तीस साल बाद, क्वांटम फैक्टरिंग के लिए गति में वृद्धि | क्वांटा पत्रिका

पीटर शोर इंटरनेट को तोड़ने के लिए नहीं निकला। लेकिन 1990 के दशक के मध्य में उनके द्वारा विकसित एक एल्गोरिदम ने ऐसा करने की धमकी दी। में एक ऐतिहासिक कागज, शोर ने दिखाया कि कैसे एक काल्पनिक कंप्यूटर जिसने क्वांटम भौतिकी की विचित्रताओं का फायदा उठाया, वह किसी भी सामान्य शास्त्रीय मशीन की तुलना में कहीं अधिक तेजी से बड़ी संख्याओं को उनके प्रमुख कारकों में तोड़ सकता है।

परिणाम का प्रभाव गणित से कहीं आगे था। उस समय, इंटरनेट सुरक्षा को एक महत्वपूर्ण घटक कहा जाता था सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी इस धारणा पर भरोसा किया गया कि बड़ी संख्याओं का गुणनखंड करना कम्प्यूटेशनल रूप से इतना कठिन है कि प्रभावी रूप से असंभव है। वह धारणा आज भी कुछ महत्वपूर्ण प्रोटोकॉल पर आधारित है। शोर के एल्गोरिदम ने दिखाया कि यह शक्तिशाली दुनिया में शानदार ढंग से विफल हो जाएगा क्वांटम कंप्यूटर.

पिछले 30 वर्षों में, कंप्यूटर वैज्ञानिकों ने उस दिन की तैयारी के लिए शोर के एल्गोरिदम को सुव्यवस्थित किया है जब क्वांटम तकनीक इसे चलाने के लिए पर्याप्त रूप से परिपक्व हो जाएगी। लेकिन एक नया संस्करण, न्यूयॉर्क विश्वविद्यालय के कंप्यूटर वैज्ञानिक से उबेद रेगेव, मौलिक रूप से नए अर्थ में तेज़ है। यह गुणनखंडित की जा रही संख्या के आकार और उसके गुणनखंडन के लिए आवश्यक क्वांटम परिचालनों की संख्या के बीच संबंध को बेहतर बनाने वाला पहला है।

"यह वास्तव में उल्लेखनीय है कि कोई व्यक्ति कई वर्षों के बाद स्पष्ट रूप से इस परिणाम की जटिलता को सुधारने में सक्षम हुआ है," ने कहा एशले मोंटानारोब्रिस्टल विश्वविद्यालय में क्वांटम कंप्यूटिंग शोधकर्ता। "यह सचमुच रोमांचक है।"

मार्टिन एकेरास्वीडिश नेशनल कम्युनिकेशंस सिक्योरिटी अथॉरिटी के एक क्रिप्टोग्राफर, इस बात से सहमत थे कि रेगेव का पेपर दिलचस्प है, लेकिन उन्होंने आगाह किया कि व्यवहार में अत्याधुनिक को मात देने के लिए और अधिक अनुकूलन की आवश्यकता होगी। उन्होंने एक ईमेल में लिखा, "शोर के मूल एल्गोरिदम पहले से ही आश्चर्यजनक रूप से कुशल हैं, इसलिए बड़े सुधार करना मामूली बात नहीं है।"

रेगेव ने उच्च-आयामी ज्यामिति से संबंधित क्रिप्टोग्राफी की एक शाखा की तकनीकों के साथ शोर के एल्गोरिदम को बढ़ाकर अपना नया एल्गोरिदम विकसित किया।

मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में अब एक व्यावहारिक गणितज्ञ शोर ने कहा, "मैंने सोचा होगा कि इस बुनियादी रूपरेखा के साथ काम करने वाला कोई भी एल्गोरिदम बर्बाद हो जाएगा।" "पर मैं गलत था।"

कारक ढूँढना

क्वांटम कंप्यूटर अपनी शक्ति सूचना को संसाधित करने के अनोखे तरीके से प्राप्त करते हैं। शास्त्रीय कंप्यूटर बिट्स का उपयोग करते हैं, जिनमें से प्रत्येक को हमेशा 0 और 1 लेबल वाली दो स्थितियों में से एक में होना चाहिए। क्वांटम बिट्स, या "क्विबिट्स", इसके अतिरिक्त 0 और 1 स्थितियों के संयोजन में हो सकते हैं - एक घटना जिसे सुपरपोजिशन कहा जाता है। एक सामूहिक सुपरपोज़िशन स्थिति में कई क्विबिट्स को समेटना भी संभव है: दो-क्विबिट सुपरपोज़िशन में चार घटक होते हैं जो एक साथ अलग-अलग गणना कर सकते हैं, और जैसे-जैसे क्विबिट्स की संख्या बढ़ती है, ऐसे घटकों की संख्या तेजी से बढ़ती है। यह क्वांटम कंप्यूटरों को समानांतर में कई अलग-अलग गणनाओं को प्रभावी ढंग से निष्पादित करने की अनुमति देता है।

परंतु वहाँ एक पकड़ है: सुपरपोज़िशन में की गई गणना के परिणाम को पढ़ने से केवल एक यादृच्छिक घटक द्वारा गणना किए गए भाग का उत्तर पता चलता है। सुपरपोज़िशन में कंप्यूटिंग के लाभों को प्राप्त करने के लिए, आपको किसी तरह अंतिम परिणाम को एक सरल स्थिति में मैप करना होगा जहां परिणाम को पढ़ना सुरक्षित हो। अधिकांश मामलों में यह संभव नहीं है, और पहले तो किसी को नहीं पता था कि किसी भी समस्या के लिए इसे कैसे काम में लाया जाए। रेगेव ने कहा, "ऐसे बहुत कम लोग थे जिनमें क्वांटम गणना के बारे में सोचने का साहस था।"

फिर 1994 में शोर पढ़ा एक पेपर कंप्यूटर वैज्ञानिक डैनियल साइमन ने दिखाया कि एक काल्पनिक समस्या को हल करने के लिए क्वांटम सुपरपोजिशन का फायदा कैसे उठाया जाए। शोर ने यह पता लगाया कि साइमन के परिणाम को अवधि खोज नामक अधिक सामान्य और व्यावहारिक समस्या तक कैसे बढ़ाया जाए। एक गणितीय फ़ंक्शन को आवधिक कहा जाता है जब इनपुट बढ़ने पर इसका आउटपुट समान मानों के माध्यम से बार-बार चक्रित होता है; एकल चक्र की लंबाई को फ़ंक्शन की अवधि के रूप में जाना जाता है।

क्वांटम कंप्यूटर का उपयोग करके किसी दिए गए फ़ंक्शन की अवधि ज्ञात करने के लिए, एक बहुत बड़ा सुपरपोज़िशन स्थापित करके प्रारंभ करें जिसमें प्रत्येक घटक एक अलग इनपुट के लिए फ़ंक्शन के आउटपुट की गणना करता है। फिर उस बड़े सुपरपोजिशन को सरल स्थिति में बदलने के लिए शोर की विधि का उपयोग करें और परिणाम पढ़ें। उस समय, एक क्लासिकल कंप्यूटर कार्यभार संभाल सकता है और गणना को शीघ्र पूरा कर सकता है। कुल मिलाकर, शोर का अवधि-खोज एल्गोरिथ्म किसी भी शास्त्रीय विकल्प की तुलना में तेजी से चलता है क्योंकि यह सुपरपोजिशन का उपयोग करके एक साथ आवधिक फ़ंक्शन के विभिन्न आउटपुट की गणना करता है।

जैसे ही शोर ने अपने क्वांटम अवधि-खोज एल्गोरिदम के लिए अनुप्रयोगों की तलाश की, उन्होंने पहले से ज्ञात लेकिन अस्पष्ट गणितीय प्रमेय को फिर से खोजा: प्रत्येक संख्या के लिए, एक आवधिक फ़ंक्शन मौजूद होता है जिसकी अवधि संख्या के प्रमुख कारकों से संबंधित होती है। इसलिए यदि कोई संख्या है जिसे आप कारक बनाना चाहते हैं, तो आप संबंधित फ़ंक्शन की गणना कर सकते हैं और फिर अवधि खोज का उपयोग करके समस्या को हल कर सकते हैं - "वास्तव में क्वांटम कंप्यूटर कितने अच्छे हैं," रेगेव ने कहा।

एक शास्त्रीय कंप्यूटर पर, यह एक बड़ी संख्या का गुणनखंड करने का बेहद धीमा तरीका होगा - हर संभव कारक को आज़माने से भी धीमा। लेकिन शोर की विधि तेजी से प्रक्रिया को गति देती है, जिससे पीरियड को तेज क्वांटम फैक्टरिंग एल्गोरिदम बनाने का एक आदर्श तरीका मिल जाता है।

शोर का एल्गोरिदम कुछ प्रमुख प्रारंभिक परिणामों में से एक था जिसने क्वांटम कंप्यूटिंग को सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के एक अस्पष्ट उपक्षेत्र से आज के युग में बदल दिया। लेकिन एल्गोरिदम को व्यवहार में लाना एक कठिन काम है, क्योंकि क्वांटम कंप्यूटर त्रुटियों के लिए बेहद संवेदनशील हैं: अपनी गणना करने के लिए आवश्यक क्वैबिट के अलावा, उन्हें कई अन्य कार्यों की आवश्यकता होती है। अतिरिक्त काम उन्हें असफल होने से बचाने के लिए. ए हाल ही में कागज एकेरा और गूगल शोधकर्ता द्वारा क्रेग गिदनी अनुमान है कि सुरक्षा-मानक 2,048-बिट संख्या (लगभग 600 अंक लंबी) को कारक बनाने के लिए शोर के एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए 20 मिलियन क्यूबिट वाले क्वांटम कंप्यूटर की आवश्यकता होगी। आज की अत्याधुनिक मशीनों की संख्या अधिक से अधिक कुछ सौ है।

यही कारण है कि कुछ महत्वपूर्ण इंटरनेट प्रोटोकॉल अभी भी इस बात पर निर्भर करते हैं कि बड़ी संख्या को कारक बनाना कितना कठिन है, लेकिन शोधकर्ता बहुत अधिक संतुष्ट नहीं होना चाहते हैं। सैद्धांतिक और तकनीकी नवाचार आवश्यक क्वबिट गिनती को और कम कर सकते हैं, और इसका कोई सबूत नहीं है कि शोर का एल्गोरिदम इष्टतम है - वहां एक बेहतर क्वांटम फैक्टरिंग एल्गोरिदम हो सकता है जिसे किसी ने नहीं खोजा है।

यदि ऐसा है, तो रेगेव ने कहा, "हमें जितनी जल्दी हो सके पता होना चाहिए, इससे पहले कि बहुत देर हो जाए।"

पेड़ों में खो गया

रेगेव ने अपना अकादमिक करियर 1990 के दशक के अंत में शुरू किया, जब क्रिप्टोग्राफर सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी के एक नए रूप की खोज कर रहे थे जो शोर के एल्गोरिदम के लिए असुरक्षित नहीं था। सबसे आशाजनक दृष्टिकोण, कहा जाता है जाली-आधारित क्रिप्टोग्राफी, बिंदुओं या जाली के उच्च-आयामी सरणियों से जुड़ी कम्प्यूटेशनल समस्याओं की स्पष्ट कठिनाई पर निर्भर करता है। ऐसी ही एक समस्या जंगल में किसी यादृच्छिक बिंदु के निकटतम पेड़ का पता लगाने के कार्य के समान है।

"यदि यह सौ-आयामी जंगल है, तो यह द्वि-आयामी जंगल की तुलना में कहीं अधिक जटिल है," कहा ग्रेग कुपरबर्ग, कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, डेविस में गणितज्ञ।

रेगेव ने लैटिस-आधारित क्रिप्टोग्राफी का अध्ययन एक पोस्टडॉक के रूप में शुरू किया, शुरुआत में एक हमलावर के रूप में - वह क्वांटम कंप्यूटर द्वारा शोषण की जा सकने वाली कमजोरियों को ढूंढकर नए दृष्टिकोण का तनाव-परीक्षण करना चाहता था। लेकिन वह कोई प्रगति नहीं कर सका, और उसे जल्द ही आश्चर्य हुआ कि क्या इसका कोई गहरा कारण था। 2005 में, उन्होंने उन असफल हमलों को एक में बदलने का एक तरीका ढूंढ लिया जाली-आधारित क्रिप्टोग्राफी का रूप अन्य सभी वेरिएंट से बेहतर.

कुपरबर्ग ने कहा, "ओडेड जाली के मामले में बिल्कुल शानदार है।"

इन वर्षों में, जब रेगेव ने छात्रों की लगातार पीढ़ियों को शोर का एल्गोरिदम सिखाया, तो उन्होंने खुद को आश्चर्यचकित पाया कि क्या जाली-आधारित क्रिप्टोग्राफी पर हमला करने के लिए उन्होंने जिन तकनीकों का उपयोग किया था, वे वास्तव में फैक्टरिंग एल्गोरिदम में उपयोगी साबित हो सकती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि शोर के एल्गोरिदम के अंतिम, शास्त्रीय चरण में एक कदम एक-आयामी जाली में निकटतम बिंदु खोजने के बराबर है। वह एक-आयामी समस्या तुच्छ रूप से आसान है, लेकिन सैकड़ों आयामों में अनुरूप समस्या की समानता, जिसकी कठोरता जाली-आधारित क्रिप्टोग्राफी को रेखांकित करती है, अचूक थी।

"यदि आप ऐसे व्यक्ति हैं जो मेरी तरह जाली बनाता है, तो आप सोचते हैं, 'ठीक है, यहाँ कुछ जाली चल रही है," रेगेव ने कहा। "लेकिन यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं था कि इसका उपयोग कैसे किया जाए।" वर्षों तक वह नए क्वांटम फैक्टरिंग एल्गोरिदम के लिए अन्य विचारों के साथ खिलवाड़ करता रहा, लेकिन वह कभी कहीं नहीं पहुंच पाया। फिर पिछली सर्दियों में वह समस्या पर लौटे और फैक्टरिंग और जाली-आधारित क्रिप्टोग्राफी के बीच उस आकर्षक संबंध को स्पष्ट करने का संकल्प लिया। इस बार उन्हें सफलता मिली.

अतिरिक्त आयाम

रेगेव को पता था कि उन्हें शोर के एल्गोरिदम के केंद्र में आवधिक कार्य को एक आयाम से कई आयामों तक सामान्यीकृत करके शुरुआत करने की आवश्यकता है। शोर के एल्गोरिदम में, उस फ़ंक्शन में एक यादृच्छिक संख्या को बार-बार गुणा करना शामिल होता है, जिसे डब किया जाता है g, अपने आप के साथ. लेकिन इस फ़ंक्शन की अवधि - जितनी बार आपको गुणा करना होगा g इससे पहले कि फ़ंक्शन का आउटपुट दोहराना शुरू हो जाए - बहुत बड़ा हो सकता है, और इसका मतलब है कि क्वांटम कंप्यूटर को आवधिक फ़ंक्शन की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सुपरपोज़िशन के कुछ घटकों में बड़ी संख्याओं को गुणा करना होगा। वे बड़े गुणन शोर के एल्गोरिदम का सबसे कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा हिस्सा हैं।

इसके बजाय अनुरूप द्वि-आयामी फ़ंक्शन संख्याओं की एक जोड़ी का उपयोग करता है, g₁ और g₂. इसमें गुणा करना शामिल है g₁ अपने आप से कई बार और फिर बार-बार गुणा करके g₂. इस फ़ंक्शन की अवधि भी द्वि-आयामी है - इसे संख्या द्वारा परिभाषित किया गया है g₁ गुणा और g₂ गुणन जो मिलकर फ़ंक्शन के आउटपुट को दोहराना शुरू करते हैं। इसके कई अलग-अलग संयोजन हैं g₁ और g₂ गुणा जो काम करेगा।

रेगेव ने एल्गोरिथम को केवल दो नहीं, बल्कि मनमाने ढंग से संख्या में आयामों के लिए सामान्यीकृत करने के लिए तकनीकी विवरणों पर काम किया, लेकिन उनके प्रारंभिक परिणाम उत्साहजनक नहीं थे। कई आयामों में आवधिक फ़ंक्शन की गणना करने के लिए, क्वांटम कंप्यूटर को अभी भी कई संख्याओं को एक साथ गुणा करना होगा। प्रत्येक संख्या को एक-आयामी मामले की तरह कई बार गुणा करने की आवश्यकता नहीं होगी, लेकिन गुणा करने के लिए अधिक विशिष्ट संख्याएँ थीं। ऐसा लग रहा था मानो सब कुछ धुल गया हो।

रेगेव ने कहा, "आप सोचते हैं, 'बहुत अच्छा, मैंने सब कुछ उच्च आयामों में किया, और यह बिल्कुल शोर के समान ही चल रहा है।" "मैं कुछ समय के लिए उसमें फंस गया था।" तब उसे एहसास हुआ कि वह गुणा के क्रम को बदलकर समस्या से निजात पा सकता है। क्वांटम गणना के दौरान उत्तरोत्तर बड़े होने वाले एकल उत्पाद पर संख्याओं को बार-बार जोड़ने के बजाय, उन्होंने छोटी संख्याओं के जोड़े के साथ शुरुआत की, परिणामी उत्पादों को एक साथ गुणा किया, और ऊपर की ओर आगे बढ़े। गुणन की कुल संख्या में ज्यादा बदलाव नहीं हुआ, लेकिन अब उनमें से लगभग सभी में अपेक्षाकृत छोटी संख्याएं शामिल हैं, जिससे गणना तेज हो गई है।

"इससे दुनिया में सारा फर्क पड़ता है," कहा विनोद वैकुंठनाथन, एमआईटी में एक क्रिप्टोग्राफर।

सबसे पहले, ऐसा लग रहा था मानो रेगेव ने एक समस्या को दूसरी समस्या से बदल दिया हो। उन्होंने आयामों की संख्या बढ़ाकर आवधिक फ़ंक्शन की क्वांटम गणना को तेज कर दिया था, लेकिन अवधि निकालने के लिए आवश्यक बाद की शास्त्रीय गणना अब उच्च-आयामी अंतरिक्ष में निकटतम जाली बिंदु का पता लगाने के समान थी - एक ऐसा कार्य जिसे व्यापक रूप से माना जाता है कठोर बनो। जाली-आधारित क्रिप्टोग्राफी की सादृश्यता जिसने उनके नए दृष्टिकोण को प्रेरित किया, वह इसे विफलता की ओर ले जाती प्रतीत हुई।

प्रिंसटन विश्वविद्यालय में एक सेमिनार की यात्रा से पहले मार्च की एक ठंडी सुबह, रेगेव ने खुद को उस सहकर्मी का इंतजार करते हुए पाया जिसके साथ वह कारपूल कर रहा था। उन्होंने कहा, "मैं जल्दी पहुंच गया और उन्हें कार लेने में देर हो गई।" जब वह इधर-उधर बैठा इंतज़ार कर रहा था, अचानक पहेली का आखिरी टुकड़ा उसके पास आया। "यही वह क्षण था जब चीजें अपनी जगह पर आ गईं, लेकिन इसमें थोड़ी देर लग रही थी।"

यह सब आयामों की सही संख्या में आ गया। जब जाली का आयाम बहुत कम था, तो उसका एल्गोरिदम छोटी संख्याओं को गुणा करने की गति का पूरा लाभ नहीं उठा सका। जब यह बहुत अधिक था, तो क्वांटम गणना तेज़ थी, लेकिन शास्त्रीय भाग को निषेधात्मक रूप से कठिन जाली समस्या को हल करने की आवश्यकता थी। रेगेव को शुरू से ही पता था कि सफलता की कोई भी उम्मीद रखने के लिए, उसे बीच में कहीं काम करना होगा, लेकिन यह स्पष्ट नहीं था कि कोई अच्छी जगह मौजूद है या नहीं। मार्च की उस सुबह, उन्हें एहसास हुआ कि कैसे वह एल्गोरिदम के विवरण को कुछ दर्जन आयामों में तेज़ी से चलाने के लिए बदल सकते हैं।

Sand . में लेखन

सुधार गहरा था. रेगेव के एल्गोरिदम के क्वांटम भाग में प्राथमिक तार्किक चरणों की संख्या आनुपातिक है n^1.5 फैक्टरिंग करते समय ए n-बिट संख्या, के बजाय n² जैसा कि शोर के एल्गोरिदम में है। एल्गोरिदम उस क्वांटम भाग को कुछ दर्जन बार दोहराता है और परिणामों को जोड़कर एक उच्च-आयामी जाली तैयार करता है, जिससे यह अवधि निकाल सकता है और संख्या का गुणनखंड कर सकता है। इसलिए समग्र रूप से एल्गोरिदम तेजी से नहीं चल सकता है, लेकिन आवश्यक चरणों की संख्या को कम करके क्वांटम भाग को तेज करने से इसे अभ्यास में लाना आसान हो सकता है।

बेशक, क्वांटम एल्गोरिदम को चलाने में लगने वाला समय कई विचारों में से एक है। आवश्यक क्वैबिट की संख्या भी उतनी ही महत्वपूर्ण है, जो सामान्य शास्त्रीय गणना के दौरान मध्यवर्ती मूल्यों को संग्रहीत करने के लिए आवश्यक मेमोरी के अनुरूप है। शोर के एल्गोरिदम को कारक के लिए आवश्यक क्वैबिट की संख्या n-बिट संख्या आनुपातिक है n, जबकि रेगेव के एल्गोरिदम को अपने मूल रूप में आनुपातिक रूप से कई क्वैबिट की आवश्यकता होती है n^1.5 — 2,048-बिट संख्याओं के लिए एक बड़ा अंतर।

क्लासिकल कंप्यूटिंग में, गति आमतौर पर मेमोरी की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण विचार है, क्योंकि क्लासिकल बिट्स बेहद मजबूत होते हैं: आप किसी फ़ाइल को अपने कंप्यूटर पर सहेज सकते हैं और जब आप इसे बाद में दोबारा खोलते हैं तो इसके बेतरतीब ढंग से बदलने की चिंता नहीं कर सकते। क्वांटम कंप्यूटिंग शोधकर्ता हमेशा इतने भाग्यशाली नहीं होते हैं।

गिडनी ने कहा, "हमारे क्वबिट्स लगातार टूटने की कोशिश कर रहे हैं और हम उन्हें टूटने से रोकने की कोशिश कर रहे हैं।" "यह ऐसा है जैसे आप रेत पर लिखने की कोशिश कर रहे हैं और हवा उसे उड़ा ले जा रही है।" इसका मतलब है कि रेगेव के एल्गोरिदम के लिए आवश्यक अतिरिक्त क्वैबिट एक बड़ी खामी हो सकती है।

लेकिन रेगेव का पेपर कहानी का अंत नहीं है। दो सप्ताह पहले, वैकुंठनाथन और उनके स्नातक छात्र सेयून रागवन ने एल्गोरिदम के मेमोरी उपयोग को कम करने का एक तरीका खोजा। उनका प्रकार रेगेव के एल्गोरिदम को, शोर के मूल एल्गोरिदम की तरह, आनुपातिक रूप से कई क्वैबिट की आवश्यकता होती है n बजाय n^1.5. एकेरा ने एक ईमेल में लिखा कि यह काम "हमें एक कार्यान्वयन के बहुत करीब लाता है जो व्यवहार में अधिक कुशल होगा।"

रेगेव के नए एल्गोरिदम का व्यापक सबक, फैक्टरिंग के निहितार्थ से परे, यह है कि क्वांटम कंप्यूटिंग शोधकर्ताओं को हमेशा आश्चर्य के लिए खुला रहना चाहिए, यहां तक ​​​​कि उन समस्याओं में भी जिनका दशकों से अध्ययन किया गया है।

शोर ने कहा, "मेरे एल्गोरिदम का यह संस्करण 30 वर्षों तक अनदेखा था और अचानक सामने आया।" "संभवतः अभी भी बहुत सारे अन्य क्वांटम एल्गोरिदम पाए जाने बाकी हैं।"

संपादक का नोट: ओडेड रेगेव को फंडिंग प्राप्त होती है सिमंस फाउंडेशन, जो इस संपादकीय स्वतंत्र पत्रिका को फंड भी करता है। सिमंस फाउंडेशन के फंडिंग फैसलों का हमारे कवरेज पर कोई प्रभाव नहीं है। अधिक विवरण हैं यहाँ उपलब्ध.

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