संख्याओं द्वारा रंगने से अंशों में अंकगणितीय पैटर्न का पता चलता है

अपनी पीएच.डी. शुरू करने के एक साल बाद। मैकगिल विश्वविद्यालय में गणित में मैट बोवेन को एक समस्या थी। "मैंने अपनी योग्यता परीक्षा दी और उन पर बिल्कुल खराब प्रदर्शन किया," उन्होंने कहा। बोवेन को यकीन था कि उनके अंक उनके गणितीय कौशल को प्रतिबिंबित नहीं करते हैं, और उन्होंने इसे साबित करने का संकल्प लिया। पिछली गिरावट उसने तब की थी, जब उसने और उसके सलाहकार ने, मार्सिन साबोक, एक प्रमुख अग्रिम पोस्ट किया के नाम से जाने जाने वाले क्षेत्र में रामसे सिद्धांत.

लगभग एक शताब्दी के लिए, रैमसे सिद्धांतकार इस बात का सबूत इकट्ठा कर रहे हैं कि गणितीय संरचना शत्रुतापूर्ण परिस्थितियों में बनी रहती है। वे पूर्णांकों या भिन्नों जैसी संख्याओं के बड़े समूहों को तोड़ सकते हैं, या किसी नेटवर्क पर बिंदुओं के बीच के कनेक्शनों को काट सकते हैं। वे तब यह साबित करने के तरीके खोजते हैं कि कुछ संरचनाएं अपरिहार्य हैं, भले ही आप चतुर तरीके से तोड़कर या टुकड़े करके उन्हें बनाने से बचने की कोशिश करें।

जब रैमसे सिद्धांतकार संख्याओं के समूह को विभाजित करने की बात करते हैं, तो वे अक्सर रंग भरने की भाषा का उपयोग करते हैं। कई रंग चुनें: उदाहरण के लिए लाल, नीला और पीला। अब एक संग्रह में प्रत्येक संख्या को एक रंग दें। यहां तक ​​​​कि अगर आप इसे यादृच्छिक या अराजक तरीके से करते हैं, तो कुछ पैटर्न अनिवार्य रूप से तब तक उभरेंगे जब तक कि आप विभिन्न रंगों की केवल एक सीमित संख्या का उपयोग करते हैं, भले ही वह संख्या बहुत बड़ी हो। रैमसे सिद्धांतकार इन पैटर्नों को खोजने की कोशिश करते हैं, "मोनोक्रोमैटिक" संख्याओं के संरचित सेटों की खोज करते हैं, जिसका अर्थ है कि उनके तत्वों को एक ही रंग दिया गया है।

रंग भरने के पहले परिणाम 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में वापस जाते हैं। 1916 तक, इस्साई शूर ने यह साबित कर दिया था कि चाहे आप धनात्मक पूर्णांकों (जिन्हें प्राकृतिक संख्याएं भी कहा जाता है) में रंग दें, हमेशा संख्याओं का एक जोड़ा होगा x और y ऐसा है कि x, y, और उनकी राशि एक्स + वाई सब एक ही रंग के हैं। 20वीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने रंग संबंधी समस्याओं पर काम करना जारी रखा। 1974 में, नील हिंडन शूर का परिणाम बढ़ाया पूर्णांकों के एक अनंत उपसमुच्चय को शामिल करने के लिए। शूर के प्रमेय की तरह, हिंडन लागू होता है चाहे प्राकृतिक संख्याएं कितनी भी रंगीन क्यों न हों (क्रेयॉन की सीमित संख्या के साथ)। हिंडन के समुच्चय में ये सभी पूर्णांक न केवल एक ही रंग के हैं, बल्कि यदि आप इनके किसी भी संग्रह का योग करते हैं, तो परिणाम भी उसी रंग का होगा। इस तरह के सेट इसमें सम संख्याओं के समान होते हैं, जैसे कि सम संख्याओं का कोई भी योग हमेशा सम होता है, उसी प्रकार हिंडन के किसी एक सेट में किसी भी संख्या का योग उस सेट में समाहित होगा।

सबोक ने कहा, "हिंडमैन की प्रमेय गणित का एक अद्भुत टुकड़ा है।" "यह एक ऐसी कहानी है जिस पर हम एक फिल्म बना सकते हैं।"

लेकिन हिंडन ने सोचा कि और भी संभव है। उनका मानना ​​था कि आप मनमाने ढंग से बड़े (लेकिन परिमित) मोनोक्रोमैटिक सेट पा सकते हैं जिसमें न केवल इसके सदस्यों का योग होता है, बल्कि उत्पाद भी होते हैं। उन्होंने कहा, "मैंने दशकों से कहा है कि यह एक तथ्य है," उन्होंने कहा, "मैं यह नहीं मानता कि मैं इसे साबित कर सकता हूं।"

हिंडन का अनुमान

यदि आप योग को छोड़ देते हैं और केवल यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि उत्पाद समान रंग के हों, तो रकम को उत्पादों में बदलने के लिए घातांक का उपयोग करके हिंडन के प्रमेय को अनुकूलित करना सीधा है (जैसा कि एक स्लाइड नियम करता है)।

हालांकि, एक साथ रकम और उत्पादों के साथ कुश्ती करना कहीं अधिक कठिन है। "उन दोनों को एक दूसरे से बात करवाना बहुत मुश्किल है," कहा जोएल मोरेरावारविक विश्वविद्यालय में गणितज्ञ। "यह समझना कि जोड़ और गुणन कैसे संबंधित हैं - यह एक तरह से सभी संख्या सिद्धांत का आधार है।"

1970 के दशक में पहली बार हिंडन द्वारा सुझाया गया एक सरल संस्करण भी चुनौतीपूर्ण साबित हुआ। उन्होंने अनुमान लगाया कि प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी रंग में फॉर्म का एक मोनोक्रोमैटिक सेट होना चाहिए {x, y, xy, एक्स + वाई} - दो नंबर x और y, साथ ही साथ उनका योग और उत्पाद। बोवेन ने कहा, "लोगों ने वास्तव में इस समस्या पर दशकों तक कोई प्रगति नहीं की।" "और फिर अचानक, 2010 के आसपास, लोगों ने इसके बारे में अधिक से अधिक सामान साबित करना शुरू कर दिया।"

बोवेन के बारे में सीखा {x, y, xy, एक्स + वाई} समस्या 2016 में, उनके कॉलेज के दूसरे सेमेस्टर में, जब कार्नेगी मेलन विश्वविद्यालय में उनके प्रोफेसरों में से एक ने कक्षा में समस्या का वर्णन किया। बोवेन इसकी सादगी से चकित थे। "यह इन अच्छी चीजों में से एक है जहां यह पसंद है, ठीक है, मुझे ज्यादा गणित नहीं पता है, लेकिन मैं इसे समझ सकता हूं," उन्होंने कहा।

2017 में, मोरेरा साबित कि इसलिए आप कर सकते हैं हमेशा चार वांछित तत्वों में से तीन युक्त एक मोनोक्रोमैटिक सेट खोजें: x, xy, तथा x + y. इस बीच, बोवेन ने अपने वरिष्ठ वर्ष के दौरान प्रश्न के साथ लापरवाही से छेड़छाड़ करना शुरू कर दिया। "मैं वास्तव में समस्या का समाधान नहीं कर सका," उन्होंने कहा। "लेकिन मैं इसे हर छह महीने में वापस आऊंगा।" अपने पीएचडी पर खराब प्रदर्शन के बाद। 2020 में क्वालीफाइंग परीक्षा, उसने अपने प्रयासों को दोगुना कर दिया। कुछ दिनों बाद, उन्होंने {x, y, xy, एक्स + वाई} दो रंगों के मामले के लिए अनुमान, एक परिणाम है कि रॉन ग्राहम ने पहले ही 1970 के दशक में एक कंप्यूटर की सहायता से साबित कर दिया था।

उस सफलता के साथ, बोवेन ने परिणाम को रंगों की संख्या में विस्तारित करने के लिए सबोक के साथ काम किया। लेकिन जल्दी ही वे तकनीकी बारीकियों में उलझ गए। सबोक ने कहा, "रंगों की संख्या बड़ी होने पर समस्या की जटिलता पूरी तरह से नियंत्रण से बाहर हो जाती है।" 18 महीनों तक, उन्होंने खुद को निकालने का प्रयास किया, लेकिन भाग्य से नहीं। साबोक ने कहा, "इस डेढ़ साल के दौरान, हमारे पास लगभग एक लाख गलत सबूत थे।"

विशेष रूप से एक कठिनाई ने दो गणितज्ञों को प्रगति करने से रोक दिया। यदि आप यादृच्छिक रूप से दो पूर्णांक चुनते हैं, तो आप शायद उन्हें विभाजित नहीं कर पाएंगे। विभाजन केवल दुर्लभ मामले में काम करता है जहां पहली संख्या दूसरे की एक बहु है। यह बेहद सीमित निकला। उस बोध के साथ, बोवेन और साबोक ने {x, y, xy, एक्स + वाई} इसके बजाय परिमेय संख्याओं में अनुमान लगाना (जैसा कि गणितज्ञ भिन्न कहते हैं)। वहां, संख्याओं को त्याग के साथ विभाजित किया जा सकता है।

बोवेन और सबोक का प्रमाण अपने सबसे सुंदर रूप में होता है जब इसमें शामिल सभी रंग परिमेय संख्याओं में बार-बार दिखाई देते हैं। रंग कई अलग-अलग तरीकों से "अक्सर" दिखाई दे सकते हैं। उनमें से प्रत्येक संख्या रेखा के बड़े हिस्से को कवर कर सकता है। या इसका मतलब यह हो सकता है कि आप प्रत्येक रंग को देखे बिना संख्या रेखा पर बहुत दूर तक यात्रा नहीं कर सकते। आमतौर पर, रंग ऐसे नियमों के अनुरूप नहीं होते हैं। उन मामलों में, आप तर्कसंगत संख्याओं के भीतर छोटे क्षेत्रों पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं जहां रंग अधिक बार दिखाई देते हैं, सबोक ने समझाया। "यह वह जगह है जहां काम का बड़ा हिस्सा आया," उन्होंने कहा।

अक्टूबर 2022 में, बोवेन और सबोक ने एक प्रमाण पोस्ट किया कि यदि आप परिमेय संख्याओं को बहुत से रंगों से रंगते हैं, तो फॉर्म का एक सेट होगा {x, y, xy, एक्स + वाई} जिनके सभी तत्वों का रंग समान है। "यह एक अविश्वसनीय रूप से चतुर सबूत है," कहा इमरे नेता कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के। "यह ज्ञात परिणामों का उपयोग करता है। लेकिन यह उन्हें बिल्कुल शानदार, बहुत मौलिक, बहुत ही अभिनव तरीके से जोड़ता है।

बहुत सारे प्रश्न बने हुए हैं। तीसरा नंबर कर सकते हैं z आगामी रकम और उत्पादों के साथ संग्रह में जोड़ा जाना चाहिए? हिंडन की सबसे साहसिक भविष्यवाणियों को संतुष्ट करने का अर्थ होगा क्रम में चौथा, पाँचवाँ और अंततः मनमाने ढंग से कई नई संख्याएँ जोड़ना। इसके लिए परिमेय से प्राकृतिक संख्याओं की ओर बढ़ने और बोवेन और सबोक के प्रयासों को प्रभावित करने वाले विभाजन पहेली के चारों ओर एक रास्ता खोजने की भी आवश्यकता होगी।

लीडर का मानना ​​है कि मोरेरा, बोवेन और सबोक सभी समस्या पर काम कर रहे हैं, तो वह प्रमाण बहुत दूर नहीं हो सकता है। "वे लोग चीजों को करने के नए तरीके खोजने में विशेष रूप से प्रतिभाशाली लगते हैं," उन्होंने कहा। "इसलिए मैं आशावादी हूं कि वे या उनके कुछ सहयोगी इसे पा सकते हैं।"

साबोक अपनी भविष्यवाणियों में अधिक सतर्क है। लेकिन वह किसी बात से इंकार नहीं कर रहे हैं। "गणित के आकर्षण में से एक यह है कि इससे पहले कि आप एक प्रमाण प्राप्त करें, सब कुछ संभव है," उन्होंने कहा।