गणितज्ञ नॉट्स का अध्ययन क्यों करते हैं

गाँठ सिद्धांत की शुरुआत ब्रह्मांड की मौलिक संरचना को समझने के प्रयास के रूप में हुई। 1867 में, जब वैज्ञानिक उत्सुकता से यह पता लगाने की कोशिश कर रहे थे कि संभवतः सभी विभिन्न प्रकार के पदार्थों का क्या हिसाब हो सकता है, स्कॉटिश गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी पीटर गुथरी टैट ने अपने दोस्त और हमवतन सर विलियम थॉमसन को धुएं के छल्ले बनाने के लिए अपना उपकरण दिखाया। थॉमसन - बाद में लॉर्ड केल्विन (तापमान पैमाने का नाम) बनने के लिए - छल्ले के शुरुआती आकार, उनकी स्थिरता और उनकी बातचीत से मोहित हो गए थे। उनकी प्रेरणा ने उन्हें एक आश्चर्यजनक दिशा में ले जाया: शायद, उन्होंने सोचा, जैसे धुएं के छल्ले हवा में भंवर थे, परमाणु चमकदार ईथर में भंवर के छल्ले थे, एक अदृश्य माध्यम जिसके माध्यम से भौतिकविदों का मानना ​​​​था, प्रकाश का प्रसार।

यद्यपि यह विक्टोरियन-युग का विचार अब हास्यास्पद लग सकता है, यह एक तुच्छ जांच नहीं थी। इस भंवर सिद्धांत की सिफारिश करने के लिए बहुत कुछ था: समुद्री मील की विशाल विविधता, प्रत्येक थोड़ा अलग, कई रासायनिक तत्वों के विभिन्न गुणों को प्रतिबिंबित करती थी। भंवर के छल्ले की स्थिरता भी वह स्थायित्व प्रदान कर सकती है जिसकी परमाणुओं को आवश्यकता होती है।

भंवर सिद्धांत ने वैज्ञानिक समुदाय में कर्षण प्राप्त किया और टैट को सभी गांठों को सारणीबद्ध करना शुरू करने के लिए प्रेरित किया, जिससे उन्हें उम्मीद थी कि वह तत्वों की एक तालिका के बराबर होगा। बेशक, परमाणु गांठ नहीं हैं, और कोई ईथर नहीं है। 1880 के दशक के अंत तक थॉमसन धीरे-धीरे अपने भंवर सिद्धांत को छोड़ रहा था, लेकिन तब तक टैट अपने गांठों के गणितीय लालित्य से मोहित हो गया था, और उसने अपनी सारणीकरण परियोजना को जारी रखा। इस प्रक्रिया में, उन्होंने गाँठ सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र की स्थापना की।

हम सभी समुद्री मील से परिचित हैं - वे हमारे पैरों पर जूते रखते हैं, नावों को गोदी में सुरक्षित रखते हैं, और पहाड़ के पर्वतारोहियों को नीचे की चट्टानों से दूर रखते हैं। लेकिन वे गांठें बिल्कुल वैसी नहीं हैं जैसी गणितज्ञ (टेट सहित) एक गाँठ कहेंगे। हालांकि एक उलझी हुई एक्सटेंशन कॉर्ड गाँठदार दिखाई दे सकती है, इसे हमेशा अलग करना संभव है। गणितीय गाँठ प्राप्त करने के लिए, आपको एक बंद लूप बनाने के लिए कॉर्ड के मुक्त सिरों को एक साथ प्लग करना होगा।

क्योंकि एक गाँठ के तार तार की तरह लचीले होते हैं, गणितज्ञ गाँठ सिद्धांत को के उपक्षेत्र के रूप में देखते हैं टोपोलॉजी, निंदनीय आकृतियों का अध्ययन। कभी-कभी एक गाँठ को खोलना संभव होता है इसलिए यह एक साधारण वृत्त बन जाता है, जिसे हम "अननॉट" कहते हैं। लेकिन अधिक बार, एक गाँठ को खोलना असंभव है।

गांठें आपस में जुड़कर नई गांठें भी बना सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक साधारण गाँठ जिसे ट्रेफ़िल के रूप में जाना जाता है, को अपनी दर्पण छवि के साथ मिलाकर एक वर्गाकार गाँठ बनाता है। (और यदि आप दो समान ट्रेफिल गांठों को जोड़ते हैं, तो आप एक नानी की गाँठ बनाते हैं।)

संख्याओं की दुनिया से शब्दावली का उपयोग करते हुए, गणितज्ञ कहते हैं कि ट्रेफिल एक प्रमुख गाँठ है, वर्गाकार गाँठ संयुक्त है और, संख्या 1 की तरह, नॉट न तो है। इस सादृश्य को आगे 1949 में समर्थन दिया गया जब होर्स्ट शुबर्ट ने साबित किया कि प्रत्येक गाँठ या तो प्राइम है या प्राइम नॉट्स में विशिष्ट रूप से विघटित हो सकती है।

नई गांठें बनाने का दूसरा तरीका दो या दो से अधिक गांठों को आपस में जोड़ना, एक कड़ी बनाना है। बोरोमेन के छल्ले, इसलिए नाम दिया गया क्योंकि वे इतालवी हाउस ऑफ बोर्रोमो के लिए हथियारों के कोट पर दिखाई देते हैं, एक साधारण उदाहरण हैं।

थॉमसन और टेट गणितीय तरीके से गांठों को देखने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे। 1794 की शुरुआत में, कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपनी व्यक्तिगत नोटबुक में गांठों के बारे में लिखा और उनके उदाहरण बनाए। और गॉस के छात्र जोहान लिस्टिंग ने अपने 1847 के मोनोग्राफ में गांठों के बारे में लिखा था वोर्स्टुडियन ज़ूर टोपोलॉजी ("टोपोलॉजी का प्रारंभिक अध्ययन") - जो टोपोलॉजी शब्द की उत्पत्ति भी है।

लेकिन टैट पहले विद्वान थे जिन्होंने गाँठ सिद्धांत में मूलभूत समस्या बन गई: सभी संभावित गांठों का वर्गीकरण और सारणीकरण। केवल अपने ज्यामितीय अंतर्ज्ञान का उपयोग करते हुए वर्षों के श्रमसाध्य कार्य के माध्यम से, उन्होंने सभी प्रमुख गांठों को पाया और वर्गीकृत किया, जब एक विमान पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो अधिकतम सात क्रॉसिंग होते हैं।

19वीं शताब्दी के अंत में, टैट को पता चला कि दो अन्य लोग - रेव थॉमस किर्कमैन और अमेरिकी गणितज्ञ चार्ल्स लिटिल - भी इस समस्या का अध्ययन कर रहे थे। अपने संयुक्त प्रयासों के साथ, उन्होंने सभी प्रमुख समुद्री मील को 10 क्रॉसिंग के साथ वर्गीकृत किया और उनमें से कई 11 क्रॉसिंग के साथ। आश्चर्यजनक रूप से, 10 तक की उनकी तालिकाएँ पूर्ण थीं: उन्होंने कोई गांठ नहीं छोड़ी।

यह उल्लेखनीय है कि टैट, किर्कमैन और लिटिल ने उन प्रमेयों और तकनीकों के बिना इतना कुछ हासिल किया जो आने वाले वर्षों में खोजे जाएंगे। लेकिन एक बात जो उनके पक्ष में काम करती थी, वह यह थी कि अधिकांश छोटी गांठें "बारी-बारी से" होती हैं, जिसका अर्थ है कि उनके पास एक प्रक्षेपण है जिसमें क्रॉसिंग एक सुसंगत ओवर-अंडर-ओवर-अंडर पैटर्न प्रदर्शित करते हैं।

अल्टरनेटिंग नॉट्स में ऐसे गुण होते हैं जो उन्हें नॉन-अल्टरनेटिंग नॉट्स की तुलना में वर्गीकृत करना आसान बनाते हैं। उदाहरण के लिए, किसी गाँठ के किसी प्रक्षेपण के लिए क्रॉसिंग की न्यूनतम संख्या ज्ञात करना कठिन है। लेकिन टैट, जिसने वर्षों से गलती से मान लिया था कि सभी गांठें बारी-बारी से हैं, ने यह बताने का एक तरीका अनुमान लगाया कि क्या आपको वह न्यूनतम संख्या मिली है: यदि एक वैकल्पिक प्रक्षेपण में कोई क्रॉसिंग नहीं है जिसे गाँठ के हिस्से पर फ़्लिप करके हटाया जा सकता है, तो यह होना चाहिए क्रॉसिंग की न्यूनतम संख्या के साथ प्रक्षेपण।

यह और टेट के दो और अनुमान वैकल्पिक गांठों के बारे में सच साबित हुए। फिर भी इन प्रसिद्ध अनुमानों को 1980 के दशक के अंत तक और 90 के दशक की शुरुआत में वॉन जोन्स द्वारा 1984 में विकसित एक गणितीय उपकरण का उपयोग करके साबित नहीं किया गया था, जिन्होंने गाँठ सिद्धांत में अपने काम के लिए फील्ड मेडल जीता था।

दुर्भाग्य से, बारी-बारी से गांठें आपको केवल इतनी दूर तक ले जाती हैं। एक बार जब हम आठ या अधिक क्रॉसिंग के साथ गांठों में आ जाते हैं, तो गैर-वैकल्पिक गांठों की संख्या तेजी से बढ़ती है, जिससे टैट की तकनीक कम उपयोगी हो जाती है।

सभी 10-क्रॉसिंग नॉट्स की मूल तालिका पूरी हो गई थी, लेकिन टैट, किर्कमैन और लिटिल डबल-काउंटेड थे। 1970 XNUMX XNUMX के दशक तक प्रिंसटन में गाँठ सिद्धांत का अध्ययन करने वाले वकील केनेथ पेर्को ने देखा कि दो समुद्री मील एक-दूसरे की दर्पण छवियां हैं। वे अब उनके सम्मान में पेर्को जोड़ी के रूप में जाने जाते हैं।

पिछली शताब्दी में, गणितज्ञों ने यह निर्धारित करने के लिए कई चतुर तरीके खोजे हैं कि क्या गांठें वास्तव में भिन्न हैं। मूलतः, विचार यह है कि एक अपरिवर्तनीय की पहचान करें - एक संपत्ति, मात्रा या बीजगणितीय इकाई जो गाँठ से जुड़ी होती है और अक्सर इसकी गणना सरलता से की जा सकती है। (इन गुणों के नाम रंगनीयता, सेतु संख्या या लेखनी जैसे हैं।) इन लेबलों से लैस, गणितज्ञ अब आसानी से दो गांठों की तुलना कर सकते हैं: यदि वे किसी दिए गए गुण में भिन्न हैं, तो वे एक ही गाँठ नहीं हैं। हालांकि, इनमें से कोई भी गुण नहीं है, जिसे गणितज्ञ पूर्ण अपरिवर्तनीय कहते हैं, जिसका अर्थ है कि दो अलग-अलग गांठों में एक ही संपत्ति हो सकती है।

इस सारी जटिलता के कारण, यह कोई आश्चर्य की बात नहीं हो सकती है कि गांठों का सारणीकरण अभी भी जारी है। हाल ही में, 2020 में, बेंजामिन बर्टन वर्गीकृत सभी प्रमुख समुद्री मील 19 क्रॉसिंग तक (जिनमें से लगभग 300 मिलियन हैं)।

पारंपरिक गाँठ सिद्धांत केवल तीन आयामों में समझ में आता है: दो आयामों में केवल अननॉट संभव है, और चार आयामों में अतिरिक्त कमरा गांठों को खुद को खोलने की अनुमति देता है, इसलिए प्रत्येक गाँठ अननॉट के समान है।

हालाँकि, चार-आयामी अंतरिक्ष में हम गोले बना सकते हैं। इसका अर्थ समझने के लिए, नियमित अंतराल पर एक साधारण गोले को काटने की कल्पना करें। ऐसा करने से वृत्त बनते हैं, जैसे अक्षांश रेखाएँ। हालाँकि, यदि हमारे पास एक अतिरिक्त आयाम होता, तो हम गोले को गाँठ सकते थे ताकि स्लाइस, अब दो के बजाय तीन-आयामी, गाँठ हो सकें।

यह विचार गाँठ सिद्धांत में हाल के सबसे बड़े परिणामों में से एक के पीछे था। 2018 में, तत्कालीन स्नातक छात्र लिसा पिकिरिलो 50 साल पुराना सवाल सुलझाया जॉन कॉनवे द्वारा पहली बार खोजी गई 11-क्रॉसिंग गाँठ के बारे में। प्रश्न का संबंध स्लाइसनेस नामक संपत्ति से था। जैसा कि हमने देखा, जब हम चार आयामों में एक गाँठ वाले गोले को काटते हैं, तो हमें तीन आयामों में एक गाँठ या लिंक प्राप्त होता है। कभी-कभी हम एक अच्छी तरह से गाँठ वाले गोले से एक दी गई गाँठ प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन अन्य गांठों के लिए गोले को बेकार कागज के टुकड़े की तरह गाँठना और सिकुड़ना पड़ता है। पिकिरिलो ने संक्षेप में साबित कर दिया कि कॉनवे की गाँठ बाद के प्रकार की थी। तकनीकी भाषा में, उसने साबित कर दिया कि यह "सुचारू रूप से टुकड़ा" नहीं है।

गाँठ सिद्धांत ने सदियों से गणितीय परिदृश्य को तोड़-मरोड़ कर पेश किया है। यह गणित के एक अनुप्रयुक्त क्षेत्र के रूप में शुरू हुआ, जिसमें थॉमसन ने पदार्थ की बनावट को समझने के लिए गांठों का उपयोग करने का प्रयास किया। जैसे ही यह विचार फीका पड़ गया, यह शुद्ध गणित का क्षेत्र बन गया, टोपोलॉजी के पेचीदा और अभी भी अव्यावहारिक क्षेत्र की एक शाखा। लेकिन हाल के वर्षों में गाँठ सिद्धांत फिर से गणित का एक अनुप्रयुक्त क्षेत्र बन गया है, क्योंकि वैज्ञानिक जांच करने के लिए गाँठ सिद्धांत से विचारों का उपयोग करते हैं द्रव गतिविज्ञान, बिजली का गतिविज्ञान, डीएनए जैसे गाँठ वाले अणु और इसी तरह। सौभाग्य से, जब वैज्ञानिक अन्य चीजों का अध्ययन करने में व्यस्त थे, गणितज्ञ गांठों की सूची बना रहे थे और उनके रहस्यों को सुलझाने के लिए उपकरण बना रहे थे।