गणितज्ञ लंबे समय से चले आ रहे थ्रेट टू नॉट कंजेक्चर को खत्म करते हैं

60 साल पहले, राल्फ फॉक्स ने गांठों के बारे में एक समस्या पेश की थी जो आज तक गणितज्ञों को परेशान करती है। उसका सवाल अब अक्सर "स्लाइस-रिबन अनुमान" के रूप में तैयार किया जाता है, जो मानता है कि गांठों के दो अलग-अलग समूह वास्तव में समान हैं। नॉट्स की दुनिया के भीतर सुरुचिपूर्ण सादगी के अपने सुझाव के साथ, यह नॉट थ्योरी में सबसे हाई-प्रोफाइल समस्याओं में से एक बन गया है। "इसका मतलब यह होगा कि दुनिया थोड़ी अधिक संरचित है जितना आप अन्यथा उम्मीद कर सकते हैं," कहा अरुणिमा रेबॉन में मैक्स प्लैंक इंस्टीट्यूट फॉर मैथमैटिक्स में गणितज्ञ।

दशकों तक, एक विशेष गाँठ को अनुमान लगाने के संभावित मार्ग होने का संदेह था। फिर भी ए में पेपर पिछली गर्मियों में पोस्ट किया गया, पाँच गणितज्ञों ने पाया कि यह गाँठ आख़िरकार काम करने वाली नहीं है। जबकि उनके द्वारा पेश किए गए तर्क गांठों के एक व्यापक वर्ग में नई अंतर्दृष्टि प्रदान करेंगे, संपूर्ण कार्य गणितज्ञों को अनुमान के बारे में अनिश्चित बनाता है। "मुझे लगता है कि यह सच होने जा रहा है या नहीं, इस पर वास्तविक वैध विवाद है," कहा क्रिस्टन हेंड्रिक्सरटगर्स विश्वविद्यालय में गणितज्ञ।

स्लाइस-रिबन अनुमान दो प्रकार की गांठों से संबंधित है: स्लाइस नॉट्स और रिबन नॉट्स। यह पता लगाना कि कौन सी गांठें कटी हुई हैं, "उन मूलभूत प्रश्नों में से एक है जो हमारे विषय के इर्द-गिर्द घूमते हैं," कहा अभिषेक मल्लिक, नए पेपर के लेखकों में से एक।

एक गणितीय गाँठ को स्ट्रिंग के सामान्य पाश के रूप में माना जा सकता है। गणितज्ञ एक साधारण लूप को बिना गाँठ के "अननॉट" कहते हैं। (हालांकि यह शब्द के सामान्य अर्थ में गाँठ नहीं है, गणितज्ञ अननॉट को गाँठ का सबसे सरल उदाहरण मानते हैं।)

नॉट्स एक आकृति की सीमा को भी परिभाषित करते हैं जिसे गणितज्ञ एक डिस्क कहते हैं, भले ही यह शब्द के सामान्य अर्थों में हमेशा डिस्क-जैसी न दिखे। सबसे सरल उदाहरण, अननॉट, एक वृत्त की सीमा बनाता है - एक "डिस्क" जो वास्तव में डिस्क की तरह दिखता है। लेकिन लूप न केवल एक सर्कल की सीमा बनाता है जो टेबल पर सपाट होता है, बल्कि एक कटोरे का भी होता है - जो तीन आयामों में फैला होता है - जो टेबल के शीर्ष पर उल्टा रखा जाता है। नॉट्स परिभाषित डिस्क को तीन आयामों से आगे चार में बढ़ाया जा सकता है।

यदि स्ट्रिंग में गाँठ है, तो डिस्क अधिक जटिल हो जाती है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, उन डिस्कों में विलक्षणताएं होती हैं - बिंदु जहां वे गणितीय रूप से खराब व्यवहार करते हैं। स्लाइस नॉट्स वे हैं जिनके लिए यह संभव है - चार आयामों में - ऐसी विलक्षणताओं के बिना एक डिस्क खोजने के लिए। स्लाइस नॉट्स हैं "अगली-सबसे अच्छी बात मैक्स प्लैंक इंस्टीट्यूट के भी, पीटर टीचनर के रूप में, अनकॉट के लिए, इसे डाल दिया है.

इसके बावजूद, तीन आयामों में स्लाइस नॉट्स से बंधे डिस्क बदसूरत और काम करने में मुश्किल हो सकते हैं। स्लाइस-रिबन अनुमान कहता है कि उन्हें होना जरूरी नहीं है।

रिबन गांठें गांठें होती हैं जिनके डिस्क रिबन के समान होते हैं। तीन आयामों में, ये रिबन अपने आप से गुजर सकते हैं, ठीक उसी तरह जैसे एक साधारण रिबन को इसके केंद्र के नीचे बने गश के माध्यम से खींचा जा सकता है। गणितीय रूप से, ऐसे पास-थ्रू को रिबन विलक्षणता कहा जाता है। अन्य प्रकार की विलक्षणताओं के विपरीत, रिबन विलक्षणता को चार आयामों में स्थानांतरित करके आसानी से समाप्त किया जा सकता है। इससे गणितज्ञों के लिए यह दिखाना आसान हो जाता है कि सभी रिबन नॉट स्लाइस हैं।

बातचीत - कि प्रत्येक टुकड़ा गाँठ भी रिबन है - टुकड़ा-रिबन अनुमान है, जो दशकों से एक खुला प्रश्न रहा है। (मामले को और जटिल बनाने के लिए, स्लाइस नॉट्स में कई संबंधित वर्गीकरण हैं, जिनमें "स्मूथली स्लाइस" और "टोपोलॉजिकल स्लाइस" शामिल हैं। अनुमान केवल "स्मूथली स्लाइस" प्रकार की गाँठ पर लागू होता है, जो कि गणितज्ञों का आमतौर पर "स्लाइस" से मतलब होता है।)

अनुमान का खंडन करने के लिए, यह एक गाँठ खोजने के लिए पर्याप्त है जो सुचारू रूप से कटी हुई है, लेकिन रिबन नहीं। दशकों से, गणितज्ञों की नज़र एक उम्मीदवार पर थी: फिगर-आठ गाँठ की (2, 1) केबल, जिसे फिगर-आठ गाँठ के साथ एक दूसरी स्ट्रिंग को पिरोकर बनाया गया था और फिर एक गाँठ बनाने के लिए दो तारों को मिला दिया गया था।

1980 में, अकीओ कवाउची ने साबित किया कि यह गाँठ तर्कसंगत और बीजगणितीय रूप से टुकड़ा है, गुण जो आसानी से टुकड़ा होने के समान हैं, लेकिन काफी समान नहीं हैं। 1994 में, कटुरा मियाज़ाकी ने साबित किया कि यह रिबन नहीं है, जिससे गणितज्ञों के लिए एक रहस्यपूर्ण शुरुआत हुई। यदि कवाउची के परिणाम को केवल एक स्पर्श से मजबूत किया जा सकता है, यह दिखाने के लिए कि गाँठ सुचारू रूप से कटी हुई है, तो यह अनुमान को अस्वीकृत कर देगा।

नया पेपर साबित करता है कि इस दरवाजे को बंद करने के बाद प्रश्न में गाँठ का टुकड़ा नहीं है।

"स्लाइस-रिबन अनुमान, अभी भी मजबूत हो रहा है," हेंड्रिक्स ने कहा, जिन्होंने नए पेपर के दो लेखकों के साथ मिलकर काम किया है। "यह बहुत रोमांचक है, क्योंकि लोगों ने इस उदाहरण को काफी लंबे समय तक समझने की कोशिश की है।"

नया सबूत ब्रंचड डबल कवर नामक किसी चीज़ पर आधारित है। आप बास्केटबॉल की तरह एक खोखले गोले के बारे में सोच कर एक शाखित दोहरे आवरण की कल्पना कर सकते हैं। बास्केटबॉल का शाखित दोहरा आवरण बनाने के लिए, इसे देशांतर की किसी एक रेखा के साथ ऊपर से नीचे की ओर काटें। अब, रबर के एक तरफ खींचें जहां आपने काटा है, इसे भूमध्य रेखा के साथ तब तक खींचे जब तक कि सामग्री चारों ओर से लपेट न जाए। एक बार जब आप इस परिवर्तन को समाप्त कर लेते हैं, तो आपके पास सामग्री की दो विनिमेय परतों से बना बास्केटबॉल होता है, इसलिए "डबल कवर"। (इस परिदृश्य में, रबर को बिना तोड़े या उखड़वाए जैसे चाहें वैसे खींचा और मरोड़ा जा सकता है।)

"ब्रांच्ड डबल कवर" में "शाखित" परिवर्तन की एक विचित्रता से आता है। चूंकि आप क्षैतिज रूप से फैले हुए हैं, फिर भी गेंद, उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों के शीर्ष और निचले बिंदुओं पर केवल एक ही परत है। इन बिंदुओं को शाखा बिंदु कहा जाता है, और उनकी उपस्थिति डबल कवर को ब्रांच्ड डबल कवर में बनाती है।

जब गांठों की बात आती है, तो शाखाओं वाले दोहरे आवरण को इस तरह से इकट्ठा किया जाता है कि शाखा बिंदु ही गाँठ होते हैं: वे बिंदु जो बास्केटबॉल के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों की तरह होते हैं, केवल एक बार ढके होते हैं।

"ऐतिहासिक रूप से, डबल ब्रांच्ड कवर को देखना व्यापार का एक मानक उपकरण रहा है," कहा जेनिफर होम, जॉर्जिया इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के एक गणितज्ञ जिन्होंने नए पेपर के दो लेखकों के साथ काम किया है। ऐसा इसलिए है क्योंकि - जिस तरह एक बास्केटबॉल हवा की एक गेंद को घेरता है - एक स्लाइस गाँठ का शाखित दोहरा आवरण एक निश्चित चार-आयामी आकार को घेरता है। यदि गणितज्ञ दिखा सकते हैं कि गाँठ का शाखित दोहरा आवरण सही 4D आकार को घेरता नहीं है, तो वे इस संभावना से इंकार कर सकते हैं कि गाँठ का टुकड़ा है।

लेकिन यह आंकड़ा-आठ गाँठ के (2, 1) केबल के लिए काफी काम नहीं करता है: इसका शाखित दोहरा आवरण सही प्रकार के चार-आयामी आकार को घेरता है। दिखा रहा है कि आकृति-आठ गाँठ का (2, 1) केबल टुकड़ा नहीं है, आकार की अक्सर अनदेखी समरूपता पर निर्भर करता है।

जब आप एक बास्केटबॉल की सतह को खींचकर एक शाखित डबल कवर बनाते हैं, तो आप अंदर हवा की त्रि-आयामी गेंद के समान कुछ करने की कल्पना कर सकते हैं। जैसे ही आप रबर को गेंद के चारों ओर खींचते हैं, वैसे ही इसके साथ हवा भी खींचें। जैसे रबर की दो परतें आपस में बदली जा सकती हैं, वैसे ही हवा के गोले में दो गोलार्ध होते हैं जो दोनों एक ही स्थान पर समाप्त होते हैं। दूसरे शब्दों में, गेंद के बाहर से समरूपता अंदर तक फैली हुई है।

उसी तरह, एक स्लाइस गाँठ के शाखित दोहरे आवरण पर समरूपता भीतर 4D स्थान तक पहुँचती है। गणितज्ञ आमतौर पर इस समरूपता की अवहेलना करते हैं जब यह दिखाने की कोशिश की जाती है कि गांठें कटी हुई नहीं हैं। लेकिन इस मामले में यह जरूरी था। यदि नए काम के लेखक दिखा सकते हैं कि ऐसी कोई समरूपता नहीं थी, तो वे यह निष्कर्ष निकालने में सक्षम होंगे कि गाँठ का टुकड़ा नहीं है।

"चूंकि प्रश्न किसी भी समरूपता का उल्लेख नहीं करता है, आप सोचेंगे: ठीक है, इसके बारे में कुछ कहने के लिए समरूपता चित्र में कैसे आती है? लेकिन किसी तरह, जादुई रूप से, इस मामले में समरूपता तस्वीर में आती है और आपके लिए समस्या हल करती है, ”मल्लिक ने कहा, जिन्होंने नए पेपर को लिखा था इरविंग दाई स्टैनफोर्ड यूनिवर्सिटी, कोरिया एडवांस्ड इंस्टीट्यूट ऑफ साइंस एंड टेक्नोलॉजी के जुंगहवान पार्क, मैथ्यू स्टॉफरेन मिशिगन स्टेट यूनिवर्सिटी के, और सुंगक्यूंग कांग दक्षिण कोरिया में बुनियादी विज्ञान संस्थान के।

"हम जानते थे कि वह संरचना वहां थी। लेकिन लोगों द्वारा इसका अध्ययन नहीं करने का एक कारण यह भी है कि हमारे पास उस संरचना पर नज़र रखने का कोई तरीका नहीं था," रे ने कहा। "आपको इसका पता लगाने के लिए एक फैंसी, उच्च शक्ति वाले उपकरण की आवश्यकता है।"

तर्क करने के लिए, टीम को गाँठ और उसके आस-पास के स्थान से संबंधित गहरे, जटिल गणित का उपयोग करना पड़ा, जो शाखाओं वाले दोहरे आवरण की तुलना में अधिक सूक्ष्म समरूपता पर निर्भर था। दो में पिछले कागजात, दाई, मल्लिक और स्टॉफरेगन ने इनमें से कुछ गुणों की गणना की थी। जब कांग ने पिछली गर्मियों में मिशिगन राज्य में स्टॉफ़रगेन का दौरा किया, तो (2, 1) फिगर-आठ गाँठ का केबल अभी भी उनके दिमाग में था, शोधकर्ताओं ने जल्दी से महसूस किया कि वे सूत्र इसके स्लाइसनेस की समस्या को सुलझा देंगे। "एक अंतर्ज्ञान है, जिसने मुझे बताया कि यह गणना काम करनी चाहिए," कांग ने कहा। "और इसकी गणना करके, हमें अभी इस समस्या को हल करने में सक्षम होना चाहिए।"

जुलाई के अंत में, उनका पेपर ऑनलाइन पोस्ट किया गया था, यह साबित करते हुए कि गाँठ वास्तव में टुकड़ा नहीं था। पेपर में विचार, पार्क ने कहा, कई गांठों पर लागू होना चाहिए जिनकी स्लाइसनेस वर्तमान में सवालों के घेरे में है। उन्होंने कहा, 'यह तो सिर्फ शुरुआत है। हालांकि यह पेपर एक विशेष गांठ पर केंद्रित है, पार्क ने कहा कि उनके द्वारा विकसित उपकरण गांठों के कहीं अधिक सामान्य परिवारों के लिए काम करेंगे। मूल गाँठ की गैर-स्लाइसनेस, हालांकि, यह सुनिश्चित करती है कि स्लाइस-रिबन अनुमान अभी के लिए अनसुलझा रहेगा।