कैसे सरल गणित सुई को घुमाता है | क्वांटा पत्रिका

कल्पना कीजिए कि आप ड्राइवर रहित कार में सड़क पर चल रहे हैं और आपको सामने कोई समस्या दिखाई देती है। अमेज़ॅन डिलीवरी ड्राइवर ने अपनी वैन को डबल-पार्क किए गए यूपीएस ट्रक के आधे रास्ते से आगे बढ़ाया, लेकिन उसे एहसास हुआ कि वे इसे पार नहीं कर सकते। अब वे फंस गए हैं. और इसलिए आप कर रहे हैं।

यू-आई को खींचने के लिए सड़क बहुत संकरी है, इसलिए आपका एआई-संवर्धित ऑटोमोबाइल तीन-बिंदु मोड़ शुरू करता है। सबसे पहले, कार एक मोड़ की ओर घुमावदार रास्ता अपनाती है। एक बार वहां पहुंचने पर, यह दूसरी दिशा में चला जाता है और विपरीत दिशा में वापस चला जाता है। फिर यह स्टीयरिंग व्हील को पहले घुमावदार पथ की दिशा में वापस घुमाता है, आगे बढ़ता है और बाधा से दूर जाता है।

मध्यवर्ती मोड़ बनाने का यह सरल ज्यामितीय एल्गोरिदम आपको कठिन परिस्थितियों से निपटने में मदद कर सकता है। (यदि आपने कभी समानांतर पार्क किया है, तो आप जानते हैं कि आगे-पीछे की यह हरकत आपके लिए क्या कर सकती है।)

यहां एक मजेदार गणित समस्या है कि आपको अपनी कार को घुमाने के लिए कितनी जगह की आवश्यकता है, और गणितज्ञ 100 से अधिक वर्षों से इसके एक आदर्श संस्करण पर काम कर रहे हैं। इसकी शुरुआत 1917 में हुई जब जापानी गणितज्ञ सोइची काकेया ने एक ऐसी समस्या पेश की जो कुछ-कुछ हमारे ट्रैफिक जाम जैसी लगती है। मान लीजिए कि आपके पास 1 लंबाई की एक असीम पतली सुई है। उस सबसे छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है जिसमें आप सुई को 180 डिग्री घुमा सकते हैं और उसे उसकी मूल स्थिति में लौटा सकते हैं? इसे काकेया की सुई समस्या के रूप में जाना जाता है, और गणितज्ञ अभी भी इसकी विविधताओं का अध्ययन कर रहे हैं। आइए उस सरल ज्यामिति पर एक नज़र डालें जो काकेया की सुई समस्या को इतना रोचक और आश्चर्यजनक बनाती है।

कई गणित समस्याओं की तरह, इसमें कुछ सरलीकृत धारणाएँ शामिल हैं जो इसे कम यथार्थवादी लेकिन अधिक प्रबंधनीय बनाती हैं। उदाहरण के लिए, जब आप गाड़ी चला रहे हों तो कार की लंबाई और चौड़ाई मायने रखती है, लेकिन हम मान लेंगे कि हमारी सुई की लंबाई 1 और चौड़ाई शून्य है। (इसका मतलब है कि सुई का क्षेत्रफल शून्य है, जो हमें समस्या को हल करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।) इसके अलावा, हम मान लेंगे कि सुई, एक कार के विपरीत, इसके सामने के सिरे, इसके पिछले सिरे के चारों ओर घूम सकती है। , या बीच में कोई बिंदु।

लक्ष्य सबसे छोटा क्षेत्र ढूंढना है जो सुई को 180 डिग्री तक घूमने की अनुमति देता है। शर्तों के एक निश्चित समूह को संतुष्ट करने वाली सबसे छोटी चीज़ ढूंढना चुनौतीपूर्ण हो सकता है, लेकिन शुरुआत करने का एक अच्छा तरीका यह है कि ऐसी किसी भी चीज़ की तलाश करें जो उन शर्तों को पूरा करती हो और देखें कि आप रास्ते में क्या सीख सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक आसान उत्तर यह है कि सुई को उसके अंतिम बिंदु के चारों ओर 180 डिग्री घुमाएँ, और फिर उसे वापस ऊपर की ओर खिसकाएँ। इससे सुई अपनी मूल स्थिति में लौट आती है, लेकिन अब यह विपरीत दिशा की ओर इशारा कर रही है, जैसा कि काकेया की सुई समस्या के लिए आवश्यक है।

मोड़ के लिए आवश्यक क्षेत्र त्रिज्या 1 वाला एक अर्धवृत्त है, जिसका क्षेत्रफल $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ है 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. तो हमें एक ऐसा क्षेत्र मिल गया है जो काम करता है।

हम अपनी जादुई गणितीय सुई की किसी भी बिंदु पर घूमने की क्षमता का लाभ उठाकर बेहतर कर सकते हैं। इसे इसके अंतिम बिंदु के चारों ओर घुमाने के बजाय, आइए इसे इसके मध्य बिंदु के चारों ओर घुमाएँ।

आप इसे काकेया का कम्पास कह सकते हैं: हमारी सुई उत्तर की ओर इशारा करते हुए शुरू होती है, लेकिन घूमने के बाद यह उसी स्थान पर होती है लेकिन दक्षिण की ओर इशारा करती है। यह क्षेत्र $latex frac{1}{2}$ त्रिज्या का एक वृत्त है, इसलिए इसका क्षेत्रफल $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ है 4} =frac{pi}{4}$. यह हमारे पहले क्षेत्र का आधा क्षेत्र है, इसलिए हम प्रगति कर रहे हैं।

जहाँ से अगला? हम अपनी ड्राइवर रहित कार दुविधा से प्रेरणा ले सकते हैं और सुई के लिए तीन-बिंदु मोड़ जैसी किसी चीज़ का उपयोग करने पर विचार कर सकते हैं। यह वास्तव में बहुत अच्छा काम करता है।

इस तकनीक का उपयोग करके सुई द्वारा निकाले गए क्षेत्र को डेल्टॉइड कहा जाता है, और यह भी काकेया की आवश्यकताओं को पूरा करता है। इसके क्षेत्र की गणना करने के लिए प्राथमिक ज्यामिति से अधिक की आवश्यकता होती है जिसकी हम यहां चर्चा कर रहे हैं (पैरामीट्रिक वक्रों का ज्ञान मदद करता है), लेकिन यह पता चलता है कि इस विशेष डेल्टॉइड का क्षेत्र - जो लंबाई 1 के एक रेखा खंड द्वारा बह गया है - बिल्कुल $ लेटेक्स है frac{pi}{8}$. अब हमारे पास एक और भी छोटा क्षेत्र है जिसमें हम काकेया की सुई को चारों ओर घुमा सकते हैं, और आपको यह सोचने के लिए माफ किया जा सकता है कि यह सबसे अच्छा है जो हम कर सकते हैं। काकेय ने स्वयं सोचा कि ऐसा हो सकता है।

लेकिन सुई की इस समस्या ने एक बड़ा मोड़ ले लिया जब रूसी गणितज्ञ अब्राम बेसिकोविच ने पाया कि आप असीम रूप से बेहतर कर सकते हैं। वह क्षेत्र के अनावश्यक हिस्सों को तब तक काटने की एक प्रक्रिया लेकर आए जब तक कि यह उतना छोटा न हो जाए जितना वह चाहते थे।

प्रक्रिया तकनीकी और जटिल है, लेकिन बेसिकोविच के विचार पर आधारित एक रणनीति दो सरल विचारों पर निर्भर करती है। सबसे पहले, नीचे दिए गए समकोण त्रिभुज पर विचार करें, जिसकी ऊंचाई 1 और आधार 2 है।

फिलहाल हम सुई को पूरी तरह से चारों ओर घुमाने के बारे में भूल जाएंगे और केवल एक साधारण तथ्य पर ध्यान केंद्रित करेंगे: यदि हम 1 लंबाई की सुई को शीर्ष शीर्ष पर रखते हैं, तो त्रिकोण इतना बड़ा होता है कि सुई पूरी 90 डिग्री तक घूम सकती है। एक तरफ से दूसरी तरफ डिग्री.

चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $latex A=frac{1}{2}bh$ है, इस त्रिभुज का क्षेत्रफल $latex A=frac{1}{2} गुना 2 गुना 1 = 1$ है।

अब, यहां पहला महत्वपूर्ण विचार है: हम 90-डिग्री रोटेशन को संरक्षित करते हुए क्षेत्र के क्षेत्रफल को कम कर सकते हैं। रणनीति सरल है: हम त्रिकोण को बीच से काटते हैं, और फिर दोनों हिस्सों को एक साथ दबाते हैं।

इस नई आकृति का क्षेत्रफल मूल से कम होना चाहिए क्योंकि त्रिभुज के हिस्से अब ओवरलैप हो गए हैं। वास्तव में, आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आसान है: यह भुजा 1 के वर्ग का केवल तीन-चौथाई है, इसलिए क्षेत्रफल $latex A = frac{3}{4}$ है, जो कि क्षेत्रफल से कम है हमने त्रिकोण से शुरुआत की।

और हम अभी भी सुई को पहले की तरह सभी दिशाओं में इंगित कर सकते हैं। बस एक ही समस्या है: मूल कोण दो टुकड़ों में विभाजित हो गया है, इसलिए वे दिशाएँ अब दो अलग-अलग क्षेत्रों में विभाजित हो गई हैं।

यदि सुई नए क्षेत्र के बाईं ओर है, तो हम इसे दक्षिण और दक्षिण-पूर्व के बीच 45 डिग्री तक घुमा सकते हैं, और यदि यह दाईं ओर है तो हम इसे दक्षिण और दक्षिण-पश्चिम के बीच 45 डिग्री तक घुमा सकते हैं, लेकिन चूंकि दोनों भाग अलग-अलग हैं , ऐसा नहीं लगता कि हम इसे पूरे 90 डिग्री तक घुमा सकते हैं जैसा कि हम पहले कर सकते थे।

यहीं पर दूसरा महत्वपूर्ण विचार आता है। सुई को एक तरफ से दूसरी तरफ ले जाने का एक गुप्त तरीका है जिसके लिए अधिक जगह की आवश्यकता नहीं होती है। शतरंज में आप जानते होंगे कि शूरवीर एल आकार में चलता है। खैर, हमारी सुई N आकार में घूमने वाली है।

यहां बताया गया है कि यह कैसे किया जाता है। सबसे पहले, सुई N के एक तरफ ऊपर की ओर सरकती है। फिर यह विकर्ण के अनुदिश बिंदु तक घूमती है और नीचे की ओर सरकती है। फिर यह फिर से घूमता है और N के दूसरी ओर फिसलकर अपनी यात्रा समाप्त करता है।

शुरुआत में यह एन-आकार की चाल कुछ खास नहीं लग सकती है, लेकिन यह बहुत उपयोगी काम करती है। यह सुई को एक समानांतर रेखा से दूसरी रेखा पर "छलांग" लगाने की अनुमति देता है, जिससे हमें अपनी सुई को एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र तक ले जाने में मदद मिलेगी। इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि यह अधिक जगह की आवश्यकता के बिना ऐसा करता है। वास्तव में, आप इसके लिए जितनी चाहें उतनी कम जगह की आवश्यकता बना सकते हैं। उसकी वजह यहाँ है।

याद रखें कि हमारी सुई की चौड़ाई शून्य है। तो सुई जिस भी रेखा पर आगे या पीछे चलेगी, उसका क्षेत्रफल शून्य होगा। इसका मतलब यह है कि सुई को एन आकार के साथ ऊपर, नीचे या तिरछे घुमाने के लिए आवश्यक क्षेत्र शून्य क्षेत्र वाले टुकड़ों से बना होगा।

वह केवल N आकार के कोनों पर घुमाव छोड़ता है।

इन चालों के लिए क्षेत्र की आवश्यकता होती है। आप प्रत्येक कोने पर एक वृत्त का एक छोटा त्रिज्यखंड देख सकते हैं। लेकिन यहाँ गुप्त हिस्सा है: आप एन को लंबा करके इन क्षेत्रों को छोटा कर सकते हैं।

किसी वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$ है, जहां $latex theta$ अंश में त्रिज्यखंड के कोण का माप है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि N कितना लंबा है, त्रिज्यखंड की त्रिज्या हमेशा 1 होगी: यह सुई की लंबाई है। लेकिन जैसे-जैसे N लंबा होता जाता है, कोण सिकुड़ता जाता है, जिससे सेक्टर का क्षेत्रफल कम हो जाएगा। इस प्रकार, आप N को जितना आवश्यक हो उतना खींचकर अतिरिक्त क्षेत्र को जितना चाहें उतना छोटा बना सकते हैं।

याद रखें कि हम अपने त्रिकोणीय क्षेत्र को दो भागों में विभाजित करके और टुकड़ों को ओवरलैप बनाकर उसके क्षेत्रफल को कम करने में सक्षम थे। समस्या यह थी कि इसने 90 डिग्री के कोण को दो अलग-अलग टुकड़ों में विभाजित कर दिया, जिससे हम सुई को पूरे 90 डिग्री तक घूमने से रोक सके। अब हम यह सुनिश्चित करने के लिए कि सुई के पास एक तरफ से दूसरी तरफ जाने का रास्ता है, एक उपयुक्त एन आकार का उपयोग करके उस समस्या को हल कर सकते हैं।

इस अद्यतन क्षेत्र में, सुई अभी भी पहले की तरह पूर्ण 90 डिग्री घूम सकती है, यह अब केवल दो चरणों में होता है। सबसे पहले, सुई 45 डिग्री घूमती है और बाईं ओर ऊर्ध्वाधर किनारे के साथ पंक्तिबद्ध होती है। इसके बाद, यह दूसरी तरफ जाने के लिए एन आकार के साथ चलता है। एक बार जब यह वहां पहुंच जाए, तो इसे अन्य 45 डिग्री तक घुमाना मुफ़्त है।

यह सुई को 90 डिग्री तक घुमाता है, और इसे घुमाते रहने के लिए, आप बस क्षेत्र की घुमाई गई प्रतियां जोड़ते हैं।

उपयुक्त एन आकृतियों को जोड़ने के साथ, सुई एक त्रिकोणीय प्रायद्वीप से दूसरे तक छलांग लगा सकती है, अपने आप को थोड़ा-थोड़ा करके तब तक घुमा सकती है जब तक कि यह चारों ओर नहीं पहुंच जाती, ठीक उसी तरह जैसे एक कार तीन-बिंदु मोड़ को अंजाम देती है।

विवरण में और भी अधिक शैतानी गणित है, लेकिन ये दो विचार - कि हम मूल क्षेत्र के क्षेत्र को लगातार काटकर और इसे चारों ओर स्थानांतरित करके कम कर सकते हैं, जबकि यह सुनिश्चित करते हुए कि हम मनमाने ढंग से छोटे एन आकार का उपयोग करके टुकड़े से टुकड़े तक पहुंच सकते हैं - हमारी मदद करें सुई को लगातार सिकुड़ते क्षेत्र में ले जाएँ जो अंततः उतना छोटा हो सकता है जितना आप चाहते हैं।

इस तरह के क्षेत्र के निर्माण के लिए एक अधिक मानक दृष्टिकोण समबाहु त्रिभुजों से शुरू होता है और "पेरोन पेड़ों" का उपयोग करता है, जो त्रिकोणों को काटने और खींचने और टुकड़ों को वापस एक साथ स्लाइड करने के चतुर तरीके हैं। परिणाम काफी आश्चर्यजनक है.

हाल ही में, गणितज्ञों ने किया है प्रगति हुई इस पुरानी समस्या के नए रूपों पर, उच्च आयामों में और आकार की विभिन्न धारणाओं के साथ। हम शायद कभी भी एआई-संचालित कार को काकेया-सुई-बिंदु मोड़ का पता लगाते हुए नहीं देखेंगे, लेकिन हम अभी भी इसकी लगभग शून्यता की सुंदरता और सादगी की सराहना कर सकते हैं।

अभ्यास

1. सबसे छोटे समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है जो काकेया सुई सेट के रूप में काम करता है?

2. आप "रेउलेक्स त्रिकोण" का उपयोग करके अभ्यास 1 में समबाहु त्रिकोण से थोड़ा बेहतर कर सकते हैं, जो तीन अतिव्यापी गोलाकार क्षेत्रों द्वारा गठित क्षेत्र है। सबसे छोटे रेउलेक्स त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है?