प्रथम वर्ष के स्नातक विरोधाभासी संख्या सेट ढूँढता है | क्वांटा पत्रिका

गणितज्ञ तब खुश होते हैं जब वे साबित करते हैं कि असंभव प्रतीत होने वाली चीजें मौजूद हैं। ए के साथ ऐसा ही मामला है नया सबूत द्वारा मार्च में ऑनलाइन पोस्ट किया गया सेड्रिक पिलाटेऑक्सफ़ोर्ड विश्वविद्यालय में स्नातक प्रथम वर्ष का छात्र।

पिलाटे ने साबित किया कि एक सेट बनाना संभव है - संख्याओं का एक संग्रह - जो दो स्पष्ट रूप से असंगत गुणों को संतुष्ट करता है। पहला यह है कि सेट में संख्याओं के किसी भी दो जोड़े का योग समान नहीं होता है। उदाहरण के लिए, {1, 3, 5, 11} में किन्हीं दो संख्याओं को एक साथ जोड़ें और आपको हमेशा एक अद्वितीय संख्या मिलेगी। इस तरह के छोटे "सिडॉन" सेट का निर्माण करना आसान है, लेकिन जैसे-जैसे तत्वों की संख्या बढ़ती है, वैसे-वैसे यह संभावना भी बढ़ती है कि योग मेल खाएंगे, जिससे सेट की सिडॉन-नेस नष्ट हो जाएगी।

दूसरी आवश्यकता यह है कि सेट बहुत बड़ा होना चाहिए। यह अनंत होना चाहिए, और आपको सेट में अधिकतम तीन संख्याओं को एक साथ जोड़कर कोई भी पर्याप्त बड़ी संख्या उत्पन्न करने में सक्षम होना चाहिए। यह गुण, जो सेट को "आदेश 3 का स्पर्शोन्मुख आधार" बनाता है, के लिए संख्याओं के एक बड़े, सघन सेट की आवश्यकता होती है। पिलाटे ने कहा, "वे विपरीत दिशाओं में खींच रहे हैं।" “सिडॉन सेट छोटे होने के लिए बाध्य हैं, और एक स्पर्शोन्मुख आधार बड़ा होने के लिए बाध्य है। यह स्पष्ट नहीं था कि यह काम कर सकता है।"

यह सवाल कि क्या ऐसा कोई सेट अस्तित्व में है, दशकों से बना हुआ है, तब से पेश किया गया था 1993 में विपुल हंगेरियन गणितज्ञ पॉल एर्दो और दो सहयोगियों द्वारा। सिडोन सेटों के प्रति एर्दो के आकर्षण का पता 1932 में उनके आविष्कारक साइमन सिडोन के साथ हुई बातचीत से लगाया जा सकता है, जो उस समय इन सेटों की विकास दर को समझने में रुचि रखते थे। (एर्डोज़ ने बाद में सिडॉन को "औसत गणितज्ञ से भी अधिक पागल" बताया, जिसका अर्थ निश्चित रूप से एक प्रशंसा के रूप में था।)

सिडोन सेट संख्या सिद्धांत, कॉम्बिनेटरिक्स, हार्मोनिक विश्लेषण और क्रिप्टोग्राफी सहित विभिन्न गणितीय संदर्भों में उत्पन्न होते हैं, लेकिन वे कितना बड़ा हो सकते हैं इसका सरल प्रश्न एक स्थायी रहस्य रहा है, जिस पर एर्दो ने अपने करियर के दौरान बहुत विचार किया। एर्दो को पहले ही एहसास हो गया था कि सिडोन सेट को स्केल करना बेहद कठिन है। 1941 में वह और एक अन्य गणितज्ञ साबित यह सबसे बड़ा संभावित सिडोन सेट है जिसके सभी सदस्य किसी पूर्णांक से कम हैं N के वर्गमूल से छोटा होना चाहिए N साथ ही एक पद जो चौथे मूल के अनुपात में बढ़ता है N. (1969 तक, बर्न्ट लिंडस्ट्रॉम ने दिखाया कि यह $latex sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1$ से छोटा है, और 2021 में गणितज्ञों का एक और समूह बंधन कड़ा कर दिया $latex sqrt{N}+0.998 गुना sqrt[4]{N}$.) सिडोन सेट, दूसरे शब्दों में, विरल होना चाहिए।

यह लंबे समय से ज्ञात है कि सिडोन सेट क्रम 2 का एक स्पर्शोन्मुख आधार नहीं हो सकता है, जहां किसी भी पूर्णांक को अधिकतम दो संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। (उदाहरण के लिए, विषम संख्याएँ क्रम 2 का आधार बनती हैं।) जैसा कि पिलाटे ने समझाया, यह दिखाना इतना आसान है कि गणितज्ञों ने इसे लिखने की जहमत नहीं उठाई: "क्रम 2 असंभव है, यह शायद साहित्य में स्पष्ट रूप से लिखे जाने से बहुत पहले ही ज्ञात था।" उन्होंने बताया कि ऐसा इसलिए है क्योंकि "सिडोन अनुक्रम एक निश्चित घनत्व से अधिक नहीं हो सकते हैं, जबकि क्रम 2 के स्पर्शोन्मुख आधार हमेशा उस सीमा से अधिक सघन होते हैं, इसलिए दोनों गुण एक साथ नहीं रह सकते हैं।"

आम तौर पर यह माना जाता था कि ऑर्डर 3 का एक एसिम्प्टोटिक आधार सिडोन सेट से बनाया जा सकता है, लेकिन इसे साबित करना एक और मामला था। पिलाटे के सलाहकार ने कहा, "लोगों का मानना ​​था कि यह सच होना चाहिए।" जेम्स मेनार्ड. "लेकिन हम जिन तकनीकों का उपयोग कर रहे थे उनमें एक कठिनाई थी।"

पिलाटे के चुनौती स्वीकार करने से पहले कुछ प्रगति हुई थी। 2010 में, हंगेरियन गणितज्ञ सैंडोर किस पता चला कि एक सिडोन सेट क्रम 5 का एक असममित आधार हो सकता है - जिसका अर्थ है कि किसी भी पर्याप्त बड़े पूर्णांक को सेट के अधिकतम पांच तत्वों के योग के रूप में लिखा जा सकता है - और 2013 में किस और उनके दो सहयोगियों साबित क्रम 4 के स्पर्शोन्मुख आधार के लिए अनुमान। दो साल बाद, स्पेनिश गणितज्ञ जेवियर सिलेरुएलो ये नतीजे लिए यह साबित करके एक कदम आगे कि एक सिडोन सेट का निर्माण करना संभव है जो क्रम 3 + का एक स्पर्शोन्मुख आधार है e, जिसका अर्थ है कि कोई भी पर्याप्त रूप से बड़ा पूर्णांक N इसे सिडॉन सेट के चार सदस्यों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिनमें से एक इससे छोटा है N^e मनमाने ढंग से छोटे सकारात्मक के लिए e.

ये निष्कर्ष एर्डोज़ द्वारा शुरू की गई एक संभाव्य पद्धति की विविधताओं का उपयोग करके प्राप्त किए गए थे जिसमें पूर्णांकों का एक यादृच्छिक सेट उत्पन्न करना और एक सेट बनाने के लिए इसे थोड़ा मोड़ना शामिल है जो दोनों गुणों को संतुष्ट करता है।

पिलाटे ने महसूस किया कि संभाव्य पद्धति को जहाँ तक संभव हो सका, आगे बढ़ाया गया है। "आप संभाव्य तरीकों का उपयोग करके ऑर्डर 4 का आधार प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन आप ऑर्डर 3 का आधार नहीं प्राप्त कर सकते हैं," उन्होंने कहा। "यह बस विफल रहता है।"

इसलिए पिलाटे ने एक अलग तरीका अपनाया, इसके बजाय एक ऐसी प्रक्रिया की ओर रुख किया जो सिडॉन सेट के निर्माण खंडों के रूप में अभाज्य संख्याओं के लघुगणक का उपयोग करती है। हंगेरियन संख्या सिद्धांतकार द्वारा विकसित इमरे रुज़सा और सिलेरुएलो, यह दृष्टिकोण संभाव्य विधि की तुलना में बड़े, सघन सिडॉन सेट उत्पन्न करता है, जिसे पिलाटे को निम्न क्रम का आधार बनाने की आवश्यकता थी जो सिडॉन संपत्ति का भी पालन करता हो। लेकिन इस पद्धति के लिए अभाज्य संख्याओं वाली एक सुविधा की आवश्यकता थी जिसका अभाव दुनिया के सबसे प्रमुख विशेषज्ञों के पास भी नहीं था। पिलाटे ने कहा, "आपको अभाज्य संख्याओं की समझ की आवश्यकता होगी जो हमारे पास मौजूद किसी भी चीज़ से परे है।" "तो यह अच्छा नहीं था।"

समाधान की खोज पिलाटे को एक अप्रत्याशित दिशा में ले गई, योगात्मक संख्या सिद्धांत से दूर और बीजगणितीय ज्यामिति की दुनिया में, गणित की एक शाखा जो ज्यामितीय आकृतियों, जैसे वक्र और सतहों और उन्हें परिभाषित करने वाले समीकरणों के बीच संबंधों का अध्ययन करती है। सिलेरुएलो के विचार को नियोजित करते हुए, पिलाटे ने संख्याओं को बहुपदों से प्रतिस्थापित करना शुरू किया, जिसने समस्या को तुरंत और अधिक सुगम बना दिया।

बहुपद एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जो पदों के योग से बनी होती है, जिनमें से प्रत्येक एक स्थिर गुणांक और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातों तक बढ़ाए गए एक या अधिक चर का उत्पाद होता है। जोड़, घटाव और गुणा का उपयोग करके शब्दों को जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3x² + 22x +35 तीन पदों वाला एक बहुपद है। एक बहुपद का गुणनखंड करने का अर्थ है इसे अन्य, सरल बहुपदों के गुणनफल में तोड़ना। इस उदाहरण में, 3x² + 22x + 35 = (x +5)(3x +7). एक अघुलनशील बहुपद - जिसका गुणनखंड नहीं किया जा सकता - एक अभाज्य संख्या का एनालॉग है।

चरों और गुणांकों के लिए पूर्णांकों की अदला-बदली अजीब लग सकती है, लेकिन जितना आप सोच सकते हैं, उनमें उससे कहीं अधिक समानता है। पिलाटे के ऑक्सफ़ोर्ड सहयोगी ने कहा, "यह पता चला है कि बहुपद पूर्णांकों के समान ही व्यवहार करते हैं।" थॉमस ब्लूम. "मैं उन्हें जोड़ सकता हूँ, उन्हें घटा सकता हूँ, उन्हें गुणा कर सकता हूँ, उन्हें विभाजित कर सकता हूँ।" और कुछ मामलों में गणितज्ञ संख्याओं की तुलना में बहुपदों को कहीं बेहतर ढंग से समझते हैं। मेनार्ड ने कहा, "ये सभी चीजें, जो अभाज्य संख्या के साथ, हमें विज्ञान कथा की तरह लगती हैं, बहुपद दुनिया में जानी जाती हैं।"

एक का प्रयोग हाल ही में परिणाम कोलंबिया विश्वविद्यालय के गणितज्ञ द्वारा विल सॉविन अंकगणितीय प्रगति में अप्रासंगिक बहुपदों के वितरण पर, पिलाटे एक ऐसे सेट का निर्माण करने में सक्षम थे जिसमें एर्दो की बाधाओं को पूरा करने के लिए सही मात्रा में यादृच्छिकता और संख्याओं का सही घनत्व था।

पिलाटे ने कहा, ''मैं बेहद खुश था।'' "मैं यहां उन लोगों के समूह में शामिल हो रहा हूं जिन्होंने एर्दो की समस्या का समाधान किया है, और यह मजेदार है।"

लेकिन जो बात उन्हें सबसे ज्यादा प्रसन्न करती है वह है समाधान तक पहुंचने का आश्चर्यजनक तरीका। "यह अच्छा है कि बीजगणितीय ज्यामिति की इन बहुत गहरी तकनीकों का उपयोग संख्याओं के सेट के बारे में इस सरल और ठोस प्रश्न के लिए भी किया जा सकता है," उन्होंने कहा।

एर्दो की समस्याओं में गणित की कथित रूप से असंबंधित शाखाओं के बीच संबंधों का पता लगाने की अद्भुत क्षमता है, और गणितज्ञ उनका उत्तर देने का प्रयास करते समय जो खोजें करते हैं, वे अक्सर स्वयं उत्तरों की तुलना में अधिक सार्थक होती हैं। ब्लूम ने कहा, "वे कितने गहरे हैं, इसमें भ्रामक हैं और सेड्रिक का समाधान इसका एक बड़ा उदाहरण है।" "मुझे यकीन है कि एर्दोज़ रोमांचित हुए होंगे।"

भूल सुधार: 5 जून 2023
इस लेख में मूल रूप से एक सिडोन सेट का उदाहरण दिया गया है जो वास्तव में सिडोन सेट नहीं है। वह उदाहरण हटा दिया गया है.