1आईसीएफओ-इंस्टीट्यूट डी सिएन्सी फोटोनिक्स, द बार्सिलोना इंस्टीट्यूट ऑफ साइंस एंड टेक्नोलॉजी, 08860 कास्टेलडेफेल्स, स्पेन
2सीएफआईएस-सेंटर डे फॉर्मासिओ इंटरडिसिप्लिनरिया सुपीरियर, यूपीसी-यूनिवर्सिटैट पोलिटेक्निका डी कैटालुन्या, 08028 बार्सिलोना, स्पेन
3यूनिवर्सिटी ग्रेनोबल एल्प्स, सीएनआरएस, ग्रेनोबल आईएनपी, इंस्टिट्यूट नील, 38000 ग्रेनोबल, फ़्रांस
4ICREA-Institucio Catalana de Recerca i Estudis Avançats, Lluis Companys 23, 08010 बार्सिलोना, स्पेन
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सार
पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधार क्वांटम सूचना सिद्धांत में माप के अत्यधिक उपयोगी जोड़े के अनुरूप हैं। सबसे छोटे समग्र आयाम, छह में, यह ज्ञात है कि तीन और सात के बीच परस्पर निष्पक्ष आधार मौजूद हैं, दशकों पुराने अनुमान के साथ, जिसे ज़ौनेर के अनुमान के रूप में जाना जाता है, जिसमें कहा गया है कि अधिकतम तीन मौजूद हैं। यहां हम पूर्णांक $n,d ge 2$ के प्रत्येक जोड़े के लिए बेल असमानताओं के निर्माण के माध्यम से ज़ुनेर के अनुमान को संख्यात्मक रूप से निपटाते हैं, जिसका आयाम $d$ में अधिकतम उल्लंघन किया जा सकता है यदि और केवल यदि $n$ MUB उस आयाम में मौजूद हैं। इसलिए हम ज़ुनेर के अनुमान को एक अनुकूलन समस्या में बदल देते हैं, जिसे हम तीन संख्यात्मक तरीकों के माध्यम से संबोधित करते हैं: सी-सॉ अनुकूलन, गैर-रेखीय अर्धनिश्चित प्रोग्रामिंग और मोंटे कार्लो तकनीक। सभी तीन विधियाँ कम आयामों में ज्ञात मामलों की सही पहचान करती हैं और सभी सुझाव देते हैं कि आयाम छह में चार पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधार मौजूद नहीं हैं, सभी समान आधार ढूंढते हैं जो संबंधित बेल असमानता को संख्यात्मक रूप से अनुकूलित करते हैं। इसके अलावा, ये संख्यात्मक अनुकूलक आयाम छह में "चार सबसे दूर के आधारों" के साथ मेल खाते प्रतीत होते हैं, जो [पी में दूरी माप को संख्यात्मक रूप से अनुकूलित करने के माध्यम से पाए जाते हैं। रेनाल, एक्स. लू, बी.-जी. एंगलर्ट, {भौतिकी. रेव. ए}, {83} 062303 (2011)]। अंत में, मोंटे कार्लो परिणाम बताते हैं कि आयाम दस में अधिकतम तीन एमयूबी मौजूद हैं।
विशेष छवि: हमारी बेल असमानताओं के मान के बीच सापेक्ष अंतर यह मानते हुए कि n MUB आयाम d में मौजूद हैं और हमारे संख्यात्मक तरीकों द्वारा पाया गया मान। शून्य मानों का अर्थ है कि विधियों को आयाम d में n MUB मिले, जबकि गैर-शून्य मानों का अर्थ है कि विधियों को आयाम d में n MUB नहीं मिले। सभी ज्ञात मामले (आयाम दो से पांच और आयाम छह दो और तीन एमयूबी के साथ) संख्याओं द्वारा सही ढंग से पहचाने जाते हैं। आयाम छह में, कोई भी विधि चार एमयूबी नहीं ढूंढती है, और सभी विधियां चार आधारों के एक ही सेट में परिवर्तित हो जाती हैं।
लोकप्रिय सारांश
उनके व्यापक उपयोग के बावजूद, एमयूबी की संरचना के संबंध में अभी भी खुले प्रश्न बने हुए हैं। सबसे प्रमुख रूप से, माप की अधिकतम संख्या जो जोड़ीदार निष्पक्ष है ("एमयूबी की संख्या") अज्ञात है यदि क्वांटम प्रणाली का आयाम एक समग्र संख्या है। विशेष रूप से, आयाम छह में हम केवल यह जानते हैं कि एमयूबी की संख्या तीन और सात के बीच है। ज़ुनेर का एक लंबे समय से खुला अनुमान है, जिसमें कहा गया है कि आयाम छह में तीन से अधिक एमयूबी मौजूद नहीं हैं। यह दशकों पुराना अनुमान कुछ संख्यात्मक साक्ष्यों द्वारा समर्थित है, लेकिन आज तक इसका कोई प्रमाण मौजूद नहीं है।
इस कार्य में हम बेल गैर-इलाके के माध्यम से ज़ुनेर के अनुमान से निपटते हैं। बेल गैर-स्थानीयता दो प्रयोगकर्ताओं से संबंधित है जिन्हें संवाद करने की अनुमति नहीं है, लेकिन शास्त्रीय यादृच्छिकता या साझा क्वांटम स्थिति के रूप में कुछ सहसंबंध साझा कर सकते हैं। यह दिखाया गया है कि क्वांटम संसाधनों को साझा करने से प्रायोगिक डेटा प्राप्त हो सकता है जिसे शास्त्रीय भौतिकी (अधिक सटीक रूप से, तथाकथित स्थानीय छिपे हुए चर मॉडल द्वारा) द्वारा समझाया नहीं जा सकता है। इसे बेल्स प्रमेय के रूप में जाना जाता है, और इसे पिछले दशक में प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित किया गया है। प्रयोगात्मक डेटा की गैर-शास्त्रीयता का साक्ष्य आमतौर पर तथाकथित बेल असमानताओं के माध्यम से किया जाता है, जो प्रयोग में होने वाली माप परिणाम संभावनाओं के कार्य हैं। शास्त्रीय डेटा को बेल असमानताओं को संतुष्ट करना चाहिए, जबकि क्वांटम डेटा उनका उल्लंघन कर सकता है।
हाल ही में, बेल असमानताएँ पाई गई हैं जिनका अधिकतम उल्लंघन तब होता है जब कोई एक पक्ष किसी दिए गए आयाम के MUB मापों की एक जोड़ी को नियोजित करता है। इस कार्य में, हम इन असमानताओं को नई असमानताओं तक विस्तारित करते हैं, जिनका किसी दिए गए आयाम में MUB मापों की चयनित संख्या द्वारा अधिकतम उल्लंघन किया जाता है। इसके अलावा, यदि प्रयोग में आयाम तय किया गया है, तो अधिकतम उल्लंघन तब प्राप्त होता है जब नियोजित माप दिए गए आयाम में एमयूबी की चयनित संख्या के अनुरूप होते हैं। इसलिए, यह तय करना कि क्या किसी दिए गए आयाम में चयनित संख्या में एमयूबी मौजूद हैं, इस निश्चित आयाम में संबंधित बेल असमानता के अधिकतम उल्लंघन को खोजने के बराबर है।
जबकि इस अधिकतम उल्लंघन का पता लगाना आम तौर पर एक कठिन समस्या है, हम एक निश्चित आयाम में हमारी बेल असमानताओं के अधिकतम उल्लंघन को खोजने के प्रयास के रूप में तीन अलग-अलग संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करते हैं। इनमें से दो विधियाँ अर्धनिश्चित प्रोग्रामिंग तकनीकों के भिन्न रूप हैं, जबकि तीसरी विधि सांख्यिकीय भौतिकी से प्रेरित है और इसे सिम्युलेटेड एनीलिंग कहा जाता है। हालाँकि ये सभी विधियाँ अनुमानी हैं - अर्थात, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि वे समस्या का सही इष्टतम खोज लेंगे - कोई भी उन्हें उन अनुकूलन समस्याओं पर लागू करके उनके प्रदर्शन का अनुमान लगा सकता है, जिनका इष्टतम ज्ञात है। विशेष रूप से, हम पाते हैं कि तीनों विधियां उन मामलों में एमयूबी मापों की सही ढंग से पहचान करने में सक्षम हैं जहां वे मौजूद हैं। इसके अलावा, ऐसे मामलों में जहां वे अस्तित्व में नहीं हैं, सभी तीन विधियां संख्यात्मक परिशुद्धता तक माप के एक ही सेट में परिवर्तित हो जाती हैं। फिर हम अपने तरीकों को पहले अज्ञात मामले में लागू करते हैं, यानी आयाम छह में चार एमयूबी। कोई भी विधि आयाम छह में चार एमयूबी की पहचान करने में सक्षम नहीं है, लेकिन फिर से वे सभी संख्यात्मक परिशुद्धता तक चार मापों के एक ही सेट में परिवर्तित हो जाते हैं। इसके अलावा, सिम्युलेटेड एनीलिंग तकनीक अगले समग्र आयाम, आयाम दस में चार एमयूबी नहीं ढूंढती है। इसलिए, जबकि हमारी तकनीकों की अनुमानी प्रकृति के कारण कठोर दावे नहीं किए जा सकते हैं, हमारे परिणाम बेल गैर-स्थानीयता के नए परिप्रेक्ष्य से ज़ुनेर के अनुमान का समर्थन करते हैं।
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