फ़ील्ड्स को मर्ज करते हुए, गणितज्ञ पुरानी समस्या से दूरी बना लेते हैं | क्वांटा पत्रिका

योजनाओं में बदलाव एक रोड ट्रिप पर आया। पिछले अप्रैल के एक खूबसूरत दिन पर, गणितज्ञ राहेल ग्रीनफेल्ड और सारा पेलुसे अपने गृह संस्थान, प्रिंसटन, न्यू जर्सी में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी से रोचेस्टर, न्यूयॉर्क की ओर प्रस्थान किया, जहां दोनों को अगले दिन बातचीत करने के लिए निर्धारित किया गया था।

वे हार्मोनिक विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण अनुमान के साथ लगभग दो वर्षों से संघर्ष कर रहे थे, वह क्षेत्र जो अध्ययन करता है कि जटिल संकेतों को उनके घटक आवृत्तियों में कैसे विभाजित किया जाए। तीसरे सहयोगी के साथ, मरीना इलियोपोलू, वे समस्या के एक संस्करण का अध्ययन कर रहे थे जिसमें घटक आवृत्तियों को एक विमान में बिंदुओं के रूप में दर्शाया जाता है जिनकी एक दूसरे से दूरी पूर्णांक से संबंधित होती है। तीनों शोधकर्ता यह दिखाने की कोशिश कर रहे थे कि इनमें से बहुत सारे बिंदु नहीं हो सकते हैं, लेकिन अब तक, उनकी सभी तकनीकें कमज़ोर पड़ चुकी थीं।

ऐसा लग रहा था मानो वे अपने पहिये घुमा रहे हों। तब पेल्यूस के मन में एक विचार आया: क्या होगा यदि उन्होंने हार्मोनिक विश्लेषण समस्या को - अस्थायी रूप से, निश्चित रूप से - छोड़ दिया और अपना ध्यान उन बिंदुओं के सेट पर केंद्रित कर दिया जिनमें किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी बिल्कुल एक पूर्णांक है? ऐसे सेटों की क्या संभावित संरचनाएँ हो सकती हैं? गणितज्ञ प्राचीन काल से ही पूर्णांक दूरी सेट को समझने का प्रयास कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पायथागॉरियन त्रिक (जैसे 3, 4 और 5), समकोण त्रिभुजों का प्रतिनिधित्व करते हैं जिनके तीन शीर्ष पूर्णांक दूरी पर हैं।

"कार में, मुझे लगता है क्योंकि रेचेल मेरे साथ फंसी हुई थी, मैं उसे ऊपर ले आया," पेल्यूस ने कहा, जो अब मिशिगन विश्वविद्यालय में प्रोफेसर हैं। पूर्णांक दूरी से निपटने का विचार ग्रीनफील्ड को विद्युतीकृत करता है।

इससे पहले कि उन्हें इसका पता चले, वे दिशा में एक नहीं बल्कि दो परिवर्तन कर चुके थे।

पेलुसे ने कहा, "वास्तव में हमने इस पर ध्यान देना बंद कर दिया कि हम कहां जा रहे थे और एक्सप्रेसवे से नहीं उतरे।" "हम रोचेस्टर से विपरीत दिशा में जा रहे थे, जैसे, एक घंटे पहले हमने देखा, क्योंकि हम गणित को लेकर बहुत उत्साहित थे।"

1945 में, नॉर्मन एनिंग और पॉल एर्डोस साबित कि समतल में बिंदुओं का एक अनंत सेट जो सभी पूर्णांक दूरियों से अलग है, एक रेखा पर स्थित होना चाहिए। बिंदुओं के एक सीमित सेट के लिए, संभावनाएँ थोड़ी अधिक विविध हैं। गणितज्ञों ने बड़े सेट बनाए हैं जो या तो एक रेखा या एक वृत्त पर स्थित होते हैं, कभी-कभी तीन या चार अतिरिक्त बिंदुओं के साथ जो मुख्य ड्रैग से दूर होते हैं। (बिंदुओं में स्वयं पूर्णांक निर्देशांक होना आवश्यक नहीं है - प्रश्न उनके बीच की दूरी के बारे में है।)

कोई भी किसी अन्य कॉन्फ़िगरेशन के साथ बिंदुओं का एक बड़ा सेट लेकर नहीं आया है, लेकिन किसी ने भी यह साबित नहीं किया है कि अन्य कॉन्फ़िगरेशन असंभव हैं। एनिंग और एर्डोज़ के परिणाम के बाद से लगभग 80 वर्षों में, इस विषय में अब तक वस्तुतः कोई प्रगति नहीं देखी गई है।

ग्रीनफेल्ड, इलियोपोलू और पेलुसे के पास है साबित एक बड़े पूर्णांक दूरी सेट में सभी बिंदु - शायद कुछ मुट्ठी भर बाहरी बिंदुओं को छोड़कर - एक ही रेखा या वृत्त पर स्थित होने चाहिए। "यदि आप एक बड़ा सेट चाहते हैं जहां सभी जोड़ीदार दूरियां पूर्णांक हों, तो वृत्त और रेखाएं ही एकमात्र खिलाड़ी हैं," कहा जोज़सेफ सोलिमोसी ब्रिटिश कोलंबिया विश्वविद्यालय के. उन्होंने उनके परिणाम को "शानदार समाधान" बताया।

नया दृष्टिकोण गणित के तीन अलग-अलग क्षेत्रों से विचारों और तकनीकों का उपयोग करता है: कॉम्बिनेटरिक्स, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति। विभिन्न क्षेत्रों का एक साथ जुड़ना "एक वास्तविक मनोवैज्ञानिक सफलता हो सकती है," ने कहा टेरेंस ताओ, कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, लॉस एंजिल्स में एक गणितज्ञ।

एलेक्स इओसेविचरोचेस्टर विश्वविद्यालय के , सहमत हैं। उन्होंने कहा, "उन्होंने बहुत व्यापक समस्याओं के लिए बहुत ठोस नींव रखी।" "मेरे मन में इसमें कोई संदेह नहीं है कि इसे और भी गहरे अनुप्रयोग मिलेंगे।"

सादगी की सीमा

एक समतल के भीतर, बिंदुओं का एक अनंत सेट चुनना आसान है जो सभी पूर्णांक दूरी पर हों - बस अपनी पसंदीदा रेखा लें, उस पर आरोपित एक संख्या रेखा की कल्पना करें, और पूर्ण संख्याओं के अनुरूप कुछ या सभी बिंदुओं का उपयोग करें। लेकिन यह विमान में अनंत पूर्णांक दूरी निर्धारित करने का एकमात्र तरीका है, जैसा कि एनिंग और एर्दो ने 1945 में महसूस किया था। जैसे ही आपके पास केवल तीन बिंदु होते हैं जो सभी एक ही रेखा पर नहीं होते हैं, आपका कॉन्फ़िगरेशन इतना सीमित हो जाता है कि यह असंभव है असीमित रूप से कई और अंक जोड़ने के लिए।

इसका कारण सरल ज्यामिति है। कल्पना कीजिए कि आप दो बिंदुओं, ए और बी से शुरुआत करते हैं, जो एक पूर्णांक दूरी पर हैं। यदि आप एक तीसरा बिंदु C जोड़ना चाहते हैं, जो A और B दोनों से एक पूर्णांक दूरी है, लेकिन उनके माध्यम से रेखा पर स्थित नहीं है, तो विमान के अधिकांश बिंदु काम नहीं करेंगे। एकमात्र व्यवहार्य बिंदु विशेष वक्रों पर रहते हैं जिन्हें हाइपरबोलस कहा जाता है जो ए और बी के बीच कटते हैं। यदि ए और बी, मान लीजिए, 4 इकाइयों की दूरी पर हैं, तो ये हाइपरबोलस वास्तव में चार हैं। (एक हाइपरबोला में आमतौर पर दो अलग-अलग भाग होते हैं, उदाहरण के लिए नीचे दिए गए चित्र में दो लाल वक्र एक एकल हाइपरबोला बनाते हैं।)

एक बार जब आप C चुन लेते हैं (जो इस उदाहरण में A से 3 इकाइयाँ और B से 5 इकाइयाँ हैं), तो आपके पास अधिक अंक जोड़ने के लिए शायद ही कोई विकल्प होगा। आप जो भी बिंदु जोड़ सकते हैं वह ए और बी के बीच के हाइपरबोलस में से किसी एक पर या उनके बीच से गुजरने वाली रेखा पर स्थित होना चाहिए। लेकिन इसे ए और सी के बीच के हाइपरबोलस में से एक पर और बी और सी (या संबंधित रेखाओं) के बीच के हाइपरबोलस में से एक पर भी स्थित होना चाहिए - दूसरे शब्दों में, एक नया बिंदु केवल वहां रखा जा सकता है जहां तीन हाइपरबोलस या रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं (हालांकि प्रत्येक चौराहा बिंदु काम नहीं करेगा)। आरंभ करने के लिए इनमें से केवल सीमित संख्या में अतिपरवलय और रेखाएं होती हैं, और दो अतिपरवलय (या रेखाएं) अधिकतम चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं। तो अंत में आपके पास चुनने के लिए बहुत ही सीमित प्रतिच्छेदन बिंदु रह जाते हैं - आप एक अनंत सेट नहीं बना सकते।

जब यह समझने की बात आती है कि पूर्णांक दूरी बिंदुओं का एक सीमित सेट वास्तव में कैसा दिखता है, तो हाइपरबोला दृष्टिकोण जल्दी से बोझिल हो जाता है। जैसे-जैसे आप अंक जोड़ते हैं, आपको अतिपरवलयों की बढ़ती संख्या से जूझना पड़ता है। उदाहरण के लिए, जब तक आपके सेट में केवल 10 अंक होंगे, तब तक 11वां जोड़ने से हाइपरबोलस के 10 नए परिवार बन जाएंगे - ये सभी आपके नए बिंदु और सेट में पहले से मौजूद प्रत्येक बिंदु के बीच होंगे। ग्रीनफील्ड ने कहा, "आप कई बिंदु नहीं जोड़ सकते, क्योंकि आप उन सभी अतिशयोक्ति और चौराहों में खो जाएंगे।"

इसलिए गणितज्ञों ने पूर्णांक दूरी बिंदुओं के बड़े सेट के निर्माण के लिए अधिक प्रबंधनीय सिद्धांतों की तलाश की है जो एक रेखा पर नहीं होते हैं। लेकिन वे केवल एक ही तरीका अपना पाए हैं: अपने बिंदुओं को एक गोले पर रखें। यदि आप ट्रिलियन बिंदुओं के साथ एक पूर्णांक दूरी निर्धारित करना चाहते हैं, तो त्रिज्या 1 के एक वृत्त पर एक ट्रिलियन बिंदुओं के साथ आने के तरीके हैं जिनकी दूरियां सभी भिन्न हैं। तब आप वृत्त को तब तक फुला सकते हैं जब तक कि सभी आंशिक दूरियाँ पूर्ण संख्याओं में न बदल जाएँ। आप अपने सेट में जितने अधिक अंक चाहते हैं, उतना ही अधिक आपको सर्कल को फुलाने की आवश्यकता होगी।

पिछले कुछ वर्षों में, गणितज्ञ केवल थोड़े अधिक विदेशी उदाहरण लेकर आए हैं। वे बड़े पूर्णांक दूरी सेट का निर्माण कर सकते हैं जिसमें चार को छोड़कर सभी बिंदु एक रेखा पर हों या तीन को छोड़कर सभी एक वृत्त पर हों। कई गणितज्ञों को संदेह है कि ये एकमात्र बड़े पूर्णांक दूरी सेट हैं जिनमें सभी बिंदु एक रेखा या वृत्त पर नहीं हैं। यदि वे कभी बॉम्बिएरी-लैंग अनुमान नामक किसी चीज़ को साबित कर सकें तो उन्हें यह निश्चित रूप से पता चल जाएगा। लेकिन गणितज्ञ इस बात को लेकर बंटे हुए हैं कि क्या यह अनुमान सच होने की संभावना है।

1945 में एनिंग और एर्डोस के काम के बाद से, गणितज्ञों ने पूर्णांक दूरी सेट को समझने में बहुत कम प्रगति की है। समय के साथ, पूर्णांक दूरी की समस्या कॉम्बिनेटरिक्स, संख्या सिद्धांत और ज्यामिति में अन्य समस्याओं की एक श्रृंखला में शामिल हो गई, जिन्हें बताना आसान है लेकिन हल करना असंभव प्रतीत होता है। ताओ ने कहा, "यह इस बात का माप है कि हमारा गणित कितना दयनीय है।"

एक तरह से, पूर्णांक दूरी की समस्या अपनी ही शुरुआती सफलताओं का शिकार थी। हाइपरबोला प्रमाण, अपनी सहज सरलता के साथ, एर्दोज़ द्वारा प्रतिपादित दर्शन का प्रतीक है, जो एक अत्यधिक प्रभावशाली गणितज्ञ थे, जो अक्सर "द बुक" की बात करते थे - जो गणित में सबसे सुंदर प्रमाणों की एक कल्पित मात्रा है। इओसेविच ने कहा कि एर्दो द्वारा प्रचारित सादगी की संस्कृति ने संयोजन ज्यामिति में "जबरदस्त परिणाम" प्राप्त किए हैं। लेकिन इससे अंधे धब्बे भी पैदा हो सकते हैं - इस मामले में, बीजगणितीय ज्यामिति से दृष्टिकोण लाने के मूल्य के बारे में।

"मुझे नहीं लगता कि आपको पिछले 50 वर्षों में सिद्ध किया गया कोई परिणाम [बीजगणितीय ज्यामिति में] मिलेगा जो तकनीकी रूप से बहुत शामिल और गड़बड़ नहीं है," इओसेविच ने कहा। "हालांकि, कभी-कभी चीजों को इस तरह से होना जरूरी है।"

पूर्व-निरीक्षण में, पूर्णांक दूरी की समस्या उन गणितज्ञों की प्रतीक्षा कर रही थी जो हाइपरबोलस की तुलना में अधिक अनियंत्रित वक्रों पर विचार करने के इच्छुक थे और फिर उन्हें वश में करने के लिए बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत से रिकॉन्डाइट टूल का उपयोग करते थे। इओसेविच ने कहा, "इसके लिए पर्याप्त ज्ञान और रुचि वाले लोगों की आवश्यकता है।"

उन्होंने कहा, अधिकांश गणितज्ञ अपने पूरे करियर के लिए गणित के एक कोने में कुछ उपकरण चलाने से संतुष्ट हैं। लेकिन ग्रीनफेल्ड, इलियोपोलू और पेलूस निडर खोजकर्ता हैं, इओसेविच ने कहा। "वे गणित को एक सुसंगत संपूर्णता के रूप में देखते हैं।"

समस्या को जटिल बनाना

2021 की गर्मियों में, ग्रीनफेल्ड ने फैसला किया कि अब हार्मोनिक विश्लेषण की एक समस्या पर विचार करने का समय आ गया है, जिस पर वह ग्रेजुएट स्कूल के बाद से विचार कर रही थी। शास्त्रीय हार्मोनिक विश्लेषण, जो वास्तविक दुनिया में सिग्नल प्रोसेसिंग की नींव बनाता है, विभिन्न आवृत्तियों और चरणों की साइन तरंगों में सिग्नल को विघटित करने के बारे में है। यह प्रक्रिया काम करती है क्योंकि साइन तरंगों की एक अनंत सूची बनाना संभव है, जो संयुक्त होने पर, बिना किसी अतिरेक के, किसी भी सिग्नल की सभी विशेषताओं को पकड़ लेती है।

हालाँकि, अक्सर शोधकर्ता एक-आयामी सिग्नल की तुलना में अधिक जटिल चीज़ का अध्ययन करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, हो सकता है कि वे विमान में किसी डिस्क पर सिग्नल को विघटित करना चाहें। लेकिन डिस्क केवल संगत साइन तरंगों का एक सीमित संग्रह होस्ट कर सकती है - डिस्क पर सभी संभावित संकेतों के व्यवहार को पकड़ने के लिए बहुत कम। तो फिर प्रश्न यह बनता है: यह सीमित संग्रह कितना बड़ा हो सकता है?

इस तरह के संग्रह में, साइन की आवृत्तियों को विमान में उन बिंदुओं के रूप में दर्शाया जा सकता है जो रेखाओं और वृत्तों में क्लस्टरिंग के विपरीत प्रतीत होते हैं: आपको कभी भी तीन बिंदु नहीं मिलेंगे जो एक ही रेखा के करीब हों, या चार जो सभी करीब हों एक ही घेरे में. ग्रीनफेल्ड ने इस घृणा का उपयोग यह साबित करने के लिए करने की आशा की कि आवृत्तियों के इन सेटों में केवल कुछ बिंदु हो सकते हैं।

बॉन विश्वविद्यालय में 2021 की बैठक में, ग्रीनफील्ड ने "निर्धारक विधि" के बारे में एक चर्चा में भाग लिया, जो संख्या सिद्धांत की एक तकनीक है जिसका उपयोग यह अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ प्रकार के कितने पूर्णांक बिंदु वक्र पर स्थित हो सकते हैं। उसने महसूस किया कि यह उपकरण वही हो सकता है जिसकी उसे आवश्यकता थी। ग्रीनफेल्ड ने इलियोपोलू और पेलूस को भर्ती किया, जो बैठक में भी थे। ग्रीनफील्ड ने कहा, "हमने एक साथ इस पद्धति को सीखना शुरू किया।"

लेकिन कई प्रयासों के बावजूद, वे निर्धारक पद्धति को अपने उद्देश्य की ओर मोड़ने में असमर्थ दिखे, और 2023 के वसंत तक, वे हतोत्साहित महसूस कर रहे थे। इओसेविच ने ग्रीनफील्ड और पेलुसे को रोचेस्टर की यात्रा के लिए ड्राइव करने के लिए आमंत्रित किया था। "तो हम सोच रहे थे, 'ठीक है, हम रोचेस्टर जाएंगे, और एलेक्स से बात करने से हमें फिर से ताकत मिलेगी," पेलुसे ने कहा। लेकिन जैसा कि यह निकला, वे पहले से ही पुनर्जीवित होकर रोचेस्टर में उतरे, पेन्सिलवेनिया में सस्कुहन्ना नदी के किनारे उनके अनियोजित चक्कर पर पूर्णांक दूरी सेट की एक मजबूत चर्चा के लिए धन्यवाद।

वे इओसेविच के साथ नियोजित रात्रिभोज के लिए बहुत देर से पहुंचे, लेकिन उन्होंने उसे होटल की लॉबी में टेकआउट के बैग के साथ इंतजार करते हुए पाया। उन्होंने उनकी देरी को माफ कर दिया - और अगली सुबह जब उन्होंने उन्हें पूर्णांक दूरी सेट से निपटने की अपनी योजना के बारे में बताया तो वे उन्हें माफ करने से भी ज्यादा खुश थे। "वह बहुत उत्साहित था," पेलुसे ने याद किया। "भावनात्मक रूप से, यह एक बहुत बड़ा प्रोत्साहन था।"

हाइपरबोला दृष्टिकोण की तरह, ग्रीनफेल्ड, इलियोपोलू और पेलूस ने उन वक्रों के परिवारों की पहचान करके पूर्णांक दूरी सेट की संरचना को नियंत्रित करने का प्रयास किया, जिन पर बिंदु अवश्य स्थित होने चाहिए। जैसे ही आपके पास कुछ से अधिक बिंदु होते हैं, हाइपरबोला विधि बहुत जटिल होने लगती है, लेकिन ग्रीनफेल्ड, इलियोपोलू और पेलुसे ने यह पता लगाया कि संपूर्ण कॉन्फ़िगरेशन को उच्च-आयामी स्थान में ले जाकर एक ही समय में कई बिंदुओं पर विचार कैसे किया जाए।

यह देखने के लिए कि यह कैसे काम करता है, मान लीजिए कि आप अपने पूर्णांक दूरी सेट में "संदर्भ" बिंदु ए से शुरू करते हैं। सेट में हर दूसरा बिंदु ए से एक पूर्णांक दूरी है। बिंदु एक विमान में रहते हैं, लेकिन आप प्रत्येक बिंदु पर एक तीसरा समन्वय जोड़कर विमान को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में उछाल सकते हैं, जिसका मान ए से दूरी है। उदाहरण के लिए , मान लीजिए A बिंदु (1, 3) है। फिर बिंदु (4, 7), जो ए से 5 इकाई दूर है, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु (4, 7, 5) में बदल जाता है। यह प्रक्रिया समतल को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक शंकु में बदल देती है जिसका सिरा A पर बैठता है, जिसे अब (1, 3, 0) लेबल किया गया है। पूर्णांक दूरी बिंदु त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु बन जाते हैं जो शंकु पर और एक निश्चित जाली पर भी स्थित होते हैं।

इसी तरह, यदि आप दो संदर्भ बिंदु, ए और बी चुनते हैं, तो आप विमान में बिंदुओं को चार-आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं में परिवर्तित कर सकते हैं - बस प्रत्येक बिंदु को दो नए निर्देशांक दें जिनके मान ए और बी से इसकी दूरी हैं। यह प्रक्रिया विमान को परिवर्तित करती है चार आयामी अंतरिक्ष में एक घुमावदार सतह में। आप इस तरह से और भी संदर्भ बिंदु जोड़ते रह सकते हैं। प्रत्येक नए संदर्भ बिंदु के साथ, आयाम एक से बढ़ जाता है और विमान को एक समान घुमावदार सतह (या, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, उच्च डिग्री की सतह) पर मैप किया जाता है।

इस ढांचे के साथ, शोधकर्ताओं ने संख्या सिद्धांत से निर्धारक विधि का उपयोग किया। निर्धारक संख्याएं होती हैं, जो आमतौर पर मैट्रिक्स से जुड़ी होती हैं, जो बिंदुओं के संग्रह के कई ज्यामितीय गुणों को पकड़ती हैं - उदाहरण के लिए, एक विशेष निर्धारक तीन बिंदुओं से बने त्रिकोण के क्षेत्र को माप सकता है। निर्धारक विधि ऐसे निर्धारकों का उपयोग करने का एक तरीका प्रदान करती है ताकि एक टेढ़ी-मेढ़ी सतह और एक जाली पर एक साथ स्थित बिंदुओं की संख्या का अनुमान लगाया जा सके - ठीक उसी तरह की स्थिति जिससे ग्रीनफील्ड, इलियोपोलू और पेलुस निपट रहे थे।

शोधकर्ताओं ने यह दिखाने के लिए निर्धारक विधि के आधार पर कार्य की एक पंक्ति का उपयोग किया कि जब वे अपनी पूर्णांक दूरी को एक उपयुक्त उच्च आयाम तक बढ़ाते हैं, तो सभी बिंदुओं को कम संख्या में विशेष वक्रों पर स्थित होना चाहिए। ये वक्र, जब समतल में उनकी छाया एक रेखा या वृत्त नहीं होती है, तो उनमें कई जाली बिंदु नहीं हो सकते हैं, जो पूर्णांक दूरी सेट में बिंदुओं के लिए एकमात्र उम्मीदवार हैं। इसका मतलब है कि सेट में उन बिंदुओं की संख्या जो मुख्य रेखा या सर्कल से दूर हो सकती है, सीमित है - शोधकर्ताओं ने दिखाया कि यह सेट के व्यास के बहुत धीरे-धीरे बढ़ने वाले फ़ंक्शन से छोटा होना चाहिए।

उनकी सीमा "रेखा से चार बिंदु दूर या वृत्त से तीन बिंदु दूर" अनुमान के मानक तक नहीं पहुंचती है, जो कई गणितज्ञों का मानना ​​​​है कि बड़े पूर्णांक दूरी सेट के लिए सच है। फिर भी, परिणाम से पता चलता है कि "अनुमान का सार सत्य है," स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय के जैकब फॉक्स ने कहा। गणितज्ञों ने कहा कि अनुमान के पूर्ण प्रमाण के लिए नए विचारों के एक और मिश्रण की आवश्यकता होगी।

इओसेविच ने कहा, टीम की उच्च-आयामी एन्कोडिंग योजना "बेहद मजबूत" है। "सैद्धांतिक रूप से केवल एप्लिकेशन ही नहीं हैं - ऐसे एप्लिकेशन भी हैं जिनके बारे में मैं पहले से ही सोच रहा हूं।"

एक आवेदन, ग्रीनफेल्ड, इलियोपोलू और पेलुसे आशा, उनकी मूल हार्मोनिक विश्लेषण समस्या के लिए होगा, जिस पर तीनों अब लौट रहे हैं। ग्रीनफेल्ड ने कहा, पूर्णांक दूरी सेट पर उनका परिणाम "उस ओर एक कदम हो सकता है"।

आयोसेविच ने भविष्यवाणी की है कि बीजगणितीय ज्यामिति के साथ कॉम्बिनेटरिक्स का संश्लेषण जो शोधकर्ताओं ने शुरू किया है वह पूर्णांक दूरी सेट या हार्मोनिक विश्लेषण में संबद्ध समस्याओं के साथ नहीं रुकेगा। उन्होंने कहा, "मेरा मानना ​​है कि हम जो देख रहे हैं वह एक वैचारिक सफलता है।" "यह दोनों क्षेत्रों के लोगों को एक संदेश भेजता है कि यह एक बहुत ही उत्पादक बातचीत है।"

ताओ ने कहा, यह कभी-कभी किसी समस्या को और अधिक जटिल बनाने के मूल्य के बारे में भी एक संदेश भेजता है। उन्होंने कहा, गणितज्ञ आमतौर पर इसके विपरीत प्रयास करते हैं। "लेकिन यह एक उदाहरण है जहां समस्या को जटिल बनाना वास्तव में सही कदम है।"

उन्होंने कहा, प्रगति ने उच्च-डिग्री वक्रों के बारे में उनके सोचने के तरीके को बदल दिया है। "कभी-कभी वे आपके दोस्त हो सकते हैं, दुश्मन नहीं।"