मध्य दूरी को वश में करने की गणितीय तरकीबें | क्वांटा पत्रिका

अभी तक इस साल, क्वांटा रैमसे सिद्धांत में तीन प्रमुख प्रगतियों को लिपिबद्ध किया है, गणितीय पैटर्न बनाने से कैसे बचा जाए इसका अध्ययन। पहला परिणाम इस पर एक नई सीमा लगाएं कि पूर्णांकों का एक सेट तीन समान दूरी वाली संख्याओं, जैसे कि {2, 4, 6} या {21, 31, 41} के बिना कितना बड़ा हो सकता है। दूसरा और तिहाई इसी प्रकार उन बिंदुओं के समूहों के बिना नेटवर्क के आकार पर नई सीमाएँ लगाएं जो या तो सभी जुड़े हुए हैं, या सभी एक दूसरे से अलग हैं।

सबूत बताते हैं कि क्या होता है क्योंकि इसमें शामिल संख्याएँ असीम रूप से बड़ी हो जाती हैं। विरोधाभासी रूप से, यह कभी-कभी वास्तविक दुनिया की कष्टप्रद मात्राओं से निपटने से आसान हो सकता है।

उदाहरण के लिए, वास्तव में बड़े हर वाले भिन्न के बारे में दो प्रश्नों पर विचार करें। आप पूछ सकते हैं कि 1/42503312127361 का दशमलव विस्तार क्या है। या आप पूछ सकते हैं कि क्या हर बढ़ने पर यह संख्या शून्य के करीब पहुंच जाएगी। पहला प्रश्न वास्तविक दुनिया की मात्रा के बारे में एक विशिष्ट प्रश्न है, और दूसरे की तुलना में इसकी गणना करना कठिन है, जो पूछता है कि मात्रा 1/n "एसिंप्टोटिकली" के रूप में बदल जाएगा n उगता है। (यह 0 के और करीब आता जाता है।)

"यह एक ऐसी समस्या है जो पूरे रैमसे सिद्धांत को परेशान कर रही है," ने कहा विलियम गैसार्च, मैरीलैंड विश्वविद्यालय में एक कंप्यूटर वैज्ञानिक। "रैमसे सिद्धांत लक्षणहीन रूप से बहुत अच्छे परिणामों के लिए जाना जाता है।" लेकिन अनंत से छोटी संख्याओं का विश्लेषण करने के लिए एक पूरी तरह से अलग गणितीय टूलबॉक्स की आवश्यकता होती है।

गैसार्च ने रैमसे सिद्धांत में उन परिमित संख्याओं से जुड़े प्रश्नों का अध्ययन किया है जो समस्या को बलपूर्वक हल करने के लिए बहुत बड़ी हैं। एक प्रोजेक्ट में, उन्होंने इस साल की पहली सफलता का सीमित संस्करण लिया - फरवरी में प्रकाशित एक पेपर जेंडर केली, इलिनोइस विश्वविद्यालय, अर्बाना-शैंपेन में स्नातक छात्र, और रघु मेका कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, लॉस एंजिल्स के। केली और मेका ने 1 और के बीच कितने पूर्णांकों की एक नई ऊपरी सीमा पाई N आप तीन-अवधि की प्रगति, या समान दूरी वाली संख्याओं के पैटर्न से बचते हुए एक सेट में डाल सकते हैं।

हालाँकि केली और मीका का परिणाम तब भी लागू होता है N अपेक्षाकृत छोटा है, यह उस मामले में विशेष रूप से उपयोगी सीमा नहीं देता है। के बहुत छोटे मानों के लिए N, बेहतर होगा कि आप बहुत ही सरल तरीकों पर टिके रहें। अगर N मान लीजिए, 5 है, बस 1 और के बीच संख्याओं के सभी संभावित सेटों को देखें N, और सबसे बड़ी प्रगति-मुक्त चुनें: {1, 2, 4, 5}।

लेकिन विभिन्न संभावित उत्तरों की संख्या बहुत तेज़ी से बढ़ती है और इतनी सरल रणनीति को नियोजित करना बहुत कठिन हो जाता है। 1 मिलियन से अधिक सेट हैं जिनमें 1 से 20 के बीच की संख्याएँ हैं। 10 से अधिक हैं⁶⁰ 1 और 200 के बीच की संख्याओं का उपयोग करना। इन मामलों के लिए सर्वोत्तम प्रगति-मुक्त सेट ढूंढने के लिए दक्षता-सुधार रणनीतियों के साथ भी, कंप्यूटिंग शक्ति की भारी खुराक की आवश्यकता होती है। "आपको चीज़ों से बहुत सारा प्रदर्शन निकालने में सक्षम होने की ज़रूरत है," उन्होंने कहा जेम्स ग्लेनयेल विश्वविद्यालय में एक कंप्यूटर वैज्ञानिक। 2008 में, गैसार्च, ग्लेन और क्लाइड क्रुस्कल मैरीलैंड विश्वविद्यालय के एक प्रोग्राम लिखा एक तक के सबसे बड़े प्रगति-मुक्त सेट खोजने के लिए N 187 का। (पिछले काम को 150 तक उत्तर मिले थे, साथ ही 157 के लिए भी।) ग्लेन ने कहा, कई तरकीबों के बावजूद, उनके कार्यक्रम को खत्म होने में कई महीने लग गए।

अपने कम्प्यूटेशनल भार को कम करने के लिए, टीम ने सरल परीक्षणों का उपयोग किया, जिससे उनके प्रोग्राम को अंतिम खोजों को आगे बढ़ाने से रोका गया और उनके सेट को छोटे भागों में विभाजित किया गया, जिनका उन्होंने अलग से विश्लेषण किया।

गैसार्च, ग्लेन और क्रुस्कल ने कई अन्य रणनीतियाँ भी आज़माईं। एक आशाजनक विचार यादृच्छिकता पर आधारित था। प्रगति-मुक्त सेट के साथ आने का एक आसान तरीका यह है कि अपने सेट में 1 डालें, फिर हमेशा अगला नंबर जोड़ें जो अंकगणितीय प्रगति नहीं बनाता है। इस प्रक्रिया का पालन तब तक करें जब तक आप 10 नंबर पर न पहुंच जाएं, और आपको सेट {1, 2, 4, 5, 10} मिल जाएगा। लेकिन यह पता चला है कि यह सामान्य तौर पर सबसे अच्छी रणनीति नहीं है। "क्या होगा अगर हम 1 से शुरू न करें?" गैसार्च ने कहा। "यदि आप किसी यादृच्छिक स्थान से शुरुआत करते हैं, तो आप वास्तव में बेहतर करते हैं।" उन्होंने कहा, शोधकर्ताओं को पता नहीं है कि यादृच्छिकता इतनी उपयोगी क्यों है।

दो अन्य नए रैमसे सिद्धांत परिणामों के सीमित संस्करणों की गणना करना प्रगति-मुक्त सेटों के आकार को निर्धारित करने से भी अधिक कठिन है। वे परिणाम गणितीय नेटवर्क (जिन्हें ग्राफ़ कहा जाता है) से संबंधित हैं, जो किनारों नामक रेखाओं से जुड़े नोड्स से बने होते हैं। रैमसे नंबर r(s, t) नोड्स की सबसे छोटी संख्या है जो एक ग्राफ़ में होनी चाहिए, इससे पहले कि किसी भी समूह को शामिल करने से बचना असंभव हो जाए s जुड़े हुए नोड्स या t विच्छेदित लोग. रैमसे संख्या की गणना करना भी एक सिरदर्द है r(5, 5) अज्ञात है - यह 43 और 48 के बीच कहीं है।

1981 में, ब्रेंडन मैकेजो अब ऑस्ट्रेलियन नेशनल यूनिवर्सिटी में कंप्यूटर वैज्ञानिक हैं, ने नॉटी नामक एक सॉफ्टवेयर प्रोग्राम लिखा, जिसका उद्देश्य रैमसे संख्याओं की गणना को सरल बनाना था। नॉटी यह सुनिश्चित करता है कि शोधकर्ता दो ग्राफ़ की जांच करने में समय बर्बाद न करें जो एक दूसरे के फ़्लिप या घुमाए गए संस्करण हैं। “अगर कोई क्षेत्र में है और नॉटी का उपयोग नहीं कर रहा है, तो खेल खत्म हो गया है। आपको इसका उपयोग अवश्य करना चाहिए,'' कहा स्टैनिस्लाव रेडज़िस्ज़ोस्कीरोचेस्टर इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में गणितज्ञ। फिर भी, इसमें शामिल गणना की मात्रा लगभग समझ से बाहर है। 2013 में, रेडज़िस्ज़ोस्की और जान गोएजबेउर यह साबित कर दिया r(3) अधिकतम 10 है. बेल्जियम में केयू ल्यूवेन विश्वविद्यालय के कंप्यूटर वैज्ञानिक गोएजबेउर ने कहा, "मुझे लगता है, इसमें लगभग 50 सीपीयू वर्ष लग गए।"

यदि आप सटीक रैमसे संख्या की गणना नहीं कर सकते हैं, तो आप उदाहरणों के साथ इसके मूल्य को कम करने का प्रयास कर सकते हैं। यदि आपको पांच नोड्स के बिना एक 45-नोड ग्राफ़ मिला, जो सभी जुड़े हुए थे और बिना पांच नोड्स के, जो सभी डिस्कनेक्ट हो गए थे, तो यह साबित होगा कि r(5, 5) 45 से बड़ा है। रैडज़िसोव्स्की ने कहा, रैमसे संख्याओं का अध्ययन करने वाले गणितज्ञ सोचते थे कि उन उदाहरणों को ढूंढना, जिन्हें रैमसे ग्राफ़ कहा जाता है, सरल होगा। लेकिन ऐसा नहीं था. उन्होंने कहा, "ऐसी उम्मीद थी कि अच्छे, अच्छे गणितीय निर्माण सर्वोत्तम संभव निर्माण देंगे, और हमें इस पर काम करने के लिए और अधिक लोगों की आवश्यकता है।" "मेरी भावना यह है कि यह अराजक है।"

यादृच्छिकता समझने में बाधा भी है और उपयोगी उपकरण भी। जेफ्री एक्सूइंडियाना स्टेट यूनिवर्सिटी के एक कंप्यूटर वैज्ञानिक, ने रैमसे ग्राफ़ उत्पन्न करने के लिए यादृच्छिक तरीकों को परिष्कृत करने में वर्षों बिताए हैं। में एक 2015 पेपर दर्जनों नए, रिकॉर्ड तोड़ने वाले रैमसे ग्राफ़ की घोषणा करते हुए, एक्सू और मिलोस टाटारेविक ने यादृच्छिक ग्राफ़ तैयार किए और फिर किनारों को हटाकर या जोड़कर उन्हें धीरे-धीरे संशोधित किया जिससे अवांछित समूहों की संख्या कम हो गई जब तक कि उन्हें रैमसे ग्राफ़ नहीं मिला। हालाँकि, रैडज़िसोव्स्की ने कहा, एक्सू की तकनीकें किसी भी चीज़ की तरह ही एक कला हैं। कभी-कभी उन्हें कई तरीकों को संयोजित करने, या किस प्रकार के ग्राफ़ से शुरुआत करनी है, इसके बारे में निर्णय लेने की आवश्यकता होती है। रैडज़िसोव्स्की ने कहा, "बहुत से लोग इसे आज़माते हैं, और वे ऐसा नहीं कर पाते।"

रैमसे ग्राफ़ उत्पन्न करने के लिए विकसित की गई तकनीकें किसी दिन अधिक व्यापक रूप से उपयोगी हो सकती हैं, गोएजबेउर ने कहा इस पर काम किया अन्य प्रकार के ग्राफ़ बनाना, जैसे कि रासायनिक यौगिकों का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफ़। उन्होंने एक ईमेल में लिखा, "यह संभावना नहीं है कि इन तकनीकों को ग्राफ़ के अन्य वर्गों को अधिक कुशलतापूर्वक (और इसके विपरीत) उत्पन्न करने में मदद के लिए स्थानांतरित और समायोजित किया जा सकता है।"

हालाँकि, रैडज़िस्ज़ोव्स्की के लिए, छोटी रैमसे संख्याओं का अध्ययन करने का कारण बहुत सरल है। “क्योंकि यह खुला है, क्योंकि कोई नहीं जानता कि उत्तर क्या है,” उन्होंने कहा। “छोटे-मोटे मामले हम हाथ से करते हैं; थोड़ा बड़ा होने पर आपको एक कंप्यूटर की आवश्यकता होगी, और थोड़ा बड़ा होने पर भी कंप्यूटर पर्याप्त अच्छा नहीं होगा। और इसलिए चुनौती सामने आती है।”