Az elliptikus görbék új számrendszerben mutatják be titkait | Quanta Magazin

A kutatási matematika számos bonyolult előrelépését a számokkal kapcsolatos legegyszerűbb kérdések megértésének vágya ösztönzi. Hogyan oszlanak el a prímszámok az egész számokban? Vannak-e tökéletes kockák (például 8 = 2³ vagy 27 = 3³), amely két másik kocka összegeként írható fel? Általánosságban elmondható, hogy a matematikusok meg akarnak oldani egy egyenletet. De gyakran lehetetlen ezt megtenni magával az egyenlettel. Ehelyett a matematikusok módot találnak arra, hogy a megoldásokat vadul absztrakt struktúrákhoz kössék, amelyek összetettsége kódolja titkukat.

Az elmúlt évtizedekben a matematikai kutatások egyik legizgalmasabb iránya követte ezt a formát. Ez magában foglalta az elliptikus görbéknek nevezett polinomiális egyenletek bizonyos fajtái és a moduláris formáknak nevezett ezoterikus objektumok közötti kapcsolat megértését, amelyek 1994-ben robbantak ki a matematikában, amikor Andrew Wiles felhasználta őket Fermat utolsó tételének bizonyítására, amely a 20. század legünnepeltebb eredményei közé tartozik. matematika.

Idén januárban, Ana Caraiani az Imperial College London és a Bonni Egyetem és James Newton Az Oxfordi Egyetem kutatója új kutatási irányt nyitott ezen a területen amikor bebizonyították hogy a Wiles által felállított kapcsolat az elliptikus görbék és a moduláris formák között bizonyos matematikai objektumokra is érvényes, amelyeket képzeletbeli másodfokú mezőknek nevezünk.

Wiles bebizonyította, hogy bizonyos típusú elliptikus görbék modulárisak – ami azt jelenti, hogy van egy adott moduláris forma, amely minden görbének megfelel –, amikor a görbe meghatározásában részt vevő két változó és két együttható mind racionális szám, olyan érték, amely törtként írható fel. Munkája után a matematikusok arra törekedtek, hogy a modularitást szélesebb körben is megteremtsék. 2001-ben négy matematikus bebizonyította, hogy minden elliptikus görbe moduláris a racionális számokhoz képest (miközben Wiles ezt csak néhány görbére bizonyította). 2013-ban három matematikus, köztük Samir Siksek A Warwick Egyetem kutatója bebizonyította, hogy az elliptikus görbék is modulárisak valódi másodfokú mezők felett  (ami azt jelenti, hogy a változók és együtthatók egy valós másodfokú mezőnek nevezett számrendszerből származnak).

Az előrehaladás előrehaladtával egy konkrét cél elérhetetlen maradt: annak bizonyítása, hogy az elliptikus görbék modulárisak a képzeletbeli kvadratikus mezők felett.

A másodfokú mezők matematikai lépcsőfokot jelentenek a racionális számok és a valós számok között, amelyek minden lehetséges tizedes számot tartalmaznak, még azokat is, amelyek végtelen mintázatúak a tizedesvesszőtől jobbra, és amelyek soha nem ismétlődnek. (Ez magában foglalja az összes irracionális számot, például $latex sqrt{2}$ vagy $latex pi $.)

A másodfokú mezők kiválasztanak egy egész számot – mondjuk 5-öt –, és tartalmazzák az összes $latex a + bsqrt{5}$ alakú számot, ahol a és a b mindkettő racionális szám. Ha a kérdéses egész szám pozitív, akkor az eredményül kapott másodfokú mező a valós számok részhalmaza, ezért valódi másodfokú mezőnek nevezik.

Mi a helyzet azokkal az elliptikus görbékkel, amelyek képzeletbeli másodfokú mezők felett vannak meghatározva – azokkal, amelyeket egy negatív szám négyzetgyökének felvételével alakítanak ki?

Ez az a probléma, amellyel Caraiani és Newton foglalkozott.

Több száz évvel ezelőtt a matematikusok egyszerűen meghatározták a negatív számok négyzetgyökét: nevet adtak, i, −1 négyzetgyökére. Ekkor bármely más negatív szám négyzetgyöke igazságos i a megfelelő pozitív szám négyzetgyökének szorzata. Tehát $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$. A képzeletbeli számok döntő szerepet játszanak a matematikában, mert sok probléma esetén könnyebb velük dolgozni, mint a valós számokkal.

De annak bizonyítása, hogy az elliptikus görbék modulárisak a képzeletbeli másodfokú mezők felett, sokáig elérhetetlen maradt, mert a valós kvadratikus mezők modularitásának bizonyítására szolgáló technikák nem működnek.

Caraiani és Newton modularitást értek el – az összes elliptikus görbére az összes képzeletbeli másodfokú mezők körülbelül felénél – azáltal, hogy kitalálták, hogyan lehet adaptálni a modularitás bizonyítására Wiles és mások által úttörő eljárást a képzeletbeli másodfokú mezők feletti elliptikus görbékre.

"Itt jött be Caraiani és Newton gyönyörű munkája. Megjavították Wiles második lépését" - mondta. Chandrashekhar Khare a Los Angeles-i Kaliforniai Egyetemen.

A munka önmagában is technikai vívmány, és lehetőséget ad arra, hogy képzeletbeli környezetben előrehaladást érjünk el a matematika néhány legfontosabb kérdésében.

Párkereső, párkereső

A matematikusok legalábbis az ókori görögök óta törődnek a polinomegyenletek megoldásaival – állandó hatványokra emelt változók kombinációival. Az egyenletek végtelen változatban állnak rendelkezésre, amelyeket a változók mennyiségének, a változók együtthatóinak és az általuk emelt hatványoknak a beállításával lehet elérni. $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ csak egy példa.

Az elliptikus görbék olyan polinomiális egyenletek, amelyek a matematikai vizsgálathoz optimális keménységi szinten vannak. Van egy rendezett (és széles körben tanítják) képlet másodfokú polinomok megoldására egy változóban, amelyben a legnagyobb hatvány 2, de nincs ilyen képlet olyan polinomok megoldására, ahol a legnagyobb hatvány 5 vagy nagyobb. Több változó hozzáadása általában bonyolultabbá teszi a dolgokat. De az elliptikus görbék, amelyeknek két változója van, és amelyeknek a legnagyobb teljesítménye 3, mint például a $latex (y^2=x^3+1)$, elég nagy kihívást jelentenek ahhoz, hogy inspirálják a találmányt, anélkül, hogy annyira kemények, hogy reménytelennek éreznék magukat.

Az elliptikus görbék egyik alapkérdése az, hogy véges vagy végtelen sok racionális pár van-e, amely megoldja. Egyes elliptikus görbéknek véges sok racionális megoldása van, másoknak végtelenül sok, másoknak pedig egyáltalán nincs.

„Ez a fajta vicces köztes viselkedésük van” – mondta Caraiani.

Ha egy véletlenszerű elliptikus görbét adunk át, nem azonnal derül ki, hogy melyik kategóriába tartozik. De dekódolható úgy, hogy párosítja egy moduláris formának nevezett egyező objektummal, amelynek tulajdonságai felfedik a választ.

Fogj meg egy moduláris űrlapot

A moduláris formák olyan függvények, amelyeket az elemzés során tanulmányoznak, ez a számítás egy fejlett formája. Ők nagyon szimmetrikus és gyakran lefordíthatók – balra vagy jobbra tolva – anélkül, hogy elveszítenék megjelenésüket. Ily módon közös jellemzőik vannak más erősen szimmetrikus függvényekkel, például a szinuszfüggvénnyel, bár kevésbé egyszerű leírni vagy megjeleníteni.

Minden moduláris formához együtthatók tartoznak. Leírhatja őket, így számsort állíthat elő. Ezek a számok nagyon szép tulajdonságokkal rendelkeznek, és távolról sem véletlenszerűek. A 20. század elejétől kezdődően misztifikálták a matematikusokat, amikor a matematikai zseni, Srinivasan Ramanujan kezdte felfogni, hogy a moduláris forma együtthatóinak mintázatai azzal magyarázhatók, hogy minden moduláris forma egy második típusú objektumhoz kapcsolódik, amelyet Galois-reprezentációnak neveznek. . A későbbi munka megerősítette a linket.

Az elliptikus görbéknek is vannak Galois-reprezentációi, és Ramanujan munkája után lehetségesnek tűnt, hogy Galois-ábrázolások interpolálhatók elliptikus görbék és moduláris formák közé: Kezdje az egyikkel, azonosítsa Galois-ábrázolását, keresse meg a másikat.

– Valahogy azt gondolja: az elliptikus görbéknek, a geometriából származó objektumoknak van Galois-ábrázolása, a moduláris formáknak pedig Galois-ábrázolásaik – van egyezés? – mondta Siksek.

Az 1950-es évek végén Yutaka Taniyama és Goro Shimura azt javasolta, hogy bizonyos moduláris formák és elliptikus görbék között tökéletes 1-1 egyezés van. A következő évtizedben Robert Langlands erre az ötletre építkezett kiterjedt Langlands program, amely a matematika egyik legmesszebbmenő és legkövetkezményesebb kutatási programjává vált.

Ha az 1 az 1-hez megfeleltetés igaz, akkor a matematikusok hatékony eszköztárat biztosítanának az elliptikus görbék megoldásainak megértéséhez. Például minden moduláris formához egyfajta számérték tartozik. A matematika egyik legfontosabb nyitott problémája (bizonyítva, hogy a millió dolláros nyeremény) – a Birch és Swinnerton-Dyer sejtés – azt javasolja, hogy ha ez az érték nulla, akkor az ehhez a moduláris formához társított elliptikus görbének végtelen sok racionális megoldása van, és ha nem nulla, akkor az elliptikus görbének véges sok racionális megoldása van.

De mielõtt bármi ilyesmivel foglalkozni lehetne, a matematikusoknak tudniuk kell, hogy a megfelelõség érvényes: Adj egy elliptikus görbét, és átadhatom a hozzáillõ moduláris formáját. Ezt bizonyítja sok matematikus, Wilestől Caraianiig és Newtonig az elmúlt néhány évtizedben.

Nézze át a könyvét

Wiles munkája előtt a matematikusoknak sikerült igazolniuk a megfelelés egyik irányát: Egyes esetekben egy moduláris formából indulhattak ki, és megtalálhatták annak megfelelő elliptikus görbéjét. De a másik irányba menni – erre gondolnak a matematikusok, amikor arról beszélnek, hogy az elliptikus görbék modulárisak – nehezebb volt, és Wiles volt az első, aki elérte.

„Korábban az emberek tudták, hogy bizonyos körülmények között hogyan lehet a moduláris formából elliptikussá válni, de Wiles ez a visszafelé irányuló irány az elliptikustól a moduláris felé volt az, amit Wiles motivált” – mondta Khare.

Wiles bebizonyította a modularitást bizonyos típusú elliptikus görbék esetében, amelyek együtthatói racionális számok. Ez önmagában elég volt Fermat utolsó tételének egy ellentmondásos bizonyításához. (Wiles bebizonyította, hogy ha Fermat utolsó tétele hamis, az egy olyan elliptikus görbe létezését jelentené, amelyről az előző munka megállapította, hogy nem létezhet. Ezért Fermat utolsó tételének igaznak kell lennie.)

Miközben a matematikusok kiterjesztették Wiles elliptikus görbékkel kapcsolatos munkáját, ugyanazt a módszert követték, mint amit ő használt kezdeti eredményének bizonyítására.

A racionális számokra és a racionális másodfokú mezőkre való általánosítás sikerei után a következő nyilvánvaló kiterjesztést a képzeletbeli másodfokú mezőkre tették.

„Csak két dolog történhet: a mezőny vagy valós vagy képzeletbeli” – mondta Caraiani. "A valós esetet már megértették, így természetes, hogy a képzeletbeli esetre megyünk."

A képzeletbeli másodfokú mezők ugyanazokkal az alapvető számtani tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a racionális és a valós számok, de Wiles módszere közel sem ültethető át oda. Sok oka van annak, hogy miért, de különösen a képzeletbeli másodfokú mezők feletti moduláris formák sokkal kevésbé szimmetrikusak, mint a racionális és a valós értékek felett. Ez a viszonylagos szimmetriahiány megnehezíti Galois-reprezentációik meghatározását, amelyek kulcsa az elliptikus görbével való egyezés megállapításának.

Wiles Fermat-bizonyítása után évekig „a képzeletbeli kvadratikus mezők esete még mindig meghaladta a lehetséges mértéket” – mondta Khare. Ám az elmúlt évtizedben egy sor előrelépés előkészítette az utat Caraiani és Newton munkássága előtt.

Hozz nekem egy gyűrűt (vagy még jobb, egy mezőt)

Wiles módszerének első lépése az elliptikus görbék és a moduláris formák közötti közelítő egyezés megállapítása volt. A kettő Galois-reprezentációkon keresztül kapcsolódik össze, amelyek a párosítás mindkét oldalán egyedileg eredő számsorokba vannak kódolva.

Végső soron azt akarjuk megmutatni, hogy a Galois-reprezentációkat meghatározó számok pontosan egyeznek, de ebben az első lépésben elég megmutatni, hogy bizonyos konzisztens hibahatárral különböznek egymástól. Például bebizonyíthatja, hogy egy számsor egyezik, ha összeadhatja vagy kivonhatja a 3 többszörösét, hogy minden számból a megfelelő számhoz jusson. Ebben a fényben a (4, 7, 2) egyezik az (1, 4, 5) vagy a (7, 10, 8) értékkel, de nem a (2, 8, 3) értékkel. Azt is mondhatnánk, hogy egyeznek, ha 5, 11 vagy bármely prímszám többszörösével különböznek egymástól (technikai, de fontos okokból a hibahatárnak mindig prímnek kell lennie). Egy 2019 papír by Patrick Allen, Khare és Jack thorne biztosította ezt a fajta fogást a problémában.

"Bebizonyítottak olyan tételeket, amelyek megadják a kezdést" - mondta Newton.

Körülbelül ugyanabban az időben, amikor a 2019-es dolgozat készült, egy 10 matematikusból álló csoport azon dolgozott, hogy Wiles módszerének további lépései működjenek a képzeletbeli másodfokú mezőkben. Az együttműködés az Institute for Advanced Study-ban eltöltött egy hét alatt kezdődött, és Allen és Thorne – a 2019-es tanulmány társszerzői –, valamint Caraiani és Newton is részt vett benne.

A csoport első célja annak megállapítása volt, hogy a moduláris formákból származó Galois-reprezentációk rendelkezzenek egyfajta belső konzisztenciával. Ezt a tulajdonságot – amely előfeltétele annak, hogy ezeket az elliptikus görbékből származó Galois-reprezentációkkal párosítsuk – az ún. helyi-globális kompatibilitás.

A 10 fős együttműködés sikerült ezt megtennie néhány speciális esetben, de nem a legtöbb. Ahogy az együttműködés véget ért, Caraiani és Newton úgy döntött, hogy folytatják a közös munkát, hátha többet tudnak tenni.

„Ugyanakkor Londonban voltunk, és szívesen beszélgettünk egymással olyan dolgokról, amelyek a 10 szerzős projektben megjelentek” – mondta Caraiani. „Tudtuk, hogy mik a akadozó pontok, mik akadályozzák a továbblépést.”

Éjszaka éjszakára a sötétben 

Nem sokkal azután, hogy elkezdtek önállóan dolgozni, Caraiani és Newton olyan stratégiát dolgozott ki, amellyel túlmutat azon a munkán, amelyet a nagyobb csoporttal kezdtek. Nem tűnt nyilvánvalóan rossznak, de fogalmuk sem volt arról, hogy valóban működni fog-e.

"Azzal az optimista ötlettel kezdtük, hogy a dolgok menni fognak, hogy valamivel erősebbet tudunk bizonyítani, mint ez a 10 szerzős dolgozat, és végül sikerült" - mondta Newton.

Caraiani és Newton két évig dolgozott ezen az ötleten, és 2021 végére optimizmusuk meghozta gyümölcsét: javították a 10 szerzőből álló csapat helyi-globális kompatibilitási eredményét. Egy hosszú, technikai részben írják le, hogy ez a záródolgozat első felét tartalmazza, amely több mint 100 oldalas.

„Tudtuk, hogy amint ez a technikai elem a helyére kerül, a modularitás meg fog jelenni” – mondta Caraiani.

Wiles módszerének első lépése egyfajta közelítő modularitás megállapítása volt. A második lépés a helyi-globális kompatibilitási eredmény volt. A harmadik lépés az volt, hogy átvegyék a tudásukat, hogy legalább néhány görbe moduláris, és ezt kihasználva bizonyították, hogy sok görbe moduláris. Ez a lépés az úgynevezett modularitási emelési tétel miatt lehetséges.

„Lehetővé teszi a modularitás terjesztését” – mondta Newton. „Ha ismered valaminek a modularitását, akkor ez a [a] dolgok felemelése lehetővé teszi, hogy megmentsd sok más dolog modularitását. Valamilyen szép módon terjeszted ezt a modularitást."

Páratlan meccs

Az emelési tétel alkalmazása lehetővé tette Caraiani és Newton számára, hogy bebizonyítsák végtelen sok elliptikus görbe modularitását, de még mindig voltak olyan sarokesetek, amelyeket nem tudtak elérni. Ez egy maroknyi elliptikus görbék családja volt, amelyek olyan egyedi tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyek elérhetetlenné tették őket az emelési tétel számára.

De mivel olyan kevesen voltak, Caraiani és Newton kézzel is megtámadhatta őket – egyesével kiszámolták Galois-ábrázolásaikat, hogy megpróbáljanak egyezést találni.

„Ott nagyon jól éreztük magunkat azzal, hogy sok-sok pontot számoltunk bizonyos görbéken” – mondta Caraiani.

A próbálkozás egy bizonyos pontig sikeres volt. Caraianinak és Newtonnak végül sikerült bebizonyítania, hogy az összes elliptikus görbe a képzeletbeli másodfokú mezők körülbelül felében moduláris, beleértve azokat a mezőket is, amelyeket a racionális számok -1, -2, -3 vagy -5 négyzetgyökével kombinálva alkotnak. Más képzeletbeli másodfokú mezők esetében sok, de nem minden elliptikus görbére tudták bizonyítani a modularitást. (A holdout modularitása továbbra is nyitott kérdés.)

Eredményeik alapot adnak a képzeletbeli másodfokú mezők feletti elliptikus görbékre vonatkozó ugyanazon alapvető kérdések vizsgálatához, amelyeket a matematikusok a racionális és a valóságos értékek felett keresnek. Ez magában foglalja Fermat utolsó tételének képzeletbeli változatát – bár további alapokat kell lefektetni, mielőtt ez megközelíthetővé válna –, valamint a Birch és Swinnerton-Dyer sejtés képzeletbeli változata.

De ha a matematikusok bármelyik helyen előrehaladnak, Caraiani nem lesz benne – legalábbis egyelőre. Az elliptikus görbék modularitásán végzett több éves munka után készen áll valami másra.

„Ha egy irányban eredményt érek el, nem mindig szeretek csak ebben az irányban dolgozni” – mondta. „Tehát most érdeklődési körömet egy kicsit geometrikusabb ízekre cseréltem.”

Javítás: Július 6, 2023
Ez a cikk eredetileg azt mondta, hogy nincs általános képlet egy olyan polinomegyenlet megoldására, amelynek legmagasabb kitevője 4 vagy nagyobb. A helyes szám: 5. A cikk javítva.