परिचय
कल्पना कीजिए कि छत्ते की तरह षट्कोणों का एक ग्रिड आपके सामने फैला हुआ है। कुछ षट्कोण खाली हैं; अन्य ठोस कंक्रीट के 6 फुट ऊंचे स्तंभ से भरे हुए हैं। नतीजा एक तरह का चक्रव्यूह है. आधी सदी से भी अधिक समय से, गणितज्ञों ने ऐसे बेतरतीब ढंग से उत्पन्न भूलभुलैया के बारे में प्रश्न पूछे हैं। साफ़ किये गए रास्तों का सबसे बड़ा जाल कितना बड़ा है? क्या संभावना है कि ग्रिड के एक किनारे से केंद्र तक और फिर वापस आने के लिए एक रास्ता हो? जैसे-जैसे ग्रिड का आकार बढ़ता है, इसके किनारों पर अधिक से अधिक षट्भुज जुड़ते हैं, ये संभावनाएँ कैसे बदलती हैं?
यदि या तो बहुत अधिक खाली जगह है या बहुत अधिक कंक्रीट है तो इन प्रश्नों का उत्तर देना आसान है। मान लें कि प्रत्येक षट्भुज को अन्य सभी षट्भुजों से स्वतंत्र, यादृच्छिक रूप से उसकी स्थिति सौंपी गई है, जिसकी संभावना पूरे ग्रिड में स्थिर है। मान लीजिए, 1% संभावना हो सकती है कि प्रत्येक षट्कोण खाली है। कंक्रीट ग्रिड को घेर लेती है, जिससे बीच में हवा के केवल छोटे हिस्से रह जाते हैं, जिससे किनारे तक रास्ता खोजने की संभावना प्रभावी रूप से शून्य हो जाती है। दूसरी ओर, यदि 99% संभावना है कि प्रत्येक षट्भुज खाली है, तो कंक्रीट की दीवारों का एक पतला छिड़काव, खुली जगह के विराम चिह्न - बहुत अधिक भूलभुलैया नहीं है। इस मामले में केंद्र से किनारे तक रास्ता ढूंढना लगभग निश्चित है।
बड़े ग्रिडों के लिए, जब संभावना 1/2 तक पहुँच जाती है तो उल्लेखनीय रूप से अचानक परिवर्तन होता है। जिस तरह बिल्कुल शून्य डिग्री सेल्सियस पर बर्फ पिघलकर तरल पानी में बदल जाती है, उसी तरह इस संक्रमण बिंदु पर भूलभुलैया का चरित्र काफी बदल जाता है, जिसे महत्वपूर्ण संभावना कहा जाता है। महत्वपूर्ण संभावना के नीचे, अधिकांश ग्रिड कंक्रीट के नीचे स्थित होंगे, जबकि खाली रास्ते हमेशा गतिरोध पर आते हैं। गंभीर संभावना से ऊपर, बड़े पैमाने पर ट्रैक्ट खाली छोड़ दिए जाते हैं, और यह कंक्रीट की दीवारें हैं जो निश्चित रूप से नष्ट हो जाएंगी। यदि आप बिल्कुल महत्वपूर्ण संभावना पर रुकते हैं, तो ठोस और खालीपन एक दूसरे को संतुलित करेंगे, और कोई भी भूलभुलैया पर हावी नहीं हो पाएगा।
"महत्वपूर्ण बिंदु पर, जो उभरता है वह उच्च स्तर की समरूपता है," ने कहा माइकल एज़ेनमैन, प्रिंसटन विश्वविद्यालय में गणितीय भौतिक विज्ञानी। "यह गणित के एक विशाल निकाय का द्वार खोलता है।" इसमें गैस मास्क के डिजाइन से लेकर संक्रामक रोग कैसे फैलते हैं या चट्टानों से तेल कैसे रिसता है, इसका विश्लेषण करने तक हर चीज में व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं।
में पेपर पिछली बार पोस्ट किया गया था, चार शोधकर्ताओं ने अंततः 1/2 की महत्वपूर्ण संभावना पर भूलभुलैया के लिए रास्ता खोजने की संभावना की गणना की है।
एक शस्त्र दौड़
2000 के दशक के मध्य में फ़्रांस में एक डॉक्टरेट छात्र के रूप में, पियरे नोलिन महत्वपूर्ण संभाव्यता परिदृश्य का बहुत विस्तार से अध्ययन किया। वह सोचता है कि यादृच्छिक भूलभुलैया, "वास्तव में एक सुंदर मॉडल है, शायद सबसे सरल मॉडलों में से एक जिसे आप आविष्कार कर सकते हैं।" अपने डॉक्टरेट अध्ययन के अंत के करीब, जिसे उन्होंने 2008 में पूरा किया, नोलिन एक विशेष रूप से चुनौतीपूर्ण प्रश्न से मोहित हो गए कि महत्वपूर्ण संभावना पर एक हेक्सागोनल ग्रिड कैसे व्यवहार करता है। मान लें कि आप एक केंद्रीय बिंदु के चारों ओर एक ग्रिड बनाते हैं, ताकि यह एक वृत्त के समान हो, और आप वहां से बेतरतीब ढंग से अपनी भूलभुलैया बनाएं। नोलिन इस संभावना का पता लगाना चाहता था कि आप एक खुला रास्ता ढूंढने में सक्षम होंगे जो किनारे से केंद्र तक पहुंचता है और बिना पीछे हटे वापस आ जाता है। गणितज्ञ इसे एकवर्णी दो-सशस्त्र पथ कहते हैं, क्योंकि अंदर और बाहर दोनों "भुजाएँ" खुले पथ पर हैं। (कभी-कभी ऐसे ग्रिडों को खुली और बंद कोशिकाओं के बजाय दो अलग-अलग रंगों, जैसे हल्का नीला और गहरा नीला, से बना माना जाता है।) यदि आप भूलभुलैया का आकार बढ़ाते हैं, तो आवश्यक पथ की लंबाई भी बढ़ जाएगी , और ऐसा रास्ता खोजने की संभावना कम होती जाएगी। लेकिन जब भूलभुलैया मनमाने ढंग से बड़ी हो जाती है तो बाधाएं कितनी जल्दी कम हो जाती हैं?
दशकों पहले सरल संबंधित प्रश्नों के उत्तर दिए गए थे। 1979 से गणना मार्सेल डेन निज इस संभावना का अनुमान लगाएं कि आप किनारे से केंद्र तक एक रास्ता या भुजा पा सकते हैं। (इसकी तुलना नोलिन की आवश्यकता से करें कि एक हाथ अंदर और एक अलग बाहर होना चाहिए।) डेन निज के काम ने भविष्यवाणी की कि हेक्सागोनल ग्रिड में एक हाथ खोजने की संभावना $latex 1/n^{5/48}$ के समानुपाती होती है , कहाँ n केंद्र से किनारे तक टाइलों की संख्या, या ग्रिड की त्रिज्या है। 2002 में, ग्रेगरी लॉलर, ओडेड श्राम और वेन्डेलिन वर्नर आखिरकार साबित कि एक हाथ की भविष्यवाणी सही थी। ग्रिड का आकार बढ़ने के साथ घटती संभावना को संक्षेप में मापने के लिए, शोधकर्ता हर, 5/48 से घातांक का उपयोग करते हैं, जिसे एक-हाथ वाले घातांक के रूप में जाना जाता है।
नोलिन अधिक मायावी मोनोक्रोमैटिक दो-हाथ वाले प्रतिपादक की गणना करना चाहते थे। 1999 में संख्यात्मक सिमुलेशन दिखाया कि यह 0.3568 के बहुत करीब था, लेकिन गणितज्ञ इसका सटीक मान बताने में विफल रहे।
इसे गणना करना बहुत आसान था जिसे पॉलीक्रोमैटिक टू-आर्म एक्सपोनेंट के रूप में जाना जाता है, जो इस संभावना को दर्शाता है कि, केंद्र से शुरू करके, आप न केवल परिधि के लिए एक "खुला" पथ पा सकते हैं, बल्कि एक अलग "बंद" पथ भी पा सकते हैं। (बंद रास्ते को ऐसे समझें जो भूलभुलैया की कंक्रीट की दीवारों के शीर्ष को पार करता है।) 2001 में, स्टानिस्लाव स्मिरनोव और वर्नर साबित कि यह प्रतिपादक 1/4 था। (क्योंकि 1/4, 5/48 से काफी बड़ा है, $latex 1/n^{1/4}$ $latex 1/n^{5/48}$ की तुलना में अधिक तेजी से सिकुड़ता है क्योंकि n उगता है। तो, एक बहुरंगी दो-हाथ संरचना की संभावना एक हाथ की संभावना से बहुत कम है, जैसा कि कोई उम्मीद कर सकता है।)
वह गणना ग्राफ़ में समूहों के आकार के बारे में ज्ञान पर बहुत अधिक निर्भर थी। कल्पना करें कि महत्वपूर्ण संभाव्यता पर एक भूलभुलैया बहुत बड़ी है - लाखों और करोड़ों षट्भुजों से बनी है। अब खाली हेक्सागोन्स का एक समूह ढूंढें और एक मोटी काली शार्पी के साथ क्लस्टर के किनारे का पता लगाएं। इसका परिणाम संभवतः एक सरल, गोल ब्लॉब नहीं होगा। हवा में मीलों से, आपको एक टेढ़ा-मेढ़ा वक्र दिखाई देगा जो लगातार दोगुना होता जा रहा है, अक्सर ऐसा लगता है मानो यह खुद को पार करने वाला है, लेकिन कभी भी पूरी तरह से प्रतिबद्ध नहीं होता है।
यह एक प्रकार का वक्र है जिसे एसएलई वक्र कहा जाता है, जिसे श्राम द्वारा प्रस्तुत किया गया है 2000 कागज जिसने क्षेत्र को पुनः परिभाषित किया। एक खुला रास्ता और एक बंद रास्ता खोजने की संभावनाओं का अध्ययन करने वाला एक गणितज्ञ जानता है कि उन रास्तों को खुले और बंद स्थानों के बड़े समूहों के अंदर होना चाहिए, जो अंततः एक एसएलई वक्र के साथ मिलते हैं। एसएलई वक्रों के गणितीय गुण भूलभुलैया के भीतर पथों के बारे में अमूल्य जानकारी में तब्दील हो जाते हैं। लेकिन यदि गणितज्ञ एक ही प्रकार के कई पथ खोज रहे हैं, तो एसएलई वक्र अपनी प्रभावशीलता खो देते हैं।
2007 तक, नोलिन और उनके सहयोगी विंसेंट बेफ़ारा ने संख्यात्मक सिमुलेशन बनाकर दिखाया था कि मोनोक्रोमैटिक दो-हाथ वाला प्रतिपादक लगभग 0.35 था। यह संदिग्ध रूप से 17/48 के करीब था - एक-हाथ वाले घातांक का योग, 5/48, और बहुवर्णी दो-हाथ वाले घातांक, 1/4 (या 12/48) का योग। "17/48 वास्तव में आश्चर्यजनक है," नोलिन ने कहा। उन्हें संदेह होने लगा कि 17/48 ही सही उत्तर था - जिसका अर्थ है कि विभिन्न प्रकार के घातांकों के बीच एक सरल संबंध था। आप बस उन्हें एक साथ जोड़ सकते हैं. “हमने कहा, ठीक है, झूठा होना बहुत अच्छा है; यह सच होना चाहिए।”
परिचय
कुछ समय तक, नोलिन और बेफ़ारा के अनुमान से कुछ भी पता नहीं चला, हालाँकि नोलिन ने इसे दूसरों के काम के लिए अपनी वेबसाइट पर पोस्ट कर दिया। वह 2017 में हांगकांग की सिटी यूनिवर्सिटी में प्रोफेसर की नौकरी करने के लिए हांगकांग चले गए और इस समस्या पर काम करते रहे। 2018 में, उन्होंने बातचीत में प्रतिपादक का जिक्र किया वेई कियान, जो उस समय इंग्लैंड में कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में पोस्टडॉक थे। कियान एसएलई वक्रों पर विशेष ध्यान देने के साथ, अलग-अलग संदर्भ के बजाय निरंतर में यादृच्छिक ज्यामिति का अध्ययन कर रहा था। वह एक ऐसे प्रोजेक्ट के बीच में थी जिसमें एक अलग प्रकार के यादृच्छिक मॉडल में घातांक की गणना करने के लिए एसएलई का उपयोग किया गया था, और नोलिन को संदेह होने लगा कि उसकी विशेषज्ञता मोनोक्रोमैटिक दो-हाथ वाले घातांक के लिए भी प्रासंगिक थी। जोड़ी को जल्द ही एक सरल-प्रतीत होने वाला समीकरण मिला जिसका समाधान घातांक देगा, लेकिन वह समीकरण एक मध्यवर्ती मात्रा पर निर्भर था जो ग्रिड के किनारे पर एक एसएलई वक्र से घिरे स्थान से संबंधित था। नोलिन और कियान उस नंबर को पिन नहीं कर सके।
कियान ने कहा, "मैंने बहुत सारी गणनाएं कीं, लेकिन मैं अभी भी इस संपत्ति की गणना करने में सक्षम नहीं हूं।" "मैं सफल नहीं हुआ, इसलिए मैं कुछ समय के लिए रुक गया।"
नोलिन ने कहा, "हमने इसका जिक्र कभी किसी से नहीं किया क्योंकि हमें यकीन नहीं था कि यह उपयोगी होगा या नहीं।"
रीढ़ की हड्डी प्रतिपादक
मोनोक्रोमैटिक दो-हाथ वाला प्रतिपादक विशेष रूप से दिलचस्प है क्योंकि यह एक ग्रिड की "रीढ़ की हड्डी" का भी वर्णन करता है: हेक्सागोन्स का संग्रह जो दो अलग-अलग भुजाओं से जुड़ा होता है जो दो गैर-अतिव्यापी भुजाओं तक फैली होती हैं: एक भूलभुलैया के किनारे तक और एक भूलभुलैया के किनारे तक इसका केंद्र. जब इन साइटों को रंगीन किया जाता है, तो वे एक वेब बनाते हैं जो पूरे ग्रिड तक पहुंचता है और इसे बैकबोन कहा जाता है। जब शोधकर्ता बीमारी या छिद्रपूर्ण चट्टान संरचनाओं के प्रसार का मॉडल बनाते हैं, तो रीढ़ की हड्डी एक राजमार्ग है जिसके साथ रोगाणु या तेल बह सकते हैं। नोलिन और कियान द्वारा खोजे गए प्रतिपादक से रीढ़ की हड्डी के आकार का पता चलता है और इसे रीढ़ की हड्डी के प्रतिपादक के रूप में जाना जाता है।
बैकबोन के बाद नोलिन और कियान अकेले नहीं थे। जिन सुन, तब पेंसिल्वेनिया विश्वविद्यालय में भी रीढ़ की हड्डी के प्रतिपादक की गणना करने की कोशिश कर रहा था। पिछले वर्षों में, सन और न्यूयॉर्क विश्वविद्यालय की नीना होल्डन सहित सहयोगियों ने यादृच्छिक फ्रैक्टल सतहों का उपयोग करके एसएलई वक्रों का अध्ययन करने का एक तरीका निकाला था। इन फैली हुई, घुमावदार सतहों में स्कैलप्ड किनारे होते हैं जो लंबी टेंड्रिल में विस्तारित होते हैं। कुछ बिंदु अपने पड़ोसियों से थोड़ी दूरी पर हैं, जबकि अन्य एक महीने लंबी यात्रा पर हैं। कुछ स्थानों पर, ये प्रभाव इतने चरम हैं कि इन्हें देखा नहीं जा सकता। होल्डन ने कहा, "वास्तव में इसे पूरी तरह सटीक ढंग से खींचना संभव नहीं है"। "आपको सतह को बहुत अधिक फैलाना होगा।"
2022 की गर्मियों में, सन ने दूसरे वर्ष के स्नातक छात्र ज़िजी ज़ुआंग को महत्वपूर्ण संभावना पर यादृच्छिक भूलभुलैया के अध्ययन में शामिल होने के लिए नियुक्त किया। वे यादृच्छिक भूलभुलैया पर विचार करते थे जहां षट्भुज समतल तल के बजाय यादृच्छिक भग्न सतह पर स्थित होते थे। चूँकि संयोग यह निर्धारित करता है कि सतह कहाँ और कितनी खिंची और संकुचित हुई है, सतह में अद्वितीय गुण होते हैं। (ये गुण ऐसी सतहों को उन भौतिकविदों के लिए भी उपयोगी बनाते हैं जो द्वि-आयामी ब्रह्मांड में क्वांटम गुरुत्व के मॉडल का अध्ययन करते हैं, उन्हें अपना नाम देते हैं: लिउविले क्वांटम गुरुत्व सतह।) उदाहरण के लिए, यदि आप ऐसी सतह पर कैंची ले जाते हैं, तो आकृतियाँ दो हिस्से एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं. "उस तरह की स्वतंत्रता वास्तव में चीजों को बहुत सरल बना देती है," कहा स्कॉट शेफ़ील्ड मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के. जब चीजें यादृच्छिक होती हैं, तो आप उनके बारे में कम जानते हैं, लेकिन इसका मतलब यह हो सकता है कि कम जानकारी का ध्यान रखना कठिन होगा।
सन और ज़ुआंग ने सबसे पहले इस संभावना को निर्धारित करने की कोशिश की कि ग्रिड के केंद्र के चारों ओर एक छोटे वृत्त को एक बड़े, आसपास के वृत्त से जोड़ने वाला एक खुला रास्ता था। उस प्रश्न का उत्तर देने के बाद, सन ने महत्वाकांक्षा में एक कदम बढ़ाने का सुझाव दिया: इस संभावना की गणना करना कि नेस्टेड सर्कल को जोड़ने वाले दो रास्ते थे, जिससे उन्हें रीढ़ की हड्डी के प्रतिपादक की गणना करने का एक तरीका मिल गया होगा। हालाँकि, जल्द ही, वे कठिनाइयों में पड़ गए। ज़ुआंग ने एक ईमेल में लिखा, "हमने कई महीनों तक इस दृष्टिकोण की कोशिश की, लेकिन गणना बहुत आसान नहीं लगती।"
परिचय
इस बीच, हालांकि नोलिन और कियान घातांक का मूल्य खोजने में सफल नहीं हुए, लेकिन उन्होंने अन्य तरीकों से प्रगति की। कियान ने फ्रेंच नेशनल सेंटर फॉर साइंटिफिक रिसर्च में अपने पद से छुट्टी ले ली और नोलिन के साथ हांगकांग की सिटी यूनिवर्सिटी में प्रोफेसर के रूप में जुड़ गईं। (उन्होंने शादी भी कर ली।) 2021 की गर्मियों में, उन्हें सन और उनके सहयोगियों के कुछ कागजात मिले, जिन्होंने उन्हें आश्चर्यचकित कर दिया, इसलिए जैसे ही महामारी यात्रा प्रतिबंध हटा दिए गए, उन्होंने दिसंबर 2022 में प्रिंसटन में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी की यात्रा की योजना बनाई। , न्यू जर्सी, जहां सन साल बिता रहा था।
यह एक लाभदायक यात्रा साबित हुई। जैसा कि कियान ने उस समीकरण का वर्णन किया जो उसने और नोलिन ने पाया था, सन ने सोचना शुरू कर दिया कि यह लिउविले क्वांटम गुरुत्वाकर्षण सतहों पर भूलभुलैया को ओवरले करने की उसकी और ज़ुआंग की तकनीक के लिए उपयुक्त हो सकता है। "यह एक तरह का संयोग है," सन ने कहा। "एक आदमी के पास ताला है, एक आदमी के पास चाबी है।"
ज़ुआंग थोड़ा सशंकित था। उन्होंने उस समय की स्थिति का वर्णन करते हुए कहा, "हमारे पास कोई पूर्वानुमान नहीं है, और हम यह भी नहीं जानते हैं कि फॉर्मूला का कोई अच्छा समाधान होगा या नहीं।" सन और ज़ुआंग ने नोलिन और कियान के वर्षों पहले के समीकरण में मायावी मात्रा - लॉक को अनलॉक करने के लिए अपनी लिउविले क्वांटम गुरुत्वाकर्षण तकनीक - कुंजी - का उपयोग करके अगले कई महीने बिताए।
चार महीने के काम के बाद, सन और ज़ुआंग ने रूपक ताला खोल दिया था। सन ने ज़ुआंग, कियान और नोलिन को एक ईमेल भेजा, जिसमें घोषणा की गई: "महान समाचार: बैकबोन एक्सपोनेंट के लिए सटीक फॉर्मूला।" उन्होंने जो उत्तर पाया, वह वर्गमूलों और त्रिकोणमितीय साइन फ़ंक्शन की एक मामूली जटिल अभिव्यक्ति थी। यह पहले के अनुमानों के अनुरूप था, 0.3566668 से शुरू होने वाले अंकों की एक अंतहीन धारा।
चारों ने अपने काम को एक लिखित पेपर में बदल दिया, तर्क को तब तक परिष्कृत किया जब तक कि एक तरफ नोलिन और कियान के विचार नहीं थे, और दूसरी तरफ सुन और ज़ुआंग ने मिलकर एक सबूत तैयार किया कि शेफ़ील्ड, जो कि सन के डॉक्टरेट सलाहकार थे, ने "एक सुंदर" कहा रत्न।" होल्डन ने कहा, "प्रूफ़ रणनीति निश्चित रूप से आश्चर्यजनक और बहुत मौलिक है, लेकिन जब आप इसे देखते हैं, तो यह कुछ ऐसा भी लगता है जो स्वाभाविक लगता है।"
नोलिन ने अपने 2011 के संदेह पर अफसोस जताया कि प्रतिपादक बिल्कुल 17/48 था। उन्होंने कहा, ''हमने काफी समय तक मैदान को गुमराह किया। मुझे इस पर बहुत गर्व नहीं है।” रीढ़ की हड्डी का प्रतिपादक अपने बहुरंगी चचेरे भाइयों से आश्चर्यजनक रूप से भिन्न है। यह न केवल अतार्किक है, बल्कि पारलौकिक भी है, अर्थात $latex pi$ और की तरह e, इसे एक साधारण बहुपद समीकरण के समाधान के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
उन्होंने कहा, "सबूत वास्तव में यह नहीं बताते कि यह फॉर्मूला कहां से आ रहा है।" "हम इसे भौतिकविदों को दिखा रहे हैं, और हम वास्तव में उनकी अंतर्दृष्टि की प्रतीक्षा कर रहे हैं।"
रीढ़ की हड्डी के प्रतिपादक की उत्कृष्ट प्रकृति ने क्षेत्र में अन्य लोगों का ध्यान आकर्षित किया। चैन जुकरबर्ग बायोहब के ग्रेगरी ह्यूबर, जिन्होंने सह-लेखन किया अनुवर्ती लेख रीढ़ की हड्डी के प्रतिपादक के बारे में, उन्होंने कहा कि उनका मानना है कि परिणाम सांख्यिकीय यांत्रिकी में "एक नए महाद्वीप की पहली झलक" है। हालांकि एसएलई वक्र और लिउविले क्वांटम गुरुत्व का संयोजन बेहद तकनीकी है, लेकिन जो स्पष्ट और सरल संख्यात्मक उत्तर सामने आया है, वह "आश्चर्यजनक रूप से सरल और सुरुचिपूर्ण है।"
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- स्रोत: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
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