कंप्यूटर प्रूफ 'ब्लो अप' सदियों पुराने द्रव समीकरण

सदियों से, गणितज्ञों ने तरल पदार्थों की गति को समझने और मॉडल बनाने की कोशिश की है। समीकरण जो वर्णन करते हैं कि तालाब की सतह पर लहरें कैसे बनती हैं, उन्होंने भी शोधकर्ताओं को मौसम की भविष्यवाणी करने, बेहतर हवाई जहाज डिजाइन करने और संचार प्रणाली के माध्यम से रक्त के प्रवाह को चिह्नित करने में मदद की है। सही गणितीय भाषा में लिखे जाने पर ये समीकरण भ्रामक रूप से सरल होते हैं। हालाँकि, उनके समाधान इतने जटिल हैं कि उनके बारे में बुनियादी प्रश्नों को भी समझना निषेधात्मक रूप से कठिन हो सकता है।

लियोनहार्ड यूलर द्वारा 250 साल से अधिक पहले तैयार किए गए इन समीकरणों में से शायद सबसे पुराना और सबसे प्रमुख, एक आदर्श, असंपीड्य तरल पदार्थ के प्रवाह का वर्णन करता है: एक तरल पदार्थ जिसमें कोई चिपचिपाहट या आंतरिक घर्षण नहीं होता है, जिसे एक छोटी मात्रा में मजबूर नहीं किया जा सकता है। "लगभग सभी गैर-रैखिक द्रव समीकरण यूलर समीकरणों से प्राप्त होते हैं," कहा तारेक एलगिंडी, ड्यूक विश्वविद्यालय में गणितज्ञ। "वे पहले वाले हैं, आप कह सकते हैं।"

फिर भी यूलर समीकरणों के बारे में बहुत कुछ अज्ञात है - इसमें यह भी शामिल है कि क्या वे हमेशा आदर्श द्रव प्रवाह का एक सटीक मॉडल हैं। द्रव गतिकी में केंद्रीय समस्याओं में से एक यह पता लगाना है कि क्या समीकरण कभी विफल होते हैं, निरर्थक मूल्यों का उत्पादन करते हैं जो उन्हें तरल पदार्थ के भविष्य की स्थिति का अनुमान लगाने में असमर्थ बनाते हैं।

गणितज्ञों को लंबे समय से संदेह है कि शुरुआती स्थितियां मौजूद हैं जो समीकरणों को तोड़ने का कारण बनती हैं। लेकिन वे इसे साबित नहीं कर पाए हैं.

In एक पूर्वमुद्रण पिछले महीने ऑनलाइन पोस्ट किए गए, गणितज्ञों की एक जोड़ी ने दिखाया है कि यूलर समीकरणों का एक विशेष संस्करण वास्तव में कभी-कभी विफल होता है। सबूत एक बड़ी सफलता को चिह्नित करता है - और जब यह समीकरणों के अधिक सामान्य संस्करण के लिए समस्या को पूरी तरह से हल नहीं करता है, तो यह उम्मीद करता है कि ऐसा समाधान अंततः पहुंच के भीतर है। "यह एक आश्चर्यजनक परिणाम है," कहा ट्रिस्टन बकमास्टर, मैरीलैंड विश्वविद्यालय में एक गणितज्ञ जो काम में शामिल नहीं था। "साहित्य में इस तरह का कोई परिणाम नहीं है।"

सिर्फ एक कैच है।

177 पन्नों का प्रमाण - एक दशक लंबे शोध कार्यक्रम का परिणाम - कंप्यूटर का महत्वपूर्ण उपयोग करता है। यकीनन यह अन्य गणितज्ञों के लिए इसे सत्यापित करना कठिन बना देता है। (वास्तव में, वे अभी भी ऐसा करने की प्रक्रिया में हैं, हालांकि कई विशेषज्ञों का मानना ​​है कि नया काम सही साबित होगा।) यह उन्हें "प्रमाण" क्या है, और यह क्या होगा, इस बारे में दार्शनिक प्रश्नों पर विचार करने के लिए मजबूर करता है। मतलब अगर आगे चलकर ऐसे महत्वपूर्ण प्रश्नों को हल करने का एकमात्र व्यवहार्य तरीका कंप्यूटर की मदद से है।

जानवर को देखना

सिद्धांत रूप में, यदि आप तरल पदार्थ में प्रत्येक कण के स्थान और वेग को जानते हैं, तो यूलर समीकरण भविष्यवाणी करने में सक्षम होना चाहिए कि तरल पदार्थ हर समय कैसे विकसित होगा। लेकिन गणितज्ञ जानना चाहते हैं कि क्या वास्तव में ऐसा है। शायद कुछ स्थितियों में, समीकरण अपेक्षित रूप से आगे बढ़ेंगे, किसी भी क्षण तरल पदार्थ की स्थिति के लिए सटीक मान उत्पन्न करेंगे, केवल उन मानों में से एक के लिए अचानक अनंत तक आसमान छू जाएगा। उस बिंदु पर, यूलर समीकरणों को "विलक्षणता" - या अधिक नाटकीय रूप से "उड़ाने" के लिए जन्म देने के लिए कहा जाता है।

एक बार जब वे उस विलक्षणता पर पहुंच जाते हैं, तो समीकरण द्रव के प्रवाह की गणना करने में सक्षम नहीं होंगे। लेकिन "कुछ साल पहले तक, लोग जो करने में सक्षम थे, वह [ब्लोअप साबित करने] से बहुत कम था," ने कहा चार्ली फेफरमैन, प्रिंसटन विश्वविद्यालय में गणितज्ञ।

यह और भी जटिल हो जाता है यदि आप एक ऐसे तरल पदार्थ का मॉडल बनाने की कोशिश कर रहे हैं जिसमें चिपचिपाहट हो (जैसा कि लगभग सभी वास्तविक दुनिया के तरल पदार्थ करते हैं)। क्ले मैथेमेटिक्स इंस्टीट्यूट की ओर से एक मिलियन-डॉलर का मिलेनियम पुरस्कार किसी का भी इंतजार कर रहा है, जो यह साबित कर सकता है कि नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में इसी तरह की विफलताएं होती हैं, यूलर समीकरणों का एक सामान्यीकरण जो चिपचिपाहट के लिए जिम्मेदार है।

2013 में, थॉमस होउ, कैलिफोर्निया इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में एक गणितज्ञ, और गुओ लुओ, जो अब हांगकांग के हैंग सेंग विश्वविद्यालय में है, ने एक ऐसा परिदृश्य प्रस्तावित किया जिसमें यूलर समीकरण एक विलक्षणता की ओर ले जाएगा। उन्होंने एक सिलेंडर में एक तरल पदार्थ का एक कंप्यूटर सिमुलेशन विकसित किया जिसका शीर्ष आधा दक्षिणावर्त घूमता है जबकि इसका निचला आधा वामावर्त घूमता है। जैसे ही उन्होंने अनुकरण चलाया, अधिक जटिल धाराएं ऊपर और नीचे जाने लगीं। बदले में, सिलेंडर की सीमा के साथ अजीब व्यवहार हुआ, जहां विपरीत प्रवाह मिले। तरल पदार्थ की वार्टिसिटी - रोटेशन का एक उपाय - इतनी तेजी से बढ़ी कि ऐसा लगा कि यह फटने के लिए तैयार है।

होउ और लुओ का काम विचारोत्तेजक था, लेकिन सच्चा प्रमाण नहीं था। ऐसा इसलिए है क्योंकि कंप्यूटर के लिए अनंत मानों की गणना करना असंभव है। यह एक विलक्षणता को देखने के बहुत करीब पहुंच सकता है, लेकिन यह वास्तव में उस तक नहीं पहुंच सकता है - इसका अर्थ है कि समाधान बहुत सटीक हो सकता है, लेकिन यह अभी भी एक सन्निकटन है। गणितीय प्रमाण के समर्थन के बिना, सिमुलेशन के कुछ आर्टिफैक्ट के कारण वर्टिसिटी का मूल्य केवल अनंत तक बढ़ रहा प्रतीत हो सकता है। इसके बजाय फिर से कम होने से पहले समाधान भारी संख्या में बढ़ सकते हैं।

इस तरह के उलटफेर पहले भी हुए थे: एक सिमुलेशन इंगित करेगा कि समीकरणों में एक मूल्य विस्फोट हो गया है, केवल अन्यथा दिखाने के लिए अधिक परिष्कृत कम्प्यूटेशनल विधियों के लिए। "ये समस्याएं इतनी नाजुक हैं कि सड़क पिछले सिमुलेशन के मलबे से अटी पड़ी है," फ़ेफ़रमैन ने कहा। वास्तव में, इस तरह होउ ने इस क्षेत्र में अपनी शुरुआत की: उसके पहले के कई परिणामों ने काल्पनिक विलक्षणता के गठन को खारिज कर दिया।

फिर भी, जब उन्होंने और लुओ ने अपना समाधान प्रकाशित किया, तो अधिकांश गणितज्ञों ने सोचा कि यह एक वास्तविक विलक्षणता है। "यह बहुत सावधानीपूर्वक, बहुत सटीक था," कहा व्लादिमीर स्वेरक, मिनेसोटा विश्वविद्यालय में गणितज्ञ। "वे वास्तव में यह स्थापित करने के लिए काफी हद तक चले गए कि यह एक वास्तविक परिदृश्य है।" Elgindi, Sverak और अन्य द्वारा बाद के काम केवल उस दृढ़ विश्वास को मजबूत किया.

लेकिन एक सबूत मायावी था। "आपने जानवर को देखा है," फ़ेफ़रमैन ने कहा। "फिर आप इसे पकड़ने की कोशिश करते हैं।" इसका मतलब यह दिखाना था कि होउ और लुओ ने जिस अनुमानित समाधान को इतनी सावधानी से अनुकरण किया है, वह एक विशिष्ट गणितीय अर्थ में, समीकरणों के सटीक समाधान के बहुत करीब है।

अब, उस पहली नज़र के नौ साल बाद, होउ और उसका पूर्व स्नातक छात्र जियाजी चेन अंततः उस निकटवर्ती विलक्षणता के अस्तित्व को सिद्ध करने में सफल हुए हैं।

स्व-समान भूमि की ओर बढ़ना

हौ, बाद में चेन से जुड़े, ने इस तथ्य का लाभ उठाया कि, करीब से विश्लेषण करने पर, 2013 के अनुमानित समाधान में एक विशेष संरचना थी। जैसे-जैसे समय के साथ समीकरण विकसित होते गए, समाधान प्रदर्शित होता गया जिसे स्व-समान पैटर्न कहा जाता है: इसका आकार बाद में इसके पहले के आकार जैसा ही दिखता था, केवल एक विशिष्ट तरीके से फिर से बढ़ाया गया।

नतीजतन, गणितज्ञों को विलक्षणता को देखने की कोशिश करने की जरूरत नहीं थी। इसके बजाय, वे पहले के समय पर ध्यान केंद्रित करके अप्रत्यक्ष रूप से इसका अध्ययन कर सकते थे। समाधान के उस हिस्से पर सही दर पर ज़ूम इन करके - समाधान की स्व-समान संरचना के आधार पर निर्धारित - वे मॉडल कर सकते हैं कि बाद में क्या होगा, जिसमें विलक्षणता भी शामिल है।

2013 के ब्लौपअप परिदृश्य के लिए स्व-समान अनुरूप खोजने में उन्हें कुछ साल लग गए। (इस साल की शुरुआत में, गणितज्ञों की एक अन्य टीम, जिसमें बक्मास्टर शामिल थे, ने अलग-अलग तरीकों का इस्तेमाल किया एक समान अनुमानित समाधान खोजें. वे वर्तमान में विलक्षणता गठन का एक स्वतंत्र प्रमाण विकसित करने के लिए उस समाधान का उपयोग कर रहे हैं।)

हाथ में लगभग स्व-समान समाधान के साथ, होउ और चेन को यह दिखाने की आवश्यकता थी कि एक सटीक समाधान पास में मौजूद है। गणितीय रूप से, यह यह साबित करने के बराबर है कि उनका अनुमानित स्व-समान समाधान स्थिर है - कि भले ही आप इसे थोड़ा परेशान करते हैं और फिर उन परेशान मूल्यों से शुरू होने वाले समीकरणों को विकसित करते हैं, आसपास के एक छोटे से पड़ोस से बचने का कोई रास्ता नहीं होगा अनुमानित समाधान। "यह एक ब्लैक होल की तरह है," होउ ने कहा। "यदि आप किसी प्रोफ़ाइल के साथ शुरू करते हैं, तो आपको चूसा जाएगा।"

लेकिन एक सामान्य रणनीति का होना समाधान की ओर सिर्फ एक कदम था। "उधम विवरण मायने रखता है," फ़ेफ़रमैन ने कहा। जैसा कि होउ और चेन ने अगले कई साल उन विवरणों पर काम करने में बिताए, उन्होंने पाया कि उन्हें एक बार फिर से कंप्यूटर पर निर्भर रहना पड़ा - लेकिन इस बार बिल्कुल नए तरीके से।

एक हाइब्रिड दृष्टिकोण

उनकी पहली चुनौतियों में सटीक कथन का पता लगाना था जिसे उन्हें सिद्ध करना था। वे यह दिखाना चाहते थे कि यदि वे मूल्यों के किसी सेट को उनके अनुमानित समाधान के करीब ले जाते हैं और इसे समीकरणों में जोड़ देते हैं, तो आउटपुट दूर नहीं जा पाएगा। लेकिन किसी इनपुट के अनुमानित समाधान के "करीब" होने का क्या मतलब है? उन्हें इसे गणितीय कथन में निर्दिष्ट करना था - लेकिन इस संदर्भ में दूरी की धारणा को परिभाषित करने के कई तरीके हैं। उनके प्रमाण के कार्य करने के लिए, उन्हें सही को चुनने की आवश्यकता थी।

"इसे विभिन्न भौतिक प्रभावों को मापना है," कहा राफेल डे ला लवेजॉर्जिया इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में गणितज्ञ। "तो समस्या की गहरी समझ का उपयोग करके इसे चुनने की जरूरत है।"

एक बार जब उनके पास "निकटता" का वर्णन करने का सही तरीका था, तो होउ और चेन को बयान को साबित करना पड़ा, जो एक जटिल असमानता के लिए उबला हुआ था, जिसमें पुन: स्केल किए गए समीकरणों और अनुमानित समाधान दोनों से शब्द शामिल थे। गणितज्ञों को यह सुनिश्चित करना था कि उन सभी शब्दों के मूल्यों को बहुत छोटी चीज़ों में संतुलित किया जाए: यदि एक मान बड़ा हो जाता है, तो अन्य मूल्यों को नकारात्मक होना चाहिए या जांच में रखा जाना चाहिए।

"यदि आप कुछ बहुत बड़ा या थोड़ा बहुत छोटा करते हैं, तो पूरी चीज टूट जाती है," कहा जेवियर गोमेज़-सेरानो, ब्राउन विश्वविद्यालय में एक गणितज्ञ। "तो यह बहुत, बहुत सावधान, नाजुक काम है।"

Elgindi ने कहा, "यह वास्तव में एक भयंकर लड़ाई है।"

इन सभी अलग-अलग शर्तों पर सख्त सीमाएँ प्राप्त करने के लिए, होउ और चेन ने असमानता को दो प्रमुख भागों में तोड़ दिया। वे हाथ से पहले भाग की देखभाल कर सकते थे, जिसमें 18 वीं शताब्दी की एक तकनीक भी शामिल थी, जब फ्रांसीसी गणितज्ञ गैसपार्ड मोंज ने नेपोलियन की सेना के लिए किलेबंदी बनाने के लिए मिट्टी के परिवहन का एक इष्टतम तरीका मांगा था। "इस तरह की चीजें पहले भी की जा चुकी हैं, लेकिन मैंने पाया कि [होउ और चेन] ने इसके लिए इसका इस्तेमाल किया," फेफरमैन ने कहा।

इसने असमानता के दूसरे भाग को छोड़ दिया। इससे निपटने के लिए कंप्यूटर सहायता की आवश्यकता होगी। शुरुआत करने वालों के लिए, इतनी सारी गणनाएं थीं जिन्हें करने की आवश्यकता थी, और इतनी सटीकता की आवश्यकता थी, कि "पेंसिल और पेपर के साथ आपको जितना काम करना होगा, वह चौंका देने वाला होगा," डे ला ललेव ने कहा। विभिन्न शब्दों को संतुलित करने के लिए, गणितज्ञों को अनुकूलन समस्याओं की एक श्रृंखला करनी पड़ी जो कंप्यूटर के लिए अपेक्षाकृत आसान हैं लेकिन मनुष्यों के लिए अत्यधिक समय लेने वाली हैं। कुछ मान अनुमानित समाधान से मात्राओं पर भी निर्भर करते हैं; चूँकि इसकी गणना कंप्यूटर का उपयोग करके की गई थी, इसलिए इन अतिरिक्त संगणनाओं को करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग करना भी अधिक सरल था।

गोमेज़-सेरानो ने कहा, "यदि आप इनमें से कुछ अनुमानों को मैन्युअल रूप से करने का प्रयास करते हैं, तो आप शायद किसी बिंदु पर अधिक अनुमान लगाने जा रहे हैं, और फिर आप हार जाते हैं।" "संख्या इतनी छोटी और तंग है ... और मार्जिन अविश्वसनीय रूप से पतला है।"

लेकिन क्योंकि कंप्यूटर अंकों की अनंत संख्या में हेरफेर नहीं कर सकते, छोटी-छोटी त्रुटियां अनिवार्य रूप से होती हैं। होउ और चेन को सावधानीपूर्वक उन त्रुटियों को ट्रैक करना था, यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे शेष संतुलन अधिनियम में हस्तक्षेप नहीं करते।

अंततः, वे सभी शर्तों के लिए सीमा खोजने में सक्षम थे, प्रमाण को पूरा करते हुए: समीकरणों ने वास्तव में एक विलक्षणता उत्पन्न की थी।

कंप्यूटर द्वारा प्रमाण

यह खुला रहता है कि क्या अधिक जटिल समीकरण - बेलनाकार सीमा की उपस्थिति के बिना यूलर समीकरण और नेवियर-स्टोक्स समीकरण - एक विलक्षणता विकसित कर सकते हैं। "लेकिन [यह काम] कम से कम मुझे आशा देता है," हौ ने कहा। "मुझे आगे का रास्ता दिखाई देता है, शायद अंततः पूरी सहस्राब्दी समस्या को हल करने का एक रास्ता।"

इस बीच, बकमास्टर और गोमेज़-सेरानो अपने स्वयं के एक कंप्यूटर-सहायता वाले प्रमाण पर काम कर रहे हैं - एक उन्हें उम्मीद है कि यह अधिक सामान्य होगा, और इसलिए न केवल होउ और चेन द्वारा हल की गई समस्या से निपटने में सक्षम है, बल्कि कई अन्य भी हैं।

ये प्रयास द्रव गतिकी के क्षेत्र में बढ़ती प्रवृत्ति को चिह्नित करते हैं: महत्वपूर्ण समस्याओं को हल करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग।

"गणित के कई अलग-अलग क्षेत्रों में, यह अधिक से अधिक बार हो रहा है," कहा सुसान फ्रीडलैंडर, दक्षिणी कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय में एक गणितज्ञ।

लेकिन द्रव यांत्रिकी में, कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण अभी भी एक अपेक्षाकृत नई तकनीक है। वास्तव में, जब विलक्षणता गठन के बारे में बयानों की बात आती है, तो होउ और चेन का प्रमाण अपनी तरह का पहला है: पिछले कंप्यूटर-सहायता वाले प्रमाण केवल क्षेत्र में खिलौना समस्याओं से निपटने में सक्षम थे।

इस तरह के प्रमाण इतने विवादास्पद नहीं हैं जितने "स्वाद की बात" हैं पीटर कॉन्स्टेंटिन प्रिंसटन विश्वविद्यालय के। गणितज्ञ आम तौर पर इस बात से सहमत होते हैं कि एक प्रमाण को अन्य गणितज्ञों को विश्वास दिलाना पड़ता है कि तर्क की कोई पंक्ति सही है। लेकिन, कई लोग तर्क देते हैं, इससे उनकी समझ में भी सुधार होना चाहिए कि कोई विशेष कथन सत्य क्यों है, न कि केवल सत्यापन प्रदान करना चाहिए कि यह सही है। "क्या हम मौलिक रूप से कुछ नया सीखते हैं, या क्या हम केवल प्रश्न का उत्तर जानते हैं?" एलगिंडी ने कहा। "यदि आप गणित को एक कला के रूप में देखते हैं, तो यह सौंदर्य की दृष्टि से इतना सुखद नहीं है।"

"एक कंप्यूटर मदद कर सकता है। यह अद्भुत है। यह मुझे अंतर्दृष्टि देता है। लेकिन यह मुझे पूरी समझ नहीं देता है," कॉन्स्टेंटिन ने कहा। "समझ हमसे आती है।"

अपने हिस्से के लिए, एल्गिंडी अभी भी पूरी तरह से हाथ से उड़ाए जाने का वैकल्पिक सबूत तैयार करने की उम्मीद करता है। उन्होंने हौ और चेन के काम के बारे में कहा, "मैं पूरी तरह से खुश हूं कि यह अस्तित्व में है।" "लेकिन मैं इसे कम कंप्यूटर-निर्भर तरीके से करने की कोशिश करने के लिए एक प्रेरणा के रूप में लेता हूं।"

अन्य गणितज्ञ कंप्यूटर को एक महत्वपूर्ण नए उपकरण के रूप में देखते हैं जो पहले से जटिल समस्याओं पर हमला करना संभव बनाता है। "अब काम सिर्फ कागज और पेंसिल नहीं रह गया है," चेन ने कहा। "आपके पास कुछ अधिक शक्तिशाली उपयोग करने का विकल्प है।"

उनके और अन्य लोगों के अनुसार (एल्गिंडी सहित, हाथ से प्रमाण लिखने के लिए उनकी व्यक्तिगत प्राथमिकता के बावजूद), इस बात की अच्छी संभावना है कि तरल गतिकी में बड़ी समस्याओं को हल करने का एकमात्र तरीका - यानी, ऐसी समस्याएं जिनमें तेजी से जटिल समीकरण शामिल हैं - भरोसा करना हो सकता है कंप्यूटर सहायता पर भारी। फ़ेफ़रमैन ने कहा, "मुझे ऐसा लगता है जैसे कंप्यूटर-सहायता वाले सबूतों का भारी उपयोग किए बिना ऐसा करने की कोशिश करना आपकी पीठ के पीछे एक या संभवतः दो हाथ बांधने जैसा है।"

अगर ऐसा होता है और "आपके पास कोई विकल्प नहीं है," एलगिंडी ने कहा, "तो लोग ... जैसे कि मैं, जो कहेगा कि यह उप-इष्टतम है, को चुप हो जाना चाहिए।" इसका अर्थ यह भी होगा कि अधिक गणितज्ञों को कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण लिखने के लिए आवश्यक कौशल सीखना शुरू करना होगा - ऐसा कुछ जो होउ और चेन के काम से प्रेरित होगा। बकमास्टर ने कहा, "मुझे लगता है कि ऐसे बहुत से लोग थे जो इस दृष्टिकोण में अपने किसी भी समय का निवेश करने से पहले किसी ऐसी समस्या को हल करने की प्रतीक्षा कर रहे थे।"

उस ने कहा, जब गणितज्ञों को कंप्यूटर पर किस हद तक भरोसा करना चाहिए, इस बारे में बहस की बात आती है, "ऐसा नहीं है कि आपको एक पक्ष चुनने की ज़रूरत है," गोमेज़-सेरानो ने कहा। "[होउ और चेन के] सबूत विश्लेषण के बिना काम नहीं करेगा, और सबूत कंप्यूटर सहायता के बिना काम नहीं करेगा। … मुझे लगता है कि मूल्य यह है कि लोग दो भाषाएं बोल सकते हैं।”

उसी के साथ, डे ला ललेव ने कहा, "शहर में एक नया खेल है।"