अण्डाकार वक्र एक नई संख्या प्रणाली में अपने रहस्य प्रकट करते हैं | क्वांटा पत्रिका

अनुसंधान गणित में कई जटिल प्रगति संख्याओं के बारे में कुछ सरल प्रश्नों को समझने की इच्छा से प्रेरित होती है। अभाज्य संख्याओं को पूर्णांकों में कैसे वितरित किया जाता है? क्या पूर्ण घन हैं (जैसे 8 = 2³ या 27 = 3³) जिसे दो अन्य घनों के योग के रूप में लिखा जा सकता है? अधिक सामान्यतः, गणितज्ञ एक समीकरण को हल करना चाह सकते हैं। लेकिन समीकरण के साथ छेड़छाड़ करके ऐसा करना अक्सर असंभव होता है। इसके बजाय, गणितज्ञ समाधानों को बेतहाशा अमूर्त संरचनाओं से जोड़ने के तरीके ढूंढते हैं जिनकी जटिलता उनके रहस्यों को कूटबद्ध करती है।

पिछले कई दशकों में, गणित में अनुसंधान की सबसे रोमांचक लाइनों में से एक ने इस फॉर्म का अनुसरण किया है। इसमें कुछ प्रकार के बहुपद समीकरणों, जिन्हें अण्डाकार वक्र कहा जाता है, और अधिक गूढ़ वस्तुओं, जिन्हें मॉड्यूलर रूप कहा जाता है, के बीच संबंधों को समझना शामिल है, जो 1994 में गणित में प्रमुखता से उभरे जब एंड्रयू विल्स ने उन्हें 20 वीं शताब्दी के सबसे प्रसिद्ध परिणामों में से फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित करने के लिए इस्तेमाल किया। अंक शास्त्र।

यह पिछले जनवरी, एना कारैनि इंपीरियल कॉलेज लंदन और बॉन विश्वविद्यालय और जेम्स न्यूटन ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय ने इस क्षेत्र में अनुसंधान की एक नई राह खोली जब उन्होंने साबित कर दिया विल्स ने अण्डाकार वक्रों और मॉड्यूलर रूपों के बीच जो संबंध स्थापित किया था, वह कुछ गणितीय वस्तुओं के लिए भी लागू होता है जिन्हें काल्पनिक द्विघात क्षेत्र कहा जाता है।

विल्स ने साबित किया कि कुछ प्रकार के अण्डाकार वक्र मॉड्यूलर होते हैं - जिसका अर्थ है कि एक विशेष मॉड्यूलर रूप होता है जो प्रत्येक वक्र से मेल खाता है - जब वक्र को परिभाषित करने में शामिल दो चर और दो गुणांक सभी तर्कसंगत संख्याएं हैं, मान जिन्हें अंशों के रूप में लिखा जा सकता है। उनके काम के बाद, गणितज्ञों ने व्यापक संदर्भों में मॉड्यूलरिटी स्थापित करने का प्रयास किया। 2001 में चार गणितज्ञों ने साबित किया कि सभी अण्डाकार वक्र तर्कसंगत संख्याओं पर मॉड्यूलर होते हैं (जबकि विल्स ने इसे केवल कुछ वक्रों के लिए साबित किया था)। 2013 में, तीन गणितज्ञ शामिल हैं समीर सिकसेक वारविक विश्वविद्यालय ने सिद्ध किया कि अण्डाकार वक्र भी मॉड्यूलर होते हैं वास्तविक द्विघात क्षेत्रों पर  (जिसका अर्थ है कि चर और गुणांक एक संख्या प्रणाली से लिए गए हैं जिसे वास्तविक द्विघात क्षेत्र कहा जाता है)।

जैसे-जैसे प्रगति बढ़ती गई, एक विशेष लक्ष्य पहुंच से बाहर रह गया: यह साबित करना कि अण्डाकार वक्र काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों पर मॉड्यूलर हैं।

द्विघात क्षेत्र तर्कसंगत संख्याओं और वास्तविक संख्याओं के बीच एक गणितीय कदम हैं, जिसमें हर संभव दशमलव संख्या शामिल होती है, यहां तक ​​कि दशमलव बिंदु के दाईं ओर अनंत पैटर्न वाले भी जो कभी दोहराए नहीं जाते हैं। (इसमें सभी अपरिमेय संख्याएँ शामिल हैं, जैसे $latex sqrt{2}$ या $latex pi $।)

द्विघात फ़ील्ड कुछ पूर्णांक चुनते हैं - मान लीजिए, 5 - और $latex a + bsqrt{5}$ के रूप की सभी संख्याएँ शामिल करते हैं जहाँ a और b दोनों परिमेय संख्याएँ हैं। यदि प्रश्न में पूर्णांक सकारात्मक है, तो परिणामी द्विघात क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का एक उपसमूह है, इसलिए इसे वास्तविक द्विघात क्षेत्र के रूप में जाना जाता है।

उन अण्डाकार वक्रों के बारे में क्या जो काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों पर परिभाषित होते हैं - जो एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेकर बनते हैं?

कैरेयानी और न्यूटन ने इसी समस्या का समाधान किया।

सैकड़ों वर्ष पहले, गणितज्ञों ने ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल को सरल तरीके से परिभाषित किया: उन्होंने एक नाम दिया, i, -1 के वर्गमूल तक। तब किसी अन्य ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल न्यायसंगत होता है i संगत धनात्मक संख्या के वर्गमूल का गुना। तो $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$. काल्पनिक संख्याएँ गणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं क्योंकि कई समस्याओं के लिए वास्तविक संख्याओं की तुलना में उन पर काम करना आसान होता है।

लेकिन यह साबित करना कि अण्डाकार वक्र काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों पर मॉड्यूलर हैं, लंबे समय तक पहुंच से बाहर रहा है, क्योंकि वास्तविक द्विघात क्षेत्रों पर मॉड्यूलरता साबित करने की तकनीकें काम नहीं करती हैं।

कैरियानी और न्यूटन ने सभी काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों के लगभग आधे से अधिक अण्डाकार वक्रों के लिए मॉड्यूलरिटी हासिल की - यह पता लगाकर कि विल्स और अन्य लोगों द्वारा काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों पर अण्डाकार वक्रों के लिए अग्रणी मॉड्यूलरिटी साबित करने के लिए एक प्रक्रिया को कैसे अनुकूलित किया जाए।

"यही वह जगह है जहां कैरियानी और न्यूटन का खूबसूरत काम सामने आया। उन्होंने विल्स के दूसरे चरण में सुधार किया," कहा चन्द्रशेखर खरे कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, लॉस एंजिल्स के।

यह कार्य अपने आप में एक तकनीकी उपलब्धि है, और यह काल्पनिक सेटिंग में गणित के कुछ सबसे महत्वपूर्ण प्रश्नों पर प्रगति करने का द्वार खोलता है।

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कम से कम प्राचीन यूनानियों के बाद से गणितज्ञों ने बहुपद समीकरणों के समाधान की परवाह की है - स्थिर शक्तियों तक बढ़ाए गए चर के संयोजन। समीकरण अनंत किस्मों में आते हैं, जो चरों की मात्रा, उन चरों के गुणांकों और उन शक्तियों को समायोजित करके प्राप्त किए जाते हैं जिन तक उन्हें बढ़ाया जाता है। $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ सिर्फ एक उदाहरण है।

अण्डाकार वक्र बहुपद समीकरण हैं जो गणितीय जांच के लिए कठोरता के इष्टतम स्तर पर होते हैं। वहाँ एक साफ़-सफ़ाई है (और व्यापक रूप से पढ़ाया जाता है) एक चर में द्विघात बहुपदों के समाधान खोजने का सूत्र, जिसमें उच्चतम शक्ति 2 है, लेकिन बहुपदों के समाधान के लिए ऐसा कोई सूत्र नहीं है जहां उच्चतम शक्ति 5 या उससे अधिक है। अधिक वेरिएबल जोड़ने से आम तौर पर चीज़ें और अधिक जटिल हो जाती हैं। लेकिन अण्डाकार वक्र, जिनमें दो चर होते हैं और जिनकी उच्चतम शक्ति 3 है, जैसे $latex (y^2=x^3+1)$, आविष्कार को प्रेरित करने के लिए पर्याप्त चुनौतीपूर्ण हैं, इतने कठिन होने के बिना कि वे निराशाजनक महसूस करते हैं।

अण्डाकार वक्र के बारे में बुनियादी प्रश्नों में से एक यह है कि क्या इसे हल करने वाले परिमित या अपरिमित रूप से कई तर्कसंगत जोड़े हैं। कुछ अण्डाकार वक्रों में परिमित रूप से अनेक तर्कसंगत समाधान होते हैं, अन्य में अपरिमित रूप से अनेक होते हैं, और कुछ में बिल्कुल भी नहीं होते हैं।

कैरेयानी ने कहा, "उनके पास इस तरह का अजीब मध्यवर्ती व्यवहार है।"

यदि आपको एक यादृच्छिक अण्डाकार वक्र दिया जाता है, तो यह तुरंत स्पष्ट नहीं होता है कि यह किस श्रेणी में आता है। लेकिन इसे एक मिलान वस्तु के साथ जोड़कर डीकोड करना संभव है जिसे मॉड्यूलर फॉर्म कहा जाता है, जिसके गुण उत्तर प्रकट करते हैं।

मुझे एक मॉड्यूलर फॉर्म पकड़ो

मॉड्यूलर फॉर्म विश्लेषण में अध्ययन किए जाने वाले कार्य हैं, जो कैलकुलस का एक उन्नत रूप है। वे हैं बहुत सममित और अक्सर उनका स्वरूप खोए बिना अनुवाद किया जा सकता है - बाईं या दाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है। इस तरह उनमें साइन फ़ंक्शन जैसे अन्य अत्यधिक सममित कार्यों के साथ समान विशेषताएं हैं, हालांकि उन्हें लिखना या कल्पना करना कम सरल है।

प्रत्येक मॉड्यूलर फॉर्म गुणांक के साथ आता है। आप संख्याओं की एक श्रृंखला बनाकर उन्हें लिख सकते हैं। इन नंबरों में बहुत अच्छे गुण हैं, और ये यादृच्छिक से बहुत दूर लगते हैं। उन्होंने 20वीं सदी की शुरुआत में गणितज्ञों को भ्रमित कर दिया, जब गणितीय प्रतिभा श्रीनिवासन रामानुजन ने यह समझना शुरू किया कि मॉड्यूलर फॉर्म के गुणांकों में पैटर्न को इस तथ्य से समझाया जाता है कि प्रत्येक मॉड्यूलर फॉर्म एक दूसरे प्रकार की वस्तु से जुड़ा होता है जिसे गैलोइस प्रतिनिधित्व कहा जाता है। . बाद में काम ने लिंक की पुष्टि की।

अण्डाकार वक्रों में गैलोइस प्रतिनिधित्व भी होते हैं, और रामानुजन के काम के बाद, यह संभव लग रहा था कि गैलोइस अभ्यावेदन को अण्डाकार वक्र और मॉड्यूलर रूपों के बीच प्रक्षेपित किया जा सकता है: एक से शुरू करें, इसके गैलोइस प्रतिनिधित्व की पहचान करें, दूसरे को ढूंढें।

"आप एक तरह से सोचते हैं: अण्डाकार वक्र, ज्यामिति से वस्तुओं में गैलोज़ प्रतिनिधित्व होता है, और मॉड्यूलर रूपों में गैलोज़ प्रतिनिधित्व होता है - क्या कोई मेल है?" सिकसेक ने कहा।

1950 के दशक के उत्तरार्ध में, युताका तानियामा और गोरो शिमुरा ने प्रस्तावित किया कि कुछ मॉड्यूलर रूपों और अण्डाकार वक्रों के बीच 1-से-1 का पूर्ण मिलान होता है। अगले दशक में रॉबर्ट लैंगलैंड्स ने अपने निर्माण में इसी विचार को आधार बनाया विस्तृत लैंगलैंड्स कार्यक्रम, जो गणित में सबसे दूरगामी और परिणामी अनुसंधान कार्यक्रमों में से एक बन गया है।

यदि 1-से-1 पत्राचार सत्य है, तो यह गणितज्ञों को अण्डाकार वक्रों के समाधान को समझने के लिए उपकरणों का एक शक्तिशाली सेट देगा। उदाहरण के लिए, प्रत्येक मॉड्यूलर फॉर्म के साथ एक प्रकार का संख्यात्मक मान जुड़ा होता है। गणित की सबसे महत्वपूर्ण खुली समस्याओं में से एक (यह साबित करना कि यह एक के साथ आती है लाख डॉलर का पुरस्कार) - बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान - प्रस्तावित करता है कि यदि वह मान शून्य है, तो उस मॉड्यूलर रूप से जुड़े अण्डाकार वक्र के अनंत रूप से कई तर्कसंगत समाधान हैं, और यदि यह शून्य नहीं है, तो अण्डाकार वक्र के परिमित रूप से कई तर्कसंगत समाधान हैं।

लेकिन इससे पहले कि इस तरह की किसी भी चीज़ से निपटा जा सके, गणितज्ञों को यह जानना होगा कि पत्राचार क्या है: मुझे एक अण्डाकार वक्र सौंपें, और मैं आपको इसका मिलान मॉड्यूलर रूप सौंप सकता हूं। पिछले कुछ दशकों में विल्स से लेकर कैरेयानी और न्यूटन तक कई गणितज्ञ यही साबित कर रहे हैं।

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विल्स के काम से पहले, गणितज्ञ पत्राचार की एक दिशा को साबित करने में सफल रहे थे: कुछ मामलों में वे एक मॉड्यूलर रूप से शुरू कर सकते थे और इसके मिलान वाले अण्डाकार वक्र को ढूंढ सकते थे। लेकिन दूसरी दिशा में जाना - गणितज्ञों का यही मतलब होता है जब वे अण्डाकार वक्रों के मॉड्यूलर होने की बात करते हैं - कठिन था, और विल्स इसे हासिल करने वाले पहले व्यक्ति थे।

खरे ने कहा, "पहले लोग जानते थे कि कुछ परिस्थितियों में मॉड्यूलर रूप से अण्डाकार में कैसे जाना है, लेकिन अण्डाकार से मॉड्यूलर में यह पिछड़ी दिशा ही थी, जिसे विल्स ने प्रेरित किया।"

विल्स ने तर्कसंगत संख्या वाले गुणांक वाले कुछ प्रकार के अण्डाकार वक्रों के लिए मॉड्यूलरिटी साबित की। यह अपने आप में फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को एक विरोधाभास के माध्यम से सिद्ध करने के लिए पर्याप्त था। (विल्स ने साबित किया कि यदि फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय गलत था, तो इसका अर्थ यह होगा कि एक अण्डाकार वक्र का अस्तित्व है जिसे पिछले काम ने स्थापित किया था, अस्तित्व में नहीं हो सकता। इसलिए, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सत्य होना चाहिए।)

जैसे ही गणितज्ञों ने विल्स के काम को अण्डाकार वक्रों पर बढ़ाया, उन्होंने उसी पद्धति का पालन किया जिसका उपयोग उन्होंने अपने प्रारंभिक परिणाम को साबित करने के लिए किया था।

परिणाम को तर्कसंगत संख्याओं और तर्कसंगत द्विघात क्षेत्रों में सामान्यीकृत करने में सफलताओं के बाद, स्पष्ट अगला विस्तार काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों तक था।

कैरियानी ने कहा, "केवल दो चीजें हैं जो हो सकती हैं: क्षेत्र या तो वास्तविक है या काल्पनिक है।" “असल मामला तो पहले ही समझ में आ गया था, इसलिए काल्पनिक मामले की ओर जाना स्वाभाविक है।”

काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों में तर्कसंगत और वास्तविक संख्याओं के समान बुनियादी अंकगणितीय गुण होते हैं, लेकिन विल्स की विधि को वहां आसानी से प्रत्यारोपित नहीं किया जा सकता है। इसके कई कारण हैं, लेकिन विशेष रूप से, काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों पर मॉड्यूलर रूप तर्कसंगत और वास्तविक की तुलना में बहुत कम सममित होते हैं। समरूपता की यह सापेक्ष कमी उनके गैलोज़ अभ्यावेदन को परिभाषित करना कठिन बना देती है, जो एक अण्डाकार वक्र के साथ मिलान स्थापित करने की कुंजी है।

खरे ने कहा, विल्स के फ़र्मेट प्रमाण के बाद वर्षों तक, "काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों का मामला अभी भी संभव से परे था।" लेकिन पिछले दशक में, प्रगति की एक श्रृंखला ने कैरेयानी और न्यूटन के काम के लिए रास्ता तैयार किया।

मेरे लिए एक अंगूठी लाओ (या इससे भी बेहतर, एक फ़ील्ड)

विल्स की पद्धति में पहला कदम अण्डाकार वक्रों और मॉड्यूलर रूपों के बीच एक अनुमानित मिलान स्थापित करना था। दोनों गैलोज़ अभ्यावेदन के माध्यम से जुड़े हुए हैं जो जोड़ी के दोनों किनारों पर विशिष्ट रूप से उत्पन्न होने वाली संख्याओं की एक श्रृंखला में एन्कोड किए गए हैं।

अंततः आप यह दिखाना चाहते हैं कि गैलोज़ अभ्यावेदन को परिभाषित करने वाली संख्याएँ बिल्कुल मेल खाती हैं, लेकिन इस पहले चरण में यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि वे त्रुटि के कुछ सुसंगत मार्जिन से भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप प्रत्येक संख्या से उसकी संगत संख्या प्राप्त करने के लिए 3 के गुणज जोड़ या घटा सकते हैं, तो आप साबित कर सकते हैं कि संख्याओं की एक श्रृंखला मेल खाती है। इस प्रकाश में, (4, 7, 2) (1, 4, 5) या (7, 10, 8) से मेल खाता है, लेकिन (2, 8, 3) से नहीं। आप यह भी कह सकते हैं कि यदि वे 5, 11 या किसी अभाज्य संख्या के गुणकों से भिन्न हैं तो वे मेल खाते हैं (तकनीकी लेकिन महत्वपूर्ण कारणों से, त्रुटि की संभावना हमेशा अभाज्य होनी चाहिए)। एक 2019 काग़ज़ by पैट्रिक एलन, खरे और जैक थॉर्न समस्या पर इस प्रकार की पकड़ प्रदान की।

न्यूटन ने कहा, "उन्होंने ऐसे प्रमेय सिद्ध किए जो आपको शुरुआत करने के लिए रास्ता देते हैं।"

लगभग उसी समय जब 2019 का पेपर चल रहा था, 10 गणितज्ञों का एक समूह काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों के लिए विल्स की पद्धति के अतिरिक्त चरणों को काम में लाने के लिए काम कर रहा था। यह सहयोग इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी में बिताए गए एक सप्ताह के दौरान शुरू हुआ और इसमें एलन और थॉर्न - 2019 पेपर के सह-लेखक - साथ ही कैरियानी और न्यूटन शामिल थे।

समूह का पहला लक्ष्य यह स्थापित करना था कि मॉड्यूलर रूपों से आने वाले गैलोज़ प्रतिनिधित्व में एक निश्चित प्रकार की आंतरिक स्थिरता होती है। यह संपत्ति - जो अण्डाकार वक्रों से आने वाले गैलोज़ अभ्यावेदन के साथ उनके मिलान के लिए एक शर्त है - कहलाती है स्थानीय-वैश्विक अनुकूलता.

10-व्यक्ति सहयोग ऐसा करने में कामयाब रहे कुछ विशेष मामलों में, लेकिन अधिकांश में नहीं। जैसे ही सहयोग समाप्त हुआ, कैरेयानी और न्यूटन ने यह देखने के लिए एक साथ काम करना जारी रखने का फैसला किया कि क्या वे और अधिक कर सकते हैं।

"हम एक ही समय में लंदन में थे, और हमने उस 10-लेखक परियोजना में दिखाई गई चीजों के बारे में एक-दूसरे के साथ बात करने का आनंद लिया," कैरैनी ने कहा। "हम जानते थे कि आगे बढ़ने में क्या रुकावटें थीं, क्या रुकावटें थीं।"

अँधेरे में रात दर रात 

अपने दम पर काम करना शुरू करने के कुछ ही समय बाद, कैरेयानी और न्यूटन उस काम से आगे बढ़ने की रणनीति पर उतरे जो उन्होंने बड़े समूह के साथ शुरू किया था। यह स्पष्ट रूप से गलत नहीं लग रहा था, लेकिन उन्हें यह भी पता नहीं था कि यह वास्तव में काम करेगा या नहीं।

न्यूटन ने कहा, "हमने इस आशावादी विचार के साथ शुरुआत की थी कि चीजें काम करेंगी, कि हम इस 10-लेखक पेपर की तुलना में कुछ अधिक मजबूत साबित कर सकते हैं, और अंततः हमने ऐसा किया।"

कैरियानी और न्यूटन ने इस विचार पर दो साल तक काम किया, और 2021 के अंत तक उनकी आशावादिता का फल मिला: उन्होंने 10-लेखकों की टीम द्वारा बनाए गए स्थानीय-वैश्विक अनुकूलता परिणाम में सुधार किया। वे वर्णन करते हैं कि कैसे एक लंबे, तकनीकी खंड में उनके अंतिम पेपर का पहला भाग शामिल है, जो 100 पृष्ठों से अधिक लंबा है।

कैरेयानी ने कहा, "हम जानते थे कि एक बार जब हमारे पास यह तकनीकी टुकड़ा होगा, तो मॉड्यूलरिटी काम में आएगी।"

विल्स की पद्धति का पहला कदम एक प्रकार की अनुमानित मॉड्यूलरिटी स्थापित करना था। दूसरा चरण स्थानीय-वैश्विक अनुकूलता परिणाम था। तीसरा कदम यह जानना था कि कम से कम कुछ वक्र मॉड्यूलर हैं और इसका लाभ उठाकर यह साबित करें कि कई वक्र मॉड्यूलर हैं। यह कदम मॉड्युलैरिटी लिफ्टिंग प्रमेय के कारण संभव हुआ।

न्यूटन ने कहा, "यह आपको मॉड्यूलरिटी को चारों ओर फैलाने की अनुमति देता है।" "यदि आप किसी चीज़ की मॉड्यूलरिटी जानते हैं, तो यह उठाने वाली चीज़ें आपको कई अन्य चीज़ों की मॉड्यूलरिटी को बचाने की अनुमति देती हैं। आप इस मॉड्यूलरिटी प्रॉपर्टी को कुछ अच्छे तरीके से प्रचारित करते हैं।

एक बेजोड़ मैच

लिफ्टिंग प्रमेय को लागू करने से कैरेयानी और न्यूटन को अनंत रूप से कई अण्डाकार वक्रों की मॉड्यूलरिटी साबित करने की अनुमति मिली, लेकिन अभी भी कुछ कोने के मामले थे जिन्हें वे प्राप्त नहीं कर सके। ये अद्वितीय गुणों वाले अण्डाकार वक्रों के मुट्ठी भर परिवार थे जो उन्हें उठाने वाले प्रमेय के लिए दुर्गम बनाते थे।

लेकिन क्योंकि उनमें से बहुत कम थे, कैरेयानी और न्यूटन उन पर हाथ से हमला कर सकते थे - एक-एक करके अपने गैलोज़ प्रतिनिधित्व की गणना करके एक मैच स्थापित करने का प्रयास कर सकते थे।

कैरेयानी ने कहा, "वहां हमें कुछ वक्रों पर बहुत सारे बिंदुओं की गणना करने में मज़ा आया।"

प्रयास एक सीमा तक सफल रहा। कैरियानी और न्यूटन अंततः यह साबित करने में कामयाब रहे कि सभी अण्डाकार वक्र काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों के लगभग आधे से अधिक मॉड्यूलर हैं, जिनमें -1, -2, -3 या -5 के वर्गमूल के साथ तर्कसंगत संख्याओं के संयोजन से बने क्षेत्र भी शामिल हैं। अन्य काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों के लिए, वे कई, लेकिन सभी नहीं, अण्डाकार वक्रों के लिए मॉड्यूलरिटी साबित करने में सक्षम थे। (होल्डआउट्स की मॉड्यूलैरिटी एक खुला प्रश्न बनी हुई है।)

उनका परिणाम काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों पर अण्डाकार वक्रों के बारे में उन्हीं बुनियादी सवालों की जांच के लिए एक आधार प्रदान करता है जिनका गणितज्ञ तर्कसंगत और वास्तविक पर अनुसरण करते हैं। इसमें फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का काल्पनिक संस्करण शामिल है - हालाँकि इसे प्राप्त करने से पहले अतिरिक्त आधार तैयार करने की आवश्यकता है - और बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान का काल्पनिक संस्करण।

लेकिन यदि गणितज्ञ किसी भी स्थान पर प्रगति करते हैं, तो कैरेयानी इसका हिस्सा नहीं होंगे - कम से कम अभी के लिए नहीं। अण्डाकार वक्रों की मॉड्यूलैरिटी पर वर्षों के काम के बाद, वह कुछ और आज़माने के लिए तैयार है।

उन्होंने कहा, "अगर मुझे एक दिशा में परिणाम मिलता है, तो मैं हमेशा केवल उसी दिशा में काम करते रहना पसंद नहीं करती।" "तो अब मैंने अपनी रुचियों को कुछ अधिक ज्यामितीय स्वाद वाली किसी चीज़ में बदल लिया है।"

भूल सुधार: जुलाई 6, 2023
इस लेख में मूल रूप से कहा गया है कि ऐसे बहुपद समीकरण के समाधान के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं है जिसका उच्चतम घातांक 4 या उससे अधिक है। सही संख्या 5 है। लेख को सही कर दिया गया है।