जब बुलबुला समूहों के आकार को समझने की बात आती है, तो गणितज्ञ सहस्राब्दियों से हमारे भौतिक अंतर्ज्ञान को पकड़ते रहे हैं। प्रकृति में साबुन के बुलबुले समूह अक्सर सबसे कम-ऊर्जा राज्य में तुरंत स्नैप करते हैं, जो उनकी दीवारों के कुल सतह क्षेत्र (बुलबुले के बीच की दीवारों सहित) को कम करता है। लेकिन यह जाँचना कि क्या साबुन के बुलबुले इस कार्य को सही कर रहे हैं - या सिर्फ यह अनुमान लगाना कि बड़े बबल क्लस्टर कैसा दिखना चाहिए - ज्यामिति में सबसे कठिन समस्याओं में से एक है। 19वीं शताब्दी के अंत तक गणितज्ञों को यह साबित करने में लग गए कि गोला सबसे अच्छा एकल बुलबुला है, भले ही ग्रीक गणितज्ञ ज़ेनोडोरस ने 2,000 से अधिक वर्षों पहले इस पर जोर दिया था।
बबल समस्या बताने के लिए काफी सरल है: आप वॉल्यूम के लिए संख्याओं की एक सूची के साथ शुरू करते हैं, और फिर पूछते हैं कि कम से कम सतह क्षेत्र का उपयोग करके हवा के उन वॉल्यूम को अलग से कैसे संलग्न किया जाए। लेकिन इस समस्या को हल करने के लिए, गणितज्ञों को बुलबुले की दीवारों के लिए विभिन्न संभावित आकृतियों की एक विस्तृत श्रृंखला पर विचार करना चाहिए। और अगर असाइनमेंट पांच खंडों को संलग्न करना है, तो हमारे पास पांच बुलबुले के समूहों पर अपना ध्यान सीमित करने की विलासिता भी नहीं है - शायद सतह क्षेत्र को कम करने का सबसे अच्छा तरीका कई बुलबुले में से एक वॉल्यूम को विभाजित करना शामिल है।
यहां तक कि द्वि-आयामी विमान की सरल सेटिंग में (जहां आप परिधि को कम करते हुए क्षेत्रों के संग्रह को घेरने की कोशिश कर रहे हैं), कोई भी नौ या 10 क्षेत्रों को घेरने का सबसे अच्छा तरीका नहीं जानता है। जैसे-जैसे बुलबुले की संख्या बढ़ती है, "जल्दी से, आप वास्तव में कोई भी प्रशंसनीय अनुमान नहीं लगा सकते हैं," ने कहा इमानुएल मिलमैन हाइफ़ा, इज़राइल में तकनीक का।
लेकिन एक चौथाई सदी से भी पहले, जॉन सुलिवन, अब बर्लिन के तकनीकी विश्वविद्यालय ने महसूस किया कि कुछ मामलों में, एक है मार्गदर्शक अनुमान रखना। बबल समस्याएं किसी भी आयाम में समझ में आती हैं, और सुलिवन ने पाया कि जब तक आप जितने वॉल्यूम को संलग्न करने का प्रयास कर रहे हैं, वह आयाम से अधिक से अधिक एक है, वॉल्यूम को संलग्न करने का एक विशेष तरीका है, एक निश्चित अर्थ में, किसी भी अन्य की तुलना में अधिक सुंदर - एक गोले पर पूरी तरह से सममित बुलबुला क्लस्टर की एक प्रकार की छाया। यह छाया समूह, उन्होंने अनुमान लगाया, वह होना चाहिए जो सतह क्षेत्र को कम करता है।
इसके बाद के दशक में, गणितज्ञों ने सुलिवन के अनुमान को साबित करते हुए कई महत्वपूर्ण कागजात लिखे, जब आप केवल दो खंडों को संलग्न करने का प्रयास कर रहे थे। यहां, समाधान परिचित डबल बुलबुला है जिसे आपने धूप के दिन पार्क में उड़ाया होगा, जो दो गोलाकार टुकड़ों से बना होता है, जिनके बीच एक सपाट या गोलाकार दीवार होती है (इस पर निर्भर करता है कि दोनों बुलबुले समान या अलग-अलग मात्रा में हैं)।
लेकिन तीन खंडों के लिए सुलिवन के अनुमान को साबित करते हुए, गणितज्ञ फ्रैंक मॉर्गन विलियम्स कॉलेज के अनुमान लगाया 2007 में, "एक और सौ साल लग सकते हैं।"
अब, गणितज्ञ उस लंबे इंतजार से बच गए हैं - और ट्रिपल बबल समस्या के समाधान से कहीं अधिक प्राप्त कर चुके हैं। में एक काग़ज़ मई, मिलमैन और . में ऑनलाइन पोस्ट किया गया जो नीमन, टेक्सास विश्वविद्यालय, ऑस्टिन के, ने तीन और ऊपर के आयामों में ट्रिपल बुलबुले और चार और ऊपर के आयामों में चौगुनी बुलबुले के लिए सुलिवन के अनुमान को पांच और ऊपर के आयामों में क्विंटुपल बुलबुले पर एक अनुवर्ती पेपर के साथ साबित किया है।
और जब छह या अधिक बुलबुले की बात आती है, तो मिलमैन और नीमन ने दिखाया है कि सबसे अच्छे क्लस्टर में सुलिवन के उम्मीदवार के कई प्रमुख गुण होने चाहिए, संभावित रूप से गणितज्ञों को इन मामलों के अनुमान को साबित करने के लिए सड़क पर शुरू करना चाहिए। "मेरी धारणा है कि उन्होंने सुलिवन अनुमान के पीछे की आवश्यक संरचना को समझ लिया है," ने कहा फ्रांसेस्को मैगी टेक्सास विश्वविद्यालय, ऑस्टिन के।
मिलमैन और नीमन का केंद्रीय प्रमेय "स्मारकीय" है, मॉर्गन ने एक ईमेल में लिखा है। "यह बहुत सारे नए विचारों के साथ एक शानदार उपलब्धि है।"
छाया बुलबुले
असली साबुन के बुलबुले के साथ हमारे अनुभव आकर्षक अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं कि इष्टतम बबल क्लस्टर कैसा दिखना चाहिए, कम से कम जब यह छोटे समूहों की बात आती है। साबुन की छड़ी के माध्यम से हम जो ट्रिपल या चौगुनी बुलबुले उड़ाते हैं, उनमें गोलाकार दीवारें (और कभी-कभी सपाट होती हैं) लगती हैं और बुलबुले की एक लंबी श्रृंखला कहने के बजाय तंग गुच्छों का निर्माण करती हैं।
लेकिन यह साबित करना इतना आसान नहीं है कि ये वास्तव में इष्टतम बबल क्लस्टर की विशेषताएं हैं। उदाहरण के लिए, गणितज्ञ यह नहीं जानते हैं कि एक न्यूनतम बबल क्लस्टर में दीवारें हमेशा गोलाकार या सपाट होती हैं - वे केवल यह जानते हैं कि दीवारों में "स्थिर माध्य वक्रता" है, जिसका अर्थ है कि औसत वक्रता एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर समान रहती है। गोले और सपाट सतहों में यह गुण होता है, लेकिन कई अन्य सतहों में भी ऐसा ही होता है, जैसे कि सिलेंडर और लहराती आकृतियाँ जिन्हें अनडुलॉइड कहा जाता है। निरंतर माध्य वक्रता वाली सतहें "एक पूर्ण चिड़ियाघर" हैं, मिलमैन ने कहा।
लेकिन 1990 के दशक में, सुलिवन ने माना कि जब आप जितने वॉल्यूम को संलग्न करना चाहते हैं, वह आयाम से अधिक से अधिक एक है, तो एक उम्मीदवार क्लस्टर है जो बाकी हिस्सों से आगे निकल जाता है - एक (और केवल एक) क्लस्टर जिसमें हमारे द्वारा उपयोग की जाने वाली विशेषताएं हैं असली साबुन के बुलबुले के छोटे समूहों में देखने के लिए।
इस तरह के उम्मीदवार का निर्माण कैसे किया जाता है, यह महसूस करने के लिए, आइए सुलिवन के दृष्टिकोण का उपयोग करके समतल विमान में तीन-बबल क्लस्टर बनाएं (इसलिए हमारे "बुलबुले" त्रि-आयामी वस्तुओं के बजाय विमान में क्षेत्र होंगे)। हम एक गोले पर चार बिंदुओं को चुनकर शुरू करते हैं जो सभी एक दूसरे से समान दूरी पर हैं। अब कल्पना करें कि इन चार बिंदुओं में से प्रत्येक एक छोटे बुलबुले का केंद्र है, जो केवल गोले की सतह पर रहता है (ताकि प्रत्येक बुलबुला एक छोटी डिस्क हो)। गोले पर चारों बुलबुलों को तब तक फुलाएँ जब तक वे एक-दूसरे से टकराने न लगें, और तब तक फुलाएँ जब तक कि वे सामूहिक रूप से पूरी सतह को भर न दें। हम चार बुलबुले के एक सममित समूह के साथ समाप्त होते हैं जो गोले को एक फूला हुआ टेट्राहेड्रोन जैसा दिखता है।
इसके बाद, हम इस गोले को एक अनंत समतल तल के ऊपर रखते हैं, जैसे कि गोला एक अंतहीन मंजिल पर टिकी हुई गेंद है। कल्पना कीजिए कि गेंद पारदर्शी है और उत्तरी ध्रुव पर एक लालटेन है। चार बुलबुलों की दीवारें फर्श पर परछाईं लगाएंगी, जिससे वहां एक बबल क्लस्टर की दीवारें बन जाएंगी। गोले पर चार बुलबुलों में से, तीन नीचे फर्श पर छाया बुलबुले के रूप में प्रक्षेपित होंगे; चौथा बुलबुला (जिसमें उत्तरी ध्रुव होता है) तीन छाया बुलबुले के समूह के बाहर फर्श के अनंत विस्तार तक नीचे की ओर प्रक्षेपित होगा।
हमें जो विशेष तीन-बबल क्लस्टर मिलता है, वह इस बात पर निर्भर करता है कि जब हम इसे फर्श पर रखते हैं तो हम गोले की स्थिति कैसे बनाते हैं। यदि हम गोले को घुमाते हैं तो एक अलग बिंदु उत्तरी ध्रुव पर लालटेन की ओर जाता है, हम आम तौर पर एक अलग छाया प्राप्त करेंगे, और फर्श पर तीन बुलबुले के अलग-अलग क्षेत्र होंगे। गणितज्ञों के पास है साबित कि किन्हीं तीन नंबरों के लिए आप क्षेत्रों के लिए चुनते हैं, अनिवार्य रूप से गोले को स्थिति देने का एक ही तरीका है, इसलिए तीन छाया बुलबुले में ठीक वे क्षेत्र होंगे।
हम इस प्रक्रिया को किसी भी आयाम में करने के लिए स्वतंत्र हैं (हालांकि उच्च-आयामी छाया की कल्पना करना कठिन है)। लेकिन हमारे शैडो क्लस्टर में कितने बुलबुले हो सकते हैं, इसकी एक सीमा है। ऊपर के उदाहरण में, हम प्लेन में चार-बबल क्लस्टर नहीं बना सकते थे। इसके लिए गोले पर पाँच बिंदुओं से शुरू करना आवश्यक होगा जो सभी एक दूसरे से समान दूरी पर हैं - लेकिन एक गोले पर कई समान बिंदुओं को रखना असंभव है (हालाँकि आप इसे उच्च-आयामी क्षेत्रों के साथ कर सकते हैं)। सुलिवन की प्रक्रिया केवल दो-आयामी अंतरिक्ष में तीन बुलबुले, तीन-आयामी अंतरिक्ष में चार बुलबुले, चार-आयामी अंतरिक्ष में पांच बुलबुले, और इसी तरह के समूहों को बनाने के लिए काम करती है। उन पैरामीटर श्रेणियों के बाहर, सुलिवन-शैली के बबल क्लस्टर मौजूद नहीं हैं।
लेकिन उन मापदंडों के भीतर, सुलिवन की प्रक्रिया हमें सेटिंग में बबल क्लस्टर देती है जो हमारे भौतिक अंतर्ज्ञान को समझ सकता है। मैगी ने कहा, "[15-आयामी अंतरिक्ष] में 23-बबल की कल्पना करना असंभव है।" "आप ऐसी वस्तु का वर्णन करने का सपना भी कैसे देखते हैं?"
फिर भी सुलिवन के बुलबुला उम्मीदवारों को उनके गोलाकार पूर्वजों से प्रकृति में दिखाई देने वाले बुलबुले की याद ताजा गुणों का एक अनूठा संग्रह प्राप्त होता है। उनकी दीवारें सभी गोलाकार या सपाट हैं, और जहाँ भी तीन दीवारें मिलती हैं, वे 120-डिग्री कोण बनाती हैं, जैसा कि एक सममित Y आकार में होता है। आप जिन खंडों को संलग्न करने का प्रयास कर रहे हैं उनमें से प्रत्येक कई क्षेत्रों में विभाजित होने के बजाय एक ही क्षेत्र में स्थित है। और प्रत्येक बुलबुला एक दूसरे (और बाहरी) को छूता है, जिससे एक तंग क्लस्टर बनता है। गणितज्ञों ने दिखाया है कि सुलिवन के बुलबुले ही ऐसे समूह हैं जो इन सभी गुणों को संतुष्ट करते हैं।
जब सुलिवन ने अनुमान लगाया कि ये ऐसे क्लस्टर होने चाहिए जो सतह क्षेत्र को कम करते हैं, तो वह अनिवार्य रूप से कह रहे थे, "चलो सुंदरता मान लें," मैगी ने कहा।
लेकिन बबल शोधकर्ताओं के पास यह मानने से सावधान रहने का अच्छा कारण है कि सिर्फ इसलिए कि प्रस्तावित समाधान सुंदर है, यह सही है। मैगी ने कहा, "बहुत प्रसिद्ध समस्याएं हैं ... जहां आप न्यूनतम करने वालों के लिए समरूपता की उम्मीद करेंगे, और समरूपता शानदार ढंग से विफल हो जाती है।"
उदाहरण के लिए, अनंत स्थान को समान-मात्रा वाले बुलबुले से इस तरह से भरने की निकट से संबंधित समस्या है जो सतह क्षेत्र को कम करता है। 1887 में, ब्रिटिश गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी लॉर्ड केल्विन ने सुझाव दिया कि समाधान एक सुंदर छत्ते जैसी संरचना हो सकती है। एक सदी से भी अधिक समय से, कई गणितज्ञों का मानना था कि यह संभावित उत्तर था — 1993 तक, जब भौतिकविदों की एक जोड़ी एक बेहतर पहचान की, हालांकि कम सममित, विकल्प। मैगी ने कहा, "गणित भरा हुआ है ... ऐसे उदाहरणों की भरमार है जहां इस तरह की अजीब चीजें होती हैं।"
एक डार्क आर्ट
जब सुलिवन ने 1995 में अपने अनुमान की घोषणा की, तो इसका डबल-बबल हिस्सा पहले से ही एक सदी से तैर रहा था। गणितज्ञों ने हल किया था 2डी डबल-बबल समस्या दो साल पहले, और उसके बाद के दशक में, उन्होंने इसे हल किया तीन आयामी स्थान और फिर में उच्चतर आयाम. लेकिन जब सुलिवन के अनुमान के अगले मामले की बात आई - ट्रिपल बबल - वे कर सकते थे अनुमान को सिद्ध करो केवल दो-आयामी विमान में, जहां बुलबुले के बीच इंटरफेस विशेष रूप से सरल होते हैं।
फिर 2018 में, मिलमैन और नीमन ने गॉसियन बबल समस्या के रूप में जानी जाने वाली सेटिंग में सुलिवन के अनुमान का एक समान संस्करण साबित किया। इस सेटिंग में, आप अंतरिक्ष में हर बिंदु को एक मौद्रिक मूल्य के रूप में सोच सकते हैं: मूल सबसे महंगा स्थान है, और आप मूल से जितना दूर जाते हैं, उतनी ही सस्ती भूमि बन जाती है, जिससे घंटी वक्र बन जाती है। लक्ष्य पूर्व-चयनित कीमतों (पूर्व-चयनित संस्करणों के बजाय) के साथ बाड़ों का निर्माण करना है, इस तरह से बाड़ों की सीमाओं (सीमाओं के सतह क्षेत्र के बजाय) की लागत को कम करता है। गॉसियन बबल समस्या में कंप्यूटर विज्ञान में गोलाकार योजनाओं और शोर संवेदनशीलता के प्रश्नों के अनुप्रयोग हैं।
मिलमैन और नीमन ने अपना प्रस्तुत किया प्रमाण को गणित के इतिहास, यकीनन गणित की सबसे प्रतिष्ठित पत्रिका (जहाँ बाद में इसे स्वीकार किया गया)। लेकिन इस जोड़ी का इसे एक दिन बुलाने का कोई इरादा नहीं था। क्लासिक बबल समस्या के लिए भी उनके तरीके आशाजनक लग रहे थे।
उन्होंने कई वर्षों तक विचारों को आगे-पीछे किया। "हमारे पास नोटों का 200-पृष्ठ का दस्तावेज़ था," मिलमैन ने कहा। पहले तो लगा कि वे प्रगति कर रहे हैं। "लेकिन फिर जल्दी ही यह बदल गया, 'हमने इस दिशा की कोशिश की - नहीं। हमने [उस] दिशा की कोशिश की - नहीं।'" अपने दांव को हेज करने के लिए, दोनों गणितज्ञों ने अन्य परियोजनाओं को भी अपनाया।
फिर आखिरी गिरावट, मिलमैन विश्राम के लिए आए और नीमन की यात्रा करने का फैसला किया ताकि जोड़ी बुलबुले की समस्या पर ध्यान केंद्रित कर सके। "विश्राम के दौरान उच्च-जोखिम, उच्च-लाभ प्रकार की चीज़ों को आज़माने का यह एक अच्छा समय है," मिलमैन ने कहा।
पहले कुछ महीनों के लिए, उन्हें कहीं नहीं मिला। अंत में, उन्होंने सुलिवन के पूर्ण अनुमान की तुलना में खुद को थोड़ा आसान काम देने का फैसला किया। यदि आप अपने बुलबुले को सांस लेने के कमरे का एक अतिरिक्त आयाम देते हैं, तो आपको एक बोनस मिलता है: सबसे अच्छे बबल क्लस्टर में एक केंद्रीय विमान में दर्पण समरूपता होगी।
सुलिवन का अनुमान दो और ऊपर के आयामों में ट्रिपल बुलबुले के बारे में है, तीन और ऊपर के आयामों में चौगुनी बुलबुले, और इसी तरह। बोनस समरूपता प्राप्त करने के लिए, मिलमैन और नीमन ने अपना ध्यान तीन और ऊपर के आयामों में ट्रिपल बुलबुले, चार और ऊपर के आयामों में चौगुनी बुलबुले, और इसी तरह तक सीमित रखा। नीमन ने कहा, "यह वास्तव में केवल तभी था जब हमने मापदंडों की पूरी श्रृंखला के लिए इसे प्राप्त करना छोड़ दिया था।"
अपने निपटान में इस दर्पण समरूपता के साथ, मिलमैन और नीमन एक गड़बड़ी तर्क के साथ आए जिसमें दर्पण के ऊपर स्थित बुलबुला क्लस्टर के आधे हिस्से को थोड़ा फुलाकर और उसके नीचे के आधे हिस्से को डिफ्लेट करना शामिल है। यह गड़बड़ी बुलबुले की मात्रा को नहीं बदलेगी, लेकिन यह उनके सतह क्षेत्र को बदल सकती है। मिलमैन और नीमन ने दिखाया कि यदि इष्टतम बबल क्लस्टर में कोई दीवार है जो गोलाकार या सपाट नहीं है, तो इस गड़बड़ी को चुनने का एक तरीका होगा ताकि यह क्लस्टर के सतह क्षेत्र को कम कर दे - एक विरोधाभास, क्योंकि इष्टतम क्लस्टर में पहले से ही सबसे कम सतह है संभव क्षेत्र।
बुलबुले का अध्ययन करने के लिए गड़बड़ी का उपयोग करना एक नए विचार से बहुत दूर है, लेकिन यह पता लगाना कि कौन सी गड़बड़ी बुलबुला क्लस्टर की महत्वपूर्ण विशेषताओं का पता लगाएगी, "थोड़ा सा अंधेरा कला" है, नीमन ने कहा।
पीछे देखते हुए, "एक बार जब आप [मिलमैन और नीमन की परेशानी] देखते हैं, तो वे काफी स्वाभाविक लगते हैं," ने कहा जोएल हस्सो कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, डेविस के।
लेकिन पहली बार में उनके साथ आने की तुलना में परेशानियों को प्राकृतिक के रूप में पहचानना बहुत आसान है, मैगी ने कहा। "यह अब तक ऐसा कुछ नहीं है जिसे आप कह सकते हैं, 'आखिरकार लोगों ने इसे ढूंढ लिया होगा," उन्होंने कहा। "यह वास्तव में एक बहुत ही उल्लेखनीय स्तर पर प्रतिभाशाली है।"
मिलमैन और नीमन यह दिखाने में सक्षम थे कि इष्टतम बबल क्लस्टर को सुलिवन के समूहों के सभी मूल लक्षणों को पूरा करना चाहिए, शायद एक को छोड़कर: यह शर्त कि हर बुलबुला एक दूसरे को छूना चाहिए। इस अंतिम आवश्यकता ने मिलमैन और नीमन को उन सभी तरीकों से जूझने के लिए मजबूर कर दिया, जो बुलबुले एक क्लस्टर में जुड़ सकते हैं। जब केवल तीन या चार बुलबुले की बात आती है, तो विचार करने की इतनी संभावनाएं नहीं होती हैं। लेकिन जैसे-जैसे आप बबल की संख्या बढ़ाते हैं, विभिन्न संभावित कनेक्टिविटी पैटर्न की संख्या बढ़ती है, यहां तक कि तेजी से भी तेजी से।
मिलमैन और नीमन को पहले एक व्यापक सिद्धांत मिलने की उम्मीद थी जो इन सभी मामलों को कवर करेगा। लेकिन कुछ महीने बिताने के बाद, "हमारे सिर तोड़ते हुए," मिलमैन ने कहा, उन्होंने अभी के लिए एक अधिक तदर्थ दृष्टिकोण के साथ खुद को संतुष्ट करने का फैसला किया जिसने उन्हें ट्रिपल और चौगुनी बुलबुले को संभालने की अनुमति दी। उन्होंने एक अप्रकाशित प्रमाण की भी घोषणा की है कि सुलिवन का क्विंटुपल बबल इष्टतम है, हालांकि उन्होंने अभी तक यह स्थापित नहीं किया है कि यह एकमात्र इष्टतम क्लस्टर है।
मॉर्गन ने एक ईमेल में लिखा, मिलमैन और नीमन का काम "पिछली विधियों के विस्तार के बजाय एक नया दृष्टिकोण है।" यह संभावना है, मैगी ने भविष्यवाणी की, कि इस दृष्टिकोण को और भी आगे बढ़ाया जा सकता है - शायद पांच से अधिक बुलबुले के समूहों के लिए, या सुलिवन के अनुमान के मामलों में जिसमें दर्पण समरूपता नहीं है।
किसी को भी यह उम्मीद नहीं है कि आगे आसानी से प्रगति होगी; लेकिन इसने मिलमैन और नीमन को कभी नहीं रोका। "मेरे अनुभव से," मिलमैन ने कहा, "सभी प्रमुख चीजें जो मैं भाग्यशाली था कि मैं ऐसा करने में सक्षम होने के लिए बस हार न मानने की आवश्यकता थी।"
