गणितज्ञ जो पहले से जानते हैं उसे पुनः सिद्ध क्यों करें

हाई स्कूल की शुरुआत में बहुत से लोग जो पहला प्रमाण सीखते हैं, वह प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड का प्रमाण है कि अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं। यह केवल कुछ पंक्तियाँ लेता है और पूर्णांकों और गुणा से अधिक जटिल अवधारणाओं का उपयोग नहीं करता है।

उनका प्रमाण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि, यदि अभाज्य संख्याओं की परिमित संख्या होती, तो उन सभी को एक साथ गुणा करने और 1 जोड़ने से एक और अभाज्य संख्या का अस्तित्व होता। इस विरोधाभास का तात्पर्य है कि primes अनंत होना चाहिए।

गणितज्ञों के पास एक दिलचस्प लोकप्रिय शगल है: इसे बार-बार साबित करना।

ऐसा करने की जहमत क्यों? एक बात के लिए, यह मजेदार है। इससे भी महत्वपूर्ण बात, "मुझे लगता है कि मनोरंजक गणित और गंभीर गणित के बीच की रेखा बहुत पतली है," कहा विलियम गैसार्च, मैरीलैंड विश्वविद्यालय में कंप्यूटर विज्ञान के प्रोफेसर और लेखक हैं एक नया सबूत इस साल की शुरुआत में ऑनलाइन पोस्ट किया गया।

गैसार्च का प्रमाण उपन्यास प्रमाणों के लंबे उत्तराधिकार में केवल नवीनतम है। 2018 में, रोमियो मेस्त्रोविक मोंटेनेग्रो विश्वविद्यालय ने यूक्लिड के प्रमेय के लगभग 200 प्रमाणों को एक में संकलित किया व्यापक ऐतिहासिक सर्वेक्षण. वास्तव में, विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का संपूर्ण क्षेत्र, जो पूर्णांकों का अध्ययन करने के लिए लगातार बदलती मात्राओं का उपयोग करता है, यकीनन उत्पन्न हुआ 1737 में, जब गणितीय विशाल लियोनहार्ड यूलर ने इस तथ्य का उपयोग किया कि अनंत श्रृंखला 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … विचलन करती है (अर्थात् यह एक परिमित संख्या का योग नहीं है), फिर से साबित करने के लिए कि अनंत संख्या में अभाज्य संख्याएँ हैं।

क्रिश्चियन एल्शोल्ट्ज़, ऑस्ट्रिया में ग्राज़ यूनिवर्सिटी ऑफ़ टेक्नोलॉजी में गणितज्ञ और के लेखक एक और हालिया प्रमाण, ने कहा कि कई छोटे परिणामों से कठिन परिणाम साबित करने के बजाय - गणितज्ञ क्या करते हैं जब वे व्यवस्थित रूप से लेम्मा को प्रमेयों में इकट्ठा करते हैं - उन्होंने इसके विपरीत किया। "मैं फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का उपयोग करता हूं, जो वास्तव में एक गैर-तुच्छ परिणाम है। और फिर मैं एक बहुत ही सरल परिणाम समाप्त करता हूं। उन्होंने कहा कि इस तरह पिछड़े काम करने से गणित के विभिन्न क्षेत्रों के बीच छिपे संबंधों का पता चल सकता है।

"सबसे हास्यास्पद रूप से कठिन प्रमाण प्राप्त करने के लिए लोगों के लिए थोड़ी प्रतिस्पर्धा है," कहा एंड्रयू ग्रानविल, मॉन्ट्रियल विश्वविद्यालय में गणितज्ञ और लेखक दो में से अन्य सबूत. "यह मनोरंजक होना चाहिए। तकनीकी रूप से भयानक कुछ करने का कोई मतलब नहीं है। किसी कठिन काम को करने का एक ही तरीका है कि वह मनोरंजक हो।"

ग्रानविले ने कहा कि इस मैत्रीपूर्ण श्रेष्ठता का एक गंभीर बिंदु है। शोधकर्ता केवल ऐसे प्रश्न नहीं हैं जिन्हें वे हल करने का प्रयास करते हैं। "गणित में निर्माण प्रक्रिया के बारे में नहीं है, आप बस एक मशीन को एक कार्य निर्धारित करते हैं और मशीन इसे हल करती है। यह किसी के बारे में है कि उन्होंने अतीत में क्या किया है और इसका उपयोग तकनीक बनाने और विचारों को विकसित करने का एक तरीका बनाने के लिए किया है।

जैसा कि गैसार्क कहते हैं, "सभी कागजात, वे एक प्यारे नए सबूत से बहस करते हैं कि प्राइम गंभीर गणित में अनंत हैं। एक दिन आप सिर्फ अभाज्य संख्या देख रहे हैं, और अगले दिन आप वर्गों के घनत्व को देख रहे हैं।

गैसार्च का प्रमाण इस तथ्य से शुरू होता है कि यदि आप पूर्णांकों को रंगों की एक सीमित संख्या के साथ रंगते हैं, तो हमेशा एक ही रंग के साथ संख्याओं की एक जोड़ी होगी जिसका योग भी वह रंग है, जो था 1916 में साबित हुआ इसाई शूर द्वारा। गैसार्च ने शूर के प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि, यदि अभाज्य संख्याओं की एक परिमित संख्या होती, तो एक पूर्ण घन (एक पूर्णांक, जैसे 125, जो कि किसी अन्य पूर्णांक के बराबर होता है जो स्वयं से तीन बार गुणा किया जाता है) मौजूद होता, जो कि दो का योग होता है अन्य परिपूर्ण क्यूब्स। लेकिन 1770 में, यूलर ने साबित कर दिया था कि ऐसा कोई घन मौजूद नहीं है - द n = फर्मेट के अंतिम प्रमेय का 3 मामला, जो मानता है कि कोई पूर्णांक समाधान नहीं हैं aⁿ + bⁿ = cⁿ एसटी n 2 से बड़ा। उस विरोधाभास के आधार पर, गैसार्च ने तर्क दिया कि अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या होनी चाहिए।

ग्रैनविले के 2017 के सबूतों में से एक ने फर्मेट के एक अलग प्रमेय का इस्तेमाल किया। ग्रैनविले मुख्य रूप से ए पर निर्भर थे 1927 प्रमेय Bartel Leendert van der Waerden द्वारा, जिसमें दिखाया गया है कि यदि आप पूर्णांकों को रंगों की एक सीमित संख्या के साथ रंगते हैं, तो हमेशा समान रंग के साथ समान दूरी वाले पूर्णांकों की मनमाने ढंग से लंबी श्रृंखला मौजूद होती है। गैसार्च की तरह, ग्रानविले ने इस धारणा के साथ शुरुआत की कि अभाज्य संख्याएँ परिमित हैं। इसके बाद उन्होंने वैन डेर वेर्डन के प्रमेय का उपयोग चार समान दूरी वाले, समान रूप से रंगीन पूर्ण वर्गों के अनुक्रम को खोजने के लिए किया। लेकिन फर्मेट ने साबित कर दिया था कि ऐसा कोई अनुक्रम मौजूद नहीं हो सकता। विरोधाभास! चूँकि इस तरह का एक क्रम मौजूद हो सकता है, वहाँ प्राइम्स की एक सीमित संख्या होती है, लेकिन यह मौजूद नहीं हो सकता है, वहाँ अनंत संख्या में प्राइम्स होने चाहिए। ग्रानविले का प्रमाण वैन डेर वेर्डन के प्रमेय पर आकर्षित करने वाला दूसरा हालिया प्रमुख प्रमाण था - लेवेंट एल्पोगे, जो अब हार्वर्ड विश्वविद्यालय में एक पोस्टडॉक है, ने भी परिणाम का उपयोग किया था 2015 कागज, प्रकाशित जब वह अभी भी कॉलेज में था।

ग्रानविले एल्शोल्ट्ज़ के पेपर का एक विशेष प्रशंसक है, जो फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय और प्रतितथ्यात्मक धारणा को भी लागू करता है कि केवल बहुत से अभाज्य संख्याएँ हैं। गैसार्च की तरह, एलशोल्ट्ज़ ने शूर के प्रमेय को शामिल किया, हालांकि कुछ अलग तरीके से। एल्शोल्ट्ज़ ने a का प्रयोग करते हुए दूसरा प्रमाण भी दिया क्लॉस रोथ द्वारा 1953 प्रमेय, जो कहता है कि एक निश्चित आकार से अधिक पूर्णांकों के सेट में तीन समान दूरी वाली संख्याओं के समूह होने चाहिए।

कुछ गहरे - और यहां तक ​​कि व्यावहारिक - गणितीय प्रश्नों का उत्तर इस कार्य के आधार पर दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सार्वजनिक कुंजी एन्क्रिप्शन जो बड़ी संख्या में फैक्टरिंग की कठिनाई पर निर्भर करता है, को तोड़ना बहुत आसान होगा यदि हम एक ऐसी दुनिया में रहते हैं जहाँ बहुत से अभाज्य संख्याएँ हैं। Elsholtz आश्चर्य करता है कि क्या असीम रूप से कई primes के प्रमाण के बीच कुछ संबंध हो सकता है और यह साबित करना है कि इस तरह की एन्क्रिप्शन योजनाओं को क्रैक करना कितना कठिन है। Elsholtz ने कहा, "यूक्लिड के प्रमेय के लिए कुछ कमजोर संबंध है"। "गहरे कनेक्शन देखना दिलचस्प होगा।"

ग्रानविले ने कहा कि सबसे अच्छा गणित विभिन्न क्षेत्रों और विषयों के अजीब संयोजन से विकसित हो सकता है और अक्सर गणितज्ञों द्वारा निचले स्तर पर मनोरंजक समस्याओं पर नूडलिंग में वर्षों बिताने के बाद उभरता है। वह इस तथ्य से रोमांचित हैं कि दूरस्थ प्रतीत होने वाले विषयों को संख्या सिद्धांत पर लागू किया जा सकता है। हाल के एक सर्वेक्षण में, ग्रानविले ने एक के "विरल लालित्य" की प्रशंसा की हिलेल फुरस्टेनबर्ग द्वारा 1955 का प्रमाण, जिसमें पॉइंट-सेट टोपोलॉजी का इस्तेमाल किया गया था। अल्पोज की तरह, फुरस्टेनबर्ग अभी भी कॉलेज में थे जब उनका प्रमाण प्रकाशित हुआ था। वह एक पर चला जाएगा शानदार करियर में गणितीय विषयों की विविधता.

ग्रैनविले ने आलंकारिक रूप से पूछा कि क्या यूक्लिड के पुराने परिणाम के नए प्रमाण "सिर्फ जिज्ञासा या कुछ ऐसा है जिसका कुछ दीर्घकालिक महत्व है।" अपने ही सवाल का जवाब देते हुए उन्होंने कहा: "मैं आपको नहीं बता सकता।"