पेचीदा गणितीय टाइलिंग का संक्षिप्त इतिहास | क्वांटा पत्रिका

हर दिन हम दोहराए जाने वाले रूपांकनों के उदाहरण देखते हैं। यह समरूपता और नियमितता सांसारिक और लगभग अदृश्य लग सकती है, जैसे कि इमारत की दीवारों पर ईंट का काम या छत्ते में हेक्सागोनल पैटर्न। या अगर हम इतने भाग्यशाली हैं कि हमें स्पेन के अल्हाम्ब्रा में खूबसूरत टाइल का काम या एमसी एस्चर के रचनात्मक चित्र देखने को मिले, तो पैटर्न हमें प्रेरित और आश्चर्यचकित कर सकते हैं।

सदियों से, गणितज्ञों ने इन दोहराई जाने वाली आकृतियों के साथ खेला है, उनसे आकर्षक अंतर्दृष्टि और नवीन संभावनाएं छीनी हैं। गणित की सुंदरता स्वयं डिज़ाइनों की सुंदरता की प्रतिद्वंद्विता करती है।

सबसे सरल टाइलिंग समान बहुभुजों से बनी होती है जिनकी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं और समान माप के कोण पूर्ण किनारे से पूर्ण किनारे से जुड़े होते हैं। लेकिन यद्यपि इन "नियमित" बहुभुजों की असीमित संख्या है - प्रत्येक भुजाओं की संख्या के लिए एक - केवल तीन नियमित टाइलिंग हैं, जो तीन, चार या छह भुजाओं वाली आकृतियों से बनी हैं - यानी, त्रिकोण, वर्ग और षट्भुज।

अन्य आकृतियाँ इसके लिए नहीं बनाई गई हैं। एक नियमित पंचभुज (पांच भुजाओं वाला) का आंतरिक कोण 108 डिग्री है। यह समान रूप से 360 डिग्री में विभाजित नहीं होता है, इसलिए नियमित पेंटागन को टाइलिंग में इकट्ठा करने का कोई भी प्रयास ऐसे अंतराल उत्पन्न करने के लिए बाध्य है जिन्हें भरा नहीं जा सकता है; हम कहते हैं कि नियमित पंचकोण समतल पर टाइल नहीं लगा सकता। और छह से अधिक भुजाओं वाले नियमित बहुभुजों के आंतरिक कोण इतने बड़े होते हैं कि तीनों एक ही बिंदु पर नहीं मिल पाते, और इसलिए वे भी नहीं मिल सकते।

नियमित बहुभुजों के साथ टाइल लगाने का एक और तरीका जोहान्स केपलर का है, जो आज ग्रहों की गति के बारे में अपनी खोजों के लिए जाने जाते हैं। 1619 में, उन्होंने दिखाया कि भले ही आप एक से अधिक नियमित बहुभुज का उपयोग करें, आप केवल आठ नए टाइलिंग पैटर्न बना सकते हैं जहां प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर कॉन्फ़िगरेशन समान है। (यदि हमें इस प्रतिबंध से भटकने की अनुमति दी जाए, तो अधिक संभावनाएं हैं।)

जब हम अनियमित बहुभुजों की अनुमति देते हैं, तो चीजें अधिक दिलचस्प हो जाती हैं। आश्चर्य की बात यह है कि प्रत्येक त्रिभुज तल पर टाइल लगा सकता है, और इससे भी अधिक आश्चर्य की बात यह है कि प्रत्येक चतुर्भुज भी ऐसा ही कर सकता है।

दूसरी ओर, छह से अधिक भुजाओं वाले किसी उत्तल बहुभुज के साथ समतल पर टाइल लगाना असंभव है; आंतरिक कोणों का योग बहुत बड़ा है। अतः शेष संभावनाओं के रूप में केवल पंचकोण और षट्कोण ही बचे हैं।

अपनी 1918 की डॉक्टरेट थीसिस में, कार्ल रेनहार्ड्ट ने साबित किया कि विमान को अनगिनत उत्तल षट्भुजों - बिना इंडेंटेशन के - के साथ टाइल करना संभव है - जिसे उन्होंने तीन परिवारों में समूहीकृत किया।

समतल को टाइल करने वाले उत्तल पंचकोणों को वर्गीकृत करना अधिक कठिन था। रेनहार्ड्ट ने ऐसे पंचकोणों के पाँच परिवारों की खोज की; 50 साल बाद, रिचर्ड केर्श्नर को तीन और मिले। फिर 1975 में, मार्टिन गार्डनर ने इस समस्या के बारे में लिखा अमेरिकी वैज्ञानिक, इसे पेशेवर और शौकिया गणितज्ञों के ध्यान में लाना। ऐसे ही एक शौकिया, रिचर्ड जेम्स III नाम के एक कंप्यूटर प्रोग्रामर ने गार्डनर को नौवें परिवार का एक उदाहरण भेजकर पूछा, "क्या आप सहमत हैं कि केर्श्नर इस परिवार से चूक गए?" उसके पास था।

मार्जोरी राइस, एक गृहिणी, ने भी गार्डनर का कॉलम पढ़ा और अपनी रसोई की मेज पर समस्या पर विचार करना शुरू कर दिया। उसने दो साल से अधिक समय तक प्रयास किया और खोज की चार और परिवार टाइलिंग पेंटागन का.

शोधकर्ताओं ने 14 में टाइलिंग पेंटागन का 1985वां परिवार पाया, और तीन दशक बाद, एक अन्य टीम ने कंप्यूटर खोज का उपयोग करके 15वां परिवार पाया। कोई नहीं जानता था कि क्या यह खोज सूची को पूरा करती है, या क्या अभी भी और परिवार छिपे हुए हैं। उस प्रश्न का उत्तर 2017 में माइकल राव द्वारा दिया गया था साबित कि सभी उत्तल टाइलिंग पेंटागन - और उनके साथ, सभी उत्तल टाइलिंग बहुभुज - पाए गए थे।

ये सभी टाइलिंग दोहराई जाती हैं। यानी, उनमें एक आवधिक समरूपता होती है, जिसका मूल रूप से मतलब यह है कि यदि हमें कागज के एक टुकड़े पर टाइलिंग का पता लगाना है और उस कागज को कुछ दिशाओं में स्लाइड करना है, तो यह फिर से टाइलिंग के साथ बिल्कुल संरेखित हो जाएगा।

अन्य प्रकार की समरूपताएँ भी संभव हैं। उदाहरण के लिए, एक दर्पण समरूपता का तात्पर्य है कि यदि हम अपने ट्रेसिंग पेपर को एक निश्चित रेखा के चारों ओर उल्टा घुमाते हैं तो हमारे पैटर्न पंक्तिबद्ध हो जाएंगे। घूर्णी समरूपता का अर्थ है कि यदि हम अपने कागज को घुमाएंगे तो वे पंक्तिबद्ध हो जाएंगे। और हम ग्लाइड प्रतिबिंब समरूपता प्राप्त करने के लिए क्रियाओं को जोड़ सकते हैं, जो कागज को फिसलने और फिर उसे पलटने जैसा है।

1891 में, रूसी क्रिस्टलोग्राफर इवग्राफ फेडोरोव ने साबित किया कि केवल 17 तरीके हैं जिनसे इन समरूपताओं को जोड़ा जा सकता है। चूंकि यह प्रतिबंध विमान की सभी आवधिक सजावटों पर लागू होता है, इसलिए इन्हें व्यापक रूप से 17 "वॉलपेपर समूहों" के रूप में जाना जाता है।

एक बार जब कोई समरूपता पैटर्न के इस वर्गीकरण से परिचित हो जाता है, तो एक आवधिक डिजाइन को देखना लगभग असंभव है, चाहे वह कितना भी जटिल हो, और इसे डिकोड करने के लिए एक पहेली के रूप में न देखें: वास्तव में, यह कहां और कैसे दोहराता है? वे समरूपताएँ कहाँ हैं?

बेशक, प्रत्येक टाइलिंग डिज़ाइन आवधिक नहीं है। विमान में टाइलें लगाना संभव और अक्सर आसान होता है, ताकि परिणामी डिज़ाइन कभी भी दोहराया न जाए। षट्कोणों, वर्गों और त्रिभुजों के साथ हमारे उदाहरण में, आप केवल एक षट्भुज और उसके आसपास के बहुभुजों को 30 डिग्री तक घुमाकर ऐसा कर सकते हैं। परिणामी टाइलिंग में अब अनुवादात्मक समरूपता नहीं है।

1961 में, तर्कशास्त्री हाओ वांग ने अनुमान लगाया कि यदि आकृतियों का एक सेट विमान को टाइल करता है, तो आकृतियों को समय-समय पर विमान को टाइल करने में सक्षम होना चाहिए। कुछ ही साल बाद, उनके स्नातक छात्र रॉबर्ट बर्जर ने विमान को टाइल करने वाली 20,000 से अधिक टाइलों के एक विशाल सेट की खोज करके उन्हें गलत साबित कर दिया, लेकिन केवल गैर-आवधिक रूप से। ऐसे टाइल सेट को एपेरियोडिक कहा जाता है।

हालाँकि बर्जर और अन्य लोग इन एपेरियोडिक सेटों के आकार को काफी कम करने में सक्षम थे, 1970 के दशक के मध्य में रोजर पेनरोज़ ने अपने स्वयं के एपेरियोडिक टाइल्स के बहुत छोटे सेटों की खोज करके दुनिया का ध्यान आकर्षित किया। सबसे छोटे सेट के लिए केवल दो टाइलों की आवश्यकता होती है।

इन आकृतियों और पैटर्नों ने गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और आम जनता को मंत्रमुग्ध कर दिया। लेकिन उन्होंने एक स्पष्ट अगला प्रश्न उठाया: क्या एक भी एपेरियोडिक टाइल है? टाइलिंग सिद्धांत की अंतिम खोज अब ऐसी "आइंस्टीन" टाइल ढूंढना थी - जिसका नाम भौतिक विज्ञानी के नाम पर नहीं, बल्कि जर्मन वाक्यांश "वन स्टोन" के नाम पर रखा गया था।

2010 में, जोशुआ सोकोलर और जोन टेलर आइंस्टीन की खोज के बहुत करीब आ गए। उनके दृष्टिकोण के साथ समस्या यह थी उनकी टाइल काटनी पड़ी; यह विमान को हवाई राज्य जैसी आकृतियों के साथ टाइल करने जैसा होगा, जो कैलिफोर्निया जैसी जुड़ी हुई आकृतियों के बजाय अलग-अलग क्षेत्रों से बनी एक इकाई है। तेजी से, गणितज्ञों को संदेह होने लगा कि यदि आइंस्टीन अस्तित्व में है, तो यह ज्यामितीय रूप से बहुत जटिल होगा।

मार्च 2023 में एक नौसिखिया ने दुनिया को फिर चौंका दिया. डेविड स्मिथ नाम के एक सेवानिवृत्त प्रिंट तकनीशियन और गणितीय शौकीन ने न केवल एक एपेरियोडिक मोनोटाइल की खोज की थी एक अनंत परिवार इन मायावी आइंस्टाइनों का। उन्होंने क्रेग कपलान, चैम गुडमैन-स्ट्रॉस और जोसेफ सैमुअल मायर्स - कंप्यूटर विज्ञान, गणित और टाइलिंग के सिद्धांत के विशेषज्ञों को शामिल किया - और साथ में उन्होंने एक ज्यामितीय रूप से सरल आइंस्टीन प्रस्तुत किया जिसे हैट टाइल कहा जाता है (जिसे इंटरनेट ने टी-शर्ट की तरह देखा था) ).

प्रतिक्रिया तीव्र और सकारात्मक थी. खोजकर्ताओं ने सम्मेलनों में बात की और ऑनलाइन भाषण दिए। गणितीय कलाकारों ने इन नई ज्यामितीय रूप से दिलचस्प टाइलों के आधार पर एस्चर जैसी डिज़ाइन तैयार करने के रचनात्मक तरीके खोजने का मौका उठाया। हैट टाइल एक देर रात के टेलीविजन शो के एकालाप में भी दिखाई दी।

फिर भी सुधार की गुंजाइश अभी भी थी। विमान को टोपी से टाइल करने के लिए, आपको टाइलों के लगभग सातवें हिस्से को उल्टा करना होगा। एक गृहस्वामी जो अपने बाथरूम में हैट टाइल लगाना चाहता है, उसे दो प्रकार की टाइलें खरीदनी होंगी: एक मानक टाइल और उसकी दर्पण छवि। क्या यह सचमुच आवश्यक था?

इससे पहले कि हैट टाइल का उत्साह कम हो, टीम ने एक और घोषणा की। स्मिथ ने एपेरियोडिक मोनोटाइल्स के उस अनंत परिवार में पाया था, जिसे उन्होंने "स्पेक्टर" कहा था जो प्रतिबिंबित प्रतियों की आवश्यकता के बिना विमान को टाइल कर सकता था। आख़िरकार एक सच्चा आइंस्टाइन प्रकट हुआ।

अब हम टाइलिंग और टेस्सेलेशन के गणितीय अन्वेषण में पुनरुत्थान के बीच में हैं। इसने शौकीनों के महत्वपूर्ण योगदान पर भरोसा किया है, गणितीय कलाकारों की रचनात्मकता को प्रेरित किया है, और ज्ञान की सीमाओं को आगे बढ़ाने के लिए कंप्यूटर की शक्ति का उपयोग किया है। और इससे, हमने समरूपता, ज्यामिति और डिज़ाइन की प्रकृति में नई अंतर्दृष्टि प्राप्त की है।

भूल सुधार: अक्टूबर 30
इस लेख के मूल संस्करण में कहा गया है कि छह से अधिक भुजाओं वाले किसी भी बहुभुज के साथ विमान पर टाइल लगाना असंभव है। यह तभी सत्य है जब बहुभुज उत्तल हो।

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