरण प्रमेय नहीं है, तो आप यह नहीं समझ सकते कि जब आप अपनी छलनी समाप्त करते हैं तो क्या होता है," कहा टेरेंस ताओ कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, लॉस एंजिल्स के।
एक मौलिक मार्गबिंदु
बाल्टियाँ कितनी तेजी से बराबर होने लगती हैं, इसके बारे में एक भविष्यवाणी संख्या सिद्धांतकारों के लिए संख्या सिद्धांत में सबसे प्रसिद्ध अनसुलझी समस्या - सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना के रूप में उपलब्ध थी। यह परिकल्पना, यदि सत्य है, तो इसका अर्थ यह होगा कि यदि हम किसी बहुत बड़ी संख्या तक के सभी अभाज्य संख्याओं को देख रहे हैं N, फिर अभाज्य शेषफलों को लगभग वर्गमूल तक किसी भी भाजक के लिए बाल्टियों में समान रूप से वितरित किया जाता है N. उदाहरण के लिए, यदि आप 1 ट्रिलियन से कम के अभाज्य संख्याओं को देख रहे हैं, तो आप उम्मीद करेंगे कि जब आप उन्हें 120, या 7,352, या 945,328 से विभाजित करेंगे तो वे शेष बकेट में समान रूप से वितरित होंगे - लगभग 1 मिलियन से कम कोई भी भाजक ( 1 ट्रिलियन का वर्गमूल)। गणितज्ञों का कहना है कि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना भविष्यवाणी करती है कि अभाज्य संख्याओं के वितरण का स्तर कम से कम 1/2 है, क्योंकि इसका वर्गमूल लिखने का एक और तरीका है N के रूप में है N1/2.
परिचय
यदि यह परिकल्पना सही है, तो इसका मतलब यह होगा कि जब आप 1 ट्रिलियन तक की गणना कर रहे हैं, तो आप 2, फिर 3, फिर 5 के गुणज को काट सकते हैं, और तब तक जारी रख सकते हैं जब तक कि समावेशन/बहिष्करण योग में लगभग 1 से अधिक विभाजक शामिल न होने लगें। मिलियन - उस बिंदु से परे, आप अपने योग में शर्तों की गणना नहीं कर सकते। 1900 के दशक के मध्य में, संख्या सिद्धांतकारों ने इस प्रकार के कई छलनी प्रमेयों को सिद्ध किया, "यदि सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना सही है, तो..."
लेकिन इनमें से बहुत से परिणामों को वास्तव में सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना की पूरी ताकत की आवश्यकता नहीं थी - यह जानना पर्याप्त होगा कि अभाज्य संख्याओं को हर एक भाजक के बजाय लगभग हर भाजक के लिए बकेट में अच्छी तरह से वितरित किया गया था। 1960 के दशक के मध्य में, एनरिको बॉम्बिएरी और आस्कॉल्ड विनोग्रादोव अलग कामयाब इसे साबित करने के लिए: अभाज्य संख्याओं का वितरण स्तर कम से कम 1/2 है, यदि हम यह जानकर संतुष्ट हैं कि लगभग हर भाजक के लिए बाल्टियाँ समान हैं।
बॉम्बिएरी-विनोग्रादोव प्रमेय, जो अभी भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, ने कई परिणामों को तुरंत साबित कर दिया जो पहले अप्रमाणित सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना पर निर्भर थे। ताओ ने कहा, "यह वितरण प्रमेयों का एक प्रकार से स्वर्ण मानक है।"
लेकिन गणितज्ञों को लंबे समय से संदेह है - और संख्यात्मक साक्ष्य ने सुझाव दिया है - कि अभाज्य संख्याओं के वितरण का वास्तविक स्तर बहुत अधिक है। 1960 के दशक के अंत में, पीटर इलियट और हेनी हैलबर्स्टम अनुमान लगाया कि अभाज्य संख्याओं के वितरण का स्तर 1 से थोड़ा ही नीचे है - दूसरे शब्दों में, यदि आप किसी बड़ी संख्या तक के अभाज्यों को देख रहे हैं, तो उन्हें समान रूप से बकेट में वितरित किया जाना चाहिए, यहां तक कि बड़ी संख्या के आकार में बहुत करीब के विभाजकों के लिए भी। . और ये बड़े विभाजक तब मायने रखते हैं जब आप समावेशन/बहिष्करण कर रहे होते हैं, क्योंकि ये तब सामने आते हैं जब आप ओवरकाउंट के लिए सुधार कर रहे होते हैं। इसलिए गणितज्ञ इलियट और हैलबर्स्टम द्वारा अनुमानित वितरण के स्तर के जितना करीब पहुंच सकते हैं, वे समावेशन/बहिष्करण योग में उतने ही अधिक शब्दों की गणना कर सकते हैं। इलियट-हैलबर्स्टम अनुमान को साबित करते हुए, ताओ ने कहा, "सपना है।"
हालाँकि, आज तक, कोई भी व्यापकता की पूर्ण डिग्री में वितरण के 1/2 स्तर को हरा नहीं पाया है जो बॉम्बिएरी-विनोग्राडोव प्रमेय प्राप्त करता है। गणितज्ञों ने इस बाधा को अभाज्य संख्याओं के लिए "वर्ग-मूल अवरोध" कहना शुरू कर दिया है। लिक्टमैन ने कहा, यह बाधा, "अभाज्य संख्याओं की हमारी समझ में एक मौलिक प्रकार का मार्ग बिंदु है।"
नए विश्व रिकॉर्ड
हालाँकि, कई छलनी समस्याओं के लिए, आप इस बारे में अधूरी जानकारी के साथ भी प्रगति कर सकते हैं कि अभाज्य भाग बकेट में कैसे विभाजित होते हैं। जुड़वां अभाज्य समस्या को लें: किसी अभाज्य को छांटना यदि उसके बायीं ओर दो स्थानों की संख्या 3 या 5 या 7 से विभाज्य है, यह पूछने के समान है कि क्या अभाज्य को 2 या 3 या 5 से विभाजित करने पर 7 शेष बचता है - में दूसरे शब्दों में, क्या इनमें से किसी भी विभाजक के लिए प्राइम "2" बकेट में आता है। इसलिए आपको यह जानने की ज़रूरत नहीं है कि इन विभाजकों के लिए अभाज्य संख्याएँ सभी बाल्टियों में समान रूप से वितरित हैं या नहीं - आपको बस यह जानने की ज़रूरत है कि क्या प्रत्येक "2" बकेट में हमारे द्वारा अपेक्षित अभाज्य संख्याओं की संख्या है या नहीं।
1980 के दशक में, गणितज्ञों ने यह पता लगाना शुरू कर दिया कि वितरण प्रमेयों को कैसे सिद्ध किया जाए जो एक विशेष बाल्टी पर केंद्रित हों। इस कार्य की परिणति ए 1986 कागज बॉम्बिएरी, फ्रीडलैंडर और द्वारा हेनरिक इवानिक इसने एकल बाल्टियों के लिए वितरण के स्तर को 4/7 (लगभग 0.57) तक बढ़ा दिया, सभी छलनी के लिए नहीं बल्कि उनकी एक विस्तृत श्रेणी के लिए।
बॉम्बिएरी-विनोग्राडोव प्रमेय की तरह, 1980 के दशक में विकसित विचारों के समूह को कई अनुप्रयोग मिले। सबसे विशेष रूप से, इसने a को सक्षम किया विशाल छलांग गणितज्ञों की फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय की समझ में, जो कहता है कि समीकरण an + bn = cn किसी भी घातांक के लिए कोई प्राकृतिक-संख्या समाधान नहीं है n 2 से अधिक (यह बाद में 1994 में उन तकनीकों का उपयोग करके सिद्ध किया गया जो वितरण प्रमेय पर निर्भर नहीं थीं।) 1980 के दशक की उत्तेजना के बाद, हालांकि, कई दशकों तक अभाज्य संख्याओं के वितरण के स्तर पर बहुत कम प्रगति हुई थी।
फिर 2013 में, झांग ने यह पता लगाया कि बॉम्बिएरी, फ्रीडलैंडर और इवानिएक से अलग दिशा में वर्ग-मूल बाधा को कैसे पार किया जाए। उन्होंने 1980 के दशक की शुरुआत में बॉम्बिएरी और विनोग्रादोव के वितरण के 1/2 स्तर पर सबसे छोटे सुधार करने के लिए पुराने, अप्रचलित तरीकों को अपनाया, ऐसे संदर्भ में जहां आप केवल "सुचारू" संख्याओं के साथ काम कर रहे हैं - जिनके पास कोई बड़ा प्रमुख कारक नहीं है . इस छोटे से सुधार ने झांग को सक्षम बनाया लंबे समय से चले आ रहे अनुमान को सिद्ध करें जैसे-जैसे आप संख्या रेखा के साथ आगे बढ़ते हैं, आपको ऐसे अभाज्य संख्याओं के जोड़े मिलते रहेंगे जो कुछ निश्चित सीमाओं की तुलना में एक-दूसरे के करीब होते हैं। (बाद में, मेनार्ड और ताओ प्रत्येक अलग से लेकर आये इस प्रमेय का एक और प्रमाण, वितरण के बेहतर स्तर के बजाय एक बेहतर छलनी का उपयोग करके।)
झांग का परिणाम रीमैन परिकल्पना के एक संस्करण पर आधारित है जो बीजगणितीय ज्यामिति की दुनिया में रहता है। इस बीच, बॉम्बिएरी, फ्रीडलैंडर और इवानिएक का काम उस पर निर्भर था जिसे मेनार्ड ऑटोमोर्फिक फॉर्म नामक वस्तुओं के साथ "कुछ हद तक जादुई संबंध" कहते हैं, जिनके पास रीमैन परिकल्पना का अपना संस्करण है। ऑटोमोर्फिक रूप अत्यधिक सममित वस्तुएं हैं, जो ताओ कहते हैं, "संख्या सिद्धांत के उच्च-शक्ति वाले अंत" से संबंधित हैं।
कुछ साल पहले, मेनार्ड को यह विश्वास हो गया कि उनकी अंतर्दृष्टि को मिलाकर इन दोनों तरीकों से अधिक रस निकालना संभव होना चाहिए। 2020 में अपने तीन पत्रों की श्रृंखला में, जिसे ग्रानविले ने "टूर डी फ़ोर्स" का नाम दिया था, मेनार्ड वितरण के स्तर को 3/5, या 0.6 तक बढ़ाने में कामयाब रहे, बॉम्बिएरी, फ्रीडलैंडर और इवानिक द्वारा अध्ययन किए गए की तुलना में थोड़े संकीर्ण संदर्भ में। .
अब, मेनार्ड के छात्र इन तकनीकों को और आगे बढ़ा रहे हैं। लिक्टमैन हाल ही में पता चला मेनार्ड के वितरण स्तर को लगभग 0.617 तक कैसे बढ़ाया जाए। इसके बाद उन्होंने इस वृद्धि को दोनों जुड़वां अभाज्य संख्याओं और दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में सम संख्याओं के गोल्डबैक निरूपण पर नई ऊपरी सीमाओं में विभाजित किया। उत्तरार्द्ध के लिए, यह पहली बार है कि कोई क्लासिक बॉम्बिएरी-विनोग्रादोव प्रमेय से 1/2 से अधिक वितरण के स्तर का उपयोग करने में सक्षम हुआ है।
मेनार्ड के एक और छात्र, अलेक्जेंड्रू पास्काडी, है 0.617 के आंकड़े से मेल खाता है अभाज्य संख्याओं के नहीं बल्कि सुचारु संख्याओं के वितरण के स्तर के लिए। अभाज्य संख्याओं की तरह, संपूर्ण संख्या सिद्धांत में चिकनी संख्याएँ सामने आती हैं, और उनके वितरण के स्तर और अभाज्य संख्याओं के परिणाम अक्सर साथ-साथ चलते हैं।
इस बीच, एक तीसरा छात्र, जूलिया स्टैडलमैन, है वितरण का स्तर बढ़ाया झांग द्वारा अध्ययन की गई सेटिंग में अभाज्य संख्याओं का, जिसमें भाजक (संख्याओं को विभाजित करने के बजाय) चिकनी संख्याएं हैं। झांग ने वर्गमूल बाधा को मामूली अंतर से हराया इस संदर्भ में, वितरण के 0.5017 स्तर तक पहुंचना, और फिर एक ऑनलाइन सहयोग जिसे पॉलीमैथ प्रोजेक्ट कहा जाता है वह संख्या बढ़ा दी से 0.5233; स्टैडलमैन ने अब इसे बढ़ाकर 0.525 कर दिया है।
ताओ ने कहा, अन्य गणितज्ञ विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांतकारों को छोटी संख्यात्मक प्रगति के प्रति उनके जुनून के लिए चिढ़ाते हैं। लेकिन इन छोटे सुधारों का संबंधित संख्याओं से परे भी महत्व है। "यह 100 मीटर की दौड़ या कुछ और की तरह है, [जहां] आप 3.96 सेकंड से 3.95 सेकंड तक दौड़ते हैं," उन्होंने कहा। प्रत्येक नया विश्व रिकॉर्ड "इस बात का एक बेंचमार्क है कि आपके तरीकों ने कितनी प्रगति की है।"
कुल मिलाकर, "तकनीकें अधिक स्पष्ट और अधिक एकीकृत हो रही हैं," उन्होंने कहा। "यह स्पष्ट होता जा रहा है, एक बार जब आप एक समस्या पर आगे बढ़ जाते हैं, तो उसे दूसरी समस्या के लिए कैसे अनुकूलित किया जाए।"
ग्रानविले ने कहा, इन नए विकासों के लिए अभी तक कोई धमाकेदार एप्लिकेशन नहीं है, लेकिन नया काम "निश्चित रूप से हमारे सोचने के तरीके को बदल देता है"। "यह सिर्फ एक कील को जोर से ठोकना नहीं है - यह वास्तव में एक अधिक उन्नत हथौड़ा प्राप्त करना है।"
क्वांटा अपने दर्शकों को बेहतर सेवा देने के लिए सर्वेक्षणों की एक श्रृंखला आयोजित कर रहा है। हमारा ले गणित पाठक सर्वेक्षण और आपको निःशुल्क जीतने के लिए प्रवेश दिया जाएगा क्वांटा merch।
- एसईओ संचालित सामग्री और पीआर वितरण। आज ही प्रवर्धित हो जाओ।
- प्लेटोडेटा.नेटवर्क वर्टिकल जेनरेटिव एआई। स्वयं को शक्तिवान बनाएं। यहां पहुंचें।
- प्लेटोआईस्ट्रीम। Web3 इंटेलिजेंस। ज्ञान प्रवर्धित। यहां पहुंचें।
- प्लेटोईएसजी. कार्बन, क्लीनटेक, ऊर्जा, पर्यावरण, सौर, कचरा प्रबंधन। यहां पहुंचें।
- प्लेटोहेल्थ। बायोटेक और क्लिनिकल परीक्षण इंटेलिजेंस। यहां पहुंचें।
- स्रोत: https://www.quantamagazine.org/a-new-generation-of-mathematicians-pushes-prime-number-barriers-20231026/
- :हैस
- :है
- :नहीं
- :कहाँ
- ][पी
- $यूपी
- 000
- 1
- 100
- 11
- 13
- 15% तक
- 17
- 1994
- 2013
- 2020
- 23
- 7
- 8
- a
- योग्य
- About
- AC
- लेखा
- प्राप्त
- के पार
- वास्तव में
- अनुकूलन
- जोड़ना
- इसके अलावा
- उन्नत
- अग्रिमों
- बाद
- पूर्व
- सब
- लगभग
- साथ में
- पहले ही
- भी
- an
- विश्लेषणात्मक
- विश्लेषण किया
- और
- एंजेल्स
- अन्य
- जवाब
- कोई
- किसी
- अलग
- आवेदन
- अनुप्रयोगों
- दृष्टिकोण
- लगभग
- हैं
- AS
- पूछ
- At
- दर्शक
- उपलब्ध
- शेष
- अवरोध
- बाधाओं
- आधारित
- BE
- हरा
- बन गया
- क्योंकि
- बन
- बनने
- किया गया
- से पहले
- व्यवहार
- पीछे
- जा रहा है
- नीचे
- बेंचमार्क
- बेहतर
- परे
- बड़ा
- बड़ा
- सबसे बड़ा
- खंड
- परिवर्तन
- के छात्रों
- सीमा
- सीमा
- साँस लेने
- लाना
- लेकिन
- by
- गणना
- कैलिफ़ोर्निया
- बुलाया
- बुला
- कॉल
- आया
- कर सकते हैं
- पा सकते हैं
- कब्जा
- ले जाना
- मनाया
- सदी
- चुनौतीपूर्ण
- परिवर्तन
- कक्षा
- क्लासिक
- स्पष्ट
- समापन
- करीब
- सहयोग
- कोलोराडो
- संयोजन
- कैसे
- आता है
- सामान्यतः
- अपेक्षाकृत
- जटिल
- चिंताओं
- का आयोजन
- आत्मविश्वास
- अनुमान
- Consequences
- विचार करना
- सामग्री
- प्रसंग
- जारी
- आश्वस्त
- सही
- संशोधित
- इसी
- सका
- गिनती
- क्रॉस
- क्रास्ड
- पार
- महत्वपूर्ण
- पानी का छींटा
- दिन
- दशकों
- डिग्री
- निर्भर करता है
- निर्भर करता है
- भयानक
- विकसित
- के घटनाक्रम
- विभिन्न
- दिशा
- वितरित
- वितरण
- विभाजित
- विभाजित
- do
- कर
- किया
- dont
- सपना
- बूंद
- से प्रत्येक
- शीघ्र
- आसान
- भी
- इलियट
- सक्षम
- सामना
- समाप्त
- पर्याप्त
- घुसा
- त्रुटियाँ
- अनिवार्य
- आकलन
- और भी
- के बराबर
- अंत में
- प्रत्येक
- सबूत
- उदाहरण
- सिवाय
- अपवाद
- उत्तेजना
- उम्मीद
- विस्तार
- का विस्तार
- उद्धरण
- अत्यंत
- कारकों
- गिरना
- फॉल्स
- दूर
- फास्ट
- विशेषताएं
- साथी
- कुछ
- फ़ील्ड
- लगा
- खोज
- खोज
- खत्म
- प्रथम
- पहली बार
- फिक्स
- तय
- फोकस
- ध्यान केंद्रित
- निम्नलिखित
- के लिए
- सेना
- प्रपत्र
- रूपों
- पाया
- से
- शह
- पूर्ण
- मौलिक
- आगे
- लाभ
- पीढ़ी
- मिल
- मिल रहा
- दी
- Go
- जा
- सोना
- सोने के मानक
- चला गया
- धीरे - धीरे
- स्नातक
- यूनानी
- था
- आधा
- हथौड़ा
- हाथ
- हो जाता
- और जोर से
- है
- he
- उच्चतर
- उच्चतम
- अत्यधिक
- उसके
- पकड़
- रखती है
- आशा
- मेजबान
- गरम
- कैसे
- How To
- तथापि
- HTTPS
- विशाल
- हंगरी
- शिकार
- विचार
- विचारों
- पहचान करना
- if
- उन्नत
- सुधार
- सुधार
- in
- अन्य में
- बढ़ना
- करें-
- अंतर्दृष्टि
- उदाहरण
- तुरन्त
- बजाय
- में
- शामिल करना
- शामिल
- IT
- आईटी इस
- खुद
- केवल
- रखना
- बच्चा
- जानना
- ज्ञान
- बड़ा
- पिछली बार
- देर से
- बाद में
- कम से कम
- छोड़ना
- बाएं
- कम
- स्तर
- जीवन
- पसंद
- सीमित
- लाइन
- सूची
- थोड़ा
- लाइव्स
- लंबा
- लंबे समय से
- देखिए
- देख
- उन
- लॉस एंजिल्स
- लॉट
- कम
- पत्रिका
- मुख्य
- बनाना
- कामयाब
- बहुत
- गणित
- गणित
- बात
- मतलब
- तब तक
- तरीका
- तरीकों
- हो सकता है
- दस लाख
- महीने
- अधिक
- अधिकांश
- अधिकतर
- चाल
- बहुत
- विभिन्न
- आवश्यकता
- जरूरत
- नया
- अगला
- नहीं
- प्रसिद्ध
- विशेष रूप से
- अभी
- संख्या
- संख्या
- वस्तुओं
- प्राप्त
- हुआ
- of
- बंद
- अक्सर
- पुराना
- on
- एक बार
- ONE
- लोगों
- ऑनलाइन
- केवल
- or
- अन्य
- अन्यथा
- हमारी
- आउट
- बाहर
- के ऊपर
- अपना
- ऑक्सफोर्ड
- जोड़ा
- जोड़े
- कागजात
- भाग
- विशेष
- अतीत
- पैटर्न उपयोग करें
- पॉल
- स्टाफ़
- उत्तम
- शायद
- प्लेटो
- प्लेटो डेटा इंटेलिजेंस
- प्लेटोडाटा
- खेला
- बिन्दु
- संभव
- संभावित
- बिजली
- शक्तिशाली
- भविष्यवाणी करना
- उम्मीद के मुताबिक
- भविष्यवाणी
- भविष्यवाणी
- भविष्यवाणी
- को रोकने के
- पिछला
- पहले से
- मुख्य
- मुसीबत
- समस्याओं
- प्रक्रिया
- प्रगति
- आगे बढ़े
- परियोजना
- प्रमाण
- साबित करना
- साबित
- साबित
- प्रकाशित
- धक्का
- धकेल दिया
- धक्का
- धक्का
- क्वांटमगाज़ी
- प्रश्न
- जल्दी से
- बिल्कुल
- उठाया
- लेकर
- बल्कि
- तक पहुंच गया
- पाठक
- वास्तविक
- वास्तव में
- रिकॉर्ड
- संदर्भ
- भरोसा करना
- शेष
- हटाया
- हटाने
- रेनेसां
- परिणाम
- परिणाम
- सही
- भूमिका
- जड़
- लगभग
- दौर
- दौड़ना
- कहा
- वही
- देखा
- कहना
- कहते हैं
- दूसरा
- सेकंड
- देखना
- लगता है
- कई
- सेवा
- सेट
- सेट
- की स्थापना
- बसना
- कई
- स्थानांतरित कर दिया
- स्थानांतरण
- चाहिए
- पता चला
- महत्व
- समान
- सरल
- के बाद से
- एक
- आकार
- छोटा
- छोटे
- चिकनी
- So
- अब तक
- समाधान ढूंढे
- कुछ
- कुछ
- कभी कभी
- जल्दी
- छिड़
- विशेष
- स्पॉट
- चौकोर
- निचोड़
- मानक
- स्टैनफोर्ड
- स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय
- प्रारंभ
- शुरू
- शुरू होता है
- कदम
- फिर भी
- रुकें
- रोक
- शक्ति
- छात्र
- छात्र
- अध्ययन
- पढ़ाई
- ठोकर
- विषय
- इसके बाद
- ऐसा
- जीवित रहने के
- लेना
- लिया
- तकनीक
- अवधि
- शर्तों
- से
- कि
- RSI
- दुनिया
- लेकिन हाल ही
- उन
- अपने
- फिर
- सिद्धांत
- वहाँ।
- इन
- वे
- सोचना
- तीसरा
- इसका
- उन
- हालांकि?
- तीन
- यहाँ
- पहर
- सेवा मेरे
- आज
- एक साथ
- भी
- साधन
- विषय
- टोरंटो
- कुल
- खरब
- <strong>उद्देश्य</strong>
- कोशिश
- दो बार
- जुड़वां
- दो
- प्रकार
- यूसीएलए
- कमजोर
- समझना
- समझ
- एकीकृत
- विश्वविद्यालय
- यूनिवर्सिटी ऑफ कैलिफोर्निया
- अप्रमाणित
- जब तक
- उन्नत
- उपयोग
- प्रयुक्त
- का उपयोग
- आमतौर पर
- संस्करण
- बहुत
- करना चाहते हैं
- था
- मार्ग..
- we
- webp
- कुंआ
- थे
- क्या
- कब
- या
- कौन कौन से
- कौन
- पूरा का पूरा
- किसका
- चौड़ा
- व्यापक रूप से
- मर्जी
- जीतना
- जीत
- साथ में
- शब्द
- काम
- कार्य
- विश्व
- चिंतित
- चिंता
- होगा
- लिखना
- लिखा हुआ
- लिखा था
- साल
- अभी तक
- आप
- छोटा
- आपका
- जेफिरनेट